1. I.Các bài toán về hệ số nhị thức.
1. Phương trình, bất phương trình tổ hợp, chỉnh hợp:
Ví dụ 1:Tìm n biết: ( )1
4 3 7 3n n
n nC C n+
+ +− = +
Ví dụ 2:(ĐHBKHN-2000) Giải bất phương trình:
2 2 3
2
1 6
10
2
x x xA A C
x
− ≤ + ĐS: { }3;4x∈
Ví dụ 3: (ĐH Hàng hải 99) Giải bất phương trình:
n 3C 1n 1
4 14PA 3n 1
−
− >
+
ĐS:
n∈{3, 4, 5}.
2.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton.
Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn: ( )
18
5
1
2 0x x
x
 
+ > ÷
 
.
Ví dụ 2:(ĐH HCQG, 2000)
a)Tìm hệ số x8
trong khai triển
12
1
1
x
 
+ ÷
 
b)Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức ( )2
1
n
x + bằng 1024. Hãy tìm hệ số a ( )*a∈¥
của số hạng ax12
trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000)
Ví dụ 3: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: ( )
25
2 3x−
Ví dụ 4:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:
( ) ( ) ( ) ( )
9 10 14
1 1 ... 1Q x x x x= + + + + + +
Ta được đa thức: ( ) 14
0 1 14...Q x a a x a x= + + +
Xác định hệ số 9a ĐS: 9a = 3003
Ví dụ 5.Tìm hệ số của x10
trong khai triển nhị thức ( )2
n
x+ , biết rằng
( )0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 ... 1 2048
nn n n n n
n n n n nC C C C C− − −
− + − + + − =
Ví dụ 6. Tìm hệ số của x5
trong khai triển biểu thức ( ) ( )
5 102
1 2 1 3P x x x x= − + +
Ví dụ 7. Tìm hệ số của số hạng chứa x26
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 7
4
1
n
x
x
 
+ ÷
 
, biết rằng
1 2 20
2 1 2 1 2 1... 2 1n
n n nC C C+ + ++ + + = −
Ví dụ 8. Tìm hệ số của x8
trong khai triển thành đa thức của biểu thức ( )
82
1 1P x x = + − 
Ví dụ 9. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn
7
3
4
1
, 0P x x
x
 
= + > ÷
 
Ví dụ 10. Tìm hệ số của số hạng chứa x8
trong khai triển nhị thức Niu-tơn 5
3
1
n
x
x
 
+ ÷
 
, biết rằng
( )1
4 3 7 3n n
n nC C n+
+ +− = +
Ví dụ 11. Tìm số nguyên dương n sao cho

2. 0 1 2 2 3 3
2 2 2 ... 2 243n n
n n n n nC C C C C+ + + + + =
Ví dụ 12. Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức ( )2
1
n
x + bằng 1024. Hãy tìm hệ số của
số hạng chứa x12
trong khai triển trên.
Ví dụ 13. Gọi a1, a2, …, a11 là hệ số trong khai triển sau:
( ) ( )
10 11 10 9
1 2 10 111 2 ...x x x a x a x a x a+ + = + + + + +
Tìm hệ số a5.
Ví dụ 14: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8
trong khai triển đa thức của: ( )
82
1 1x x + −
 
Ví dụ 15. Với n là số nguyên dương, gọi 3 3na − là hệ số của 3 3n
x −
trong khai triển thành đa thức của
( ) ( )2
1 2
n n
x x+ + . Tìm n để 3 3 26na n− = .
3. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Newton
Cơ sở lý thuyết: Ta có ( ) 0 1 1 1 1
0
...
n
n n n n n n n k n k k
n n n n n
k
a b C a C a b C ab C b C a b− − − −
=
+ = + + + + = ∑
Các số hạng của khai triển Newton sẽ tạo thành một dãy số dạng hình tháp:
Gọi ka là số hạng lớn nhất thì [ ]1
1
1 ;k
k k
k
a
a a k
a
+
+
> ⇔ > ⇒ ∈ , sau khi tìm được k ta so sánh ka và
1ka + để chọn kết quả.
Ví dụ 1: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức:
10
9 10
0 1 9 10
1 2
... .
3 3
x a a x a x a x
 
+ = + + + + ÷
 
Hãy tìm số hạng ka lớn nhất.
Ví dụ 2:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: ( ) 12 12
0 1 12(1 2 ) ...P x x a a x a x= + = + + +
Tìm max( )0 1 2 12, , ,...,a a a a
VÝ dô 3: Khai triÓn ®a thøc . Px = ( 1 + 2x)12
Thµnh d¹ng P(x) = a0 + a1x + a2x2
+ … + a12x12
Tìm Max (a1 a2 … a12)
Ví dụ 4. Xét khai triển ( )
9 2 9
0 1 2 93 2 ...x a a x a x a x+ = + + + +
Tìm { }0 1 2 9max , , ,...,a a a a
Ví dụ 5. Cho khai triển: ( ) 0 11 2 ...
n n
nx a a x a x+ = + + + , trong đó n ∗
∈¥ và các hệ số 0 1, ,..., na a a thỏa
mãn hệ thức 1
0 ... 4096
2 2
n
n
aa
a + + + = . Tìm số lớn nhất trong các số 0 1, ,..., na a a .
II. Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp.
1. Thuần nhị thức Newton
Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng
k n k k
nC a b−
thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton:
( )
0
n
n k n k k
n
k
a b C a b−
=
+ = ∑ . Việc còn lại chỉ là khéo léo chọn a,b.
Ví dụ 1: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng:

3. ( )0 2 2 4 4 2 2 2 1 2
2 2 2 23 3 ... 3 2 2 1n n n n
n n n nC C C C −
+ + + + = +
Ví dụ 2: Tính các tổng sau
a) S1 = C0
6 + C1
6 + C2
6 + … + C6
6 b) S2 = C0
5 + 2C1
5 + 22
C2
5 + … +25
C5
5
c)
6 7 8 9 10 11
3 11 11 11 11 11 11S C C C C C C= + + + + +
2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2.
a.Đạo hàm cấp 1.
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng
đó có dạng
k
nkC hoặc
1k n k k
nkC a b− −
thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính. Cụ thể:
( ) 0 1 1
2 ...
n n n n n
n n na x C a C a x nC ax−
+ = + + +
Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được:
( ) ( )
1 1 1 2 2 1
2 ... 1
n n n n n
n n nn a x C a C a nC ax
− − − −
+ = + + +
Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.
b.Đạo hàm cấp 2.
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 12
,22
,
…,n2
(không kể dấu) tức có dạng ( 1) k n k
nk k C a −
− hay tổng quát hơn ( )1 k n k k
nk k C a b−
− thì ta có thể
dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét đa thức
( ) 0 1 1
...
n n n n n
n n na bx C C a bx C b x−
+ = + + +
Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được:
( )
1 1 1 2 2 2 1
2 ...
n n n n n n
n n nbn a bx C a b C a b x nC b x
− − − −
+ = + +
Đạo hàm lần nữa:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1
1 2.1 ... 1 2n n n n n
n nb n n a bx C a b n n C b x− − −
− + = + + −
Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi.
Ví dụ 1:(ĐH BKHN-1999) Tính tổng ( )
11 2 3 4
2 3 4 ... 1
n n
n n n n nC C C C nC
−
− + − + + −
Ví dụ2: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho ( ) ( ) ( )1 , 2
n
f x x n= + ≤ ≤ ¢
a.Tính ( )1f ′′
b.Chứng minh rằng:
( ) ( )2 3 2
2.1 3.2 ... 1 1 2n n
n n nC C n nC n n −
+ + + − = −
Ví dụ3: Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )1 2 2
2.1 3.2 ... 1 ... 1 1 2p n n
n n n nC C n pC n nC n n −
+ + + + + + + = +
Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng:
1 1 19 19
20 20 20... 2C C C+ + + =
Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng :
2004
0 2 1 2004 2004
2004 2004 2004
3 1
2 ... 2
2
C C C
+
+ + + =
Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh:
( ) ( )1 1 2 2 2 2 1
2 1.2 . 2.2 . 3.2 . ... .3 1
n n n n n n
n n n nx C C C nC n n− − − −
+ = + + + + = ∀ ≤ ∈¢

4. Bài 4: Rút gọn tổng:
2 1 2008 2 2 2007 2 2009
2009 2009 20091 2 2 2 ... 2009C C C+ + +
VD7. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
1. ( )1 2 3 1 1
2 3 ... 1 .2n n n
n n n n nC C C n C nC n− −
+ + + + − + =
2. ( ) ( )2 3 2
2.1. 3.2. ... 1 . 1 .2n n
n n nC C n nC n n −
+ + + − = −
3. ( ) ( )2 3 4 1
2 3 ... 1 2 2 1n n
n n n nC C C n C n −
+ + + + − = − +
4. C1
n + 2 C2
n + … + (n – 1) Cn-1
n + n Cn
n = n. 2n-1
5. 2.1 C2
n + 3.2 C3
n + … + n (n – 1) Cn
n = n (n – 1) 2n-2
3.Sử dụng tích phân
Dấu hiệu: Khi biểu thức có dạng
1
1
k
nC
k +
, hoặc
1
( 1)( 2)
k
nC
k k+ +
thì ta sẽ lấy tích phân hai vế, sau đó
khéo léo chọn a, b sao cho phù hợp.
Ví dụ 1. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
2 3
0 1 22 1 2 1 2 1
...
2 3 2
n
n
n n n nC C C C
− − −
+ + + +
Ví dụ 2.Cho n là số nguyên dương, chứng minh
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
...
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n nC C C C
n n
− −
+ + + + =
+
Ví dụ 3:. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
1)
1
1 31 1 1 2 1
1 ...
2 3 1 1
n
n
n n nC C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
2)
( )
( )0 2 1 3 2 111 1 1
2 2 2 ... 2 1 1
2 3 1 1
n
nn n
n n n nC C C C
n n
+−
 − + + + = + −
 + +
Ví dụ 4:
1. Tính tích phân ( )
1
2
0
1
n
I x x dx= −∫
2. Chứng minh rằng
( )0 1 2 3 11 1 1 1 1
...
2 4 6 8 2 2 2 2
n
n
n n n n nC C C C C
n n
−
− + − + + =
+ +
Ví dụ 5:
1. Tính tích phân ( )
1
2 3
0
1
n
I x x dx= +∫
2. Chứng minh rằng
1
0 1 21 1 1 1 2 1
...
3 6 9 3 3 3 3
n
n
n n n nC C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
3. Tính tổng sau: 0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1
n 1
1
S .C .C C C ... C
1 2 3 4 +
= + + + + +
4.Sử Dụng Số Phức
Dạng 1:Khai triển (1 + x)n
, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các
số phức
Ví dụ 1:

5. Tính tổng A = 2008
2009
C2006
2009
C2004
2009
C...6
2009
C4
2009
C2
2009
C0
2009
C +−++−+−
B= 2009
2009
C2007
2009
C2005
2009
C...7
2009
C5
2009
C3
2009
C1
2009
C −+−−+−+−
Ví dụ 2:
Tính tổng: C = 




 −+−−+− 50
50
C25348
50
C24346
50
C233...4
50
C232
50
3C0
50
C
502
1
Ví dụ 3:
Tính tổng: D = 20
20
C18
20
3C16
20
C23...6
20
C734
20
C832
20
C930
20
C103 +−++−+−
Dạng 2: Khai triển (1 + x)n
, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích
hợp
Ví dụ 1:
Tính tổng: D = 29
30
29C27
30
27C25
30
25C...7
30
7C5
30
5C3
30
3C1
30
C +−++−+−
E = 30
30
30C28
30
28C26
30
26C...8
30
8C6
30
6C4
30
4C2
30
2C +−++−+−
Ví dụ 2:
Tính tổng S = 20
20
C1020.318
20
C918.3...6
20
C36.34
20
C24.32
20
2.3C −+−+−
Ví dụ 3:
Tính các tổng sau: M = 14
15
15C12
15
13C...6
15
7C4
15
5C2
15
3C0
15
C −++−+−
N = 15
15
16C13
15
14C...7
15
8C5
15
6C3
15
4C1
15
2C −++−+−
MỘT SỐ BÀI TẬP:
1- Tính các tổng sau:
( ) ( ) ( ) ( ) 29
30
C
29
32927
30
C
27
327...5
30
C
5
353
30
C
3
331
30
C3
1
A +−−+−=
30
30
C1530.328
30
C1428.3...6
30
C36.34
30
C24.32
30
2.3C
2
A +−−+−=
ĐS: A1 = 29.2315 ; A2 = - 45.229
2- Tính các tổng sau:
24
25
23.24C22
25
21.22C...8
25
7.8C6
25
5.6C4
25
3.4C2
25
2C0
25
C
1
B −++−+−+=
25
25
24.25C23
25
22.23C...9
25
8.9C7
25
6.7C5
25
4.5C3
25
2.3C1
25
C
2
B −++−+−+=
ĐS: B1 = 75.214
– 1; B2 = –25(1 + 3.214
)
3- Tính các tổng sau:
20
20
21C18
20
19C16
20
17C...6
20
7C4
20
5C2
20
3C0
20
C
1
C +−++−+−=
19
20
20C17
20
18C15
20
16C...7
20
8C5
20
6C3
20
4C1
20
C2
2
C −+−+−+−=

6. ĐS: C1 = - 11.210
; C2 = - 10.210
4- Tính các tổng sau:
99
100
C29997
100
C29795
100
C295...7
100
C275
100
C253
100
C231
100
C21
1
D +−++−+−=
100
100
C210098
100
C29896
100
C296...8
100
C286
100
C264
100
C242
100
C22
2
D +−++−+−= ĐS: D1 = -
50.100.250
; D2 = -50.250
.

7. ĐS: C1 = - 11.210
; C2 = - 10.210
4- Tính các tổng sau:
99
100
C29997
100
C29795
100
C295...7
100
C275
100
C253
100
C231
100
C21
1
D +−++−+−=
100
100
C210098
100
C29896
100
C296...8
100
C286
100
C264
100
C242
100
C22
2
D +−++−+−= ĐS: D1 = -
50.100.250
; D2 = -50.250
.