Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
Uma Caçada Transcendente: A Classificação
de Mahler
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Algumas Definições
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Apresentamos resultados básicos de aproximação diofantina, tendo como principal objetivo dissertar sobre a classificação obtida por Mahler em 1932, para o conjunto dos números transcendentes.

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Uma Caçada Transcendente: A Classificação de Mahler

  1. 1. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Uma Caçada Transcendente: A Classificação de Mahler Profa. Ana Paula Chaves Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás Seminário de Álgebra 2015.1 - IME/UFG 19 de março de 2015
  2. 2. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Algumas Definições Motivação Aproximação Racional O Teorema de Liouville Números de Liouville O Teorema de Dirichlet Um Novo Critério de Irracionalidade Aproximação Algébrica Um Novo Critério de Transcendência A Classificação de Mahler
  3. 3. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Algumas Definições Motivação Aproximação Racional O Teorema de Liouville Números de Liouville O Teorema de Dirichlet Um Novo Critério de Irracionalidade Aproximação Algébrica Um Novo Critério de Transcendência A Classificação de Mahler
  4. 4. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Algumas Definições Motivação Aproximação Racional O Teorema de Liouville Números de Liouville O Teorema de Dirichlet Um Novo Critério de Irracionalidade Aproximação Algébrica Um Novo Critério de Transcendência A Classificação de Mahler
  5. 5. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Algumas Definições Definição Um número complexo α é dito algébrico, se existe um polinômio não nulo P(z) ∈ Z[z] tal que P(α) = 0. Exemplo Todos os números racionais, m p/q com p/q ∈ Q, i = √ −1, ...
  6. 6. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Algumas Definições Definição Um número complexo α é dito algébrico, se existe um polinômio não nulo P(z) ∈ Z[z] tal que P(α) = 0. Exemplo Todos os números racionais, m p/q com p/q ∈ Q, i = √ −1, ...
  7. 7. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Algumas Definições Definição Um número complexo ξ que não é algébrico, é dito transcendente. Definição Dois números ξ e τ são ditos algebricamente dependentes se existe um polinômio, não nulo, de duas variáveis P(x, y) ∈ Z[x, y] tal que P(ξ, τ) = 0.
  8. 8. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Algumas Definições Definição Um número complexo ξ que não é algébrico, é dito transcendente. Definição Dois números ξ e τ são ditos algebricamente dependentes se existe um polinômio, não nulo, de duas variáveis P(x, y) ∈ Z[x, y] tal que P(ξ, τ) = 0.
  9. 9. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Algumas Definições Definição Seja P(z) ∈ Z[z] com P(z) = a0 + a1z + · · · + anzn. A altura de P é dada por H(P) := max{|a0|, . . . , |an|}. Definição A altura e o grau de um número algébrico α, denotados por H(α) e ∂(α), são respectivamente iguais à altura e o grau do seu polinômio minimal.
  10. 10. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Algumas Definições Definição Seja P(z) ∈ Z[z] com P(z) = a0 + a1z + · · · + anzn. A altura de P é dada por H(P) := max{|a0|, . . . , |an|}. Definição A altura e o grau de um número algébrico α, denotados por H(α) e ∂(α), são respectivamente iguais à altura e o grau do seu polinômio minimal.
  11. 11. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Motivação Dado um número complexo arbitrário ξ, renunciamos ao trabalho de determinar quando existe um polinômio não-nulo que tenha ξ como raíz. Ao invés disso, vamos considerar os polinômios P(z) ∈ Z[z] para os quais |P(ξ)| é o menor possível, dependendo da altura e do grau de P, mas sempre diferente de zero. Pode se dizer que estamos “brincando” de escolher polinômios com o objetivo de responder: Qual o menor valor que |P(ξ)| pode assumir fora do zero?
  12. 12. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Motivação Dado um número complexo arbitrário ξ, renunciamos ao trabalho de determinar quando existe um polinômio não-nulo que tenha ξ como raíz. Ao invés disso, vamos considerar os polinômios P(z) ∈ Z[z] para os quais |P(ξ)| é o menor possível, dependendo da altura e do grau de P, mas sempre diferente de zero. Pode se dizer que estamos “brincando” de escolher polinômios com o objetivo de responder: Qual o menor valor que |P(ξ)| pode assumir fora do zero?
  13. 13. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Motivação Dado um número complexo arbitrário ξ, renunciamos ao trabalho de determinar quando existe um polinômio não-nulo que tenha ξ como raíz. Ao invés disso, vamos considerar os polinômios P(z) ∈ Z[z] para os quais |P(ξ)| é o menor possível, dependendo da altura e do grau de P, mas sempre diferente de zero. Pode se dizer que estamos “brincando” de escolher polinômios com o objetivo de responder: Qual o menor valor que |P(ξ)| pode assumir fora do zero?
  14. 14. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Motivação Uma questão natural a ser levantada é: Como esta caça a polinômios que quase se anulam em ξ se conecta com sua transcendência? Veremos que esta aproximação nos leva a um refinamento da definição de transcendência, pois divide os transcendentes em classes disjuntas.
  15. 15. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Motivação Uma questão natural a ser levantada é: Como esta caça a polinômios que quase se anulam em ξ se conecta com sua transcendência? Veremos que esta aproximação nos leva a um refinamento da definição de transcendência, pois divide os transcendentes em classes disjuntas.
  16. 16. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Preliminares Motivação Esta classificação, criada em 1932 por Kurt Mahler, nos leva à uma nova compreensão dos números transcendentes e nos permite produzir resultados como: • Dar uma condição suficiente para que dois números transcendentes ξ e ζ aplicados a um polinômio F(x, y) ∈ Z[x, y] sejam tais que F(ξ, ζ) também seja transcendente. • Mostrar que a função f : C → C dada por f(z) = ez + ∞ n=1 10−n! leva valores algébricos em valores transcendentes.
  17. 17. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Racional O Teorema de Liouville Apesar de Euler ter levantado a questão sobre a existência de números transcendentes em 1748, Liouville, quase um século depois, foi o primeiro a mostrar exemplos de tais números utilizando o seguinte resultado: Teorema (Liouville - 1844) Seja α um algébrico com polinômio minimal P(z) ∈ Z[z] de grau n ≥ 2. Então, existe uma constante positiva c := c(α) tal que α − p q ≥ c qn para todo racional p/q, com q > 0.
  18. 18. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Racional O Teorema de Liouville Ele construiu um exemplo que não satisfazia o seu teorema, o número L = ∞ n=1 10−n! = 0.1100010000000000000000001..., e portanto é transcendente. Este número é conhecido por constante de Liouville, sendo o primeiro exemplo de número transcendente.
  19. 19. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Racional Números de Liouville Liouville foi além e criou um conjunto não enumerável de números reais que não satisfazia o seu teorema: Definição Um número ξ ∈ R é dito número de Liouville se existe uma sequência de infinitos racionais pn/qn, com qn > 1, tais que para todo n ∈ N temos 0 < ξ − pn qn < 1 qn n Exemplo Todo número escrito como n≥1 ank−n!, onde k ∈ N − {1} e an ∈ {1, . . . , k − 1} é um número de Liouville.
  20. 20. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Racional Números de Liouville Sabemos que todo número de Liouville é transcendente, mas a recíproca é verdadeira? A resposta é negativa! Números transcendentes como e e π não são números de Liouville.
  21. 21. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Racional Números de Liouville Sabemos que todo número de Liouville é transcendente, mas a recíproca é verdadeira? A resposta é negativa! Números transcendentes como e e π não são números de Liouville.
  22. 22. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Racional Números de Liouville Alguns resultados interessantes sobre números de Liouville são: Teorema (Mailet - 1906) Se ξ é um número de Liouville e f é uma função racional, não constante, com coeficientes racionais, então f(ξ) também é um número de Liouville. Teorema (Erdös - 1962) Todo número real pode ser escrito como a soma de dois números de Liouville.
  23. 23. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Racional Números de Liouville Alguns resultados interessantes sobre números de Liouville são: Teorema (Mailet - 1906) Se ξ é um número de Liouville e f é uma função racional, não constante, com coeficientes racionais, então f(ξ) também é um número de Liouville. Teorema (Erdös - 1962) Todo número real pode ser escrito como a soma de dois números de Liouville.
  24. 24. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Racional O Teorema de Dirichlet Agora, veremos que, ao contrário dos números racionais, os irracionais podem ser tão bem aproximados por racionais quanto desejarmos: Teorema (Dirichlet) Dado um número irracional τ, existe uma constante positiva C(τ) = C tal que para todo H inteiro positivo, existem inteiros p e q, com 0 < max{|p|, |q|} ≤ H, satisfazendo a desigualdade |τq − p| < C H Se C < H, então q = 0.
  25. 25. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Racional O Teorema de Dirichlet Como consequência dos Teoremas de Liouville e Dirichlet, obtemos uma nova definição de irracionalidade, equivalente a usual: Teorema Dado um número real τ e um inteiro positivo H, seja Ω(τ, H) = min{|P(τ)|; P(z) = a1z + a0 ∈ Z[z] com P(τ) = 0 e H(P) ≤ H} Defina ω(τ, H) como Ω(τ, H) = H−ω(τ,H) e ω(τ) = lim supH→+∞ ω(τ, H). Então τ é irracional se, e somente se, ω(τ) = 0.
  26. 26. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica Um Novo Critério de Transcendência E como consequência das generalizações dos Teoremas de Dirichlet e Liouville, conseguimos um critério para transcendência semelhante ao obtido para irracionalidade: Teorema Dados um número complexo ξ e inteiros positivos H e N, sejam PN,H = {P(z) ∈ Z[z]; gr(P) ≤ N e H(P) ≤ H} e Ω(ξ, N, H) = min{|P(ξ)|; P(z) ∈ PN,H e P(ξ) = 0}. Defina ω(ξ, N, H) como Ω(ξ, N, H) = H−ω(ξ,N,H)·N, ω(ξ, N) := lim supH→∞ ω(ξ, N, H) e ω(ξ) := lim supN→∞ ω(ξ, N). Então ξ é transcendente se, e somente se, ω(ξ) = 0.
  27. 27. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Quais os possíveis valores de ω(ξ)? i. ω(ξ) = 0 equivale a ξ ser algébrico; ii. 0 < ω(ξ) < +∞ iii. ω(ξ) = +∞
  28. 28. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Quais os possíveis valores de ω(ξ)? i. ω(ξ) = 0 equivale a ξ ser algébrico; ii. 0 < ω(ξ) < +∞ iii. ω(ξ) = +∞
  29. 29. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Quais os possíveis valores de ω(ξ)? i. ω(ξ) = 0 equivale a ξ ser algébrico; ii. 0 < ω(ξ) < +∞ iii. ω(ξ) = +∞
  30. 30. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Quais os possíveis valores de ω(ξ)? i. ω(ξ) = 0 equivale a ξ ser algébrico; ii. 0 < ω(ξ) < +∞ iii. ω(ξ) = +∞
  31. 31. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Relembrando da definição de ω(ξ): ω(ξ) = lim sup N→∞ ω(ξ, N) onde ω(ξ, N) também é um lim sup dado por ω(ξ, N) = lim sup H→∞ ω(ξ, N, H), observamos que: Se ω(ξ, N0) = ∞ para algum N0 ∈ N, então ω(ξ) = lim sup N→∞ ω(ξ, N) ≥ ω(ξ, N0) = ∞ ⇒ ω(ξ) = ∞
  32. 32. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Portanto, para se obter ω(ξ) = ∞, existem duas maneiras: i. ω(ξ, N0) = ∞ para algum N0; ii. ω(ξ, 1), ω(ξ, 2), . . . não possui ponto de acumulação.
  33. 33. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Dessa forma, a classificação que divide os números complexos em duas classes, • ω(ξ) = 0 (no caso ξ algébrico) • ω(ξ) = 0 (no caso ξ transcendente)
  34. 34. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Se tornou uma classificação mais detalhada que consiste em quatro classes, • ω(ξ) = 0 • 0 < ω(ξ) < ∞ • ω(ξ) = ∞ e existe um N0 tal que ω(ξ, N0) = ∞ • ω(ξ) = ∞ e para todo N, ω(ξ, N) = ∞
  35. 35. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Visando analisar bem estes últimos três casos, vamos definir υ(ξ) := menor inteiro positivo N tal que ω(ξ, N) = ∞. Logo, caso ω(ξ, N) < ∞ para todo N, então υ(ξ) = ∞. Agora, se ω(ξ) = ∞ então υ(ξ) pode ser finito ou infinito.
  36. 36. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Deste modo, temos quatro possibilidades para ω(ξ) e υ(ξ) que correspondem às quatro classes vistas anteriormente e dão origem à seguinte classificação devida a Mahler (1932), para um número complexo ξ: Se ω(ξ) = 0 e (logo) υ(ξ) = ∞, ξ é um A-número. Se 0 < ω(ξ) < ∞ e (logo) υ(ξ) = ∞, ξ é um S-número. Se ω(ξ) = ∞ e υ(ξ) < ∞, ξ é um U-número. Se ω(ξ) = ∞ e υ(ξ) = ∞, ξ é um T-número.
  37. 37. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler U-números são aqueles em que ω(ξ) = +∞ mas υ(ξ) < ∞. Isto nos leva à definir subclasses dentro dos U-números de acordo com os possíveis valores de υ(ξ): Definição Sejam ξ um número complexo e m um inteiro positivo. Então ξ é dito um U-número de tipo m se ω(ξ) = +∞ e υ(ξ) = m. Os U-números de tipo m também são conhecidos como Um-números. Proposição Os Números de Liouville são exatamente os U1-números.
  38. 38. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler U-números são aqueles em que ω(ξ) = +∞ mas υ(ξ) < ∞. Isto nos leva à definir subclasses dentro dos U-números de acordo com os possíveis valores de υ(ξ): Definição Sejam ξ um número complexo e m um inteiro positivo. Então ξ é dito um U-número de tipo m se ω(ξ) = +∞ e υ(ξ) = m. Os U-números de tipo m também são conhecidos como Um-números. Proposição Os Números de Liouville são exatamente os U1-números.
  39. 39. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Apesar de haver uma quantidade não enumerável de U-números, quase todo número não é U-número: Teorema O conjunto dos U-números tem medida nula em C
  40. 40. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler A existência de Um-números para todo m ≥ 1 foi mostrada por Leveque, com o resultado: Teorema (Leveque, 1953) Seja ai n{2, 4} para todo j. Então, a raíz m-ésima de (3 + j≥1 aj10−j)/4 é um Um-número. Chaves e Marques construíram Um-números de forma mais natural, como podemos ver: Teorema (Chaves-Marques, 2014) Sejam α um algébrico de grau m e L a constante de Liouville. Então αL e α + L são Um-números.
  41. 41. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler O resultado de Erdös pode ser reescrito como: ?todo número real pode ser escrito como a soma de dois U1-números?. Pollington mostrou que esta não é uma propriedade exclusiva desta classe de U-números: Teorema (Pollington, 1993)) Dado um inteiro positivo m, todo número real pode ser escrito como a soma de dois Um-números
  42. 42. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Mais alguns resultados sobre U-números: • Mahler em 1953 mostrou que log α não é um U-número, onde α = 1 é um algébrico não nulo. • Mahler, também em 1953, provou que π não é um U-número. • Adhikari, Saradha, Shorey e Tijedman em 2001, aplicaram a teoria de A. Baker sobre forma linear em logaritmos mostrar que os números n≥0 ((3n + 1)(3n + 2)(3n + 3))−1 e n≥1 2−n Fn/n, onde (Fn)n≥0 é a sequência de Fibonacci, são transcendentes mas não são U-números.
  43. 43. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Um fato conhecido é que o conjunto dos Números Algébricos é precisamente o conjunto dos A-números. Observamos que a união dos A- e U-números formam um conjunto de medida nula no plano complexo. Daí, quase todos os números são S- ou T-números. Daremos um passo à frente, estabelecendo o resultado: Teorema Quase todos os números são S-números
  44. 44. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler No mesmo trabalho em que Mahler exibiu a sua classificação, ele provou que: Teorema (Mahler, 1932) Todo número da forma eα, com α algébrico não nulo, é um S-número.
  45. 45. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Quando Mahler propôs a sua classificação, ele mostrou que o conjunto dos U-números e dos T-números tinham medida nula. Entretanto, Entretanto, Mahler não conseguiu provar a existência de T-números em seu trabalho. A primeira prova deste fato foi descoberta 36 anos depois de Mahler propôr a sua classificação, e é devida a Schmidt. Teorema (Schmidt, 1968) Existem T-números.
  46. 46. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Quando Mahler propôs a sua classificação, ele mostrou que o conjunto dos U-números e dos T-números tinham medida nula. Entretanto, Entretanto, Mahler não conseguiu provar a existência de T-números em seu trabalho. A primeira prova deste fato foi descoberta 36 anos depois de Mahler propôr a sua classificação, e é devida a Schmidt. Teorema (Schmidt, 1968) Existem T-números.
  47. 47. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler • Apesar de sabermos que T-números existem, exibir exemplos desta classe ainda é um problema em aberto. • Caveny, em 1993, mostrou que se α é um T- ou U-número e β é um U-número, então αβ é transcendente.
  48. 48. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Estabelecemos a relação entre classificação de Mahler e dependência algébrica com o seguinte Teorema: Teorema Se dois números são algebricamente dependentes, então eles pertencem à mesma classe. A contrapositiva deste teorema nos permite produzir um resultado interessante sobre transcendência: Corolário Sejam ξ e ζ números transcendentes que pertencem a classes diferentes e F(x, y) ∈ Z[x, y] um polinômio não nulo. Então, F(ξ, ζ) é transcendente.
  49. 49. Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica Aproximação Algébrica A Classificação de Mahler Alguns problemas a serem resolvidos são: • Dar exemplos de T-números. • Saber qual a classificação de π • Quais funções analíticas f são tais que se ξ é um número de Liouville, f(ξ) também é?
  50. 50. Bibliografia Bibliografia I A. P. Chaves, D. Marques An Explicit Family of Um-numbers Elemente der Mathematik (Printed ed.), v. 69, p. 18-22, 2014. Y. Bugeaud Approximation by Algebraic Numbers New York: Cambridge University Press, 2014. 274 p. (Cambridge Trats in Mathematics vol. 160) E. Burger, R. Tubbs. Making Transcendence transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory Springer-Verlag, 2004. 263 p.
  51. 51. Bibliografia “If numbers aren’t beautiful, I don’t know what is.” (P. Erdös) Obrigada!

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