Teste de Kruskal Wallis                               Teste de Kruskal Wallis                         º                   ...
Teste de Kruskal Wallis                     Teste de Kruskal WallisSeqüência do teste• Converter cada observação em um pos...
Exemplo                          ExemploUma companhia deseja comparar cinco máquinas diferentes (A, B,C, D e E), em um exp...
Exemplo                                       Exemplo                                                                     ...
Aplicação                                   Aplicação Você deseja comparar os salários recebidos por hora pelos contadores...
Estatística teste  12,800   VA    1  13,080   MI    2  13,480   MI    3  14,060   MI    4              Os honorários prati...
Diferença SignificativaCalcula adiferença máxima entre duas MÉDIAS de somas  de filas para que essas possamser considerada...
Exercícios Propostos                  Exercícios PropostosTrês amostras são escolhidas aleatoriamente de umapopulação. Ord...
Kruskal Wallis – Mann-Whitney                  Kruskal Wallis – Mann-Whitney  Para k=2 o teste de Kruskal Wallis é idêntic...
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  1. 1. Teste de Kruskal Wallis Teste de Kruskal Wallis º Tipo de dado Teste recomendado Uma amostra Nominal BINOMIAL ----- TESTE DA SEQÜÊNCIA Ordinal Intervalar TESTE t de Student Adequação do ajuste de uma Qualquer Qui-Quadrado, distribuição teórica Kolmogorov / Smirnov Tabelas de Contingência Qualquer Qui-Quadrado Mc NEMAR Duas amostras independentes Nominal Ordinal MANN - WHITNEY Intervalar TESTE t de Student Duas amostras relacionadas Nominal TESTE DO SINAL Ordinal WILCOXON Intervalar TESTE t de Student Mais de duas amostras independentes Nominal Ordinal KRUSKAL WALLIS Intervalar Análise de Variância Mais de duas amostras relacionadas Nominal COCHRAN Ordinal FRIEDMAN Intervalar Análise de Variância Correlação Ordinal Spearman Teste de Kruskal Wallis Teste de Kruskal Wallis Análise de variância por postos• É uma alternativa não-paramétrica à análise que se faz porrecorrência à estatística F.• Pode ser usado para comparar várias amostras independentes Oteste de Kruskal-Wallis não pode ser usada para testar diferenças emamostras pareadas• É uma análise da variância que emprega posições (soma de filas)em lugar de mensurações como critério de avaliação.•Dados devem ser ordinais, onde seja possível atribuir posições• Exige amostras aleatórias independentes.• A variável básica deve ter distribuição contínua.• O tamanho mínimo de cada amostra deve ser 6. 1
  2. 2. Teste de Kruskal Wallis Teste de Kruskal WallisSeqüência do teste• Converter cada observação em um posições crescentes em umaúnica fila.• Observar os empates e considerar a posição média.• Contabilizar a soma de fila de cada amostra.• Calcular a Estatística H e comparar. H= 12 k R ( ) 2 − 3(N + 1) ∑ j N (N + 1) j =1 n j Estatística Teste N = número total de observações K = número de amostras nj = número de observações na j-ésima amostra Rj = soma dos postos da j-ésima amostra Teste de Kruskal Wallis Teste de Kruskal Wallis • Comparar com os valores críticos χ crítico (α , gl = k − 1) 2Se a hipótese nula de igualdade de médias, é verdadeira, os postosdevem ficar bem dispersos entre as amostras. Os quadrados dassomas de postos divididos pelos respectivos tamanhos amostraisdevem ser aproximadamente iguais.Verificar se o número de empates é grande, pois isto afetará o valorde H. Consequentemente, pode ser necessário ajustar o valor de Hdividindo-o pela quantidade ∑ (t − t ) 3 onde t é o número de empates 1− num grupo de empates N3 − N 2
  3. 3. Exemplo ExemploUma companhia deseja comparar cinco máquinas diferentes (A, B,C, D e E), em um experimento projetado para determinar se existediferença de desempenho entre as elas.Cada um de cinco operários experientes trabalharam com asmáquinas por períodos de tempo iguais. A tabela abaixo apresenta onúmero de unidades produzidas por cada máquina. Testar a hipótesede que não existe diferença entre as máquinas aos níveis designificância (a)0,05 e (b)0,01.A 68 72 77 42 53B 72 53 63 53 48C 60 82 64 75 72D 48 61 57 64 50E 64 65 70 68 53 Exemplo Exemplo Etapa 1: . H0: Não existe diferença entre as máquinas H1: Existe diferença entre as máquinas Etapa 2: Estabelecendo o nível de significância: α = 0,05 e α = 0,01 Etapa 3: Estabelecendo a estatística de teste: H Etapa 4: Estabelecendo os valores críticos • Como existem cinco amostras (A, B, C, D e E), k = 5 • Como cada amostra consiste de cinco valores temos N1=N2=N3=N4=N5=5, resulta que N = N1+N2+N3+N4+N5=25. χ2crítico(α = 0,05 e gl = k-1 = 4 ) = 9,49 3
  4. 4. Exemplo Exemplo SomaEtapa 5: O valor da Estatística Teste POSIÇÕES dos Postos Ordenando-se todos os valores A 17,5 21 24 1 6,5 70 B 21 6,5 12 6,5 2,5 48,5crescentemente e atribuindo-se C 10 25 14 23 21 93postos apropriados aos empates. D 2,5 11 9 14 4 40,5 E 14 16 19 17,5 6,5 73 R1 = 70, R2 = 48,5, R3 = 93, R4 = 40,5 e R5 = 73. k (R ) 2 − 3(N + 1) 12H= ∑ j N ( N + 1) j =1 n j 12 ⎡ (70 ) (48,5)2 + (93)2 + (40,5)2 + (73)2 ⎤ − 3(26) = 6,44 2H= + (25)(26) ⎢ 5 ⎣ 5 5 5 5 ⎦ ⎥ Exemplo ExemploEtapa 6: Como H < χ2crítico (6,44 < 9,49),não podemos rejeitar a hipótese da não existência de diferença entre asmáquinas ao nível 0,05, e por esta razão, certamente também não podemosrejeitá-la ao nível 0,01. Agora vamos resolver este problema fazendo uma correção para os empates correç Observação 48 53 64 68 72 Número de empates (t) 2 4 3 2 3 ∑ (t ) 3 t -t 6 60 24 6 24 3 − t = 120 ∑ (t − t ) = 6 + 60 + 24 + 6 + 24 = 120 3 1− ∑ (t 3 − t ) = 1 − 120 = 0,9923 Hc = 6,44 = 6,49 N −N 3 (25)3 − 25 0,9923Esta correção não é suficiente para alterar a decisão adotada anteriormente 4
  5. 5. Aplicação Aplicação Você deseja comparar os salários recebidos por hora pelos contadores de Michigan, Nova York e Virginia. Para isso, você seleciona ao acaso dez contadores em cada Estado e toma nota de seus salários, como está a seguir. Sendo α 0,01, é possível concluir que as distribuições dos salários dos contadores nesses três Estados são diferentes? MI(1) NY(2) VA(3) 14,24 21,18 17,020 14,06 20,94 20,630 14,85 16,26 17,470 17,47 21,03 15,540 14,83 19,95 15,380 19,01 17,54 14,900 13,08 14,89 20,480 15,94 18,88 18,500 13,48 20,06 12,800 16,94 21,81 15,5701. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa. H0: não há diferença nas taxas de pagamento por hora dos três Estados. Ha: há diferença nas taxas de pagamento por hora dos três Estados.2. Estabeleça o nível de significância. = 0,013. Determine a distribuição amostral. 4. Determine o valor crítico. χ2 A distribuição amostral é qui-quadrado com g.l. = 3 – 1 = 2. o valor crítico é 9,210. 5
  6. 6. Estatística teste 12,800 VA 1 13,080 MI 2 13,480 MI 3 14,060 MI 4 Os honorários praticados em 14,240 MI 5 14,830 MI 6 Michigan, em postos, são: 14,850 MI 7 14,890 14,900 NY VA 8 9 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 15, 17,5, 22 15,380 15,540 VA VA 10 11 A soma dá 94,5. 15,570 VA 12 15,940 MI 13 16,260 16,940 NY MI 14 15 Os honorários praticados em Nova 17,020 17,470 VA MI 16 17,5 York, em postos, são: 17,470 17,540 VA NY 17,5 19 8, 14, 19, 21, 23, 24, 27, 28, 29, 30 18,500 18,880 VA NY 20 21 A soma dá 223. 19,010 MI 22 19,950 NY 23 20,060 20,480 NY VA 24 25 Os honorários praticados em Virginia, 20,630 20,940 VA NY 26 27 em postos, são: 21,030 21,180 NY NY 28 29 1, 9, 10, 11, 12, 16, 17,5, 20, 25, 26 21,810 NY 30 A soma dá 147,5. R1 = 94,5, R2 = 223, R3 = 147,5 n1 = 10, n2 = 10 e n3 = 10, logo N = 30 9,210 10,76Tome sua decisão A estatística teste, 10,76, cai na região de rejeição, portanto rejeite a hipótese nula.Interprete sua decisão Existe evidências que há uma diferença entre os honorários nos três Estados. 6
  7. 7. Diferença SignificativaCalcula adiferença máxima entre duas MÉDIAS de somas de filas para que essas possamser consideradas iguasi _ _ N ( N + 1) 1 1 Rj− Rj ≤ Z ( + ) α / k ( k −1) 12 n j ni_Rj= R j n j Z para α/ k(k-1), pois são k(k-1)/2 combinações possíveis Assim Z para α/ 2 = Z para α/ k(k-1) Diferença Significativa MI x NY (94,5 - 223)/10 -12,85 MY x VA (94,5 - 147,5)/10 -5,3 VA x NY (147,5 - 223)/10 -7,55 _ _ 30(31) 1 1 R j − R j ≤ 2,394 ( + ) 12 10 10 _ _ R j − R j ≤ 9,42 7
  8. 8. Exercícios Propostos Exercícios PropostosTrês amostras são escolhidas aleatoriamente de umapopulação. Ordenando-se os dados de acordo com oposto obtemos a tabela abaixo. Determinar se existediferença entre as amostras aos níveis de significância(a)0,05 e (b)0,01.Amostra 1 7 4 6 10Amostra 2 11 9 12Amostra 3 5 1 3 8 2 8
  9. 9. Kruskal Wallis – Mann-Whitney Kruskal Wallis – Mann-Whitney Para k=2 o teste de Kruskal Wallis é idêntico ao teste de Mann-Whitney para grandes amostras feito de forma bilateral, veja o exemplo utilizado anteriormente, quecompara o metodo tradicional de ensino de datilografia com o método cego.: Etapa 5: O valor da Estatística Teste ΣR1 = 144,5 ΣR2 = 155,5 n1 = 11 n2 = 13 Usando Kruskal Wallis k (R ) 2 ∑ n − 3(N + 1) 12 H= j N ( N + 1) j =1 j 12 ⎡ (144,5) (155,5) ⎤ 2 2 H= ⎢ + ⎥ − (25) = 0,164 (24)(25) ⎣ 11 13 ⎦ H = 0,4055 Usando Mann-Whitney z = R1 - E(R1) = 144,5 - 137,5 = 7 = 0,406 σu 17,26 17,26 9

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