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Veremos agora algumas PROPRIEDADES dos quadril´teros not´veis.                                              a         a   ...
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Apostila de quadrilateros

  1. 1. Universidade do Estado do Par´. aCurso de Licenciatura Plena em Matem´tica. a ´ ESTUDO SOBRE QUADRILATEROSVamos come¸ar com a defini¸ao de “quadril´tero”. c c˜ aDefini¸˜o 0.1 Sejam A, B, C, D pontos coplanares, distintos, com 3 pontos n˜o coline- ca aares. Chama-se Quadril´tero ABCD ` uni˜o dos segmentos AB, BC, CD, DA. a a a • AB, BC, CD, DA s˜o os lados do quadril´tero. a a • A, B, C, D s˜o os ˆngulos internos. a a • AC e DB s˜o diagonais. a • Um quadril´tero sempre tem duas diagonais. a • A soma dos angulos internos de um quadril´tero ´ sempre 360o . ˆ a e • A soma dos angulos externos: 360o . ˆ Estudaremos alguns quadril´terios convexos especiais: a ´ 1. TRAPEZIO: ´ um quadril´tero convexo que possui dois lados paralelos. e a ABCD Trap´zio ⇐⇒ AB//CD ou AD//BC e Os lados paralelos s˜o as bases (Na figura s˜o os lados DC e AB) a a • trap´zio is´sceles: lados n˜o paralelos s˜o congruentes. e o a a 1
  2. 2. • trap´zio escaleno: lados n˜o paralelos n˜o s˜o congruentes. e a a a • trap´zio retˆngulo: possui dois angulos retos. e a ˆ2. PARALELOGRAMO: quadril´tero convexo que possui os lados opostos pa- a ralelos. ABCD Paralelogramo ⇐⇒ AB//CD e AD//BC Observa¸˜o 0.1 Todo o paralelogramo ´ um trap´zio. ca e e ˆ3. RETANGULO: quadril´tero convexo que possui 4 ˆngulos congruentes. a a ABCD Retˆngulo ⇐⇒ A ≡ B ≡ C ≡ D a4. LOSANGO: quadril´tero convexo com os 4 lados congruentes. a ABCD Losango ⇐⇒ AB ≡ CD ≡ AD ≡ BC.5. QUADRADO: Quadril´tero convexo com 4 lados e 4 ˆngulos congruentes. a a ABCD Quadrado ⇐⇒ AB ≡ CD ≡ AD ≡ BC e A ≡ B ≡ C ≡ D Observa¸˜o 0.2 Quadrado ⇐⇒ Losango e Retˆngulo. ca a 2
  3. 3. Veremos agora algumas PROPRIEDADES dos quadril´teros not´veis. a a • Propriedades dos trap´zios e Teorema 0.1 (T1) Em qualquer trap´zio ABCD (nota¸˜o c´clica) de bases AB e e ca ı CD, temos que A + D = B + C = 180o . Teorema 0.2 (T2 - Is´sceles) Num trap´zio is´sceles, os ˆngulos da base s˜o o e o a a congruentes. Teorema 0.3 (T3 - Is´sceles) As diagonais de um trap´zio is´sceles s˜o congru- o e o a entes. • Propriedades dos Paralelogramos Teorema 0.4 (P1) Em qualquer paralelogramo, os ˆngulos opostos s˜o congruen- a a tes. Teorema 0.5 (P2 - rec´ ıproca) Todo quadril´terio convexo que possui ˆngulos a a opostos congruentes ´ um paralelogramo. e Portanto, todo retˆngulo ⇒ paralelogramo. a Teorema 0.6 (P3) Em todo paralelogramo, os lados opostos s˜o congruentes. a Teorema 0.7 (P4) Todo quadril´tero convexo que possui os lados opostos congru- a entes ´ um paralelogramo. e 3
  4. 4. Portanto, todo losˆngo ⇒ paralelogramo. a Exerc´ ıcio 1 Prove que: “Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se nos seus pontos m´dios.” e• Propriedades dos retˆngulos, losangos e quadrados a Teorema 0.8 (R1) Em todo retˆngulo, as diagonais s˜o congruentes. a a Teorema 0.9 (R2) Todo paralelogramo que tem as diagonais congruentes ´ retˆngulo. e a Logo, o retˆngulo ´ um paralelogramo mas com diagonais congruentes. a e Teorema 0.10 (L1) Todo Losango tem diagonais perpendiculares. Teorema 0.11 (L2) Todo paralelogramo com diagonais perpendiculares ´ um lo- e sango. Portanto, o losango ´ um paralelogramo com diagonais perpendiculares. e Observa¸˜o 0.3 (Resumo) Estudo das diagonais: Quadril´terio convexo com - ca a – diagonais que se cortam ao meio: Paralelogramo; – diagonais que se cortam ao meio e s˜o congruentes: Retˆngulo; a a – diagonais que se cortam ao meio e s˜o perpendiculares: Losango; a – diagonais que se cortam ao meio e s˜o congruentes e perpendiculares: Qua- a drado. 4
  5. 5. ´# BASE MEDIA • Base m´dia do Triˆngulo: ´ o segmento de reta com extremidades sendo os pontos e a e m´dios de dois lados. Tˆm as duas propriedades: e e i) A Base M´dia ´ paralela ao terceiro lado (base); e e ii) A Base M´dia tem a metade da medida da base. e AB M N //BC MN = 2 Demonstra¸˜o: (Exerc´ ca ıcio) • Base M´dia do Trap´zio: ´ o segmento de reta com extremidades nos pontos e e e m´dios dos lados n˜o paralelos. Tˆm duas propriedades: e a e ´ i) E paralela as bases; ` ii) Ele mede a semi-soma das bases. AB + CD M N//AB e CD MN = 2 5

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