Cap iv

Métodos Numéricos en
Ingeniería
CAPÍTULO IV: Raíces de Ecuaciones

Elkin Rodolfo Santafé Rangel
Ingeniero de Petróleos

Bucaramanga – Colombia © 2009

Tipos de Métodos

f ( x) = 0
• Métodos Gráficos
• Métodos Abiertos
• Métodos Cerrados

ANÁLISIS GRÁFICO

SELECCIÓN DE [ ] O DE Xo

ABIERTO ANÁLISIS
CERRADO
ADICIONALES

TRATAMIENTO
POLINOMIAL

© Elkin Santafé ● 2008 ● Métodos Numéricos en Ingeniería
Santafé Numé Ingenierí CAP. III: Raíces de Ecuaciones
Raí

Métodos Gráficos
Características:

• Los cálculos no son precisos.
• Tienen valor práctico limitado.
• Permite estimar valores iniciales.
• Permite a comprensión de las propiedades de las
funciones.
• Pueden ayudar a prevenir fallas en los métodos.
• Se puede considerar en general como ¨cerrado¨

Raí

Métodos Gráficos
Primer Caso Segundo Caso

f ( x)
g ( x)

Raíz

Raíz

h ( x)

f ( x) = 0 g ( x) = h ( x)

Raí

Métodos Gráficos

Formas en que la raíz puede o no encontrarse

f ( a ) ≠ f (b)
f(a)
Hay por lo menos una raíz +
(en este caso el número de
raíces sería impar). Raíz

f ( a ) = f (b) b

Hay raíces pares o no hay a
raíces en el intervalo. -
f(b)

Raí

Métodos Gráficos

a b a b
Sin raíces Dos raíces

Una raíz Tres raíces

Raí

Métodos Gráficos

Casos especiales
a b a b

Tangencial

( x − 2 )( x − 2 )( x − 4 ) = 0 Discontinuidad
Ejemplo de una RAÍZ MÚLTIPLE

Raí

Métodos Cerrados
Son los que limitan el dominio de búsqueda. Los más
conocidos son:

• Método de Bisección
• Método de Falsa Posición

Raí

Métodos Cerrados

Método de Bisección

Conocido también como método de:

• Corte Binario.
• Partición.
• Bolzano.

Es un tipo de búsqueda incremental que se basa en dividir el
intervalo siempre a la mitad y en el cambio de signo sobre el
intervalo.

Raí

Métodos Cerrados - Bisección

Metodología de búsqueda

1. Se debe definir un intervalo inicial acotado.

b

a

2. Se chequea que exista una raíz.

f ( a ) f (b ) < 0
Si se cumple existe al
menos 1 raíz real

Raí



3. Se divide por la mitad el intervalo y se chequea.
Si f ( a ) f ( r ) < 0
⇒ [a, r ]
La mitad
r

Se desecha

Si f ( a ) f ( r ) > 0
⇒ [r , b ]
Raí



4. Se revisa el criterio de parada. Si no se cumple se
continúa con la búsqueda.

El método se puede frenar de 2 formas:

• Con el número máximo de iteraciones.
• Cuando se alcanza el %E.

x actual
−x anterior
% Ea = r r
actual
*100
x r

Raí



Cuando se habla del número de iteraciones se puede estimar
bajo condiciones controladas que tanto tiempo tomará llegar
a la raíz. La relación que permite expresar esto se muestra a
continuación:

a
n
≤ε
2
a → longitud del intervalo
ε → error
n → #iteraciones
Raí


Metodología de búsqueda a
n
≤ε
a 2
a
 a 
20 Ln  n  ≤ Ln ( ε )
a/2 2 
a
Ln ( a ) − Ln ( 2n ) = Ln ( ε )
21
−nLn ( 2 ) = Ln ( ε ) − Ln ( a )
a/4
a Ln ( a ) − Ln ( ε )
2 n=
2 Ln ( 2 )
a/8
a Esta expresión para n
23a
permite predecir cuantas
iteraciones se requieren en
… 2n ausencia de error de
redondeo.

Raí


Ventajas y Desventajas

VENTAJAS
•Tiene garantizada la convergencia por encerrar la raíz.
• Es de fácil implementación.
• Posee un manejo muy claro del error.

DESVENTAJAS
• La convergencia puede tardar mucho.
• No tiene en cuenta los valores extremos (cotas) como
posibles raíces.

Raí


Ejercicio
1. Utilice el método gráfico para determinar el coeficiente de
arrastre c necesario para que un paracaidista con masa de 68,1
kg tenga una velocidad de 40 m/s después de un caída libre de
10 s.
2. Use el método de bisección para resolver el ítem 1 y calcule
adicionalmente:

• Número de iteraciones teóricas.
• %Ea en cada iteración
• %Et en cada iteración asumiendo que el valor real es 14,7802.
• Construya una gráfica en donde compare %Ea y %Et vs
Iteraciones.

NOTA: Use como criterio de parada %Es = 0,5.

Raí

Métodos Cerrados

Falsa Posición

La función es aproximada
Raíz falsa
a través de una línea
recta donde se asume y
que su corte con el eje x
corresponde al valor
aproximado de la raíz. xl
x xu
f ( xu )( xl − xu )
xr = xu − f (x)
f ( xl ) − f ( xu ) Raíz real

Raí

Métodos Cerrados – Falsa Posición


Primera iteración
Segunda iteración
Tercera iteración

f (x)
y
x

Raí

Métodos Abiertos

Son los que limitan el dominio de búsqueda. Los más
conocidos son:

• Método de Punto Fijo
• Método de Newton Raphson
• Método de Secante

Raí

Métodos Abiertos

Punto Fijo

Usa el concepto de
replantear la forma del
problema original. y
x = g (x ) g (x)
x Raíz
xi +1 = g ( xi )

Raí

Métodos Abiertos

Método de Newton

Usa la proyección de
la recta tangente
y f (x)
para encontrar el
valor aproximado de
la raíz.

f ( xi ) x0 x
xi +1 = xi − x1
f ´( xi )

Raí

Métodos Abiertos

Método de Secante

Soluciona el problema de enfrentar
funciones que no son fácilmente derivables.
y
x−1 f (x)

x1 x0
x
f ( xi )( xi −1 − xi )
xi +1 = xi −
f ( xi −1 ) − f ( xi )
Raí

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