2. 1. Variabel Random
2. Pengertian dan Jenis-Jenis Distribusi Teoritis
3. Nilai Harapan dan Rata-Rata Hitung Distribusi
Teoritis
4. Varians dan Simpangan Distribusi Teoritis
5. Distribusi Binomial
DISTRIBUSI TEORETIS
3. A. VARIABEL RANDOM
Variabel random atau variabel acak adalah variabel
yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau
variabel yang dapat bernilai numerik yang
didefinisikan dalam suatu ruang sampel
Jenis-jenis Variabel Random
a. Variabel Random Diskrit
Variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai
yang ada dalam sebuah interval/ variabel yang hanya
memiliki nilai tertentu.
b. Variabel Random kontinu
Variabel random yang mengambil seluruh nilai yang
ada dalam sebuah interval/ variabel yang dapat
memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu
4. B. Pengertian dan Jenis-Jenis Distribusi Teoretis
1. Pengertian Distribusi Teoretis
adalah suatu daftar yang disusun berdasarkan
probabilitas dari peristiwa-peristiwa bersangkutan.
Frekuensi dari distribusi itu diperoleh melalui
perhitungan-perhitungan, karena itu distribusi teoritis
pula diartikan sebagai distribusi yang frekuensinya
diperoleh secara matematis ( perhitungan ).
Contoh:
Sebuah mata uang logam dengan permukaan I = A
dan permukaan II = B dilemparkan ke atas sebanyak
3 kali. Buatkan distribusi teoritisnya!
5. Penyelesaian:
Dari pelemparan tersebut akan diperoleh ruang sampel
dengan anggota sebanyak 8 (n=8), yaitu:
S={AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BBA, BAB, BBB}
Jika X merupakan jumlah munculnya permukaan I (A)
maka:
1. Untuk AAA, didapat X = 3
2. Untuk AAB, didapat X = 2
3. Untuk ABA, didapat X = 2
4. Untuk BAA, didapat X = 2
5. Untuk ABB, didapat X = 1
6. Untuk BBA, didapat X = 1
7. Untuk BAB, didapat X = 1
8. Untuk BBB, didapat X = 0.
6. Dengan demikian: X = {0, 1, 2, 3}
Jika setiap nilai X dicari nilai probabilitasnya, maka
distribusi teoretisnya adalah seperti tabel berikut:
Tabel 1.1 Hasil Pelemparan Sebuah Mata Uang Logam
Sebanyak 3 Kali
X P(X)
0 0,125
1 0,375
2 0,375
3 0,125
Jumlah 1,000
7. 2. JENIS-JENIS DISTRIBUSI TEORETIS
a. Distribusi teoritis diskrit
Suatu daftar atau distribusi dari semua nilai
variabel random diskrit dengan probabilitas
terjadinya masing-masing nilai tersebut.
Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi
probabilitas atau distribusi dari variabel
random diskrit jika memenuhi syarat:
1) f(x) ≥ 0, x Є R
2) f(x) = 1
3) P(X=x) = f(x)
8. Contoh soal
Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola.
Secara acak diambil 3 bola. Tentukan distribusi
probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola
kuning yang terambil!
Jawab:
Jumlah titik sampel = = 20 titik sampel
Banyaknya cara mendapatkan bola kuning adalah
Banyaknya cara mendapatkan bola biru adalah
Distribusi probabilitasnya
P(X=x) = x = 0,1,2
10. Untuk X = 2
Distribusi probabilitasnya adalah
X 0 1 2
P(X) 0,2 0,6 0,2
11. b. Distribusi Teoretis Kontinu
Suatu daftar atau distribusi dari semua nilai
variabel random kontinu dengan probabilitas
terjadinya masing-masing nilai tersebut.
Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi
probabilitas atau distribusi probabilitas
variabel random kontinu x, jika memenuhi
syarat:
13. Contoh Soal:
Suatu variabel random kontinu X yang memiliki
nilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi yang
dinyatakan oleh :
Tentukan nilai P(X<2)!
21
)1(2
)(
x
xf
15. 3. Nilai Harapan/Rata-Rata Hitung
Distribusi Teoretis
Nilai harapan atau harapan matematika
dari distribusi teoretis sebenarnya
adalah nilai rata-rata hitung tertimbang
jangka panjang dari distribusi teoretis
itu, disimbolkan E(X) atau µ.
16. Misalkan X adalah suatu variabel random dengan
distribusi probabilitas f(x) atau P(X = x) maka
nilai harapannya atau rata-rata hitung dirumuskan
sebagai berikut:
1. Untuk distribusi probabilitas diskrit
E(X) = µ = Ʃx . f(x),
Atau
E(X) = µ = Ʃ(x . P(x)),
17. 2. Untuk distribusi probabilitas kontinu
Contoh soal:
Seorang salesman menjual jenis dinner set baru untuk
PT. Mekar. Salesman itu menjual dinner set terbanyak
pada hari senin. Ia kemudian membuat suatu distribusi
probabilitas untuk jumlah dinner set yang diharapkan
pada suatu hari senin tertentu yang disajikan dalam
tabel berikut:
18. Jumlah iDinner Set
Terjual (x)
Probabilitas
P(x)
0
1
2
3
4
5
0,05
0,25
0,30
0,20
0,15
0,15
Berapa jumlah dinner set yang diharapkan oleh
salesman dapat terjual dan apa artinya?
19. Penyelesaian:
E(X) = µ = Ʃ(x . P(x))
= 0(0,05) + 1(0,25) + 2(0,30) + 3(0,20) +
4(0,15) + 5(0,05)
= 2,3
Artinya: untuk sejumlah besar hari Senin, salesman
berharap menjual dinner set dengan rata-rata 2,3
sehari (tentu saja adalah tidak mungkin baginya
untuk menjual tepat 2,3 dinner set pada suatu hari
senin tertentu).
20. 4. VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU
DISTRIBUSI TEORETIS
Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians
atau simpangan baku (deviasi standar) dari distribusi
teoretis atau distribusi probailitas (variabel random
X) dapat dihitung, yaitu:
atau
21. Contoh Soal :
Misalkan variabel random X memiliki distribusi probabilitas sebagai berikut :
Tentukan Var(X) dan simpangan bakunya.
Penyelesaian:
E( X ) = Σ x . f(x)
= 0 + + +
= 2
X 0 1 2 3
f (x) 1/27 6/27 12/27 8/27
23. DISTRIBUSI BINOMIAL
Suatu distribusi teoretis yang menggunakan
variabel random diskrit yang terdiri dari
dua kejadian yang berkomplementer seperti
sukses-gagal, ya-tidak, baik-buruk,
kepala-ekor dan sebagainya
Pengambilan sampel dilakukan dengan
pengembalian
24. Ciri-ciri :
1. Setiap percobaan hanya memiliki dua
peristiwa seperti ya-tidak, sukses-gagal
2. Probabilitas satu peristiwa adalah tetap,
tidak berubah untuk setiap percobaan
3. Percobaannya bersifat independent
artinya peristiwa dari suatu percobaan
tidak mempengaruhi/ dipengaruhi
peristiwa dalam percobaan lainnya
4. Jumlah/ banyaknya percobaan yang
meruppakan komponen percobaan binomial
harus tertentu
25. Rumus binomial suatu peristiwa
Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung
dengan mengalikan kombinasi susunan dengan
probabilitas salah satu susunan
Keterangan :
x = banyaknya peristiwa sukses
n = banyaknya percobaan
p = probabilitas peristiwa sukses
q = 1- p = probabilitas peristiwa gagal
xnxn
x qpCpnxbxXP
..),;()(
26. Jawab
P= 1/6 ; q= 5/6; n= 4; x = 1 (muncul 1
kali)
P (X=1) =
= 4 .(1/6).(5/6)3
= 0.386
P = 3/6; q = ½; n =4; x =2
P(x=2) =
= 6.(1/2)2.(1/2)2
= 0.375
27. Probabilitas binomial kumulatif
Probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari
satu sukses
)(...)2()1()0(
)(
.
0
0
nxPxPxPXP
xXP
qpCPBK
n
x
xnx
n
x
n
x
28. Contoh soal
Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian
sarjana dan diperkirakan probabilitas
kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah
probabilitas :
a. Paling banyak 2 orang lulus
b. Yang akan lulus antara 2 orang sampai 3
orang
c. Paling sedikit 4 orang diantaranya lulus
29. Jawab
a) n =5 ; p =0.7 ; q =0.3; x = 0,1,dan 2
P(x <2 )= P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)
b) n =5 ; p = 0.7; q=0.3; x = 2 dan 3
P(2<x<3) = P(x=2) + P(x=3)
c) n = 5; p = 0.7; q=0.3; x = 4 dan 5
P(X>4) = P(x=4) + P(x=5)
30. Rata-rata, Varians, Simpangan Baku
Distribusi Binomial
qpnbakusimpangan
qpnians
pnratarata
..)(
..)(var
.)(
2
31. “ kita kadang-kadang mengejar serta terus
mengejar apa yang belum kita punyai dan
kadang-kadang lupa dengan apa yang telah ada
pada kita untuk disyukuri, ditinai, dan
dimardiahi”
WASSALAMUALAIKUM
WARAHMATULLAHI
WABARAKATUH...
