1. Geometría Plana 1
UNIDAD 1
SEGMENTOS
PROPORCIONALIDAD
RAZÓN.- La mayor parte de las ideas que se expresan en la actualidad, están basadas en la
comunicación de números y cantidades. Cuando se dice distancia de Quito a Guayaquil es
de 550 Km., se está comparando con una unidad llamada Kilometro.
DEFINICIÓN.- La razón es una comparación de una cantidad respecto a otra cantidad
semejante, el resultado es un número abstracto, es decir no tiene unidades.
Es importante hacer notar que una razón es un cociente entre cantidades semejantes,
porque no tendrían significado encontrar la razón de la medida de un segmento a la de un
ángulo.
Una razón es una fracción, por lo tanto, todas las propiedades que tiene una fracción
se aplican a las razones.
REPRESENTACION.-
Para representar la razón 15 a 4, se lo hace , 15/4, 15÷4
El 15 y el 4 se denominan TERMINOS de la razón.
PROPORCIÓN.-
Es la igualdad de dos razones. Si dos razones tienen el mismo valor, las razones pueden
4 12
igualarse como una proporción, ejemplo : =
12 36
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2. Geometría Plana 2
Si tres o más razones son iguales, se tiene una serie de razones iguales.
REPESENTACIÓN.-
a
Si las razones y son iguales, la proporción puede representarse como:
b d
a
= ; a÷b=c÷d
b d
SEGMENTO (AB).- es una parte de la recta real
SEGMENTO UNITARIO
Es un segmento arbitrario que se toma como unidad para medir otros segmentos.
LONGITUD DE UN SEGMENTO (AB)
La longitud de un segmento representa las veces que está contenido el segmento unitario
en el segmento.
OPERACIONES CON SEGMENTOS.
SUMA DE SEGMENTOS
Consiste en encontrar un segmento de longitud igual a la suma de las longitudes de los
segmentos dados.
Gráficamente, el segmento que representa la suma se obtiene ubicando
consecutivamente en una misma recta los segmentos dados.
a
P a b c Q
b
c
PQ = a + b + c
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3. Geometría Plana 3
RESTA DE SEGMENTOS
Restar de un segmento otro menor, consiste en encontrar un tercer segmento tal que:
sumado al segundo de por resultado el primero.
Gráficamente, se ubican los dos segmentos en un mismo rayo, de modo que el
origen del rayo sea extremo común de los dos segmentos. El segmento determinado por los
otros dos extremos dados, es el segmento diferencia.
A B A B
C D
C D
DB = AB - CD
MULTIPLICACIÓN DE UN SEGMENTO POR UN NÚMERO
Consiste en encontrar un segmento de longitud al producto de la longitud del segmento
dado por el número.
Gráficamente, el segmento que representa el producto, se obtiene sumando el
segmento dado tantas veces como indique el número.
a P a a a a a Q
PQ = 5a
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4. Geometría Plana 4
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO POR UN NÚMERO
Es el segmento tal que multiplicado por el número nos da el segmento dado.
Gráficamente, el segmento dado se debe dividir en tantas partes iguales como indica
el número. Cualquiera de las partes iguales es el segmento buscado.
A a B
A a/5 a/5 a/5 a/5 a/5 B
EJERCICIOS
A M B P H) AM = MB
1.-
T) PM = PA+PB
2 2
A P M B H) AM = MB
2.-
T) PM = PB - PA
2 2
A B C
3.-
H) AB = BC T) =? Resp.:
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5. Geometría Plana 5
4.- A B C
H) BC = AC T) =? Resp.:
5.- Dados los puntos colineales A, B y C. Si las longitudes AB y BC son proporcionales a
lo números 9 y 5 respectivamente y AC = 50 u., calcular AB. Resp. 324.
6.- Dados los puntos colineales A,B,C y D . Si AC = CD y BD – AB = 40. Calcular BC.
Resp. 20
7.- A B C D H) CD = 2 AB
T) AB = BD - AC
A B C M D H) AB = BC
CD = 2 AC
8.- AM = MD
T) AM = AB + AC
A B C D E F
9.-
H) CD = 2 AB T) BF = CE
DE = 2 EF
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6. Geometría Plana 6
10.- Dados los puntos colineales A,R,P,C y D tales que: AP = PD, AR = PC Y RC = 20.
Calcular AD. Resp. 40 u.
11.- A B C D
H) AC + BD = 14 T) BC = ? Resp. 3 u
AD = 11
12.- Si en gráfico: CD = 2AB, BD = 14 y BC = 2 . Encontrar el valor de AC.
A B C D Resp. 3 u
13.- Dados los puntos colineales A, B, C y D. Si AD = 24, CD = 8 y = .
Calcular BC. Resp 4 u
14.- Dados los puntos colineales consecutivos Q, A, B, y P tales que: QB y AP están n la
Razón 4/5, QA = 20 m, y BP = 40 m. Encontrar AB. Resp 60m.
15.-
A B C D E
H) AB = = = T) BC = ? Resp. 8 u
DE − CD = 4
16.- Dados los puntos colineales A, B, C, D, E, y F. Si AB = BD, BC = CE, DE = EF y
BD - EF = 6. Calcular CD. Resp. 8/3.
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7. Geometría Plana 7
17.- Dados los puntos colineales A, B, C, D y E. Si BC = 3AB , = y = .
Encontrar Resp. 8/3.
18.- Dados los puntos colineales A, B, C, D y E. Si = , DE – AB = 6, AE = 40 y
BD=10. Calcular CD. Resp. 7 u.
Q A P B
19.-
H) = T) AP = ?
PB = 3.420 u. Resp. 2.220 u
BQ = 16.074 u
20.-
Q A P B
H) = T) AQ = ?
AB = 792 u. Resp. 142,31 u
PQ = 247 u
21.-
A P B Q
H) = T) AB = ?
PB x BQ = 28 u. Resp. 8 u
BQ - PB = 7 u
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8. Geometría Plana 8
22.-
A P B Q
H) = T) AB = ?
AQ - BP = 25 u. Resp. 20 u
AQ - AB = 10 u
23.-
A P B Q
H) = T) AB = ?
QP = 10 u. Resp. 7,5 u
AQ = 15 u
24.-
A P B Q
H) AP x BQ = PB x AQ T) PB = ?
AP=PQ = 20 u Resp. 6,6 u
25.-
A P B Q
H) AP x BQ = PB x AQ T) PB = ?
AP=BQ = 8 u Resp. 3,3 u
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9. Geometría Plana 9
26.-
Q A P B
H) AP x BQ = PB x AQ T) PB = ?
AQ=AB = 15 u Resp. 10 u
27.- En una recta se toman los puntos A, B, C y D de manera que: = y
+ = 0,125 u . Hallar BC. Resp. 8 u.
28.-En una recta se toman los puntos A, B, C, D, E, …………, sabiendo que AB = 0,1 u.,
BC = 0,02 u., CD = 0,003 u., ……………., Calcular la longitud del segmento que es la
suma de los segmentos dados. Resp: 10/81 u
29.-
Q A P B
H) AP x BQ = PB x AQ T) AB = ?
+ = Resp. 5 u
30.-
A B C D
H) = + T) AB2 = BC x BD
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10. Geometría Plana 10
31.-
A B C D
H) BC = AC T) BD =
32.-
A B C D E
H) = T) AD = EB
33.-
P Q R S
H) = T) PR = QS
34.-
A B C D E F
H) AB = BC T) BE =
DE = EF
35.-
A P B C D
H) AB = BC = CD T) PB =
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11. Geometría Plana 11
36.-
A B C D
H) BC = CD T) AC = AB x AD +
37.- En una recta se ubican los puntos colinales A, B, C, D, E y F. Si AB = BC; CE = EF; y
AD = DF, demostrar que: CD = EF – BC.
38.-
A B C D E
H) = T) AC2 – CE2 = BC x DE – AB x CD
39.-
A B C D E F
H) AB = BD T) BE =
CE = EF
40.-
A B M C
H) BM = MC T) AB + AC = 2(AM + BM )
Tutor: Dr. Antonio Meneses F.