www.aulasapoio.com - Matemática - Polinômios

1.062 visualizações

Publicada em

Matemática - VideoAulas Sobre Polinômios – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.aulasapoio.com

Publicada em: Educação
0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.062
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
2
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

www.aulasapoio.com - Matemática - Polinômios

  1. 1. Conhecimento Anterior• Produtos Notáveis• Fatoração• Conjuntos Numéricos• Números Complexos• Noções de Função
  2. 2. Vamos aprender definição grau adição subtração operações multiplicação Polinômio métodos s divisão Teoremas Equações polinomiais
  3. 3. Polinômio Definição: Chamamos de polinômio na variável x,toda expressão na forma: n −1 n−2 an x + an −1 x n + an − 2 x + ... + a2 x + a1 x + a0 2 Onde:an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexos denominados coeficientesn é um número inteiro não negativox é uma variável complexa
  4. 4. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0Polinômio s
  5. 5. Polinômio Grau do polinômio: O grau do polinômio é determinado pelomaior expoente da variável.Exemplos: 4x2 – 3  2º grau 8x5 + 6x3+ 2x  5º grau
  6. 6. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variávelPolinômio s
  7. 7. Tente fazer sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que opolinômio: p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4seja de grau 2.
  8. 8. Tente fazer sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que opolinômio: p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4seja de grau 2.
  9. 9. Soluçãop(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4 m−4 = 0 m − 16 ≠ 0 2 m=4 m ≠ ±4Resposta: m não existe.
  10. 10. Tente fazer sozinho2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e cpara que os polinômios p1(x) e p2(x) sejamidênticos: p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
  11. 11. Tente fazer sozinho2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e cpara que os polinômios p1(x) e p2(x) sejamidênticos: p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
  12. 12. Soluçãop1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14a ( x + c ) + b( x + d ) = x + 6 x + 15 x + 14 3 3 2a ( x + 3x c + 3xc + c ) + bx + bd = x + 6 x + 15 x + 14 3 2 2 3 3 2ax + 3acx + 3ac x + ac + bx + bd = x + 6 x + 15 x + 14 3 2 2 3 3 2ax 3 + 3acx 2 + ( 3ac 2 + b ) x + ac 3 + bd = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 14
  13. 13. Solução p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14 ( )ax 3 + 3acx 2 + 3ac 2 + b x + ac 3 + bd = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 14 ax = x 3 3 3acx = 6 x 2 2 (3ac 2 ) + b x = 15 x a =1 3.1.c = 6 3.1.2 2 + b = 15 c=2 12 + b = 15 b=3
  14. 14. Operações com Polinômios A) Adição: Sendo p(x) = 3x2+2x-1 e q(x) = -x3+7x2-6,logo p(x) + q(x) = -x3+10x2+2x-7. B) Subtração: Sendo p(x) = 3x2-4x+1 e q(x) = 5x2-3x+4,logo p(x) - q(x) = -2x2-x-3.
  15. 15. Operações com Polinômios C) Multiplicação : Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3-4x2+5x-3, logop(x).q(x) = 7(2x3-4x2+5x-3)=14x3-28x2+35x-21. Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logop(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2+15x+8x-20 = = -6x2+23x-20.
  16. 16. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operaçõesPolinômio s
  17. 17. Tente fazer sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus7 e 5, respectivamente. Julgue as sentençasseguintes, corrigindo o que for falso:a)O grau de f(x) . g(x) é 35b) O grau de f(x) + g(x) é 7c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
  18. 18. Tente fazer sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus7 e 5, respectivamente. Julgue as sentençasseguintes, corrigindo o que for falso:a)O grau de f(x) . g(x) é 35b) O grau de f(x) + g(x) é 7c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
  19. 19. Solução f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5 a)f(x) . g(x)  grau 35 (falso) x7 . x5 = x12  grau 12 b) f(x) + g(x)  grau 7 (verdadeiro) c) (x2-1) . g(x) + f(x)  grau 7 (falso)grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente dasoma dos termos de grau 7 pode ser zero
  20. 20. Divisão de Polinômios C.1) Método da chave No método da chave temos que armar a conta,como se fosse uma divisão de números naturais: dividendo divisor resto quocientee seguir os passos conforme os exemplos.
  21. 21. Divisão de PolinômiosExemplo 1: Calcule (x2 + 2x – 15) : (x + 5)1º passo: ordenar e completar o dividendo, se necessário.Nesse caso não será necessário2º passo: armar a conta. x2 + 2x - 15 x + 5
  22. 22. Divisão de Polinômios 3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo1º termo do divisor. x2 + 2x - 15 x + 5 x
  23. 23. Divisão de Polinômios 4º passo: multiplicar o resultado por cadatermo do divisor, colocando a resposta embaixodo dividendo, com o sinal contrário. Pa ra f a pas s cilita x2 + 2x - 15 x + 5 o , pr ro p term ocure róxim -x2 - 5x x os se coloc o melh ar os m e sm a nt es a dir e n ç ão. a
  24. 24. Divisão de Polinômios 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha,obtendo um novo dividendo. x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x - 3x - 15
  25. 25. Divisão de Polinômios 6º passo: verificar se o grau do 1º termo donovo dividendo é menor que o grau do 1º termodo divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo. x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x - 3x - 15
  26. 26. Divisão de Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5 x2 + 2x - 15 x + 5-x2 - 5x x -x2 - 5x x -3 - 3x - 15 - 3x - 15 3x + 15 0 Logo, quociente é x – 3 e resto é 0.
  27. 27. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.1º passo: x4 + 1 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 12º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
  28. 28. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.3º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x4 + x
  29. 29. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.4º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x4 + -x4 - x x
  30. 30. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1.5º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x4 + -x4 - x x - x+1
  31. 31. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4 + 1 por x3 +1. 6º passo: co5º passo: mo o 1 º termo do n ovo dividendo x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 o gr apresenta au menor q-x 4 - x x grau do 1º ue o termo do - x+1 divisor, não podemos continuar a divisão.Logo, o quociente é x e o resto é - x +1
  32. 32. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômio métodos s divisão
  33. 33. Divisão de divisão deNote que para todaPolinômios a sentença: polinômios, vale D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1
  34. 34. Tente fazer sozinho4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
  35. 35. Tente fazer sozinho4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
  36. 36. Solução 4x3 + 12x2 + x – 4 2x + 3-4x3 – 6x2 2x2 + 3x – 4 6x2 + x – 4 – 6x2 – 9x – 8x – 4 + 8x+12 8 Letra E
  37. 37. Tente fazer sozinho5) Determine o polinômio p(x) que divididopelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  38. 38. Tente fazer sozinho5) Determine o polinômio p(x) que divididopelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  39. 39. SoluçãoD(x)= d(x).q(x) + r(x)P(x)= f(x) . q(x) + r(x)P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3P(x) = x2 – 2x + 5x – 10 + 3P(x) = x2 + 3x – 7
  40. 40. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Vamos usar o próximo exemplo para mostraros passos a serem seguidos: Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de(x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 1º passo: Calcular=a0raiz x = 3 x−3 ⇒ do divisor.
  41. 41. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 2º passo: Dispor a raiz do divisor e oscoeficientes do dividendo da seguinte forma 3 1 -4 5 -2
  42. 42. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 2º passo: Dispor a raiz do divisor e oscoeficientes do dividendo da seguinte forma raiz do coeficientes 3 1 -4 5 -2 divisor do dividendo
  43. 43. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).3º passo: abaixar o 1º coeficiente do dividendo 3 1 -4 5 -2 1
  44. 44. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 4º passo: multiplicar o número abaixado pelaraiz do divisor e somar com o coeficienteseguinte. (3 . 1 - 4 = -1) 3 1 -4 5 -2 1 -1
  45. 45. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 4º passo: multiplicar o número abaixado pelaraiz do divisor e somar com o coeficienteseguinte. + Colocar o resultado 3 1 -4 5 -2 embaixo do 1 -1 coeficiente somado x
  46. 46. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 5º passo: repetir as operações (multiplicarpela raiz do divisor e somar com o coeficienteseguinte)
  47. 47. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 5º passo: + + 3 1 -4 5 -2 3 1 -4 5 -2 1 -1 2 1 -1 2 4 x x
  48. 48. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 6º passo: identificar o resto e os coeficientesdo quociente. 3 1 -4 5 -2 O quociente é: x2 – x + 2 1 -1 2 4 Resto = 4
  49. 49. Divisão de PolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).1º passo: x + i = 0 ⇒ x = −i2º passo: 3º passo: -i 2 0 -5 1 -i 2 0 -5 1 2
  50. 50. Divisão de PolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).4º e 5º passos: 6º passo:-i 2 0 -5 1 O quociente é: 2x2 – 2ix – 7 2 -2i -7 1+7i O resto é: 1 + 7i
  51. 51. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini
  52. 52. Tente fazer sozinho6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35.a)Determine os valores de a e b.b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  53. 53. Tente fazer sozinho6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35.a) Determine os valores de a e b.b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  54. 54. Solução5 -1 a 5 b -1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b 0-2 -1 a 5 b -1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b 35 25a – 100 + b = 0 a=3 4a – 2 + b = 35 b = 25
  55. 55. Teorema do Resto “ Seja p(x) um polinômio tal que p ≥ 1. O resto dadivisão de p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a).”
  56. 56. Teorema do RestoExemplo: Para calcular o resto da divisão dep(x) = 3x2 – 17x + 15 por x – 2, basta aplicaro Teorema do Resto.A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2Pelo Teorema do Resto temos que:r(x) = p(2)r(x) = 3.22 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.
  57. 57. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas
  58. 58. Tente fazer sozinho7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  59. 59. Tente fazer sozinho7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  60. 60. SoluçãoP(x)= k(x) . q(x) + r(x)P(x) = k(x) . (x3 + 3x2 + 5) + (x2 + x + 7)P(0) = k(0) . (03 + 3.02 + 5) + (02 + 0 + 7)P(0) = k(0) . 5 + 7Pelo Teorema do resto, temos que k(0) = 2Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C
  61. 61. Teorema deD’Alembert “ Seja a (complexo) é raiz deum polinômio f(x), então f(x) é divisível por x – a e, reciprocamente, se f(x) é divisível por x – a, então a é raiz de f(x).”
  62. 62. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a)
  63. 63. Equações Polinomiais Equação polinomial é aquela que pode serescrita na forma: n −1 an x + an −1 x n + ... + a1 x + a0 = 0 Exemplos: x3 + 1 = 0 3x2 – 2ix + 1 = 0 x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0
  64. 64. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 Equações polinomiais
  65. 65. Equações Polinomiais Raiz da equação é o valor que da variável,que satisfaz a igualdade. Exemplos: a) 2x + 12 = 0 b) x2 – 9 = 0 2 x = - 12 x2 = 9 x=-6 x=±3
  66. 66. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz
  67. 67. Equações Polinomiaisc)x − 2x + 2x = 0 3 2 d)x + 2x + x + 2 = 0 3 2 ( )x x − 2x + 2 = 0 2 x ( x + 2) + 1( x + 2) = 0 2 ( )x = 0 ou x − 2x + 2 = 0 ( x + 2) x 2 + 1 = 0 2 x1 = 1 + i; x + 2 = 0 ou x + 1 = 0 2 x2 = 1 − i x = -2 x = ±1
  68. 68. Equações Polinomiais Podemos decompor um polinômio em fatoresdo 1º grau, de acordo com suas raízes, atravésda fórmula: p ( x) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn ) Onde: an é o coeficiente de xn . xi são as raízes de p(x).
  69. 69. Equações Polinomiais Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio2x3 – 4x2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2,podemos decompor esse polinômio em fatoresdo 1º grau, usando a fórmula: p( x) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn ) Sendo assim, temos: 2(x + 1) (x – 1) (x – 2)
  70. 70. Tente fazer sozinho8) Resolva a equação abaixo, sabendoque duas de suas raízes são – 1 e 1. x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
  71. 71. Tente fazer sozinho8) Resolva a equação abaixo, sabendoque duas de suas raízes são – 1 e 1. x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
  72. 72. Solução Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, entãop(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0. Logo, -1 1 -2 1 2 -2 1 1 -3 4 -2 0 1 -2 2 0 q(x) = x2 – 2x + 2 Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i ,então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.
  73. 73. Multiplicidade da Raiz Entende-se por multiplicidade da raiz onúmero de vezes que uma mesma raiz aparece. Exemplo: Na resolução da equação x2 – 12x + 36 = 0 ,encontramos duas raízes iguais a 6. Nesse caso,dizemos que x = 6 é uma raiz de
  74. 74. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz Nº de vezes que definição a raiz aparece multiplicidade
  75. 75. Multiplicidade da Raiz Para identificar qual é a multiplicidade deuma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz,até encontrar um resto diferente de zero. Exemplo: Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
  76. 76. Multiplicidade da Raiz Exemplo: Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8? 2 1 -5 6 4 -8 2 1 -3 0 4 0 Logo, a raiz 2 1 -1 -2 0 2 temnão 2 1 1 0 multiplicid ade 3. 1 3
  77. 77. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum ChavePolinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz Nº de vezes que definição a raiz aparece multiplicidade Divisões identificação sucessivas
  78. 78. Tente fazer sozinho9) Determine uma equação algébricado 4º grau que tenha -1 como raiz demultiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  79. 79. Tente fazer sozinho9) Determine uma equação algébricado 4º grau que tenha -1 como raiz demultiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  80. 80. SoluçãoComo o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é aoutra raiz, podemos escrever o polinômioassim:p(x) = (x + 1)3 (x – 2) = 0p(x) = (x3 +3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0p(x) = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0
  81. 81. Bibliografia• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 551 a 585• Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 134 a 164• Figuras: google imagens
  82. 82. Note que para toda divisão depolinômios, vale a sentença: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1

×