Vortrag gehalten auf der 13. Tagung Allgemeine Mathematik
Mathematik und Gesellschaft - Philosophische, historische und didaktische Perspektiven, Schloß Rauischolzhausen, 18.06.2015
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Rechnen oder Rechnen lassen? Mathematik(unterricht) als Bürgerrecht und Bürgerpflicht
1. Rechnen oder Rechnen lassen?
Mathematik(unterricht) als Bürgerrecht und
Bürgerpflicht
Assoz. Prof. Dr. Andreas Vohns
Institut für Didaktik der Mathematik
Tagung „Allgemeine Mathematik“
Schloss Rauischholzhausen, 18.06.2015
2. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Einführung und Überblick
Überblick
• Teil 1:
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
• Teil 2:
Ausführen, Delegieren, Reflektieren und Entscheiden (Fischer)
• Teil 3:
Mathematik in Angelegenheiten des öffentlichen Lebens
– eine Einkreisung
• Fazit:
Didaktische Thesen / Desiderata
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
3. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
Grunderfahrungen
Mathematikunterricht und Allgemeinbildung (Winter, 1995)
Der Mathematikunterricht sollte anstreben, die folgenden drei
Grunderfahrungen, die vielfältig miteinander verknüpft sind, zu
ermöglichen:
(1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder
angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer
spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,
(2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in
Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als
eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu
begreifen,
(3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die
über die Mathematik hinausgehen, (heuristische Fähigkeiten) zu
erwerben.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
4. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
Grunderfahrungen
Mathematikunterricht und Allgemeinbildung (Winter, 1995)
Der Mathematikunterricht sollte anstreben, die folgenden drei
Grunderfahrungen, die vielfältig miteinander verknüpft sind, zu
ermöglichen:
(1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder
angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer
spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,
(2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in
Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als
eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu
begreifen,
(3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die
über die Mathematik hinausgehen, (heuristische Fähigkeiten) zu
erwerben.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
5. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
Modellbildung und Aufklärung (1)
Mathematikunterricht und Allgemeinbildung (Winter, 1995)
In (1) ist die Mathematik als nützliche, brauchbare Disziplin
angesprochen und tatsächlich ist sie in dieser Hinsicht von schier
universeller Reichweite. Dies allein impliziert noch nicht eine
Bedeutung für Allgemeinbildung; [. . . ]
Interessant und wirklich unentbehrlich für Allgemeinbildung sind
Anwendungen der Mathematik erst, wenn in Beispielen aus dem gelebten
Leben erfahren wird, wie mathematische Modellbildung funktioniert
und welche Art von Aufklärung durch sie zustande kommen kann,
und Aufklärung ist Bürgerrecht und Bürgerpflicht.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
6. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
Sachrechnen und/als Bürgerliches Rechnen
Bürger und Mathematik (Winter, 1990)
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
7. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
Sachrechnen und/als Bürgerliches Rechnen
Bürger und Mathematik (Winter, 1990)
Das Dilemma der Zielprojektion zwischen Anpassung und Aufklärung betrifft
[. . . ] die Frage, ob die Schüler in erster Linie [. . . ] für nützlich erachtete
Dinge der späteren privaten Lebens- und Berufspraxis lernen sollten, um
sich dort möglichst erfolgreich (oder gar clever) behaupten zu können,
oder ob die Schüler mehr (bzw. darüber hinaus) zu Bürgern im Sinne von
mündigen Demokraten herangebildet werden sollen, also Weltkenntnis,
Urteilsfähigkeit, Handlungs- und Verantwortungsbereitschaft in Fragen des
öffentlichen Lebens der Menschen erwerben sollen.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
8. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
Kommunikationsfähigkeit mit ExpertInnen (Winter!)
Bürger und Mathematik (Winter, 1990)
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
9. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
Kommunikationsfähigkeit mit ExpertInnen (Winter!)
Bürger und Mathematik (Winter, 1990)
Man macht es sich zu „bequem“ (Kant, 1784) „wenn man als Laie die
gutachterlichen Äußerungen der Experten gläubig vernehme, ohne sie
begreifen zu können,[. . . ] wenn man also als Laie brav befolgte, was die
Experten und die mit ihnen evtl. verbundenen Machtgruppen sagen.
Soll [. . . ] der >normale Bürger< trotz aller Hemmnisse ein gewisses Maß an
Einsicht, Urteilsfähigkeit und Handlungsorientierung erlangen, erwächst
daraus das Problem der Aufklärung“.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
10. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
Modellbildung und Aufklärung (2)
erfordert
Bürger und Mathematik (Winter, 1990)
(1) „eine entschiedene Umorientierung im Gegenständlichen [. . . ]
nämlich eine Abkehr vom Lösen isolierter und letztlich doch nur
fachsystematisch sinnvoller Übungsaufgaben und eine
Hinwendung zum geistigen Ordnen und Deuten von
Situationskomplexen in ihrer mathematisch-sachkundlichen
Doppelnatur, die prinzipiell für alle Menschen wichtig ist“
(2) „Sapere aude!“ i. S. v. Mut, „mehr Selbststätigkeit anzustreben, mehr
entdeckenlassenden Unterricht zu ermöglichen“
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
11. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
„Reine Mathematik“ und Aufklärung
Mathematikunterricht und Allgemeinbildung (Winter, 1995)
Der Mathematikunterricht sollte anstreben, die folgenden drei
Grunderfahrungen, die vielfältig miteinander verknüpft sind, zu
ermöglichen:
(1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen
sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art
wahrzunehmen und zu verstehen,
(2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in
Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als
eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu
begreifen,
(3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die
über die Mathematik hinausgehen, (heuristische Fähigkeiten) zu
erwerben.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
12. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
„Reine Mathematik“ und Aufklärung
Mathematikunterricht und Allgemeinbildung (Winter, 1995)
Lernende sollen erfahren, „dass Menschen im Stande sind, Begriffe zu
bilden und daraus ganze Architekturen zu schaffen. Oder anders: Dass
strenge Wissenschaft möglich ist“
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
13. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
„Reine Mathematik“ und Aufklärung
Mathematikunterricht und Allgemeinbildung (Winter, 1995)
Lernende sollen erfahren, „dass Menschen im Stande sind, Begriffe zu
bilden und daraus ganze Architekturen zu schaffen. Oder anders: Dass
strenge Wissenschaft möglich ist“
Zur Problematik des Beweisbedürfnisses (Winter, 1983)
Lernende erschaffen „selbst den Gegenstand noch einmal neu“ und können
dessen „Richtigkeit [. . . ] jedermann gegenüber aus der Sache heraus
vertreten“
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
14. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
„Reine Mathematik“ und Aufklärung
Mathematikunterricht und Allgemeinbildung (Winter, 1995)
Lernende sollen erfahren, „dass Menschen im Stande sind, Begriffe zu
bilden und daraus ganze Architekturen zu schaffen. Oder anders: Dass
strenge Wissenschaft möglich ist“
Zur Problematik des Beweisbedürfnisses (Winter, 1983)
Lernende erschaffen „selbst den Gegenstand noch einmal neu“ und können
dessen „Richtigkeit [. . . ] jedermann gegenüber aus der Sache heraus
vertreten“
Bürger und Mathematik (Winter, 1990)
Lernende emanzipieren sich gegenüber Mathematik, wo „Reflexion auf das
mathematische Tun selbst ein Bewußtsein von den Voraussetzungen und
Möglichkeiten des Denkens vermitteln, das ja jede Aufklärung voraussetzt“
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
15. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Bürgerliches Rechnen, Aufklärung und Modellbildung (Winter)
Mathematik(unterricht) und Anpassung
Sachrechnen (Keitel, 1979)
Lernende erfahren „von früh an, dass sich mit ihrer [Mathematik] Hilfe alle
Probleme [. . . ] lösen lassen, und zwar eindeutig richtig.
Bei Aufgaben, die man nicht lösen kann, versagt nicht die Mathematik,
sondern der Schüler; eine falsche Lösung bedeutet nur, daß man sich
verrechnet hat.
So entsteht die argumentative Stringenz von Berechnungen gleich welcher
Art, die Überzeugungskraft von Zahlen, gleichviel, wie sie zustandekommen,
die überall dort ihre Wirkung tut, wo jemand, der meist länger Mathematik
gelernt hat, diejenigen, die meist weniger Mathematik lernen konnten, von
der Logik und Notwendigkeit einer Absicht oder Maßnahme überzeugen
will.“
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
16. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Ausführen, Delegieren, Reflektieren und Entscheiden (Fischer)
Ausführen und Delegieren
• Bildungsideal:
reflektiert urteils- und entscheidungsfähige/r Laie/Laiin
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
17. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Ausführen, Delegieren, Reflektieren und Entscheiden (Fischer)
Ausführen und Delegieren
• Bildungsideal:
reflektiert urteils- und entscheidungsfähige/r Laie/Laiin
• Gegenwartsdiagnose:
demokratisch verfasste, arbeitsteilig organisierte
Entscheidungsgesellschaft
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
18. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Ausführen, Delegieren, Reflektieren und Entscheiden (Fischer)
Ausführen und Delegieren
• Bildungsideal:
reflektiert urteils- und entscheidungsfähige/r Laie/Laiin
• Gegenwartsdiagnose:
demokratisch verfasste, arbeitsteilig organisierte
Entscheidungsgesellschaft
• Gesellschaftliche Herausforderung:
Expertinnen-Laien-Kommunikation mit asymmetrischer Verteilung von
Information und Verantwortung
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
19. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Ausführen, Delegieren, Reflektieren und Entscheiden (Fischer)
Ausführen und Delegieren
• Bildungsideal:
reflektiert urteils- und entscheidungsfähige/r Laie/Laiin
• Gegenwartsdiagnose:
demokratisch verfasste, arbeitsteilig organisierte
Entscheidungsgesellschaft
• Gesellschaftliche Herausforderung:
Expertinnen-Laien-Kommunikation mit asymmetrischer Verteilung von
Information und Verantwortung
• Bildungsproblem:
Fächerorientierte Allgemeinbildung (Fischer, 2012)
Was man wissen und tun können muss, also lernen sollte, um gut
delegieren zu können und sich beraten zu lassen
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
20. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Ausführen, Delegieren, Reflektieren und Entscheiden (Fischer)
Kommunikationsfähigkeit mit ExpertInnen (Fischer)
Mathematik
Wozu Modellieren? Position 3: Fischer
9
Was soll man (im Prozess der Bildung) getan haben?
vs.
Was soll (als Ergebnis des Prozesses) über bleiben?
Expertenausbildung
Grundwissen
Begriffe, Konzepte,
Darstellungen
Expertenausbildung
Operatives
Wissen und Können
Generierung von Wissen,
Problemlösung, Beweise
Reflexion(swiss)en
Bedeutung/Grenzen von
Begriffen/Methoden
Allgemeinbildung
Höhere Allgemeinbildung (Fischer, 2001)
Experten müssen in allen drei Bereichen kompetent sein, für die gebildeten
Laien hingegen sind vor allem der erste und der dritte Bereich, also
Grundwissen und Reflexion, von Relevanz.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
21. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Mathematik in Angelegenheiten des öffentlichen Lebens – eine Einkreisung
Angelegenheiten des öffentlichen Lebens
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
22. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Mathematik in Angelegenheiten des öffentlichen Lebens – eine Einkreisung
Angelegenheiten des öffentlichen Lebens
Politikbegriffe (von Alemann, 2002)
Politik ist öffentlicher Konflikt von Interessen unter den Bedingungen von
Machtgebrauch und Konsensbedarf.
Politikwissenschaft beschäftigt sich mit der so verstandenen Politik
wissenschaftlich in den Dimensionen der politischen Form (polity), der
politischen Inhalte (policy) und der politischen Prozesse (politics).
3
Systematische Dimensionen des Politikbegriffs
Dimension Erscheinungsform Merkmale Bezeichnung
Form - Verfassung
- Normen
- Institutionen
- Organisation
- Verfahrensregelungen
- Ordnung
polity
Inhalt - Aufgaben und Ziele
- politische Programme
- Problemlösung
- Aufgabenerfüllung
- Wert- und Zielorientierung
- Gestaltung
policy
Prozeß - Interessen
- Konflikte
- Kampf
- Macht
- Konsens
- Durchsetzung
politics
Quelle: Böhret u.a. 1988, S. 7
3. Normative Dimensionen des Politikbegriffs: Die Begriffstrias, die übri-Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
23. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Mathematik in Angelegenheiten des öffentlichen Lebens – eine Einkreisung
Mathematik und Politik
Mathematik als Erkenntnis- und Konstruktionsmittel kann strukturierend sein
für
• politische Inhalte (policy): Problembeschreibungen,
Gestaltungsmöglichkeiten, Problemlösungsvorschläge, Wert- und
Zielorientierungen
• politische Formen (polity): Verfahrensregelungen, Normsetzungen,
Institutionen, Organisationen
• politische Prozesse (politics): Konflikte, Interessenslagen,
Durchsetzungsformen, Konsensfindungsstrategien
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
24. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Mathematik in Angelegenheiten des öffentlichen Lebens – eine Einkreisung
Mathematik und Politik
Mathematik als Erkenntnis- und Konstruktionsmittel kann strukturierend sein
für
• politische Inhalte (policy): Problembeschreibungen,
Gestaltungsmöglichkeiten, Problemlösungsvorschläge, Wert- und
Zielorientierungen
• politische Formen (polity): Verfahrensregelungen, Normsetzungen,
Institutionen, Organisationen
• politische Prozesse (politics): Konflikte, Interessenslagen,
Durchsetzungsformen, Konsensfindungsstrategien
Aber: Mathematisierung ist Teil des Konflikts von Interessen unter den
Bedingungen von Machtgebrauch und Konsensbedarf (politics), dieser ist
durch „mathematische Disziplinierung“ nicht prinzipiell (auf)lösbar.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
25. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Mathematik in Angelegenheiten des öffentlichen Lebens – eine Einkreisung
Drei Gesetze
s = 0 · t −
2
· t2
p = ( − 3) · 2
p =
145
100000
· e + 65, 546
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
26. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Mathematik in Angelegenheiten des öffentlichen Lebens – eine Einkreisung
Drei Gesetze
Weg-Zeit-Gesetz
s = 0 · t −
2
· t2
p = ( − 3) · 2
p =
145
100000
· e + 65, 546
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
27. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Mathematik in Angelegenheiten des öffentlichen Lebens – eine Einkreisung
Drei Gesetze
Weg-Zeit-Gesetz
s = 0 · t −
2
· t2
Normverbrauchsabgabegesetz
p = ( − 3) · 2
p =
145
100000
· e + 65, 546
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
28. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Mathematik in Angelegenheiten des öffentlichen Lebens – eine Einkreisung
Drei Gesetze
Weg-Zeit-Gesetz
s = 0 · t −
2
· t2
Normverbrauchsabgabegesetz
p = ( − 3) · 2
Regionales-Preisniveau-Durchschnittseinkommens-„Gesetz“
p =
145
100000
· e + 65, 546
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
29. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Didaktische Thesen / Desiderata
Didaktische Thesen / Desiderata
(1) Jeder Mathematikunterricht, ob er will oder nicht, kann im Sinne
„(staats-)bürgerlicher Erziehung“ wirken, aber Mathematikunterricht
wirkt niemals politisch bildend, wenn er sich dieses Zieles nicht explizit
annimmt.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
30. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Didaktische Thesen / Desiderata
Didaktische Thesen / Desiderata
(1) Jeder Mathematikunterricht, ob er will oder nicht, kann im Sinne
„(staats-)bürgerlicher Erziehung“ wirken, aber Mathematikunterricht
wirkt niemals politisch bildend, wenn er sich dieses Zieles nicht explizit
annimmt.
(2) Wo schulmathematische Inhalte in redlicher Weise geeignet erscheinen,
außermathematische Phänomene öffentlichen Interesses zu
durchdenken, ebenso wie dort, wo schulmathematische Inhalte faktisch
mit solchen Phänomenen außerhalb von Schule verbunden sind, hat
Mathematikunterricht materiell aufklärende Aufgaben.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
31. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Didaktische Thesen / Desiderata
Didaktische Thesen / Desiderata
(3) Dort, wo Argumentationen auf mathematische Hilfsmittel zurückgreifen,
bei denen eine autonome Rekonstruktion in der Realsituation dem Laien
regelmäßig nicht möglich sein wird, bleibt eigentlich kein Ausweg, als
auf Transfer hinzuarbeiten.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns
32. Einführung Teil I Teil II Teil III Fazit
Didaktische Thesen / Desiderata
Didaktische Thesen / Desiderata
(3) Dort, wo Argumentationen auf mathematische Hilfsmittel zurückgreifen,
bei denen eine autonome Rekonstruktion in der Realsituation dem Laien
regelmäßig nicht möglich sein wird, bleibt eigentlich kein Ausweg, als
auf Transfer hinzuarbeiten.
(4) Mathematikunterricht, der die sogenannte „Reine“, also
nicht-interpretierte Mathematik marginalisiert, läuft nicht minder
Gefahr, Aufklärung zu verhindern.
Rechnen oder Rechnen lassen? Andreas Vohns