Ciclo Trigonométrico eRazões Trigonométricas
Conceitos anteriores
Círculo Trigonométrico  O ciclo trigonométrico é representado por umcírculo que apresenta raio igual a 1 e cujacircunferên...
Procuramos a localização de um ângulo, emordem crescente, no sentido anti-horário.                      y                 ...
O que significa a            representação de um ângulo                     negativo? Significa que a localização dele dev...
Determinação de quadrantes As retas x e y dividem o círculo trigonométricoem 4 partes, chamadas quadrantes.               ...
círculo    r=1                 Propriedade   circunferência orientada                        s     CicloTrigonométrico
Unidades de medidas de um                     ângulo   GrauExemplos: 30º, 60º, 180º                      Radiano        ...
Como passar de grau para                  radiano?           y                       π               90º ≅                ...
Exemplo:Passar 30º para radianos.               π       180º               x       30º               180º x = 30π         ...
Como passar de radiano para                     grau? Ou fazemos uma regra de três, ou procedemoscomo no exemplo abaixo:  ...
círculo    r=1                 Propriedade   circunferência  orientada                        s                       sent...
Exercício1) Apresente o quadrante onde estão localizadosos seguintes arcos:                     7π   a) 138º        b)    ...
Soluçãoa) 138º ⇒ 2º quadrante   7π     7 .180b)     ⇒         = 252º ⇒ 3º quadrante     5       5c) - 280º ⇒ 1º quadrante ...
Arcos ou Ângulos Côngruos                          (Congruentes) Ângulos côngruos são ângulos que apresentam amesma extrem...
Os ângulos côngruos que distam 60º       do ângulo de 0º, são:60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ...                ou    K .360º +60º
Fórmula GeralPara medidas em graus.             360º.K + αPara medidas em radianos.              2π .K + αK  número de vo...
círculo    r=1                 Propriedade   circunferência  orientada                        s                       sent...
Menor Determinação                       Positiva  Menor determinação positiva é o ângulo queapresenta o menor módulo em u...
Para calcular a MDP de um                 ângulo, bastadividir esse ângulo por 360º. O resto dessadivisão é a MDP.        ...
Menor determinação                  negativa        MDN = MDP – 360ºExemplo:Menor determinação negativa de 1117ºMDP = 37º ...
Exercício2) Apresente a fórmula geral, em graus,                     35πdos arcos côngruos a     :                      5
Solução      35π 35 . 180         =         = 1260º       5     51260 360            ⇒      360º.K + 180º 180 3
Lembrando:
Seno de um arco                 sen       cateto oposto Mxsena =              =    = Mx = Oy         hipotenusa    1
Dependendo do quadrante, o         sinal do senopode ser positivo ou negativo.
Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º                         sen             1                                    1  sen 15...
Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º                           sen             2                                       2 se...
Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º                          sen             3                                    3  sen12...
Exercício3) (EEAR-SP) O seno de122π   é igual a:        5π             9a) sen         9        4πb) sen         9        ...
Solução                                   y122π 122 .180                          90º    =         = 2440º  9      9MDP 24...
Cosseno de um arco                     cos        cateto adjacente Oxcos a =                 =    = Ox          hipotenusa...
Dependendo do quadrante, o sinal do              cossenotambém pode ser positivo ou negativo.
Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º                            sen             3                                         3...
Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º                           sen             2                                       2cos...
Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º                        sen            1                                         1cos12...
Importante saber!           y                       π               90º ≅                       2                 sen 0º =...
Exercício                                      29π4) (Unit - SE) A soma sen 3720º + cos     é igual a :                   ...
Solução                                 33720 360 ⇒ sen 120º = sen 60º =                                2120    1029π 29 ....
Exercício5) (Unifor - CE) O número real m que satisfaz a sentença m +1       = cos 3015º é : m-2 a) 3 2 + 4 b) 4 - 3 2 c) ...
Solução                                     23015 360 ⇒ cos 135º = - cos 45º = - 2135     8m +1        2          m=      ...
Tangente de um arco      sena   cateto opostotga =      =      cos a cateto adjacente                  y          sen +   ...
Exercício6) Se x não é do 1º quadrante etg x = 1,5 , quanto vale o cos x?
Solução                                           y = 15 + 10                                            2     2      2   ...
Cotangente de um arco                      1    cos a            cotg a =     =                     tg a sen aApresenta o ...
Secante de um arco                        1              sec a =                      cos a     Apresenta o mesmo sinal do...
Cossecante de um arco                             1                cossec a =                           sen a   Apresenta ...
círculo    r=1                 Propriedade    circunferência orientada                        s                           ...
Exercício              3π            607) Se π < α <    e cotg α = ,               2            11quanto vale cossec α ? E...
Solução                   60          11          cotg α =    ⇒ tg α =                   11          60             1cosse...
Bibliografia   Dante, Luiz Roberto – Matemática    Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008.    Editora Ática – SP. Página...
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  1. 1. Ciclo Trigonométrico eRazões Trigonométricas
  2. 2. Conceitos anteriores
  3. 3. Círculo Trigonométrico O ciclo trigonométrico é representado por umcírculo que apresenta raio igual a 1 e cujacircunferência é orientada. y x
  4. 4. Procuramos a localização de um ângulo, emordem crescente, no sentido anti-horário. y 90º 180º 0º x 360º 270º
  5. 5. O que significa a representação de um ângulo negativo? Significa que a localização dele deve ser procurada no sentido contrário (horário).Exemplos: y 30º x − 30º
  6. 6. Determinação de quadrantes As retas x e y dividem o círculo trigonométricoem 4 partes, chamadas quadrantes. 2º Q 1º Q 3º Q 4º Q Os quadrantes apresentam sempre a mesma posição no círculo trigonométrico.
  7. 7. círculo r=1 Propriedade circunferência orientada s CicloTrigonométrico
  8. 8. Unidades de medidas de um ângulo GrauExemplos: 30º, 60º, 180º  Radiano Exemplos: 3π 4π π rad, rad, rad 4 5 2
  9. 9. Como passar de grau para radiano? y π 90º ≅ 2 Basta fazer uma regra de três,180º ≅ π 360º ≅ 2π x sabendo que: 180º ≅ π 3π 270º ≅ 2
  10. 10. Exemplo:Passar 30º para radianos. π 180º x 30º 180º x = 30π 30º π π x= = 180º 6 π Logo, 30º ≅ 6
  11. 11. Como passar de radiano para grau? Ou fazemos uma regra de três, ou procedemoscomo no exemplo abaixo: 3π Passar rad para grau. 2 90º 3 . 180 3 . 180 = = 270º 2 2
  12. 12. círculo r=1 Propriedade circunferência orientada s sentido 4 quadrantes anti-horário grau º Ciclo unidadeTrigonométrico radiano rad arcos
  13. 13. Exercício1) Apresente o quadrante onde estão localizadosos seguintes arcos: 7π a) 138º b) c) - 280º 5
  14. 14. Soluçãoa) 138º ⇒ 2º quadrante 7π 7 .180b) ⇒ = 252º ⇒ 3º quadrante 5 5c) - 280º ⇒ 1º quadrante y 90º − 280º 138º 180º 0º 360º x 7π 5 270º
  15. 15. Arcos ou Ângulos Côngruos (Congruentes) Ângulos côngruos são ângulos que apresentam amesma extremidade e número de voltas diferentes.Exemplo:120º ≅ 480º ≅ 840º ≅ ... 60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ...240º ≅ 600º ≅ 960º ≅ ... 300º ≅ 660º ≅ 1020º ≅ ...
  16. 16. Os ângulos côngruos que distam 60º do ângulo de 0º, são:60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ... ou K .360º +60º
  17. 17. Fórmula GeralPara medidas em graus. 360º.K + αPara medidas em radianos. 2π .K + αK  número de voltasα  menor determinação positiva
  18. 18. círculo r=1 Propriedade circunferência orientada s sentido 4 quadrantes anti-horário grau º Ciclo unidadeTrigonométrico radiano rad mesma extremidade definição número de congruência voltas diferentes fórmula 2π .K + α geral 360º.K + α
  19. 19. Menor Determinação Positiva Menor determinação positiva é o ângulo queapresenta o menor módulo em um conjunto dearcos côngruos.Exemplo: 60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ... A menor determinação positiva é 60º.
  20. 20. Para calcular a MDP de um ângulo, bastadividir esse ângulo por 360º. O resto dessadivisão é a MDP. 1117 360 Exemplo: 37 3 A MDP de 1117º é 37º. Logo, a fórmula geral desses arcos é 360º K + 37º
  21. 21. Menor determinação negativa MDN = MDP – 360ºExemplo:Menor determinação negativa de 1117ºMDP = 37º MDN = 37º - 360º = -323º
  22. 22. Exercício2) Apresente a fórmula geral, em graus, 35πdos arcos côngruos a : 5
  23. 23. Solução 35π 35 . 180 = = 1260º 5 51260 360 ⇒ 360º.K + 180º 180 3
  24. 24. Lembrando:
  25. 25. Seno de um arco sen cateto oposto Mxsena = = = Mx = Oy hipotenusa 1
  26. 26. Dependendo do quadrante, o sinal do senopode ser positivo ou negativo.
  27. 27. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º sen 1 1 sen 150º = 150º 30º sen 30º = 2 2 1 1sen 210º = − 210º 330º sen 330º = − 2 2
  28. 28. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º sen 2 2 sen 135º = 135º 45º sen 45º = 2 2 2 2sen 225º = − 225º 315º sen 315º = − 2 2
  29. 29. Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º sen 3 3 sen120º = sen60º = 2 120º 60º 2 3 3sen240º = − 240º 300º sen300º = − 2 2
  30. 30. Exercício3) (EEAR-SP) O seno de122π é igual a: 5π 9a) sen 9 4πb) sen 9 5πc) - sen 9 4πd) - sen 9
  31. 31. Solução y122π 122 .180 90º = = 2440º 9 9MDP 2440º = 280º 180º 0º x 360º 2440 360 280 6 270º 280º5π 5 . 180 = = 100º 122π 4π 9 9 Logo, sen = −sen4π 4 . 180 9 9 = = 80º Letra D. 9 9
  32. 32. Cosseno de um arco cos cateto adjacente Oxcos a = = = Ox hipotenusa 1
  33. 33. Dependendo do quadrante, o sinal do cossenotambém pode ser positivo ou negativo.
  34. 34. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º sen 3 3cos150º = − 150º 30º cos 30º = 2 2 cos 3 3cos 210º = − 210º 330º cos 330º = 2 2
  35. 35. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º sen 2 2cos135º = − 135º 45º cos 45º = 2 2 cos 2 2cos 225º = − 225º 315º cos 315º = 2 2
  36. 36. Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º sen 1 1cos120º = − 120º 60º cos 60º = 2 2 cos 1 1cos 240º = − 240º 300º cos 300º = 2 2
  37. 37. Importante saber! y π 90º ≅ 2 sen 0º = 0 sen 180º = 0 cos 0º = 1 cos 180º = − 1180º ≅ π 360º ≅ 2π x sen 90º = 1 sen 270º = - 1 3π cos 90º = 0 cos 270º = 0 270º ≅ 2
  38. 38. Exercício 29π4) (Unit - SE) A soma sen 3720º + cos é igual a : 6 a) - 2 b) - 3 c) 0 3 −1 d) 2 3+ e) 2
  39. 39. Solução 33720 360 ⇒ sen 120º = sen 60º = 2120 1029π 29 . 180 = = 870º 6 6870 360 3 ⇒ cos 150º = - cos 30º = -150 2 2 29π 3 3 sen 3720º + cos = − = 0 ⇒ letra c 6 2 2
  40. 40. Exercício5) (Unifor - CE) O número real m que satisfaz a sentença m +1 = cos 3015º é : m-2 a) 3 2 + 4 b) 4 - 3 2 c) 3 2 − 4 d) 3 - 4 2 e) 4 2 + 3
  41. 41. Solução 23015 360 ⇒ cos 135º = - cos 45º = - 2135 8m +1 2 m= ( −2+2 2 2− 2 = )m−2 =− 2 ( 2+ 2 2− 2 )2m + 2 = − m 2 + 2 2 −4+2 2 +4 2 −4 m= =2m + m 2 = −2 + 2 2 4−2 ( )m 2 + 2 = −2 + 2 2 m= 6 2 −8 =3 2 −4 −2+2 2 2m= 2+ 2 Letra c.
  42. 42. Tangente de um arco sena cateto opostotga = = cos a cateto adjacente y sen + sen + cos - cos + tg - tg + x sen - sen - cos - cos + tg + tg -
  43. 43. Exercício6) Se x não é do 1º quadrante etg x = 1,5 , quanto vale o cos x?
  44. 44. Solução y = 15 + 10 2 2 2 15 ytg x = 1,5 = ⇒ 15 ⇒ y = 225 + 100 2 10 10 x y 2 = 325 y = 5 13 10 cos x = 5 13 10 13 10 13 2 13 cos x = = = 5 13 13 5.13 13
  45. 45. Cotangente de um arco 1 cos a cotg a = = tg a sen aApresenta o mesmo sinal da tangente! Exemplo: 4 Sendo um arco x do 2º quadrante. Se tg x = − , 3 3então tg x = − 4
  46. 46. Secante de um arco 1 sec a = cos a Apresenta o mesmo sinal do Exemplo: cosseno! 3 Sendo um arco x do 3º quadrante. Se cos x = − , 5 5então sec x = − 3
  47. 47. Cossecante de um arco 1 cossec a = sen a Apresenta o mesmo sinal do seno! Exemplo: 4 Sendo um arco x do 4º quadrante. Se cos x = , 5 5então cos sec x = 4
  48. 48. círculo r=1 Propriedade circunferência orientada s 4 quadrantes grau º Ciclo unidadeTrigonométrico radiano rad mesma extremidade definição número de arcos congruência voltas diferentes fórmula 2π .K + α geral 360º.K + α sen co Razões s tg Trigonométricas cotg se c cossec
  49. 49. Exercício 3π 607) Se π < α < e cotg α = , 2 11quanto vale cossec α ? E tg α ?
  50. 50. Solução 60 11 cotg α = ⇒ tg α = 11 60 1cossec α = sen α 2 x = 11 + 60 2 2 11 x ⇒ x = 121 + 3600 2tg x = ⇒ 11 60 α x 2 = 3721 60 x = 61 11 61 sen α = ⇒ cossec α = 61 11
  51. 51. Bibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 236 a 241. Imagens: google imagens

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