1. ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia
Cursos de Engenharia
Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Álvaro Fernandes Serafim
  a 
ax
ln  lim  1 +   = 25 .
 x → +∞ 
 x  
Qual o valor de a ?
Apostila de limites e derivadas
“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas
há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu
problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e
fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho,
então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta”
George Polya
Última atualização: 26/10/2007

2. Índice
Limite e continuidade............................................................................................................. 3
Noção intuitiva de limite........................................................................................................... 3
Tabelas de aproximações........................................................................................................... 4
Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/0.............................................................................. 6
Fórmulas de simplificações e propriedades dos limites............................................................ 8
Continuidade............................................................................................................................. 10
Limites infinitos........................................................................................................................ 12
Limites no infinito..................................................................................................................... 13
Expressões indeterminadas....................................................................................................... 15
Limite fundamental exponencial............................................................................................... 17
Limite fundamental trigonométrico.......................................................................................... 19
Funções limitadas..................................................................................................................... 21
Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola..................................................... 23
Aplicação 2: Problema do circuito RL em série...................................................................... 24
Derivada................................................................................................................................... 25
A reta tangente.......................................................................................................................... 25
A reta normal............................................................................................................................ 28
A derivada de uma função num ponto...................................................................................... 28
Derivadas laterais..................................................................................................................... 29
Regras de derivação.................................................................................................................. 31
Derivada da função composta (Regra da cadeia)...................................................................... 33
Derivada da função inversa....................................................................................................... 35
Derivada das funções elementares............................................................................................ 36
Derivada da função exponencial............................................................................................... 36
Derivada da função logarítmica................................................................................................. 37
Derivada das funções trigonométricas...................................................................................... 37
Derivada das funções trigonométricas inversas........................................................................ 40
Tabela de derivadas.................................................................................................................. 42
Derivadas sucessivas................................................................................................................ 43
Derivada na forma implícita..................................................................................................... 45
Derivada de uma função na forma paramétrica........................................................................ 50
Diferencial................................................................................................................................ 54
Aplicações da derivada........................................................................................................... 56
A regra de L’Hospital............................................................................................................... 56
Interpretação cinemática da derivada....................................................................................... 58
Taxa de variação....................................................................................................................... 61
Análise gráfica das funções...................................................................................................... 64
Máximos e mínimos........................................................................................................... 64
Funções crescentes e decrescentes..................................................................................... 67
Critérios para determinar os extremos de uma função........................................................ 68
Concavidade e inflexão....................................................................................................... 70
Assíntotas horizontais e verticais........................................................................................ 72
Esboço gráfico..................................................................................................................... 75
Problemas de otimização......................................................................................................... 80
Álvaro Fernandes 2

3. Limite e continuidade
Noção intuitiva de limite
Considere a função f ( x ) = x 2 − 1. Esta função está definida para todo x ∈ℜ , isto é,
qualquer que seja o número real xo , o valor f ( xo ) está bem definido.
Exemplo 1. Se xo = 2 então f ( xo ) = f (2 ) = 2 2 − 1 = 3 . Dizemos que a imagem de xo = 2 é o valor
f (2 ) = 3 .
Graficamente:
x2 − 1
Considere agora uma outra função g( x ) = . Esta função está definida
x −1
∀x ∈ℜ − {1} . Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1.
12 − 1 0
g (1) = = ???
1−1 0
Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a.
a 6
= c ⇔ bc = a . Por exemplo, = 2 ⇔ 3 ⋅ 2 = 6 .
b 3
0
Se fizermos = x ⇔ 0 ⋅ x = 0 , para qualquer valor de x ∈ ℜ , isto é, infinitos valores de x . Daí a
0
indeterminação no valor de x...
0
simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas
0
serão tratados mais adiante.
Álvaro Fernandes 3

4. Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta
função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte
pergunta:
Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos (ou numa vizinhança)
de 1, porém diferentes de 1?
A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa
vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer
valor atribuído a x determina imagem única, sem problema algum. Mas na função g, existe o ponto
x = 1 que gera a indeterminação.
x2 − 1
Estudemos os valores da função g( x ) = quando x assume valores próximos de 1,
x −1
mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar as tabelas de aproximações.
Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1:
• por valores de x pela direita:
• por valores de x pela esquerda:
Tabelas de aproximações
As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma
função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores (pela esquerda) do que 1: (tabela A)
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999
g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores (pela direita) do que 1: (tabela B)
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001
g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001
Observe que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para
isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, convencionaremos:
“O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”.
x2 − 1
Simbolicamente escrevemos: lim g( x ) = 2 ou lim = 2.
x →1 x →1 x −1
Álvaro Fernandes 4

5. Observação:
Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais.
∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela
esquerda, e denotamos simbolicamente por x → 1− . Temos então que:
x2 − 1 Obs: O sinal negativo no expoente do
lim g( x ) = 2 ou lim =2 no 1 simboliza apenas que x se
−
x →1 −
x →1 x −1 aproxima do número 1 pela esquerda.
∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela
direita, e denotamos simbolicamente por x → 1+ . Temos então que:
x2 − 1 Obs: O sinal positivo no expoente
lim g( x ) = 2 ou lim =2 do no 1 simboliza apenas que x se
+
x →1 +
x →1 x −1 aproxima do número 1 pela direita.
Definição intuitiva de limite (para um caso geral)
Seja f uma função definida num intervalo I ⊂ ℜ contendo a, exceto possivelmente no
próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L ∈ℜ , e escrevemos
lim f ( x ) = L , se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais
x→a
à L, isto é, lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L . Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em
x→a x →a
símbolo lim f ( x ) .
x→a
x2 − 1
Ainda com relação à função g( x ) = , podemos então concluir, pela definição, que:
x −1
x2 − 1 x2 − 1 x2 − 1
lim = 2 , porque os limites lateriais lim+ e lim− são iguais a 2.
x →1 x −1 x →1 x − 1 x →1 x −1
De forma equivalente,
lim g( x ) = 2 porque lim g( x ) = lim g( x ) = 2 .
x →1 x → 1− +
x →1
Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função,
caso ele exista?
Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir.
Álvaro Fernandes 5

6. 0
Cálculo de uma indeterminação do tipo
0
0
Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo , deveremos simplificar* a
0
expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na
expressão já simplificada, o valor de x.
* Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, conjugado de radical, dispositivo prático
de Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc...
Vejamos os exemplos seguintes.
x2 − 1
Exemplo 2. Determine lim g( x ) , onde g( x ) = .
x →1 x −1
0
Observe que substituindo x por 1 na função g obtemos g (1) = que é uma indeterminação
0
matemática! Quando a variável x está cada vez mais próxima de 1, a função g está cada vez mais
próxima de quanto? Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a
substituição direta.
x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1)
g (x ) = = = ( x + 1), ∀x ≠ 1 Então:
x −1 (x − 1)
lim g ( x ) = lim
x2 − 1
= lim
(x − 1)(x + 1) = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 . Logo, lim
x2 − 1
= 2.
x →1 x →1 x − 1 x →1 x −1 x →1 x →1 x −1
Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma
mais rápida e sistemática.
Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!!
x2 − 1 x2 − 1
Vale lembrar que a expressão lim = 2 significa que a função g( x ) = está
x →1 x −1 x −1
tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1.
Graficamente podemos verificar isso:
x2 − 1
Gráfico da função g( x ) = , ∀x ≠ 1.
x −1
Álvaro Fernandes 6

7. x −1 0
Exemplo 3. Determine lim (observe a indeterminação matemática no ponto x = 1 ).
x →1 x −12
0
x −1 x −1 x +1
= lim 2 ⋅ = lim
(x − 1) = lim
1
=
1
(x − 1)(x + 1)( ) (x + 1)( )
lim .
x →1 x − 1 x →1 x − 1
2
x + 1 x →1 x +1 x →1 x +1 4
x −1
Se você construir as tabelas de aproximações, constatará que a função y = está cada vez
x −1 2
mais próximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.
x3 − 8 0
Exemplo 4. Determine lim (observe a indeterminação matemática no ponto x = 2 ).
x →2 3 x 2 − 12 0
lim
x3 − 8
= lim
(
x3 − 23
= lim
) (x − 2 )(x 2 + 2 x + 4 ) = lim (x 2
+ 2 x + 4 12
=
) =1
x →2 (
3 x 2 − 12 x→2 3 x 2 − 4 x→2 ) 3( x − 2 )( x + 2 ) x →2 3( x + 2 ) 12
x3 − 8
Constate através das tabelas de aproximações que se x → 2 então y = → 1.
3 x 2 − 12
2x3 + 3x − 5 0
Exemplo 5. Determine lim 2 (observe a indeterminação matemática no ponto x = 1 ).
x →1 4 x − 3 x − 1 0
Vamos resolver este limite usando o dispositivo prático para dividir polinômios de Briot-Ruffini.
Precisaremos antes do...
Teorema de D’Alembert: Um polinômio f ( x ) é divisível por ( x − a ) , a ∈ ℜ , se, e somente se, a
é uma raiz de f ( x ) , isto é, f (a ) = 0 .
f (x ) (x − a )
⇒ f ( x ) = ( x − a ) ⋅ q( x ) + r ( x ) . Assim, f (a ) = 0 ⇔ r (a ) = 0 .
r (x ) q(x )
Como o ponto x = 1 anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis
por x − 1 . Assim,
2 x3 + 3x − 5
(x − 1) 2 x 2 + 2 x + 5 2(1) + 2(1) + 5 9
2
2x3 + 3x − 5
lim 2 = lim = (* ) = lim = = .
x →1 4 x − 3 x + 1 x →1 4 x − 3x − 1
2 x →1 4x + 1 4 (1) + 1 5
(x − 1)
(* ) Usamos então o dispositivo de Briot- Ruffini para dividir estes polinômios...
1 2 0 3 -5 1 4 -3 -1
2 2 5 0 = resto 4 1 0 = resto
ax 2 + bx + c = 2 x 2 + 2 x + 5 ax + b = 4 x + 1
Obs.: Faça uma revisão deste dispositivo num livro de matemática do ensino médio.
Álvaro Fernandes 7

8. Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites.
Produtos notáveis:
1º) Quadrado da soma: (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 .
2
2º) Quadrado da diferença: (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 .
2
3º) Produto da soma pela diferença: (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 .
4º) Cubo da soma: (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
3
5º) Cubo da diferença: (a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 .
3
Fatorações:
6º) Fator comum: ax ± ay = a ( x ± y ) .
7º) Diferença de quadrados: a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) .
8º) Trinômio do 2º grau: ax 2 + bx + c = a(x − x' )( x − x' ' ) , onde x' e x' ' são as raízes obtidas pela
 −b± ∆ 
fórmula de Bháskara  x =
 , onde ∆ = b 2 − 4 ac  .

 2a 
9º) Soma de cubos: a + b = (a + b ) a − ab + b .
3 3 2 2
( )
(
10º) Diferença de cubos: a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 . )
Conjugado de radicais:
11º) Conjugado de a− b é a + b , pois ( a− b ⋅ ) ( a + b )= a − b .
12º) Conjugado de 3
a −3 b é 3
a 2 + 3 ab + 3 b 2 , pois ( a − b )⋅ ( a + ab +
3 3 3 2 3 3
)
b2 = a − b .
Proposição (unicidade do limite).
Se lim f ( x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 , então L1 = L2 . Se o limite de uma função num ponto existe,
x→a x→a
então ele é único.
Principais propriedades dos limites.
Se lim f (x ) e lim g ( x ) existem, e k é um número real qualquer, então:
x→a x→a
a) lim [ f ( x ) ± g ( x )] = lim f (x ) ± lim g ( x ) .
x→a x→a x→a
b) lim k . f ( x ) = k .lim f ( x ) .
x→a x→a
c) lim [ f (x ) ⋅ g (x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g (x ) .
x→a x→a x→a
f ( x ) lim f ( x )
d) lim = x→a , lim g ( x ) ≠ 0 .
x→a g (x ) lim g ( x ) x →a
x→a
e) lim k = k .
x→a
Álvaro Fernandes 8

9. x2 −7
Exemplo 6. Calcule lim usando as propriedades.
x →1 2x + 4
x 2 − 7 1 lim x − 7 1 lim x +xlim − 7 1 (1) + (− 7 ) − 6
2 2 2
x2 −7 x2 −7 1
lim = lim = ⋅ lim = ⋅ x →1
= ⋅ x →1 →1
= ⋅ = = −1
x →1 2 x + 4 x →1 2( x + 2 ) 2 x→1 x + 2 2 lim x + 2 2 lim x + lim 2 2 1+ 2 6
x →1 x →1 x →1
Ufa, quanto trabalho!!! Bastaria substituir o ponto x = 1 diretamente na expressão, obtendo logo
−6
= −1 .
6
Atividades (grupo 1).
Calcule os limites abaixo:
x3 − 1
4 − x2 x2 − 4x + 3 c) lim
a) lim b) lim 2 x →1 5 x − 5
x →−2 2 + x x →3 x − x − 6
x −1
8 + x3 x 4 − 16 f) lim
d) lim e) lim x →1 x −1
x →−2 4 − x 2 x→2 8 − x3
1 − x2 2− x−3 3− 5+ x
g) lim h) lim i) lim
x →−1 x + 2 + x x →7 x 2 − 49 x →4 1− 5 − x
Atividades (grupo 2).
Calcule os limites indicados:
 x 2 − 1, x ≤ 0
a) f ( x ) =  , calcule: lim f ( x ) , lim f ( x ) e lim f ( x ) .
 x + 1, x > 0 x →−1 x →2 x →0
x2 , x ≠ 2
b) g( x ) =  , calcule: lim g( x ) .
3 , x = 2 x →2
4 − x 2 , x < 1
c) h( x ) =  , calcule: lim h( x ) .
5 − 2 x , x > 1 x →1
2 x , x < 0

d) l ( x ) = 1 − x 2 , 0 ≤ x < 2 , calcule: lim l ( x ), lim l ( x ), lim l ( x ) e lim l ( x ) .
 x →0 x→2 x → −∞ x → +∞
2 x − 6 , x ≥ 2
Álvaro Fernandes 9

10. Continuidade
Definição: Seja x0 um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no ponto
x0 se:
lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Exemplo 7. A função do exemplo 1 (pág. 3) é contínua no ponto x0 = 2 , pois lim f ( x ) = f (2 ) = 3 .
x →2
Na verdade esta função é contínua em ℜ , isto é, em todos os pontos da reta (do seu domínio).
Exemplo 8. Algumas funções que não são contínuas no ponto x0 :
a) b) c)
Pois...
a) não existe lim f ( x ) , apesar de f ( x0 ) existir, neste caso f ( x0 ) = L ;
x→ x0
b) existe lim f ( x ) , isto é lim f ( x ) = L1 . Existe f ( x0 ) , neste caso f ( x0 ) = L2 , mas
x→ x0 x → x0
lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) ;
x → x0
c) não existe lim f ( x ) , apesar de f ( x0 ) existir, neste caso f ( x0 ) = L .
x→ x0
Exemplo 9. Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados:
 1 − x2
 , x >1
 x −1
 x 2 − 16
 , x≠4 
 8 − 2x  2
 2x − 2
a) f ( x ) =  , x0 = 4 . b) g ( x ) =  , x<1 , x0 = 1 .
2 x − 4 , x = 4  1− x
 

 
1 − 5 x , x = 1


Soluções: a)
x 2 − 16
Calculando o limite, temos: lim = lim
(x − 4 )(x + 4 ) = lim − (x + 4 ) = −4 .
x→4 8 − 2 x x →4 2(4 − x ) x→4 2
Calculando a imagem, temos: f (4 ) = 2(4 ) − 4 = 4 . Como lim f ( x ) ≠ f (4 ) , então a função não é
x→4
contínua (ou descontínua) no ponto x0 = 4 .
Álvaro Fernandes 10

11. b) Calculando o limite, temos:
lim+
1 − x2
= lim+
(1 − x )(1 + x ) ⋅ x +1
= lim+
(1 − x )(1 + x )( x +1 ) = lim ( )
− (1 + x ) x + 1 = −4
x →1 x −1 x →1 x −1 x +1 x →1 x −1 x →1+
lim−
2x2 − 2
= lim−
2 x2 − 1 (
= 2 lim−
) (x − 1)(x + 1) = 2 lim − ( x + 1) = 2(− 2 ) = −4
x →1 1− x x →1 1− x x →1 1− x x →1 −
Como os limites laterais são iguais, temos que lim g ( x ) = −4 .
x →1
Calculando a imagem, temos: g (1) = 1 − 5(1) = −4 .
Como lim g ( x ) = g (1) , então a função é contínua no ponto x0 = 1 .
x →1
Atividades (grupo 3).
Determine, se possível, a constante a ∈ ℜ de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto
x o , sendo:
3ax 2 + 2 , x < 1 ax 2 + 2 , x ≠ 1

a) f ( x ) =  (xo = 1) . b) g ( x ) =  2 (x o = 1) .
x − 2, x ≥ 1 a , x = 1

Atividades (grupo 4).
Determine, se possível, as constantes a e b ∈ ℜ de modo que as funções abaixo sejam contínuas no
ponto x o , sendo:
3 x − 3, x > −3 2a. cos(π + x ) + 1, x < 0
 
c) f ( x ) = ax , x = −3 ( x o = −3 ) . d) g ( x ) = 7 x − 3a , x = 0 (xo = 0 ) .
bx 2 + 1, x < −3 b − 2 x 2 , x > 0
 
Propriedades das funções contínuas.
Se as funções f e g são contínuas em um ponto x0 , então:
i) f ± g é contínua em x0 ;
.
ii) f g é contínua em x0 ;
iii) f / g é contínua em x0 desde que g ( x0 ) ≠ 0 .
Álvaro Fernandes 11

12. Limites infinitos
Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim
infinito ( + ∞ ou − ∞ ), dizemos então que o limite é infinito.
x2 − 1
Exemplo 10. Calcule lim .
x → −1 x −1
x2 − 1 0
Neste caso, quando fazemos a substituição de x por − 1 na expressão , encontramos =0.
x −1 −2
0
Esta não é uma situação especial. Sempre que na substituição de x ocorrer , k ≠ 0 , o resultado
k
do limite será sempre zero, naturalmente.
k
E se na substituição do valor de x ocorrer , k ≠0?
0
Vamos analisar esta situação num caso particular e depois formalizar uma regra.
1
Exemplo 11. Estude o seguinte limite: lim .
x →0 x
Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer às tabelas de aproximações:
Aproximação do zero pela direita (notação x → 0 + )
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
f(x)=1/x 1 10 100 1000 10.000
Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), f ( x ) = 1 x cresce
indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim:
1
lim+ = +∞
x →0 x
Aproximação do zero pela esquerda (notação x → 0 − )
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
f(x)=1/x -1 -10 -100 -1000 -10.000
Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), f ( x ) = 1 x decresce
indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim:
1
lim− = −∞
x →0 x
1
Conclusão: Como os limites laterais são distintos, então lim .
x →0 x
Veja ao lado o gráfico da função f ( x ) = 1 x .
Álvaro Fernandes 12

13. Regra (generalização)
k
Se na substituição do valor de x no cálculo de um limite ocorrer , k ≠ 0 , então diremos que a
0
resposta do limite é:
 k k
+ ∞ , se ocorre 0 + , k > 0 e − ∞ , se ocorre
0+
,k < 0

 .
 k k
− ∞ , se ocorre − , k > 0 e + ∞ , se ocorre ,k < 0
 0 0−
k
Desta regra podemos perceber que → 0 . Se o denominador tende ao infinito com o numerador
±∞
constante, a razão se aproxima de zero. Como veremos agora.
Limites no infinito
Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma função quando a variável x
cresce indefinidamente ( x → +∞ ) ou quando ela decresce indefinidamente ( x → −∞ ). Em algumas
situações, a função se aproxima de um valor numérico (figura 1), noutros pode também crescer
indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3).
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Exemplo 12.
1 
Na figura 1: lim  + 1 = 0 + 1 = 1 .
x → +∞ x
 
Na figura 2: lim ( x + 1) = +∞ .
x → +∞
Na figura 3: lim (4 − x 2 ) = −∞ .
x → +∞
Álvaro Fernandes 13

14. As tabelas abaixo apresentam situações de operações com infinito que usaremos com freqüencia.
Produto: Soma:
(∞ ) ⋅ (∞ ) = ∞ (∞ ) + (∞ ) = ∞
(∞ ) ⋅ (− ∞ ) = −∞ 
 (− ∞ ) + (− ∞ ) = −∞

(− ∞ ) ⋅ (∞ ) = −∞
(∞ ) − (∞ ) = ? indeterminação!

(− ∞ ) ⋅ (− ∞ ) = ∞

Produto por constante: Soma com constante:
k ⋅ (∞ ) = ∞ , k > 0 (± ∞ ) + k = ±∞ , k ∈ ℜ
k ⋅ (− ∞ ) = −∞ , k > 0


k ⋅ (∞ ) = −∞ , k < 0
k ⋅ (− ∞ ) = ∞ , k < 0

Quociente: Potências:
±∞ Se n é um natural não nulo, então:
= ? indeterminação!
±∞
∞ , se n é par.
(∞ )n = ∞ e (− ∞ )n = 

− ∞ , se n é ímpar.
Atividades (grupo 5). Calcule os limites:
x2
a) lim .
x→2 x − 2
2x − 4
b) lim .
x →3 ( x − 3 )2
2x − 7
c) lim .
x →3 ( x − 3 )2
5
d) lim 2
− 2x3 + 6 .
x → +∞ 3x
Atividades (grupo 6). Calcule os limites:
3− x 3−x x 2 − 10 x−2
a) lim+ b) lim− c) lim− d) lim+
x →5 x−5 x→2 x + x −6
2
x → −5 2 x + 10 x →1 x +x−2
2
Álvaro Fernandes 14

15. Expressões indeterminadas
0
Vimos que é uma expressão de indeterminação matemática. Também são:
0
∞
, ∞ − ∞ , 0 × ∞ , 1∞ , 0 0 e ∞0 .
∞
Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros serão tratados em capítulos posteriores.
∞
A indeterminação do tipo .
∞
Exemplo 13. Calcule os limites abaixo:
x3 + 1 x2 + 1 6 x2 + 1
a) lim b) lim c) lim
x → +∞ 5x 2 + 3 x → +∞ x4 + x x → +∞ 3x 2 + x
∞
Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo , pois quando x → +∞
∞
as expressões do numerador e denominador também tendem a + ∞ . Não podemos afirmar, a priori,
o valor delas. Vejamos:
a)
 1   1   1 
x 3 1 + 3  x 1 + 3  lim x 1 + 3 
x +1
3
 x  x  + ∞(1 + 0 ) + ∞
= lim 
x  x → +∞

lim = lim = = = = +∞
x → +∞ 5 x + 3
2 x → +∞
2 3  x →+∞  3   3  5(1 + 0 ) 5
5x 1 + 2  5 1 + 2  lim 5 1 + 2 
 5x   5 x  x →+∞  5x 
 1   1   1 
x2 1 +  1 + 2  lim  1 + 2 
b) lim 4
x +1 2
= lim  x2  = lim  x 
=
x → +∞
 x 
=
(1 + 0 ) = 1 = 0 .
x → +∞ x + x x → +∞  1  x → +∞  1   1  + ∞(1 + 0 ) + ∞
x4 1 +  x 2  1 + 3  lim x 2  1 + 3 
 x3   x  x → +∞
 x 
 1   1   1 
6 x 2 1 + 2  61 + 2  lim  1 + 2 
6 x  6 (1 + 0 )
2
6x + 1  6x   6x  6 x → +∞
c) lim = lim = lim = ⋅ = ⋅ =2.
2
x → +∞ 3 x + x x → +∞ 2 1  x →+∞  1  3  1  3 (1 + 0 )
3x 1 +  3 1 +  lim  1 + 
 3x   3x  x → +∞ 3x 
∞
Observamos que nas três situações analisadas as indeterminações do tipo produziram respostas
∞
distintas (como era esperado, por isso que é indeterminação!) Você deve ter notado que para
resolver indeterminações deste tipo a idéia é colocar o termo de maior grau em evidência no
numerador e no denominador.
Álvaro Fernandes 15

16. Atividades (grupo 7).
1. Calcule os limites abaixo:
2x3 − 1
a) lim .
x → +∞ 5 x 3 + x + 1
x 5 + 3x 2
b) lim .
x → +∞ 2x + 1
x2 + 2x3
c) lim .
x → −∞ 5 x + 3 − x 4
x2
d) lim .
x → −∞ 1 − 5 x 2
A indeterminação do tipo ∞ - ∞
Exemplo 14. Calcule os limites abaixo:
a) lim x 2 − x 3 . b) lim 5 x 2 + x .
x → +∞ x → −∞
Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ - ∞, mas não podemos
afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:
Usando a mesma técnica da indeterminação anterior...
 1 
a) lim x 2 − x 3 = lim − x 3  − + 1 = −∞(0 + 1) = −∞(1) = −∞ .
x → +∞ x → +∞
 x 
 1 7 
b) lim x + 5 x 2 + 7 = lim 5 x 2  + 1 + 2  = +∞(0 + 1 + 0 ) = +∞(1) = +∞ .
x → −∞ x → −∞
 5x 5x 
Atividades (grupo 8).
1. Calcule os limites abaixo:
a) lim x 5 − x 3 + 2 x . b) lim x 4 + 5 x − 6 . c) lim x + 2 − x .
x → +∞ x → −∞ x →∞
A indeterminação do tipo 0 × ∞
Exemplo 15. Calcule os limites abaixo:
a) lim
2 2
(
x +1 . ) b) lim
3
(x ) .
x → +∞ x3 x → +∞ x
Álvaro Fernandes 16

17. Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo 0 × ∞, mas não podemos
afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:
2x2 + 2
a) lim
x → +∞
2 2
x3
(
x + 1 = lim )
x → +∞ x3
= ... Transformamos a indeterminação 0 × ∞ em ∞ ⁄ ∞ . Daí você
já sabe!
2x 2 + 2
... = lim = ... = 0 .
x → +∞ x3
3 3x
b) lim (x ) = xlim = ... Novamente transformamos a indeterminação para ∞ ⁄ ∞. Usando a
x → +∞x x → +∞
técnica da racionalização:
3x 3x x 3x x
... = lim = lim ⋅ = lim = lim 3 x = 3(+ ∞ ) = +∞ .
x → +∞ x x → +∞ x x x → +∞ x x → +∞
Atividades (grupo 9).
1. Calcule os limites abaixo:
a) lim
1
(x 2 + 3). b) lim  (
 2  2
)
 x − 25 .
x → +∞ x x→5 +  x-5 
Limite fundamental exponencial (a indeterminação do tipo 1∞)
O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente
em vários fenômenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populações
de bactérias, desintegração radioativa (datação por carbono), circuitos elétricos, etc. Na área de
economia, é aplicado no cálculo de juros.
Foi o Matemático Inglês Jonh Napier (1550-1617) o responsável pelo desenvolvimento
da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional, ou seja, não pode
ser escrito sob forma de fração, e vale aproximadamente:
e ≅ 2,7182818
Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função exponencial
f ( x ) = e é considerada uma das funções mais importantes da matemática, merecendo atenção
x
especial de cientistas de diferentes áreas do conhecimento humano.
x
 1
Proposição: lim  1 +  = e.
x → ±∞
 x
A prova desta proposição envolve noções de séries. Utilizaremos o recurso das tabelas de
aproximações e gráfico para visualizar este resultado.
Álvaro Fernandes 17

18. Tabela
x  1
x
f (x ) =  1 + 
 x
100 2,7048..
1000 2,7169..
100.000 2,7182..
x→ +∞ f(x) → e
Faça uma tabela para x → - ∞.
Gráfico:
Exemplo 16. Calcule os limites abaixo:
5x 4x
 1  3
a) lim  1 +  . b) lim  1 −  .
x → +∞
 x x → −∞
 x
Nestes dois casos percebemos indeterminações do tipo 1∞ . Vejamos as soluções...
5 5
 1
5x
 1 
x
  1 
x
a) lim  1 +  = lim  1 +   =  lim  1 +   = e 5 .
x → +∞
 x x → +∞

 x   x →+∞
 x 
b) Neste caso, usaremos uma mudança de variável...
Faça x = −3t . Se x → −∞ então t → +∞ .
4 ( −3 t ) −12
 3
4x
 3   1
−12 t
  1 
t
Logo, lim  1 −  = lim  1 −  = lim  1 +  =  lim  1 +   = e −12 .
x → −∞
 x t → +∞
 − 3t  t → +∞
 t t →+∞ 
 t 
Atividades (grupo 10).
1. Calcule os limites abaixo:
2x 5x 2x
 7  2  x + 1
a) lim  1 +  . b) lim  1 −  . c) lim   .
x → +∞ x − 1
x →+∞  x x → −∞
 x  
Álvaro Fernandes 18

19. Conseqüências importantes do limite fundamental exponencial:
ax −1
i) lim (1 + x )
1x
= e. ii) lim = ln(a ), a > 0 e a ≠ 1 .
x →0 x →0 x
Atividades (grupo 11). Resolva os dois limites acima com as sugestões a seguir:
1
• No item (i) faça a mudança de variável x = e use o limite fundamental exponencial.
t
• No item (ii) faça a mudança de variável a x − 1 = t e use o item (i).
Atividades (grupo 12).
1. Resolva os limites abaixo:
a) lim (1 + 2 x ) .
1x 3x − 1 ex − 1 ex − 2x
x →0
b) lim . c) lim . d) lim .
x →0 x x →0 4x x →0 x
Limite fundamental trigonométrico
0
O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação é do tipo
0
envolvendo a função trigonométrica y = sen( x ) . Este limite é muito importante, pois com ele
resolveremos outros problemas.
sen( x )
Proposição: lim = 1.
x→0 x
sen( x )
A função f ( x ) = é par, isto é, f (− x ) = f ( x ) , ∀x ≠ 0 , pois
x
sen(− x ) − sen(x ) sen( x )
f (− x ) = = = = f (x ) .
−x −x x
Se x → 0 + ou x → 0 − , f ( x ) apresenta o mesmo valor numérico.
Vamos utilizar a tabela de aproximação para verificar este resultado.
Tabela
x sen( x )
f (x ) =
x
±0,1 0.9983341664683..
±0,01 0.9999833334167..
±0,001 0,9999998333333..
±0,0001 0,9999999983333..
±0,00001 0,9999999999833..
±10-10 0,9999999999999..
x→0 f (x ) → 1
Álvaro Fernandes 19

20. sen( x )
Visualizando o gráfico da função f ( x ) = , podemos perceber também este resultado...
x
Exemplo 17. Calcule os limites abaixo:
sen(2 x ) sen(5 x ) cos( x ) − 1 tg ( x )
a) lim . b) lim . c) lim . d) lim .
x →0 x x →0 sen(3 x ) x →0 x x →0 x
Soluções:
sen(2 x ) sen(2 x ) sen(2 x )
a) lim = lim 2 ⋅ = 2 ⋅ lim = ...
x →0 x x →0 2x x →0 2x
Faça 2 x = t . Se x → 0 então t → 0 . Logo:
sen(t )
... = 2 ⋅ lim = 2(1) = 2 .
t →0 t
sen(kx )
De uma forma geral, ∀k ∈ ℜ* , lim = 1 . Vamos usar este resultado agora:
x →0 kx
sen(5 x ) sen(5 x )
⋅ 5x lim
sen(5 x ) 5 x →0 5 x 5 1 5
b) lim = lim 5 x = ⋅ = ⋅ = .
x →0 sen(3 x ) x →0 sen(3 x ) 3 sen(3 x ) 3 1 3
⋅ 3x lim
3x x →0 3x
cos ( x ) − 1 cos( x ) − 1 cos( x ) + 1 cos 2 ( x ) − 1 − sen 2 ( x )
c) lim = lim ⋅ = lim = lim =
x →0 x x →0 x cos( x ) + 1 x →0 x[cos( x ) + 1] x →0 x[cos ( x ) + 1]
sen( x ) − sen(x )  0 
= lim ⋅ = 1 =0.
x →0 x cos( x ) + 1  1 + 1 
tg ( x ) sen( x ) sen(x ) 1 sen( x ) 1  1
d) lim = lim = lim ⋅ = lim ⋅ lim = 1  = 1 .
x x →0 x cos ( x ) x cos( x ) x x →0 cos ( x )
x →0 x →0 x →0
 1
Atividades (grupo 13).
1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonométrico fundamental:
sen(4 x ) 1 − cos( x ) 2e x + 6 sen( x ) − 2 6 x − sen( x )
a) lim . b) lim . c) lim . d) lim .
x →0 3x x →0 x 2
x →0 3x x →0 2 x + 3 sen( x )
Álvaro Fernandes 20

21. Funções limitadas
Definição: Uma função y = f ( x ) é chamada limitada, se existe uma constante k ∈ ℜ* , tal que
f ( x ) ≤ k , ∀x ∈ D( f ) , isto é , − k ≤ f ( x ) ≤ k , ∀x ∈ D( f ) . Em outras palavras, y = f ( x ) possui o
conjunto imagem contido num intervalo de extremos reais.
Obs.: D( f ) significa o domínio da função f.
Exemplo 14. Algumas funções limitadas e seus gráficos.
f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) f(x) = k f(x) = sen(2x2+3x-1)
Proposição: Se lim f ( x ) = 0 e g ( x ) é uma função limitada, então lim f ( x ).g ( x ) = 0 .
x→a x→a
ou ou
x → ±∞ x → ±∞
Exemplo 18.
sen( x )
a) Calcule lim .
x → +∞ x
Solução:
sen( x ) 1
lim = lim ⋅ sen( x ) = * = 0
x → +∞ x x → +∞ x
1
* Usando a proposição: Se x → +∞ então → 0 . Como a função sen(x ) é limitada, então o
x
resultado é zero.
sen( x )
Gráfico da função f ( x ) = :
x
Observe que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando x → +∞ . O resultado do limite
permanece o mesmo se x → −∞ .
Álvaro Fernandes 21

22. cos( x )
b) Calcule lim .
x → +∞ x
Solução: de forma análoga...
cos( x ) 1
lim = lim ⋅ cos( x ) = 0 .
x → +∞ x x → +∞ x
cos( x )
Gráfico da função f ( x ) = :
x
Observe que, da mesma forma que a função anterior, as oscilações vão reduzindo a sua amplitude
quando x → +∞ . O resultado do limite permanece o mesmo se x → −∞ .
 x+1 
c) Calcule lim  2  ⋅ cos( x ) .
x → +∞ x + 1
 
 x+1   x+1 
lim  2  = 0 (Por quê?) e cos( x ) é uma função limitada. Logo, lim  2  ⋅ cos(x ) = 0 .
x → +∞ x + 1 x → +∞ x + 1
   
 x+1 
Gráfico da função f ( x ) =  2  ⋅ cos( x ) :
 x + 1
Atividades (grupo 14).
1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de função limitada:
3 cos(x ) + 2 x
a) lim e x ⋅ sen( x ) . b) lim .
x → −∞ x → +∞ 2x
Álvaro Fernandes 22

23. 1. Problema da área sob o arco da parábola y = x 2 no intervalo [0 , 1] (Figura 1).
Método dos retângulos.
Figura 1.
Dividindo o intervalo [0 , 1] em n subintervalos, cada subintervalo terá comprimento 1 n :
 1 1 2
1o subintervalo 0 ,  , 2o subintervalo  ,  ,
 n n n
2 3 n − 1 n n
3o subintervalo  ,  , ... , no subintervalo  , . Obs.: = 1.
n n  n n n
Vamos construir retângulos (Figura 2) cujas bases são ao subintervalos e cujas alturas são as
imagens dos extremos direito* de cada subintervalo pela função y = x 2 :
*
a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremo
direito.
Figura 2. Figura 3.
Calculando as área desses retângulo ( A = b.h ), obtemos:
1 12 1 22 1 32 1 n2
A1 = ⋅ , A2 = ⋅ , A3 = ⋅ , ... , An = ⋅ .
n n2 n n2 n n2 n n2
A área total desses retângulos ( Atn ) nos dá uma aproximação da área (Figura 1) que queremos
calcular:
n
1  12 2 2 3 2 n2  1  12 + 2 2 + 3 2 + + n2 
Atn = ∑ Ai =  2 + 2 + 2 + + 2 =  =
i =1 nn
 n n n  n
  n2 

Álvaro Fernandes 23

24. 1  n(n + 1)(2n + 1)  n(n + 1)(2 n + 1)
=  = .
n 6n2  6n3
Obs.: A soma 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 é conhecida pela fórmula [n(n + 1)(2 n + 1)] 6 .
Vejamos alguns resultados para alguns valores crescentes de n:
n 6 (Figura 3) 10 100 1.000 10.000 100.000
Atn 0,421296 0,385000 0,338350 0,333834 0,333383 0,333338
A área exata que estamos procurando (Figura 1) é calculada pelo limite:
n(n + 1)(2 n + 1) 1
lim ATn = lim = = 0 ,3 . (Calcule este limite e mostre que é igual a 1/3)
n → +∞ n → +∞ 6n3 3
2. Problema do circuito RL em série.
No circuito da figura 4, temos uma associação em série de um resistor (símbolo R) e um
indutor (símbolo L). Da segunda lei de Kirchhoff (lei das voltagens) e do estudo das equações
diferenciais, pode-se mostrar que a corrente i no circuito é dada por
R
E −  t
i (t ) = + c.e  L  , (1)
R
onde E é uma bateria de voltagem fixa, c é uma constante real e t é o tempo.
Unidade de resistência: ohm.
Unidade de indutância: henry.
Figura 4.
Exercício 1: Se uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série (como na fig. 4) no qual
o indutor é de 1/2 henry e o resistor é de 10 ohms, determine o valor da constante c e a corrente
i (t ) . Considere a corrente inicial e o tempo inicial iguais a zero.
Exercício 2: Determine lim i (t ) , sendo i (t ) da equação (1).
t → +∞
R
−  t
Obs.: Quando t → +∞ o termo c.e  L  da equação (1) se aproxima de zero. Tal termo é
usualmente denominado de corrente transitória. A razão E/R é chamada de corrente estacionária.
Após um longo período de tempo, a corrente no circuito é governada praticamente pela lei de Ohm
E = Ri .
Álvaro Fernandes 24

25. Derivada
A reta tangente.
Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto.
Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P.
Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas:
Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7
Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4.
Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados.
Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas:
Fig. 8 Fig. 9.
Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da
circunferência (fig. 4). Elas “cortam” , “penetram” as curvas.
Álvaro Fernandes 25

26. Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu
domínio.
Seja y = f ( x ) uma curva definida num intervalo aberto I. Considere P( xo , y o ) , sendo y o = f ( x o ) ,
um ponto fixo e Q( x , y ) um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f.
Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o ângulo de inclinação de s.
Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t.
y
t
s
y f
Q
∆y = y − yo
P T ∆x = x − xo
yo
β α
x
x
xo
Considerando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como
∆y y − yo Q
tg (β ) = = .
∆x x − xo y − yo
β
P x − xo T
Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta
s se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg (β ) se aproximará
da tg (α ) . Usando a notação de limites, é fácil perceber que
lim tg (β ) = tg (α ) .
Q→ P
Mas quando Q → P temos que x → xo . Desta forma, o limite acima fica
y − yo f ( x ) − f ( xo )
lim tg (β ) = tg (α ) ⇔ lim = lim = tg (α ) .
Q→ P x → xo x − xo x→ xo x − xo
f ( x ) − f ( xo )
Assim lim = tg (α ) .
x → xo x − xo
Álvaro Fernandes 26

27. Definição: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gráfico. O coeficiente
angular m da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dado pelo limite
f (x ) − f (xo )
m = lim , quando este existir.
x → xo x − xo
m = tg (α )
y o = f (xo )
Equação da reta tangente
Podemos agora determinar a equação da reta tangente t, pois já conhecemos o seu coeficiente
angular e um ponto do seu gráfico P( xo , y o ) .
A equação da reta tangente t é:
a) ( y − y o ) = m(x − xo ) , se o limite que determina m existir;
f (x ) − f (xo )
b) A reta vertical x = xo se lim for infinito.
x → xo x − xo
Exemplo 19. Determine a equação tangente a parábola f ( x ) = x 2 no ponto de abscissa xo = 1 .
Solução: Temos que determinar dois termos y o e m.
y o = f ( xo ) ⇒ y o = f (1) = 12 = 1 .
f (x ) − f (xo ) f ( x ) − f (1) x2 − 1
m = lim = lim = lim = = 2.
x → xo x − xo x →1 x −1 x →1 x − 1
Logo a equação da reta tangente é ( y − 1) = 2( x − 1) ou y = 2x − 1 .
Álvaro Fernandes 27

28. Equação da reta normal
Definição: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal (n)
ao gráfico de f no ponto P é a reta perpendicular a reta tangente (t).
( ) ( )
• A equação da reta normal é ( y − y o ) =
−1
(x − xo ) , sendo que m = xlim f x − f xo ≠ 0 .
m → xo x − xo
• Se m = 0 , então a equação da reta normal é a reta vertical x = xo .
f (x ) − f (xo )
• Se lim for infinito, então a reta normal é horizontal e tem equação y = y o .
x → xo x − xo
Atividades (grupo 15).
Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo nos pontos
indicados. Esboce os gráficos das funções com as retas.
a) f ( x ) = x 3 no ponto de abscissa xo = 1 .
b) f ( x ) = x no ponto de abscissa xo = 4 .
A derivada de uma função num ponto
f (x ) − f (xo )
O limite lim é muito importante, por isso receberá uma denominação especial.
x → xo x − xo
Definição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da
função f no ponto xo e denota-se f ' ( xo ) (lê-se f linha de xo ), o limite
f (x ) − f (xo )
f ' ( xo ) = lim , quando este existir.
x → xo x − xo
Forma alternativa para derivada:
Se fizermos ∆x = x − xo , obtemos a seguinte forma para f ' ( xo ) :
f ( xo + ∆x ) − f ( xo )
f ' ( xo ) = lim .
∆x →0 ∆x
Álvaro Fernandes 28

29. Outras notações para a derivada da função y = f ( x ) num ponto x qualquer:
• y' ( x ) (lê-se: y linha de x ou derivada de y em relação a x);
• D x f (lê-se: derivada da função f em relação à x);
dy
• (lê-se: derivada de y em relação à x).
dx
Exemplo 20. Dada a função f ( x ) = x 2 − x + 1 , determine f ' (2 ) . Use as duas formas da definição.
f (x ) − f (xo )
⇒ Usando f ' ( xo ) = lim :
x → xo x − xo
f ( x ) − f (2 ) x2 − x + 1 − 3 x2 − x − 2 (x − 2 )(x + 1) = lim (x + 1) = 3 .
f ' (2 ) = lim = lim = lim = lim
x→2 x−2 x→2 x−2 x→2 x−2 x→2 x−2 x→2
f ( xo + ∆x ) − f ( xo )
⇒ Usando f ' ( xo ) = lim :
∆x →0 ∆x
f (2 + ∆x ) − f (2 ) (2 + ∆x ) − (2 + ∆x ) + 1 − 3 = lim 4 + 4 ∆x + ∆x 2 − 2 − ∆x − 2 =
2
f ' (2 ) = lim = lim
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
3∆x + ∆x 2 ∆x(3 + ∆x )
= lim = lim = lim (3 + ∆x ) = 3 + 0 = 3 .
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0
Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto.
Atividades (grupo 16).
1. Determine a equação da reta tangente à curva y = 5 − x 2 , que seja perpendicular à reta y = 3 + x .
2. Determine a equação da reta normal à curva y = x 3 , que seja paralela à reta 3 y + x = 0 .
Derivadas laterais
Lembre-se que o limite de uma função num ponto somente existe se os limites laterais
existem e são iguais. Como a derivada de uma função num ponto é um limite, esta derivada
somente existirá em condições análogas.
Definição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à direita de f em
xo , denotada por f + ' (xo ) é definida por
f (x ) − f (xo )
f + ' ( xo ) = lim+ .
x → xo x − xo
Álvaro Fernandes 29

30. Definição: Seja y = f ( x ) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à esquerda de f
em xo , denotada por f − ' ( xo ) é definida por
f (x ) − f (xo )
f − ' ( xo ) = lim− .
x → xo x − xo
Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda)
existem e são iguais neste ponto.
Exemplo 21. Considere a função f ( x ) = x + 1 . Mostre que esta função é contínua no ponto
x = −1 mas não é derivável neste ponto.
f é contínua neste ponto pois lim f ( x ) = lim x + 1 = − 1 + 1 = 0 = 0 = f (− 1) .
x → −1 x → −1
 x + 1, x > −1

Sabemos que f ( x ) = x + 1 = − x − 1, x < −1 . Vamos calcular f ' (− 1) :
0 , x = −1

f ( x ) − f (− 1) x +1−0 x+1
f + ' (− 1) = lim+ = lim+ = lim+ = lim+ (1) = 1 .
x → −1 x+1 x → −1 x+1 x → −1 x + 1 x → −1
f ( x ) − f (− 1) − x −1−0 − ( x + 1)
f − ' (− 1) = lim− = lim− = lim− = lim− (− 1) = −1 .
x → −1 x+1 x → −1 x+1 x → −1 x+1 x → −1
Como as derivadas laterais são distintas concluímos que não existe f ' (− 1) .
Veja o gráfico da função f ( x ) = x + 1 .
Não existe reta tangente
ao gráfico desta função no
ponto x0 = −1 .
Obs.: Quando as derivadas laterais existem e são diferentes num ponto, dizemos que este é um
ponto anguloso do gráfico da função. Neste caso, não existe reta tangente num ponto anguloso.
No exemplo acima a função f ( x ) = x + 1 tem um ponto anguloso em x = −1 .
Atividades (grupo 17). Verifique se a função abaixo tem derivada no ponto xo . Este ponto é
anguloso? Esboce o gráfico da função e constate.

1 − x , x > 0
2
 2
 x + x + 1, x > 0
a) f ( x ) =  x no ponto x o = 0 . b) g ( x ) =  x no ponto x o = 0 .
e , x ≤ 0
 e , x ≤ 0

Álvaro Fernandes 30

31. Regras de derivação
Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer
a definição.
1. Derivada de uma função constante.
Se f ( x ) = c , c é uma constante real, então f ' ( x ) = 0 .
f ( x + ∆x ) − f ( x ) c−c
f ' ( x ) = lim = lim = lim 0 = 0 .
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x → 0
2. Derivada da função potência.
Se n é um inteiro positivo e f ( x ) = x n , então f ' ( x ) = nx n −1 .
f ( x + ∆x ) − f ( x ) (x + ∆x ) − x n
n
Prova: f ( x ) = lim
'
= lim
∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x
Usando o Binômio de Newton para expandir ( x + ∆x ) , obtemos
n
 n n(n − 1) n − 2 n
 x + nx ∆x + 2! x (∆x ) + ... + nx(∆x ) + (∆x )  − x
n −1 2 n −1 n
f ' ( x ) = lim   =
∆x →0 ∆x
 n(n − 1) n − 2 n −1 
x (∆x ) + ... + nx(∆x ) + (∆x ) 
n−2
∆x nx n −1 +
 2! =
= lim
∆x →0 ∆x
 n(n − 1) n − 2 n −1 
x (∆x ) + ... + nx(∆x ) + (∆x )  = nx n −1 .
n−2
= lim nx n −1 +
∆x →0
 2! 
Exemplo 22. Calcule as derivadas das funções abaixo:
a) f ( x ) = x b) f ( x ) = x 2 c) f ( x ) = x 5
a) f ( x ) = x 1 ⇒ f ' (x ) = 1x 1−1 = 1 . Logo f ' ( x ) = 1 .
b) f ( x ) = x 2 ⇒ f ' ( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x . Logo f ' ( x ) = 2 x .
c) f ( x ) = x 5 ⇒ f ' ( x ) = 5 x 5 −1 = 5 x 4 . Logo f ' (x ) = 5 x 4 .
Obs.: Se n for um número inteiro negativo ou racional o resultado contínua válido.
Atividades (grupo 18).
1. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função f ( x ) = x −1 é f ' ( x ) = − x −2 .
1
2. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função f ( x ) = x é f ' ( x ) = .
2 x
Álvaro Fernandes 31

32. 3. Derivada do produto de uma constante por uma função.
Se f ( x ) é uma função derivável e c é uma constante real, então a função g ( x ) = cf ( x ) tem
derivada dada por g' ( x ) = cf ' ( x ) .
g ( x + ∆x ) − g ( x ) cf ( x + ∆x ) − cf ( x ) c[ f ( x + ∆x ) − f ( x )]
Prova: g´ ( x ) = lim = lim = lim =
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= c ⋅ lim = cf ´ ( x ) .
∆x →0 ∆x
Exemplo 23. Se f ( x ) = 5 x 3 então f ' ( x ) = 5 3 x 2 = 15 x 2 .( )
4. Derivada de uma soma de funções.
Se f ( x ) e g ( x ) são função deriváveis, então a função h( x ) = f ( x ) + g ( x ) tem derivada dada por
h' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) .
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo.
Exemplo 24. Se f ( x ) = 4 x 3 + 3 x 2 − x + 5 então f ' ( x ) = 12 x 2 + 6 x − 1 .
5. Derivada de um produto de funções.
Se f (x ) e g ( x ) são função deriváveis, então a função h( x ) = f (x ) ⋅ g ( x ) tem derivada dada por
h' ( x ) = f ' (x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) .
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo.
Exemplo 25.
( ) ( ) ( )
Se f ( x ) = x 3 − x (2 − x ) então f ' ( x ) = 3 x 2 − 1 (2 − x ) + x 3 − x (0 − 1) = −4 x 3 + −6 x 2 + 2 x − 2 .
6. Derivada de um quociente de funções.
f (x )
Se f (x ) e g ( x ) são função deriváveis, então a função h( x ) = tem derivada dada por
g (x )
f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x )
h' ( x ) = .
[g (x )]2
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo.
Exemplo 26. Se f (x ) =
5x2 − 8
então f ' ( x ) =
( )
(10 x ) ⋅ (2 x ) − 5 x 2 − 8 ⋅ (2 ) = ... = 5 x 2 + 8 .
2x 4x2 2x2
Álvaro Fernandes 32

33. Atividades (grupo 19).
1. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo:
a) f ( x ) = x −2 + 3 x + 1 . b) f ( x ) = x 8( ) (x + 3) . ( )
c) f ( x ) = 3 x 4 + x (6 − x ) .
5x − 3 3
( )
d) f ( x ) = x 2 − 3 2 x 3 . e) f ( x ) =
2
+ x. f) f ( x ) = x 1 4 (2 − x ) .
2x
g) f ( x ) =
x
x+1
+ x −2 + 6 . h) f ( x ) =
x −2
. (
i) f ( x ) = 4 x 3 1 − x 2 . )
2. Determine os valores das constantes a e b na parábola f (x ) = ax 2 + b de modo que a reta de
equação y = 8 x + 4 seja tangente a parábola no ponto x = 2 .
Derivada da função composta (Regra da cadeia)
Até o momento sabemos derivar a função g ( x ) = x 3 e também a função f ( x ) = 2 x + 1 .
Considere agora a função composta gof ( x ) = g ( f ( x )) = (2 x + 1) . Como poderemos obter a derivada
3
da função composta gof ( x ) sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece uma
forma de obter a derivada da função composta em termos das funções elementares f e g.
Regra da cadeia
dy du
Se y = g (u ) , u = f ( x ) e as derivadas e existem, então a função composta
du dx
y = gof ( x ) = g ( f ( x )) tem derivada dada por
dy dy du
= ⋅ ou y´ ( x ) = y´ (u ) ⋅ u´ ( x ) ou gof ´ ( x ) = g´ ( f ( x )) ⋅ f ´ ( x ) .
dx du dx
As três formas acima são equivalentes, mudam apenas as notações.
Exemplo 27. Calcule a derivada das funções abaixo:
5
 x 
a) y = (2 x + 1)
3
b) y = 5 x + 3 c) y =  
 1 − 3x 
Para calcular a derivada dessas funções, precisamos identificar as funções elementares y = g (u ) e
u = f ( x ) (cujas derivadas conhecemos) que formam a função composta e aplicar a regra.
a) y = (2 x + 1)
3
y = u3

u = 2 x + 1
Então y´ (x ) = y´ (u ) ⋅ u´ (x ) ⇒ y´ ( x ) = 3u 2 ⋅ 2 = 3(2 x + 1) ⋅ 2 = 6 (2 x + 1) .
2 2
Logo y´ ( x ) = 6 (2 x + 1) .
2
Álvaro Fernandes 33

34. b) y = 5 x + 3
y = u

u = 5 x + 3
1 5 5
Então y´ ( x ) = y´ (u ) ⋅ u´ ( x ) ⇒ y´ ( x ) = ⋅ (5 ) = . Logo y´ ( x ) = .
2 u 2 5x + 3 2 5x + 3
5
 x 
c) y =  
 1 − 3x 
y = u5

 x
u =
 1 − 3x
 (1)(1 − 3 x ) − ( x )(− 3 ) 
Então y´ ( x ) = y´ (u ) ⋅ u´ ( x ) ⇒ y´ ( x ) = 5u 4 ⋅  =
 (1 − 3 x )2 
 x   (1)(1 − 3 x ) − ( x )(− 3) 
4
5x4
= 5  ⋅  = .
 1 − 3x   (1 − 3 x )2  (1 − 3 x )6
5x4
Logo y´ ( x ) = .
(1 − 3 x )6
Proposição: Se f ( x ) é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então
d
[ f (x )]n = n[ f (x )]n−1 . f ´ (x )
dx
Prova: Fazendo y = u n , onde u = f ( x ) e aplicando a regra da cadeia, temos
y´ ( x ) = y´ (u ) ⋅ u´ ( x ) ⇒ y´ ( x ) = nu n −1 ⋅ f ´ ( x ) ⇒ y´ ( x ) = n[ f ( x )] ⋅ f ´ (x ) .
n −1
A proposição continua válida se n for um número racional não nulo.
Exemplo 28. Calcule a derivada da função y = 4 ⋅ 3 1 + x − x 3 .
Podemos escrever y = 4 1 + x − x 3 ( )13
e calcular a derivada usando a proposição acima:
y´ ( x ) = 4 ⋅
1
3
(1 + x − x3 )
−2 3
(
⋅ 1 − 3x 2 .)
Obs: Com a regra da proposição acima poderíamos calcular todos os exercícios do exemplo 27.
Mas a regra da cadeia é mais completa, ela possibilitará a resolução de outros problemas mais
complicados...
Álvaro Fernandes 34