El documento presenta información sobre intereses compuestos, tasas nominales y efectivas, y anualidades. Explica cómo calcular el tiempo para cancelar una deuda usando diferentes tasas de interés compuestas, y cómo determinar tasas equivalentes. También introduce conceptos como anualidades anticipadas, vencidas y amortizaciones graduales y constantes.

1. Interés compuesto En que plazo se liquida una deuda de $ 3.000.000 si se cancela con un solo pago por $ 4.500.000 y los intereses que se pagan son del 19%, compuesto trimestral? Cuánto nos prestaron, si cancelamos un crédito con dos pagos así: el primero a los 2 meses por $ 600.000 y el segundo a los tres meses por $ 1.000.000 y los intereses que nos cobran son del 15% compuesto mensualmente? Se compra un juego de alcoba, con el 20% de cuota inicial y un cheque a dos meses por $ 900.000, cual es el precio de la alcoba, si el costo del crédito es del 18% compuesto bimensualmente? Tasa nominal y tasa efectiva Hemos observado que cuando la frecuencia de capitalización es mayor, los intereses son mayores, por efectos de la capitalización y la generación de rendimientos sobre los intereses.

3. Tasa nominal y tasa efectiva La tasa efectiva anual ( i e ) equivale a una tasa nominal i n compuesta en m periodos por año I e = ( 1+ i n / m) m – 1 Ejemplo: Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 17,5 compuesta trimestralmente.  Rpta = 18,6823 %. Ejercicio TE2. Buscar la tasa efectiva de: 21% capitalizable mensualmente 24% compuesto semestralmente. 22% compuesto trimestralmente Cuál es la tasa nominal bimensual que corresponde al 25% efectivo anual?  0,25 = (1 + (i /6)) 6 – 1  1,25 = (1+ (i/6))6  (1,25) (1/6) = 1 + (i / 6)  ((1,25) (1/6) - 1) * 6 = i  i = 22,73% Ejercicio TE2 Obtener el monto acumulado en dos años, de $ 1.000.000 que se invierten al 15% compuesto mensualmente; al 21% compuesto trimestralmente; 24% efectivo anual

4. Tasa nominal y tasa efectiva Ecuaciones de valor equivalentes : Se ha logrado un préstamo para ser liquidado con dos pagos de $ 500.00o cada uno, incluyendo intereses de 27% capitalizable mensualmente; el plazo de los pagos es 30 y 120 días, cual es el valor del préstamo?  P1 = 488.998 ; P2 457.422  P = 946.419 Cuando se vencía el primer pago, se conviene en refinanciar la deuda, con tres pagos iguales pagaderos asi: el primero el mismo día y los otros dos a 30 y 60 días, cuál es el valor de cada pago? Hacer la línea de tiempo; se busca el valor de la deuda en la fecha focal, se sugiere que sea la fecha de vencimiento del primer pago  igual a los $ 500.000 que en esa fecha se debían pagar, más el P de la cuota de $ 500.000 que se vence en 90 días  P = 967,714; como se replante la deuda por tres pagos entonces: 967.714 = R + (R1 / (1 + 0,0225)) + (R2 / (1 + 0,0225) 2 ); como R = R1 = R2  puedo factorizar R  R * ( 1 + (1 / 0,0225) + (1/ (1+ 0,0225) 2 )  R * (1 + 0,97799511 + 0,95647444)  R * 2,93446955  R = 967.714 / 2,93446955  R = 329.775

5. Tasa nominal y tasa efectiva Ejercicio TE3 Se compra un automóvil de $ 35.000.000 y se acuerda pagarlo con una cuota inicial y tres pagos iguales, a uno, dos y tres meses, de igual valor que la cuota inicial y la tasa de interés que se cobra es de 24% nominal anual; apenas unos días después, se hace un nuevo convenio para cancelar el saldo con dos pagos, el primero de $ X a dos meses de la operación inicial y el segundo a cinco meses de la misma fecha por otra cantidad que es el doble de la primera, de cuanto será cada pago? Ejercicio TE4 Se deben $ 800.000 pagaderos en tres meses y $ 500.000 a seis meses, finalizando el primer mes hace abono por $ 600.000. Con que valor liquida la deuda, a los cinco meses del negocio inicial, si la tasa de interés es del 15% capitalizable mensualmente? Ejercicio TE5 Una fábrica compra una máquina, para lo cual se paga cuota inicial del 25% y tres pagos bimensuales (dos, cuatro y seis meses) de $ 25.000.000, si los intereses cobrados son del 27% capitalizables mensualmente, Cual era el costo al contado de la máquina? Para estimar i se debe hacer por iteraciones.

6. Anualidades Utilizando el interés simple vimos el tema de operaciones a plazos, el mismo tema con interés compuesto lo llamaremos anualidades. La primera aclaración es que anualidad aunque tiene connotación de referirse a periodos de años, no es exactamente esto en finanzas se refiere a cualquier otra magnitud de tiempo: semanas, quincenas, meses, bimestres … y hasta diarios. Una anualidad es una sucesión de pagos, depósitos o retiros iguales que se realizan a intervalos de tiempo iguales con interés compuesto. ANUALIDAD ANTICIPADA. Se asocia con el monto DEDUCCIÓN DE LA FORMULA. Obtener el monto acumulado en cuatro años, si se depositan $ 250.000 cada mes y la tasa de interés que se gana es del 24%.. El primer depósito, gana intereses durante todo el periodo, el segundo durante n-1, el tercero durante n-3 y así sucesivamente hasta llegar al ultimo que solo gana intereses durante un periodo. 1 2 48

7. Anualidades M total = M1 + M2 + M3 + … + M48 M total = 250.000 (1.02) 48 + 250.000 (1,02) 47 + … + 250.000 (1,02)  Podemos simplificar: M = 250.000 ¨[(1,02) 49 + (1,02) 47 + … + (1,02)]  Los sumandos que están dentro del corchete corresponden a una serie geométrica con un primer término a1 = 1,02 0 (1+ i/m) y razón o factor de variación de: (1,02), el número de términos es 48. Sabemos que la suma de una serie geométrica es igual a: el primer término multiplicado por (1-razón) elevado a la n; luego / (1 – la razón)  Suma = 1.02 [(1- (1,02) 48 ) / (1 – (1,02)]  suma = 80,94058964  M = 250.000 * (80,94058964)  20,235.147 Generalizando la formula tenemos: (1 + i/m) n -1 M = R*(1 + i/m)[ -----------------------] i/m Ejercicio A1 Al nacer su primer hijo, una pareja decide consignar $ 60.000, comprometiéndose a depositar una suma igual cada semestre, para regalar un viaje a su hijo cuando él cumpla 15 años, cuanto se habrá capitalizado en ese plazo si la inversión reditúa el 18% nominal anual.?

8. Anualidades Ejercicio A2 Cuanto debe depositarse bimensualmente durante cinco años, para obtener un monto de $ 12.000,000, si el rendimiento es de 16% nominal. Rpta = 259.235 Ejercicio A3 En cuánto tiempo se acumula un monto de $ 20.000.000si se consignan $ 100.000 cada mes, en una cuenta que paga intereses del 14% nominal anual. Rpta = 17 años, 2 meses, 6 días o103,099711 bimestres. Calculo de la tasa por iteraciones. ANUALIDAD VENCIDA DEDUCCIÓN DE LA FORMULA. Cuanto podrá retirar cada quincena, durante 8 meses, su esposa (o) si su cónyuge depositó en una cuenta, $ 3.000.000 y esta paga el 9% nominal anual. Rpta 193.532,5 Cada retiro se hará al final de cada periodo, por lo tanto se trata de una anualidad vencida, su diagrama de tiempo es: 1 2 16

9. Anualidades La idea es distribuir los tres millones en las 16 quincenas, que son los retiros; el primer retiro solo ha ganado intereses durante un mes, por esto es mas grande que el segundo, que gana intereses durante dos meses y así sucesivamente. R1 = P1 * (1 + i/m) R2 = P2 * (1 + i/m)2 … R3 = Pn = (1 + i/m)n P1 = R1 / (1 + i/m) P2 = R2 / (1 + i/m)2 … P3 = (1 + i/m)n P total es igual a la suma de los R / (1 + i/m) n Como R1, R2, R3 son iguales se factoriza y tenemos, P = R [(1+ i/m) + (1+ i/m)2 + … + (1 + i/m)n] Lo que queda dentro del corchete es una serie geométrica. Recuerde que la suma de una serie geométrica es Suma = primer término * [ 1 – (1 / razon) n / (1 – (1/ razón)] Aplicar esto al ejercicio. Asi llegamos a P de una anualidad vencida = 1- (1+ i/m) - n P = R [ -------------------] i/m

10. Anualidades Ejercicio A4 Se ofrecen casas en una nueva urbanización, la constructora pide cuota inicial de 30% del valor del inmueble y acepta 15 mensualidades vencidas u ordinarias de $ 1.700.000, a partir de la entrega de la vivienda; cuál es el costo de cada casa si la financiación tiene costo de 15% nominal. Rpta 32.404.995 Ejercicio A5 En cuanto tiempo se amortiza una deuda de $ 10.000.000, si se pagan mensualidades vencidas u ordinarias de $ 200.000 y la tasa de interés es del 18%? Ejercicio A6 Que cantidad de dinero debe invertirse hoy, para retirar $ 750.000 cada mes, durante tres años si se devengan intereses del 8% capitalizable mensualmente. Ejercicio A7. Cuantos pagos mensuales de 150.000 se requieren para liquidar un préstamo de $ 1.800.000 con intereses de 22,5% nominal anual.

11. Amortizaciones Cuando se logra un crédito en efectivo, en bienes o servicios, puede cancelarse básicamente de dos formas; Un pago único al final del plazo o mediante abonos periódicos, cuya magnitud y frecuencia pueden ser variables o constantes; en este caso se dice que SE AMORTIZA. AMORTIZAR: Proceso de cancelar una deuda y sus intereses mediante pagos periódicos. El principio básico de la amortización, es que, los intereses se estiman con base en saldos insolutos en el momento de hacer el pago periódico correspondiente; si los intereses son simples se aplican los procedimientos que vimos en compras a plazos. ABONO o PAGO, es lo que el acreedor cancela efectivamente. AMORTIZACIÖN, es la porción del abono que se destina a reducir efectivamente el capital vivo de la deuda. La otra parte del abono se destina a pagar los intereses que se generan o una parte de ellos ABONO Amortización Intereses

13. Amortizaciones AMORTIZACIÓN GRADUAL . Herramienta muy útil en estos casos es la tabla de amortización, posibilita conocer saldos insolutos y magnitud de los intereses. Ejemplo; Obtener el pago mensual y el cuadro de amortización de una deuda de $ 4.800.000 que se cancelan en 6 meses, con interés del 30%, capitalizable mensualmente. Calcular R conociendo P  R = Pi / (1-(1+i) -n R = 871.439,86. 0,0 850.185,2 21.254,6 871.439,9 6 850.185,2 829.449,0 41.990,9 871.439,9 5 1.679.634,2 809.218,5 62.221,3 871.439,9 4 2.488.852,8 789.481,5 81.958,4 871.439,9 3 3.278.334,3 770.225,9 101.214,0 871.439,9 2 4.048.560,1 751.439,9 120.000,0 871.439,9 1 4.800.000 0 Saldo insoluto Amortización Intereses Pago Periodo

14. Amortizaciones Ejercicio AM1. La universidad otorga crédito a los estudiantes; un alumno debe pagar $ 700.000, le cobran interese de 18% nominal anual; cuantos abonos quincenales de $ 70.000 debe cancelar para amortizar la deuda. Buscamos n. 700.000 = 70.000 * (1-(1 + 0,0075) -n / 0,0075) 10 * (0,0075) = (1 – (1 + 0,0075) -n 0,075 = 1 – (1,0075) -n (1,0075) -n = 1 - 0,075  (1,0075) -n = 0,925 - n Ln(1,0075) = ln 0,925  - n (0,00074720148) = - 0,077961541 n = 10,434 quincenas; se ajusta el cálculo a 11 0 a 10 cuotas. Ejercicio AM2 . Una deuda de 25.600.000 se amortiza con seis pagos trimestrales, QUE CUBREN SOLO INTERESES y después se hacen abonos mensuales iguales hasta el final del plazo, 5 AÑOS, cuál es la magnitud de los pagos si los intereses son del 15,9% nominal anual? Ejercicio AM3 . Durante los primeros 10 bimestres, con interés compuesto bimensual y pagos mensuales, se amortiza el 60% de una hipoteca de $ 8.000.000, el saldo se cancela en 14 pagos bimestrales con interés del 24% nominal, hallar magnitud de los pagos?

15. Amortizaciones Para la primera parte, la tasa debe ser compuesta mensual, equivalente al 20% compuesto bimestral. Se despeja asi: (1+ (i/12)) 12 = ( 1+ (0,20/6)) 6  (i / 12) = 0,0165301 = 1,65% mensual. 60% de la hipoteca es 4.800.000  se estima R. El saldo, $ 3.200.000, se lleva a los diez bimestres como un monto (futuro), para ser tomado como P para los segundos pagos. M = 3.200.000 * (1 + (0,20/6)) 10 AMORTIZACIÓN CONSTANTE . Ejemplo: calcular la magnitud de los primeros tres pagos quincenales, para cancelar una deuda de $ 4.800.000, con el sistema de amortización constante e intereses de 23,5% nominal anual, con plazo de dos años. El pago constante que no incluye intereses es P / n  4.800.000 / 48 = 100.000; Los intereses al hacer el primer pago son: 4.800.000 * 0,00979167 = 47.000 Entonces el primer abono es de 147.000 pesos

16. Amortizaciones Primer pago es igual a: R1 = (P / n) + (P * (i/m))  La diferencia entre pagos es una cantidad igual al valor de los intereses de un pago (llamémoslo d).  R2 = R1 – d ; R3 = R2 – 2d O R3 = R4 – 3d Todo pago será igual al primero menos (n-1) * d Despues de hacer factorizaciones y reemplazos, nos queda: Rn = (P / n) * (1 + in) 4200000 100000 42104 142104 4300000 100000 43083 143083 4400000 100000 44063 144063 4500000 100000 45042 145042 4600000 100000 46021 146021 4700000 100000 47000 147000 4800000 Saldo Amortización intereses Abono

17. Amortizaciones Formulas: Primer pago R1 = (P / n) * [ 1+ ( i na * N)] N = años del plazo recordar que n = N * m  R1 = (P / N*m) * [1+ (ian * N)] Diferencia entre pagos: d = (P * (i na )) / (m 2 * N) Valor de un K pago: R K = (P / n) [ 1 + (i an * N) – ((K – 1) * (i an / m))] Desarrollo del ejemplo: P = 4.800.000; n = 48; ina = 0,235 N = 2 años Pagos quincenales. Primer pago = (4.800.000/48)*[1 + (0.235 * 2)] = 147.000 Diferencia entre pagos  d = (4.800.000 * (0,235)) / ((24)2 * 2)  1,128,000 / 1152 = 979 R30 = (4.800.000/48) * [1 + (0,235 * 2) – ((30 – 1) * ( 0,235 / 24)]  R30 = 118.604 Ejercicio AM4 . El Primer pago semanal en la amortización de una deuda de $ 800.000 es de $ 40.000, Obtenga el plazo y los primeros renglones de la tabla, si el interés es 25% nominal y la amortización es constante.