Caderno rq4 análise-combinatória (1)

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Caderno rq4 análise-combinatória (1)

  1. 1. Caderno RQ4 Análise Combinatória Prof. . Milton Araujo INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegralead.com.br 0
  2. 2. Sumário 1 INTRODUÇÃO ................................ ................................................................................................................................ 2 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ................................ 3 L ................................................................ 3 PERMUTAÇÃO SIMPLES ................................ ................................................... 4 ................................................................................................ 4 PERMUTAÇÃO COM REPET ................................................. 6 REPETIÇÕES ................................................................................................ 5 ARRANJO SIMPLES ................................ ................................. 10 ................................................................................................ 5.1 CÁLCULO DE ARRANJO SIMPLES SEM FÓRMULA ....................................................... 14 IMPLES ................................................................ 6 ARRANJO COM REPETIÇÕES .................................................... 14 ES ................................................................................................ 7 COMBINAÇÃO SIMPLES ................................ ........................................ 16 ................................................................................................ 7.1 CÁLCULO DE COMBINAÇÃO ............................................... 17 OMBINAÇÃO SIMPLES SEM FÓRMULA ................................................................ 8 COMBINAÇÃO COM REPET ............................................. 17 REPETIÇÕES ................................................................................................ 9 RESUMO ................................ ................................. 19 ................................................................................................................................ 9.1 PERMUTAÇÃO ................................ 9.2 ARRANJO................................ 9.3 COMBINAÇÃO ................................ ...................................... 21 ............................................................................................................................... ............................... 21 ................................................................................................................................ ...................................... 21 ............................................................................................................................... 10 EXERCÍCIOS ................................ ............................... 21 ................................................................................................................................ 11 TESTES ................................ .................................. 22 ................................................................................................................................ 12 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA ......................................... 24 DITORA - CATÁLOGO ................................................................ Acompanhe a série de dicas 1 ............................................... 38 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  3. 3. 2 Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com base nas centenas de dúvidas e sugestõ recebemos mensalmente. Mantenha seu material didático sempre atualizado! sugestões que Consulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é mantido: http://www.facebook.com/co m/groups/souintegral/ souintegral/. Cadastre-se também aqui ou aqui http://mga960.klicksite.com. mail, informações e atualizações em primeira mão. http://integral.klicksite.com.br/anpad anpad-poa-rs/ br/pre-anpad-poa-rs/ e receba, via e e- Este material é parte integrante dos nossos cursos a distância. Por contrato assinado com a RB (empresa que tem os direitos de veiculação dos nossos cursos online), não o poderemos mantê mantê-lo com distribuição pública e gratuita por muito tempo. Por isto, é aconselhável que você se inscreva também no Cadastro por e-mail, pois apenas para os integrantes da Lista Preferencial retirado da circulação pública e gratuita. enviaremos as correções e atualizações, sem custos, Preferencial, , quando o material for Por gentileza, repasse esse material para seus melhores amigos. Obrigado! Participe do nosso projeto: it-forward-corrente-do- -bem.html Acompanhe a série de dicas http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay pay- dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  4. 4. 1 Introdução 3 “Só quem constrói o futuro tem o direito de julgar o passado. passado.” [Nietzsche] A Análise Combinatória é um tópico pouco apreciado pelos estudantes. Muitos deixam de estudar o assunto e perdem boas oportunidades de se destacarem dos demais concorrentes. Para que o leitor se sinta motivado a aprender o assunto, deixarei aqui algumas dicas que poderão ajudá-maioria das questões. -lo a encaminhar, sem grandes sobressaltos, a solução Primeira: trabalharemos sempre com a ideia de candidatos (n) e de vagas ( da p). Segunda: Na Permutação, pretende somente pela ordem de seus elementos. Em outras palavras, na permutação o número de candidatos (n apenas em embaralhar os pretende-se formar mar agrupamentos que diferem entre si n) é igual ao número de vagas (p) e a solução consiste n elementos do conjunto dado. Terceira: No Arranjo, o número de elementos, quanto pela ordem desses elem outra forma, no Arranjo, o número de candidatos ( vagas (p): e trocando diferente. ) os agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo elementos no resultado. Dito de n) é maior do que o número de s entos ) trocando-se a ordem dos elementos forma-se um resultado Quarta: Na Combinação, o os s agrupamentos formados diferem entre si pelo número de elementos, não importando a ordem desses elementos no resultado.Em outras palavras, na Combinação, o número de candidatos ( n) é maior do que o número de vagas ( p): e, trocando-se a ordem dos elementos em cada resultado, forma-forma se um conjunto igual. O assunto não é difícil! Como quase tudo na Matemática, motivação para ser encara ado e vencido. Então... Vamos começar? ? Acompanhe a série de dicas só requ uer paciência e dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  5. 5. 2 Princípio Fundamental da Contagem Vamos ilustrar o modo de raciocinar a contagem com um exemplo básico. Exemplo: Um prédio de escritórios tem 2 entradas (a, b) e 3 elevadores maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar um dos escritórios? Solução: 4 (c, d, e). De quantas Por meio do diagrama abaixo (também chamado de “árvore das possibilidades”), pode-se compreender o raciocínio. A partir do diagrama ao lado, formamos rmamos todos os pares possíveis: (a, c); (a, d); (a, e); (b, c); (b, d); (b, e) Se o nosso objetivo for encontrar apenas o total de possibilidades, basta-nos raciocinar da seguinte maneira: Para cada entrada, tem-se 3 elevadores. Em matemática, a palavra cada significa multiplicação. Note que, para cada uma das 2 entradas, há 3 elevadores disponíveis. Logo, 2 × 3 = 6 Resposta: Há 6 maneiras de se entrar no prédio e acessar um dos escritórios. Este exemplo ilustra um raciocínio que é conhecido como p da Contagem, enunciado do seguinte modo: “O número de possibilidades de ocorrer uma sucessão de eventos é dado pelo produto dos números de possibilidades de ocorrer cada um dos eventos.” Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ : princípio rincípio fundamental
  6. 6. 5 Em palavras simples: princípios de contagem sã é, faz-se contagens de arranjos e combinações de maneira rápida por meio de multiplicações. Desafio: são o princípios multiplicativos, isto Tendo assimilado o conceito acima, o leitor estará apto a responder rapidamente o seguinte problema: Um prédio de escritórios tem 2 entradas, 3 elevadores, 4 andares e 5 escritórios por andar. De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar um dos escritórios? Resposta: 120. ritórios Fatorial de um número Natural Símbolo: ! O símbolo ! ao lado de um nú do seguinte modo: ! Exemplo: mero 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 1 5! 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 120 n número significa fatorial deste número e é calculado Por definição: 1! = 1 e 0! = 1 Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  7. 7. 3 Permutação Simples Uma Permutação simples de desses n elementos, de modo que cada mudança na ordem desses elemento determina uma permutação diferente. Os elementos a serem permutados são todos distintos, isto é, não há elementos repetidos. Fórmula: n elementos de um dado conjunto é uma sequência A simbolização é lida como Exemplo: Com as cores azul, verde e ver três listras cada uma. Sem repetir cores, quantas bandeirinhas será possível pintar com essas três cores? Solução 1: Formar os conjuntos manualmente: Azul Azul Verde Vermelha Vermelha Verde Resposta: Com as três cores disponíveis é possível pintar 6 bandeirinhas com 3 listras cada uma, sem repetir cores. Imagine você fazer o esquema acima com 5 cores e 5 l Solução 2: Usando a fórmula da Permutação, com Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ , ! como: “Permutação de n elementos” vermelha, uma pessoa deseja pintar bandeirinhas com Verde Verde Vermelha ermelha Azul Vermelha Azul Vermelha Azul Verde listras... n = 3: P 3! 3 ∙ 2 ∙ 1 6 elementos melha, Vermelha Verde Azul 6
  8. 8. Resposta: 7 Com as três cores disponíveis é possível pintar 6 bandeirinhas com 3 listras cada uma, sem repetir cores. Outro exemplo: Com as letras da palavra ESCOLA: a) Quantos anagramas* podemos formar? todas as letras de uma [(*) Nota: “anagrama” é um conjunto formado com palavra sob qualquer ordenamento. Exemplo: CSOLEA é um anagrama da palavra ESCOLA. Veja que um anagrama não precisa formar uma palavra com significado.] Solução: Basta calcularmos a Permutação de P 6! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 Resposta: n = 6 elementos: ∙ 1 720 Com as 6 letras da palavra ESCOLA é possível formar 720 anagramas. b) Quantos anagramas começam com a letra E? Solução: Veja que a letra E não participará do embaralhamento, pois permanecerá fixa no começo da palavra. Assim, sim, restam n = 5 letras: P 5! 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Resposta: 120 É possível formar 120 anagramas que começam com a letra E. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  9. 9. c) Quantos anagramas começam com a letra E e terminam com a letra A? Solução: Agora são as letras E e A que não participarão do emb portanto, n = 4 letras: P 4! 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 24 Resposta: embaralhamento. Restam, É possível formar 24 anagramas que começam com a letra E e terminam com a letra A. d) Em quantos anagramas aparece a sílaba LA? Solução: Observe o esquema a seguir: E S C O LA Veja que as letras LA devem permanecer juntas e sempre nesta ordem Se embaralharmos os cartões acima, teremos o total de anagramas pedido. P 5! 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Resposta: 120 É possível formar 120 anagramas que contêm a sílaba LA. e) Em quantos anagramas aparecem juntas as letras E e S? Solução: Observe o esquema a seguir: ES Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ s C O L A 8 aralhamento. ordem.
  10. 10. ou SE C O L A Veja que agora as letras E e S devem permanecer juntas, em qualquer ordem. Podemos raciocinar do seguinte modo: 9 ento externo, que consiste em se embaralhar os cartões, (1) há um embaralhamento sem nos preocuparmos com o conteúdo de cada cartão. O resultado desse embaralhamento é dado pela permutação de 5: , 5! 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 120 interno, que consiste em se observar se há (2) Há também um embaralhamento cartões com letras que podem se apresentar em qualquer ordem. Neste caso, as letras E e S podem se apresentar como: ES ou SE, ou seja, permutação de 2: O resultado final é dado por Resposta: , 2! 2 ∙ 1 2 ∙ 5! ∙ 2! 120 ∙ 2 240 É possível formar 240 anagramas com as letras E e S juntas. Desafio: f) Em quantos anagramas aparecem juntas as letras E, S e L? Dica: Coloque as letras E, S e L em um (permutações) externo e Resposta: 144. interno. Acompanhe a série de dicas único cartão e faça os embaralhamentos ESL C O A dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  11. 11. 4 Permutação com Repetições Nas permutações com repetições há elementos repetidos, tornando levar em conta que tais elementos não geram tais conjuntos devem ser retirados da contagem. Por exemplo: novos resultados, e, desse modo, Na palavra CLORO, se trocarmos as duas letras O de lugar não teremos uma palavra diferente. Fórmula: onde: ,,… ,,… significa Permutação de ! ! ∙ !! ∙ … n elementos com repetições; n é o número de elementos a serem permutados; a, b, ... representam as quantidades de repetições de cada elemento. Exemplo: Quantos anagramas tem a palavra CLORO? Solução: Como há duas letras O dentre as 5 letras da palavra CLORO, devemos dividir o fatorial de 5 pelo fatorial de 2. 5! 2! 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 Resposta: A palavra CLORO tem 60 anagramas. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ , 1 60 10 tornando-se necessário
  12. 12. Exercícios Resolvidos: 1) Quantos são os anagramas da palavra BANANA? Solução: Há três letras A e duas letras N dentre as 6 letras da palavra BANANA, logo , 6! 3! ∙ 2! 6 ∙ 5 ∙ 4 3 ∙ 2 ∙ Resposta: ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 1 ∙ 2 ∙ 1 60 A palavra BANANA tem 60 anagramas. 2) Dividindo-se o número de anagramas da palavra ITAQUAQUECETUBA pelo número de anagramas da palavra PINDAMONHANGABA, obtém equivalente a a) 1/3. b) 1/2. c) 3/5. d) 2/3. e) 3/2. Solução: mero ITAQUAQUECETUBA tem 15 letras ( 2 letras T, 3 letras A, 2 letras Q, 3 letras U, 2 letras E. .... 15! 3! ∙ 3! ∙ 2! ∙ 2 n = 15), com as seguintes repetições: PINDAMONHANGABA tem 15 letras ( 3 letras N, 4 letras A. . 15! 3! ∙ 4! Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ etras 2! ∙ 2! n = 15), com as seguintes repetições: 11 obtém-se uma fração
  13. 13. Dividindo-se um resultado pelo outro (conforme solicita o 15! 3! ∙ 3! ∙ 2! ∙ 2! ∙ 2! 15! 3! ∙ 4! Resposta: Alternativa B. comando 15! 3! ∙ 3! ∙ 2! ∙ 2! ∙ 2! ∙ 3! ∙ 4! 15! 3! ∙ 4! 3! ∙ 3! ∙ 2! ∙ 2 Retomando-se o exemplo com a palavra ESCOLA, responda: a) Quantas palavras com 3 letras podemos formar? b) Quantos conjuntos com 3 letras podemo Veja que agora n = 6 p = 3 O número de candidatos podemos formar? $ % 2! ∙ 2! (n) é maior do que o número de vagas (p) Sempre que isto acontecer, é necessário tomar uma Combinação. 12 da questão): 1 2 ) decisão entre Arranjo e Para tomar tal decisão, retire uma possível resposta da q item a solicita-se a quantidade de a partir das letras da palavra ESCOLA. , questão. uestão. Por exemplo, no palavras com 3 letras que podem ser formadas ESC é uma das palavras com 3 letras. Note que quaisquer 3 letras da palavra ESCOLA formará uma nova palavra com 3 letras. Aqui não é necessário que a palavra tenha sentido! Faça uma troca de dois elementos nesta possível resposta: SEC Agora, compare os dois resultados: ESC e SEC. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  14. 14. Veja que as palavras são diferentes! Isto nos informa que no resultado é relevante diferente. 13 relevante, , isto é, a troca de dois elementos cria uma resposta resolve-se a questão por Arranjo. Quando isto ocorre, resolve Faremos a mesma análise com relação ao item b) Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar? a ordem dos elementos Tomaremos aqui o mesmo grupo de letras que usamos para a análise anterior: {E, S, C} Trocando-se a posição de dois elementos no conjunto acima, tem {S, E, C}. {E, S, C} e {S, E, C} são o mesmo conjunto, isto é, Observe que os conjuntos não importa a ordem com que o conjunto é o mesmo! tem-se: os s elementos se apresentam dentro do conjunto. O Isto nos diz que a ordem dos elementos no resultado NÃO É relevante resolve-se a questão por Combinação. Quando isto ocorre, resolve relevante. Passaremos agora a ver como calcular Arranjos e Combinações por meio de fórmulas, quanto seu o uso delas... Acompanhe a série de dicas simples, tanto dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  15. 15. 5 Arranjo Simples Fórmula: onde: ,' ! ! ,' é lido como Arranjo de n é o número de elementos (candidatos) a serem arranjados; p é o número de vagas nos agrupamentos a serem formados. Exemplo: n elementos, tomados p a p. Quantas palavras com 3 letras p ESCOLA? Solução: podemos formar com as letras da palavra Já tomamos a decisão de resolver a questão por meio de um Arranjo (leia a análise feita anteriormente!) Basta calcularmos o Arranjo das 6 letras da palavra ESCOLA tomando ou: , 6 6! 3! 6 6! 3! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3! 3! 6 ∙ 5 ∙ 4 120 Resposta: Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 120 palavras com 3 letras. 5.1 Cálculo de Arranjo Simples sem fórmula Para desenvolver o Arranjo de proceda do seguinte modo: Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ : n elementos tomados p a p, sem o uso da fórmula, a ,' 14 odemos tomando-as 3 a 3, ,
  16. 16. Desenvolva o fatorial de Exemplo: n e pare quando atingir a quantidade p de fatores. , 6 ∙ 5 ∙ 4 120 15 Note que, acima, o fatorial de 6 foi desenvolvido somente até o terceiro fator, pois p = 3. Outro exemplo: (, 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 1680 O fatorial de 8 foi desenvolvido somente até o quarto fator, pois Exercícios: Calcule, sem o uso da fórmula, os seguintes Arranjos: a) (, b) ), c) ), d) *, e) +, f) +, g) , h) *, Acompanhe a série de dicas p = 4. dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  17. 17. 6 Arranjo com Repetições Exemplo: ' ' Quantas são as possibilidades de se formar placas de veículos automotores com 3 letras e 4 algarismos? Solução: Sabe-se que uma placa de carro pode conter tanto letras, quanto algarismos repetidos, por exemplo: AAQ Note que a placa deve conter letras Faremos a contagem separadamente e encontrados. Letras: n = 26 p = 3 26 17576 Algarismos: n = 26 p = 3 10 10000 * Resposta: ∙ * É possível emplacar 175.760.000 de veículos. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ tas idos, AAQ-7785. e algarismos. multiplicaremos 175.760.000 16 os resultados
  18. 18. 7 Combinação Simples Fórmula: -,' ! ! ∙ ! Onde: -,' é lido como Combinação de n é o número de elementos (candidatos) a serem arranjados; p é o número de vagas nos agrupamentos a serem formados. Exemplo: n elementos, tomados p a p. os 17 Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar com as letras da palavra ESCOLA? Solução: Já tomamos a decisão de resolver a questão por meio de uma Co Combinação. mbinação. Basta calcularmos a Combinação das 6 letras da palavra ESCOLA tomando a 3, ou: -, 6! ! 3! ∙ 6 Resposta: 3! 6! 3! ∙ 3! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3! 3! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 6 ∙ 5 ∙ 4 3 ∙ 2 ∙ 1 tomando-as 3 20 Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 20 conjuntos com 3 letras cada um. 7.1 Cálculo de Combinação Simples sem fórmula Para desenvolver a Combinação de fórmula, proceda do seguinte modo: Acompanhe a série de dicas n elementos tomados p a p, , sem o uso da dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  19. 19. Desenvolva o fatorial de seguir, divida pelo fatorial de Exemplo: n e pare quando atingir a quantidade p Note que, acima, o fatori pois p = 3. A seguir, dividiu Outro exemplo: -,' p. -, 6 ∙ 5 ∙ 4 3 ∙ 2 ∙ 1 20 18 de fatores. A fatorial de 6 foi desenvolvido somente até o terceiro fator, dividiu-se pelo fatorial do p. -(, 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 70 al O fatorial de 8 foi desenvolvido somente até o quarto fator, pois dividiu-se pelo fatorial de 4, pois Exercícios: atorial p = 4. Calcule, sem o uso da fórmula, as seguintes Combinações: a) -(, b) -), c) -), d) -*, e) -+, f) -+, g) -, h) -*, Acompanhe a série de dicas p = 4. A seguir, dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  20. 20. 8 Combinação com Repetições Este tópico raramente é cobr há notícia da ocorrência de alguma questão nos últimos 14 anos 19 cobrado ado em Concursos Públicos. No Teste ANPAD não Mesmo assim, é válido abordá periodicamente... , menos. abordá-lo, tendo em vista que os examinadores mudam A combinação de n elementos, tomados repetidos nos respectivos grupos de ',/ ' .'/ Note que: - p a p, , na qual podem ocorrer elementos p elementos, é dada por: ' - 0 1! ! ∙ 1! ' -.'/ Fica mais fácil de entender por meio de um exemplo. Exemplo: anos, pelo menos Dona Carlota tem um salão de beleza e, semanalmente, compra 8 galões de xampu de 6 marcas diferentes. De quantas formas essa compra pode ser feita? Solução: rentes. Montamos um esquema que ajudará a entender melhor o que acontece, por meio de algumas simulações de possíveis resultados: O esquema a seguir é conhecido como bola as quantidades por bolas e os espaços entre as colunas são preenchidos com sinais +. Marca A Marca B •• + • + • + + + •••• + Acompanhe a série de dicas bola-mais, que consiste em r representar Marca C Marca D Marca E Marca • + •• + •• + ••••• + • + + + • + ••• + F Total 8 • 8 8 dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  21. 21. Na primeira situação uação (quadro acima) simulamos a compra de dois galões da marca A, um galão da marca B, um galão da marca C, dois galões da marca D, dois galões da marca E e nenhum galão da marca F. Na segunda situação simulamos a compra de um galão da marca A, nenhum galão da marca B, cinco galões da marca C, um galão da marca D, nenhum galão da marca E e um galão da marca F Na terceira situação simulamos a compra de nenhum galão da marca A, quatro galões da marca B, nenhum galão da marca C, um galão da marca D, três ga da marca E e nenhum galão da marca F É claro que não é possível continuar a solução da questão por meio de simulações de possíveis resultados. O esquema mostrado acima serve apenas para observarmos o raciocínio que será empregado na solução final. Note que o total de bolas questão em tela, é igual a 8 Observe que a quantidade de símbolos + em cada linha é sempre igual ou, no caso da questão, igual a 5. Disto resulta: ( - 6 0 8 1! 8! ∙ 6 1! 13 8 ( - 13! 8! ∙ 5! 13 ∙ 12 ∙ 8! ∙ 5 Resposta: Há 1.287 diferentes combinações possíveis para Carlota escolher. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ lão em cada linha é sempre igual a p, que, no caso da 8. 13! 8! ∙ 5! 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8! ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 1287 20 galões a 1,
  22. 22. 9 Resumo 9.1 Permutação 21 Consiste em se formar agrupamentos que diferem entre si somente pela ordem de seus elementos. Em outras palavras, na permutação o número de candidatos ( igual ao número de vagas ( elementos do conjunto dado. 9.2 Arranjo p) e a solução consiste apenas em embaralhar junto n) é os n Os agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo número de elementos, quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de outra forma, no Arranjo, o número de candidatos ( $ e trocando-se a ordem dos elementos forma 9.3 Combinação n) é maior do que o número de vagas ( ) p): forma-se um resultado diferente. Os agrupamentos formados diferem entre si pelo número de elementos, não importando a ordem desses elementos no resultado.Em outras palavras, na Combinação, o número de e, trocando-se a ordem dos elementos em cada resultado, forma conjunto igual. Acompanhe a série de dicas candidatos (n) é maior do que o número de vagas ( ) p): forma-se um dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  23. 23. 10 Exercícios 1) Um buffet oferece uma variedade de 8 tipos de comidas. Nesse restaurante, os estudantes pagam metade do preço com a condição de servirem somente 4 tipos de comida. Quantos pratos com 4 tipos diferentes de comida são possíveis montar? Resposta: 70. 2) Em uma gincana estudantil, 5 alunos disputam uma corrida de bicicleta. De quantas maneiras podemos podemo compor os três primeiros lugares? Resposta: 60. 3) Numa turma com 10 amigos, serão sorteados 4 ingressos para um show de rock. De quantas maneiras distintas pode aparecer o resultado do sorteio? Resposta: 5.040. 4) Quantos números de três algarismos di algarismos de 1 a 7? Resposta: 210. diferentes podem ser formados com os 5) Os 20 sócios de um clube querem formar sua diretoria com um presidente, um secretário e um tesoureiro. De quantas maneiras pode ser formada essa diretoria? Resposta: 6.840. 6) Em uma cidade as placas dos automóveis são formadas por três letras diferentes, seguidas de quatro algarismos também diferentes. Quantas são as placas que podem ser obtidas, utilizando Resposta: 7.200. 7) Uma emissora de rádio é composta por 4 narradores e 6 comentaristas. Deseja se formar uma comissão com 4 de seus radialistas para fazer a cobertura de um jogo de futebol. De quantas maneiras distintas é possível organizar essa comissão sabendo que existem 2 vagas para narrad Resposta: 60. 8) De quantas maneiras distintas podemos organizar 5 pessoas em uma fila? Resposta: 120. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ ma utilizando-se os algarismos ímpares e vogais? io narradores e 2 para comentaristas? 22 ferentes Deseja-se ores
  24. 24. 23 9) Uma pessoa tem dez amigos, dos quais dois estão brigados entre si. De quantas maneiras ela pode convidar cinco amigos para p ara jantar, tendo o cuidado de não convidar, simultaneamente, os dois amigos brigados? Resposta: 2.016. 10) Três irmãs dispõem de 5 diferentes fantasias para, perfiladas (lado a lado), posarem juntas numa foto. De quantas maneiras distintas podemos compor foto? Resposta: 360. Acompanhe a série de dicas essa dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  25. 25. 11 Testes 1) O número de anagramas com a palavra UFRGS é a) 20. b) 40. c) 60. d) 100. e) 120. 2) O número de anagramas com a palavra ÔNIBUS que começa por vogal é a) 2160. b) 120. c) 240. d) 720. e) 360. 24 3) O número de anagramas da palavra JABOTI que começam por vogal e terminam por consoante é a) 120. b) 216. c) 540. d) 720. e) 750. gramas 4) Quantos números ímpares de três algarismos distintos algarismos 1, 2, 3, 5, 7, 9? a) 100. b) 120. c) 150. d) 180. e) 210. Acompanhe a série de dicas podemos formar com os dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  26. 26. 25 5) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e y são, respectivamente, a) 48 e 36. b) 48 e 72. c) 72 e 36. d) 24 e 36. e) 72 e 24. 6) Quantos são os anagramas da palavra SARARA? a) 60. b) 120. c) 240. d) 720. e) 750. x anagramas que 7) Um estudante permutou os 6 dígitos do seu aniversário para compor uma senha bancária. O número total de possibilidades de senha para este estudante que nasceu em 01.05.85 é a) 90. b) 180. c) 360. d) 720. e) 750. 8) Um trem é constituído de uma locomotiva e seis vagões distintos, sendo um restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiv diferentes de montar a composição é a) 20. b) 320. c) 500. d) 600. e) 720. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ uantos 5 locomotiva, a, o número de modos
  27. 27. 9) Quantos números diferentes podemos formar permutando os algarismos do número 122.223? a) 15. b) 30. c) 20. d) 40. e) 120. 10) Dividindo-se o número de an anagramas da palavra URUBU, obtém a) 1/2. b) 1/3. c) 3/2. d) 2/3. e) 3/5. anagramas da palavra ARARA pelo número de obtém-se uma fração equivalente a 11) ANPAD-2006. A figura ao lado mostra o mapa imaginário de uma cidade constituída por cinco bairros. Deseja-se colorir cada bairro com uma das cores vermelha, azul ou amarela, de maneira que, dois bairros vizinhos não possuam a mesma cor. O número de maneiras diferentes segundo as quais o mapa pode ser pintado é a) 6. b) 12. c) 24. d) 48. e) 120. 12) ANPAD-2003. Durante a sua programação, uma emissora de rádio toca diariamente sempre as mesmas oito músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis sequências dessas músicas serão necessários aproximadamente a) 100 dias. b) 1 ano. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ 003. 26 agramas
  28. 28. c) 10 anos. d) 1 século. e) 10 séculos. 27 13) ANPAD-2003. Onze clubes disputaram o campeonato. Cada clube jogou com cada um dos outros duas partidas, uma em cada turno do campeonato. No final, dois clubes ficaram empatados e, por isso, houve um jogo para o desempate. O número total de jogos disputados foi a) 112. b) 111. c) 110. d) 56. e) 55. 14) ANPAD-2003. Em uma ilha falam fala exatamente dois idiomas e, para cada conjunto de dois idiomas há um único habitante que fala esses igual a a) 6. b) 8. c) 12. d) 16. e) 24. falam-se apenas quatro idiomas. Cada habitante dois idiomas. Então, o número de habitantes da ilha é 15) ANPAD-2007. Um grupo de sete pessoas é formado por dois irmãos, dois casais e um padre. Esse grupo deseja tirar uma foto, obedecendo às seguintes regras: • todos os membros do grupo devem se posicionar lado a lado (perfilados); • o padre deve se posicionar em um extremo, no lado direito ou no lado esquerdo; • cada casal deve permanecer junto. Considerando essas regras, quantas fotos distintas podem ser tiradas pe ou seja, quantas combinações de posicionamento dos membros do grupo podem ser geradas para tirar diferentes fotos? a) 84. b) 92. c) 96. Acompanhe a série de dicas pelo grupo, dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  29. 29. d) 192. e) 5040. 16) ANPAD-2007. O número de anagramas que podem ser feitos com a palavra ADMINISTRADOR, de respectivas posições, é a) 120. b) 56. c) 30. d) 20. e) 10. modo que as consoantes sejam mantidas em suas 17) Utilizando-se o teclado do computador, deseja algumas funções. Para isso, deverão ser usadas no mínimo duas das três te SHIFT, CTRL e ALT, pressionadas simultaneamente, seguidas de dois algarismos distintos de 0 a 9. A quantidade de códigos diferentes que pode ser obtida por esse processo é de a) 216. b) 270. c) 288. d) 360. e) 400. deseja-se atribuir códigos para 18) ANPAD-2006. Para proteger um a confidencial, Alberto criou uma senha com uma sequência de 4 algarismos distintos, na qual o último algarismo é o dobro do primeiro. Para abrir o arquivo, o número máximo de tentativas diferentes é igual a a) 90. b) 112. c) 168. d) 224. e) 280. arquivo que continha um documento 19) ANPAD-2006. Uma certa linha de ônibus parte da cidade A e vai até a cidade E , parando nas cidades B , C e D, onde podem descer ou embarcar passageiros. Em cada bilhete de passagem, apresentam das cidades de origem e de chegada. No sentido do percurso acima, quantos tipos Acompanhe a série de dicas apresentam-se impressos os nomes dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ e 28 teclas rquivo
  30. 30. 29 de bilhetes de passagens são necessários para permitir a viagem entre duas cidades quaisquer? a) 5. b) 10. c) 12. d) 15. e) 20. 20) ANPAD-2006. Existem sete funcionários aptos a executar distintas em uma empresa. Qualquer um deles está habilitado para realizar qualquer dessas tarefas. Assim, o gerente da empresa pode escolher quaisquer quatro dentre os sete funcionários e atribuir a cada um deles uma das quatro atividades. O número de possibilidades distintas para essa atribuição é a) 840. b) 625. c) 365. d) 35. e) 24. quatro tarefas 21) ANPAD-2005. Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7 e 9? a) 130. b) 180. c) 240. d) 360. e) 180. 22) ANPAD-2004. Sobre uma circunferência, marcam Então, a quantidade de triângulos com vértice nesses pontos marcados é a) 36. b) 63. c) 84. d) 168. e) 504. Acompanhe a série de dicas marcam-se 9 pontos distintos. dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  31. 31. 30 23) ANPAD-2004. O Conselho Desportivo de uma escola é composto professores e 3 alunos. Candidataram professores e 12 alunos. Então, o número de maneiras diferentes que este Conselho pode ser composto é a) 360. b) 1100. c) 2200. d) 3260. e) 6188. por 2 Candidataram-se para constituir esse Conselho 5 24) ANPAD-2004. Com os algari números de 3 algarismos distintos que se podem formar é a) 120. b) 180. c) 210. d) 216. e) 343. algarismos smos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, a quantidade de 25) ANPAD 2009 - Com três advogados, duas secretárias e quatro gerentes, o número de comissões de cinco pessoas que delas tenha pelo menos um advogado, uma secretária e um gerente é igual a a) 126. b) 119. c) 104. d) 100. e) 98. se pode formar, desde que cada uma 26) ANPAD 2009 - Uma indústria de cosméticos está se preparando para participar de um evento em que monta para massagens. Para isso, convocou sete de seus funcionários (sendo três químicos e quatro vendedores) e contratou cinco massagistas para formar equipes de cinco pessoas que revezarão durante o evento. Considerando compor cada equipe, são necessários pelo menos dois massagistas, pelo menos um vendedor e exatamente um químico, então será possível formar a) 500 equipes distintas. Acompanhe a série de dicas montará rá um estande e exporá um novo produto Considerando-se que, para dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  32. 32. b) 300 equipes distintas. c) 200 equipes distintas d) 100 equipes distintas. e) 60 equipes distintas. 31 27) ANPAD 2009 - Vitor esqueceu a senha numérica que colocou em um arquivo. Ele lembra que era formada por quatro algarismos diferentes, sendo que o primeiro era o triplo do terceiro. Então, o maior número de tentativas diferentes que Vitor pode fazer para abrir o arquivo é a) 168. b) 224. c) 336. d) 480. e) 504. 28) ANPAD 2010 - Para montar uma pizza, os clientes de um restaurante devem obrigatoriamente escolher: I. um dentre os tipos de massa: fina, média e grossa; II. um dentre os tamanhos: médio e grande; III. um dentre os queijos: mussarela, prato e gorgonzola; IV. adição ou não de orégano; e V. de um a três dentes os tipos de recheio: calabresa, frango, presunto, brócolis e filé, sem possibilidade de repetição em uma mesma Dadas essas condições, o número de pizzas distintas que é possível montar é igual a a) 3.060. b) 900. c) 206. d) 95. e) 35. 29) ANPAD 2010 - Uma empresa multinacional é formada por nove sócios, dos quais nenhum tem dupla nacionalidade, quatro são e três são italianos. Decidiu Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ re pizza. brasileiros, dois são japoneses Decidiu-se que a próxima diretoria seria constituída de quatro
  33. 33. 32 sócios e deveria contemplar todas as três nacionalidades. O número de formas distintas de se formar essa diretoria é igual a a) 36. b) 72. c) 95. d) 126. e) 144. 30) ANPAD 2010 - O presidente de uma indústria decidiu formar uma comissão de três pessoas para, uma vez por semana, fazer uma vistoria no setor produtivo. Para evitar que a comissão seja sempre a mesma, ele designou quatro mulher três homens devidamente capacitados para tal atividade. Sabendo exigida a presença de pelo menos uma mulher em cada comissão, o número de comissões distintas passíveis de serem formadas é igual a a) 35. b) 34. c) 30. d) 18. e) 12. 31) ANPAD 2011 - Um professor distribui aos seus alunos uma folha com a figura ao lado. Os alunos devem colorir cada quadrado de modo que os dois quadrados adjacentes (que compartilham uma mesma aresta) não tenham a mesma cor. assim, de quantas formas distintas a ser colorida se o professor só aceita figuras que tenham exatamente três cores distintas, independentemente de quais sejam as três cores escolhidas? a) 6. b) 9. c) 10. d) 12. e) 15. figura pode mulheres e Sabendo-se eu foi 32) ANPAD 2011 - Caio comprou presentes João, que mora na cidade A; Pedro e Luís, que moram na cidade B e no mesmo Acompanhe a série de dicas distintos para seus cinco sobrinhos: dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  34. 34. endereço; e José e Antônio, que moram na cidade C e também no mesmo endereço. Considerando-e que os sobrinhos ficariam felizes independentemente do presente recebido, quantas são as maneiras distintas pelas quais Caio pode enviar os presentes, sem identificação do nome do destinatário, pelos Correios? a) 20. b) 30. c) 40. d) 60. e) 120. -se que Caio não pode visitar seus parentes no momento 33) ANPAD 2011 - A tabela a seguir mostra a distribuição de frequência conjunta das variáveis setor e grau de instrução referente aos dados dos 36 funcionários de uma empresa Setor A B C A empresa vai sortear três desses 36 funcionários para fazer parte de uma comissão. A probabilidade de que a comissão seja formada por dois funcionários que tenham apenas o ensino médio completo e um funcionário com ensino superior completo é ∙ C a) C* . 0 C b) C* . 6 ∙367 c) 345 4 8 . 385 6 .345 d) 367 4 8 . 385 Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ e Grau de Instrução Ensino Médio Completo Ensino Superior Completo 7 4 8 4 5 8 33
  35. 35. 6 ∙345 e) 367 4 8 385 34) ANPAD 2011 - No novo sistema de segurança implantado em uma empresa, cada funcionário terá uma senha de acesso const quais três são necessariamente letras (entre as 26 letras do alfabeto, sem distinção entre maiúsculas e minúsculas) e um é necessariamente algarismo (de 0 a 9), não havendo necessariamente uma ordem específica para a combin algarismos. Sendo assim, qual é o número de senhas que possuem três letras iguais? a) 2.080. b) 1.040. c) 936. d) 260. e) 234. constituída de quatro caracteres, dos combinação entre letras e 35) ANPAD 2012 - Na sala da casa da minha avó, há um lustre com 10 lâmpadas coloridas. Como medida de econo acende, simultaneamente, de quatro a seis lâmpadas aleatoriamente. O número de maneiras distintas pelas quais as lâmpadas do lustre podem ser acesas, se o sistema for acionado, é igual a a) 396. b) 462. c) 584. d) 672. e) 724. economia de energia elétrica, há um sistema que 36) ANPAD 2012 - Três rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentar os seis, lado a lado, na mesma fileira. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as três moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, e nas extremidades fiquem apenas rapazes é igual a a) 3. b) 6. c) 36. d) 72. e) 108. Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ o 34 ituída ação mia sentar-se,
  36. 36. 35 37) ANPAD 2012 - Maria tem contas de oito cores diferentes e quer montar brincos com quatro contas enfileiradas, devendo as cores das contas ser distintas entre si. A última conta deve ser azul, preta, branca ou vermelha, e a primeira não pode ser vermelha. Assim, o número de brincos diferentes que podem ser formados é igual a a) 672. b) 750. c) 840. d) 1.240. e) 1.568. 38) ANPAD 2012 - Anagramas de uma pala podemos formar permutando anagrama de uma palavra não precisa ter significado. Quantos anagramas da palavra ANPAD não começam nem terminam por vogal? a) 6. b) 18. c) 24. d) 60. e) 120. 39) ANPAD 2013 - Utilizando duas letras A, três letras B e ( podemos formar (n – 2) n (n – 1) anagramas diferentes com as a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) é a maior raiz positiva da equação 40) ANPAD 2013 - Se as expressões necessariamente teremos: a) E : E. b) E E. c) E 2E. d) E E. e) E E Acompanhe a série de dicas e E C dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ tre palavra são as diferentes palavras que permutando-se de todos os modos possíveis as suas letras. O n n letras. Determine o valor de n(n – 7) = –6 aumentada de 2 unidades E C; C;/ ; existirem, então vra – 5) letras C, n. unidades.
  37. 37. 36 41) ANPAD 2014 - A quantidade de anagramas da palavra ANPAD em que as letras A aparecem separadas é igual a a) 24. b) 36. c) 60. d) 84. e) 96. Neste link você encontra uma coletânea de provas de Concursos Públicos. Algumas delas estão resolvidas e comentadas: https://www.facebook.com/groups/souintegral/809233615794458/ Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  38. 38. Gabarito: 1-E 2-E 3-B 4-A 11-A 12-D 13-B 14-A 21-B 22-C 23-C 24-B 31-D 32-B 33-E 34-B 41-B 5-A 6-A 7-B 8-D 9-B 10 15-D 16-C 17-D 18-D 19-B 20 25-E 26-B 27-A 28-B 29-B 30 35-D 36-D 37-B 38-B 39-D 40 Para outras questões sobre esse tópico Assunto no livro 500 questões resolvidas https://www.facebook.com/groups/souintegral/648787848505703/ tópico, consulte o Índice de Questões por Baixe os cadernos de provas anteriores (baixe-o, gratuitamente, aqui: da ANPAD no Grupo Sou Integral: (1) Provas de 2009 a 2012: https://www.facebook.com/groups/souintegral/648788225172332/ (2) Provas de 2013 e 2014: https://www.facebook.com/groups/souin souintegral/804094236308396/ No final deste Caderno há uma lista de links diretos para os arquivos mais acessados em nossa pasta pública de material didático. Mantenha o seu material didático sempre atualizado atualizado! Realizamos revisões constantes em nossos mater correção de erros e acréscimos de novos conteúdos. materiais didáticos, para a Visite nossa pasta pública de material didático https://www.facebook.com/groups/souintegral/files Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pay bem.html Acompanhe a série de dicas regularmente: dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/ icipe pay-it-forward-corrente 37 10-A 20-A 30-B 40-A , 648787848505703/). tegral/iais corrente-do-
  39. 39. 12 Instituto Integral Editora 1. Raciocínio Lógico Formal ico 2. Raciocínio Lógico Informal https://www.facebook.com/groups/souintegral/648 226115228543 3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos https://www.facebook.com/groups/souintegral/664 452690272552/ 5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira https://www.facebook.com/groups/souintegral/809 923325725487/ Acompanhe a série de dicas - Catálogo 38 https://www.facebook.com/groups/souintegral/663 478483703306/ 4. Caderno RQ2 - Proporcionalidade https://www.facebook.com/groups/souintegral/667 512393299915/ 6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I https://www.facebook.com/groups/souintegral/648 788225172332/ dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/
  40. 40. 7. Caderno de Testes ANPAD - Vol. II 8. 500 questões resolvidas https://www.facebook.com/groups/souintegral/804 094236308396/ Acompanhe os lançamentos d http://profmilton.blogsp colecao.html . blogspot.com.br/2014/01/livros-digitais-gratuitos Próximos lançamentos: da Série Cadernos RQx: 10. Caderno RQ5 - Probabilidade 11. Caderno RQ6 - Estatística 12. Caderno RQ7 - Funções 39 https://www.facebook.com/groups/souintegral/648 13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões 14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determ 787848505703/ Determinantes gratuitos- 15. Caderno RQ10 - Geometrias Plana, Espacial e Analítica 16. Caderno RQ11 - Matemática Básica Agradecemos a preferência pelo nosso material didático! Acompanhe a série de dicas dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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