Mauro Noriaki Takeda
Aparecido Edilson Morcelli

Resistência dos
Materiais
APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Resistência dos Materiais, pa...
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO...........................................................................................................
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Esta apostila destina-se a estudantes de graduação, para os cursos de Engenharia Ambiental, E...
1

CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E
CISALHAMENTO

Caro(a) aluno(a),
Você já ouviu falar em acidentes causados
pela ruptura...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

Você deve lembrar que as unidades utilizadas no Sistema Internacional d...
ática da engenharia, muitas vezes, a carga sobre um corpo pode ser
Resistência dos Materiais

através de um sistema de for...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

Resolução:
a)	 A somatória das forças na direção y deverá ser igual a z...
Resistência dos Materiais

	 Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A.ponto A. três forças atuando nele....
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

Calma! Determinamos apenas o ângulo. Agora, vamos substituir na equação...
Resistência dos Materiais

1.4 Atividades Propostas

1.	 Um peso de 50 N está seguro pelas mãos, como antebraço fazendo â...
2

LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG

Caro(a) aluno(a),

Em que:

Você já estudou a lei de Hooke. Nesse caso,
vamos aplicá-la...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

Agora, vamos relembrar o que é trabalho
em física. E o que vamos analis...
Resistência dos Materiais

2.2 Módulo de Resiliência (µr)
ê sabe o que é módulo de resiliência?
Você sabe o que é módulo d...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

2.3 Módulo de Tenacidade (µt)

lo de Tenacidade
O módulo de tenacidade ...
Resistência dos Materiais

Resolução:
Resolução:
a)
a)

Isolando a carga P e sendo

, temos:

Substituindo os valores, obt...
Portanto, temos:

Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

Portanto, temos:

e
e

b) Agora, vamos calcular a def...
Mas temos:

Resistência dos Materiais

Mas temos:

A0 ⋅ el0 = Af ⋅ l f
e

A0 l f
=
A f l0

Portanto, temos:
Portanto, temo...
tensionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edils...
Resistência dos Materiais

2.5 Resumo do Capítulo

Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, você estudou que, quando um corpo que...
3

ANÁLISE DAS TENSÕES E
DEFORMAÇÕES

Figura 8 – Esquema de máquina de tração ou compressão.

Caro(a) aluno(a),
A resistên...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

va que cresce continuamente, mas se torna mais
achatada, até atingir a ...
Resistência dos Materiais

dos para determinar a tensão de cisalhamento e a
deformação por cisalhamento.

Em que:

Vamos a...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

2.	 Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transve...
Resistência dos Materiais

O módulo de Young Young é dado por:
O módulo de é dado por:

3.4 Resumo do Capítulo

3.4 Resumo...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

2.	 Uma luminária de 90 kg é sustentada por duas hastes (AB e BC), como...
4

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Caro(a) aluno(a),
Espera-se que, com esta apostila, você consiga se envolver na disciplina, enten...
RESPOSTAS COMENTADAS DAS
ATIVIDADES PROPOSTAS
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
Atenção
Atenção
Olá, aluno(a)!...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

2. O esquema das forças que atuam no sistema é:

Em que:

e

são as for...
Resistência dos Materiais

Substituindo o valor de N1 na equação das forças, temos:

Substituindo o valor de N1 na equação...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

Portanto, a área em metros é:

A tensão é dada por:

O valor da carga P...
Resistência dos Materiais

Então, temos:

Ou, ainda:

Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por:
...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

Portanto, a área em metros é:

A tensão é dada por:

O valor da carga P...
Resistência dos Materiais

Então, temos:

Ou, ainda:

Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por:
...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

Em metros, temos:

Vamos construir a tabela, relacionando tensão e defo...
Resistência dos Materiais

Portanto, a força de cisalhamento
Portanto, a força de cisalhamento corresponde a:

A área do p...
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

Assim:

A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou s...
Resistência dos Materiais

Substituindo o valor de TCB na primeira equação, temos:

Portanto, a tensão em cada haste é:

o...
REFERÊNCIAS

ALVARES, B. A.; LUZ, A. M. R. Física – ensino médio. São Paulo: Scipione, 2008. v. 2.
AMALDI, U. Imagens da f...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Apostila

964 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
964
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
57
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Apostila

  1. 1. Mauro Noriaki Takeda Aparecido Edilson Morcelli Resistência dos Materiais
  2. 2. APRESENTAÇÃO É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Resistência dos Materiais, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina. A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidisciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail. Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informação e documentação. Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal. A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar! Unisa Digital
  3. 3. SUMÁRIO INTRODUÇÃO................................................................................................................................................ 5 1 CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO..................................... 7 1.1 Distribuição da Tensão Normal Média......................................................................................................................9 1.2 Exercícios Resolvidos.......................................................................................................................................................9 1.3 Resumo do Capítulo.....................................................................................................................................................12 1.4 Atividades Propostas....................................................................................................................................................13 2 LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG.................................................................................. 15 2.1 Energia de Deformação e Elasticidade Volumétrica........................................................................................15 2.2 Módulo de Resiliência (µr)..........................................................................................................................................17 2.3 Módulo de Tenacidade (µt)........................................................................................................................................18 2.4 Exercício Resolvidos......................................................................................................................................................18 2.5 Resumo do Capítulo.....................................................................................................................................................23 2.6 Atividades Propostas....................................................................................................................................................23 3 ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES........................................................................ 25 3.1 Tensão-Deformação......................................................................................................................................................25 3.2 Módulo de Cisalhamento...........................................................................................................................................26 3.3 Exercícios Resolvidos....................................................................................................................................................27 3.4 Resumo do Capítulo.....................................................................................................................................................29 3.5 Atividades Propostas....................................................................................................................................................29 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................................................ 31 RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS...................................... 33 REFERÊNCIAS.............................................................................................................................................. 45
  4. 4. INTRODUÇÃO Caro(a) aluno(a), Esta apostila destina-se a estudantes de graduação, para os cursos de Engenharia Ambiental, Engenharia de Produção ou afins, para o acompanhamento do conteúdo de Resistência dos Materiais, nos cursos a distância. Nela, você lerá a respeito de assuntos referentes ao conceito de tensão, compressão e cisalhamento, deformação, lei de Hooke, módulo de Young, módulo da elasticidade volumétrica, módulo de cisalhamento e análise das tensões e deformações. Com o intuito de simplificar a exposição dos tópicos abordados, procurou-se, através de uma linguagem simples, expor o conteúdo de forma sucinta e objetiva. Em todos os capítulos, são apresentadas questões resolvidas, para auxiliar na compreensão do conteúdo teórico e orientar a resolução das atividades propostas. Para complementar a teoria e auxiliar na fixação do conteúdo apresentado, são propostas, ao final de cada capítulo, várias atividades, com grau de dificuldade gradativo. Além desta apostila, você terá como material de estudo as aulas web, o material de apoio e as aulas ao vivo. Serão utilizadas como avaliação as atividades, podendo ser atribuída uma nota ou não, e a prova presencial. Espera-se que você tenha facilidade na compreensão do texto apresentado, bem como na realização das atividades propostas. Finalmente, desejamos que você tenha um excelente módulo, estude bastante e aprofunde seu conhecimento, consultando as referências indicadas no final da apostila. Mauro Noriaki Takeda Aparecido Edilson Morcelli Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 5
  5. 5. 1 CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO Caro(a) aluno(a), Você já ouviu falar em acidentes causados pela ruptura de alguma estrutura? Você deve ter se perguntado: por quê? A resposta está no conceito físico aplicado na engenharia, cuja denominação é resistência dos materiais. Alguns materiais resistem mais do que outros, em função da sua estrutura e concepção de produção. A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças que agem no seu interior. Você deve observar que o assunto também envolve o cálculo das deformações do corpo, proporcionando o estudo de sua estabilidade quando sujeito a forças externas. A intensidade da força, ou força por unidade de área, que age perpendicularmente à variação da área, é definida como tensão normal, σ (sig ma), uma vez que ∆Fz é normal à área, ou seja: ∆Fz ∆A→0 ∆A σ z = lim Agora, devemos observar o seguinte: ƒƒ se a força normal ou tensão existir para tracionar o elemento de área ∆A , ela será denominada tensão de tração; ƒƒ se a força normal ou tensão existir para comprimir o elemento de área ∆A , ela será denominada tensão de compressão. Professor Aparecido, e a tensão de cisalhamento? Já ouvi falar muito dela. Bom! É importante analisar a seguinte situação: a tensão de cisalhamento é a intensidade da força, ou força por unidade de área, que age tangente a ∆A . Aqui, vamos designá-la pela letra grega ‘tau’, ou seja, a tensão de cisalhamento . Vamos analisar os componentes da tensão de cisalhamento: τ τ zx ∆Fx = lim ∆A→0 ∆A τ zy = lim ∆Fy ∆A→ 0 Atenção ATENÇÃO ATENÇÃO ∆A ATENÇÃO A notação do índice z em é usada para indicar a direção da reta normal dirigida para fora, que especifica a orientação da área Na tensão de cisalhamento, são usados dois índices para os componentes . Observe que o eixo z especifica a orientação da área e x e y referem-se às retas que indicam a direção das tensões de cisalhamento. Você deve lembrar que as unidades utilizadas no Sist Você deve lembrar que as unidades Você deve Unidades (SI) para os valores dautilizadas no Sistema Inte lembrar que as unidades tensão normal e da tensão Unidades (SI) para os valores da tensão norm especificadas nasda tensão normal e unidades básicas: Unidades (SI) para os valores especificadas nas unidadesda tensão de cisal básicas: especificadas nas unidades básicas: Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 7 Agora, vamos analisar as reações de apoio. Note que a Agora, vamos analisar as reações de a desenvolvem-se nos apoios ou pontos de contato entre os corpos.
  6. 6. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli Você deve lembrar que as unidades utilizadas no Sistema Internacional de Unidades (SI) para os valores da tensão normal e da tensão de cisalhamento são especificadas nas unidades básicas: Agora, vamos analisar as reações de apoio. Note que as forças de superfície desenvolvem-se nos apoios ou pontos de contato entre os corpos. N =P a 2 m Figura 1 – Representação esquemática das forças e do momento aplicados ao ponto. Figura 1 – Representação esquemática das forças e do momento aplicados ao ponto.       ∑F = 0 ∑F = 0 ∑F = 0 Em muitas situações, analisamos o corpo na condição de equilíbrio, exigindo um equilíbrio de , e y z x forças, para Em muitastranslação ou o movimen-corpo na condição de equilíbrio, exigindo um impedir a situações, analisamos o e to acelerado do corpo ao longo de uma trajetória equilíbrioede forças, para impedir a translação ou o movimento acelerado do corpo ao reta ou curva, um equilíbrio de momentos, para      impedir que o corpo gire. Essas condições podem ∑ Mx = 0, ∑ M y = 0 e ∑ M longo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir quezo = ser expressas pelas equações:   ∑F = 0  0 corpo gire. Essas condições podem ser expressas pelas equações: Na prática da engenharia, muitas vezes, a carga sobre um corpo pode ser representada através de um sistema de forças coplanares. e   ∑ Mo = 0 e Para um sistema de coordenadas x, y e z, com origem no ponto o, os vetores força e momento podem ser resolvidos em componentes ao longo dos eixos coordenados, sendo as equações escritas da seguinte forma: Para um sistema de coordenadas x, y e z, com origem no ponto o, os vetores força e momento podem ser resolvidos em componentes ao longo dos eixos coordenados, sendo as equações escritas da seguinte forma: 8 Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br , e
  7. 7. ática da engenharia, muitas vezes, a carga sobre um corpo pode ser Resistência dos Materiais através de um sistema de forças coplanares. 1.1 Distribuição da Tensão Normal Média ção da Tensão Normal Média A tensão normal média, em qualquer ponto Vamos, agora, analisar uma barra que esda deformação s, agora,teja submetida a uma que esteja submetida ea uma área da seção transversal, será dada por: analisar uma barra deformação uniforme constante. Essa deformação é o resultado de uma onstante. Essa deformação é o resultado de uma tensão normal constante tensão normal constante . Você deve observar ve observar que cada áreada seçãoseção transversal está submetida a uma da transversal está subque cada área ∆A metida a uma força dada por: or: σ P σ= A ∆F = σ ⋅ ∆A ve que a soma dessas forças que agem em toda a área da seção transversal Observe que a soma dessas forças que agem em toda a área da seção transversal deve . valente àser equivalente à interna força resultante força resultante interna .  P ou 1.2 Exercícios Resolvidos ão normal média, em qualquer ponto da área da seção transversal, será dada 1.2 Exercícios Resolvidos 1. Uma tábua uniforme de 50 respectivamente, conforme a fig gravidade da tábua e a criança de a) 400 N, respectivamen1. Uma tábua uniforme de 50 N suporta duas crianças, que pesam 500 N ea força para cima, em N, exercid b) onde a criança de 400 te, conforme a figura. Estando o suporte da gangorra sob o centro de gravidade da tábua e aN deve se criança de 500 N a 1,2 m do centro, determine: Figura Gangorra. Figura 2 – 2 – Gangorra. a) a força para cima, em N, exercida pelo suporte sobre a tábua; b) onde a criança de 400 N deve sentar-se, a fim de equilibrar o sistema. Fonte: Serway (1996). Fonte: Serway (1996). Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 9 Resolução:
  8. 8. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli Resolução: a) A somatória das forças na direção y deverá ser igual a zero, ou seja, ΣFy = 0; portanto, temos: N − P(500 ) − P(5 ) − P(400 ) = 0 0 N − 500 − 5 − 400 = 0 0 N − 900 = 0 N = 900 N b) Para que o sistema fique em equilíbrio, a somatória dos momentos deverá ser igual a zero, ou seja, ∑Mo = 0. Considerando o polo no ponto em que o suporte da gangorra está apoiado (centro de gravidade da tábua), os momentos das duas crianças serão: M = F⋅d M(500 ) = 500 ⋅ 1,2 M(500 ) = 600 N ⋅ m e M(400 ) = −400 ⋅ x Portanto: 600 − 400 ⋅ x = 0 400 ⋅ x = 600 600 400 x = 1,5 m x= 2. Imagine uma caixa de 200 kg de massa, suspensa utilizando cordas entre o ponto de apoio, a caixa e a tração na horizontal. Cada corda pode suportar uma força máxima de 10 kN antes de se romper. Qual é o menor ângulo θ em que a caixa pode ser suspensa, sem que uma das cordas rompa-se? Adote g = 9,81 m/s2. Resolução: Antes de iniciarmos a resolução, vamos analisar o esquema a seguir. Você sempre deve realizar um esquema do problema, para verificar as forças que estão atuando. 10 Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A. Existem
  9. 9. Resistência dos Materiais Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no ponto A.ponto A. três forças atuando nele. A Vamos iniciar pelo estudo do equilíbrio do anel no Existem Existem três forças  intensidade de FD é igual ao peso da caixa,é igual ao peso da caixa, ou seja: ou seja: atuando nele. A intensidade de Agora, vamos analisar as de equilíbrio. Analisando as equações equações de Agora, vamos analisar as equações equações de equilíbrio. Analisando as de equilíbrio ao longo dos eixos x e y temos: longo dos eixos x e y temos: equilíbrio ao ƒƒ para o eixo x: para o eixo x: ∑ Fx = 0 − FC cosθ + FB = 0 para o eixo y: ƒƒ para o eixo y: FC = FB cosθ ∑ Fy = 0 FC senθ − 1962 N = 0 A corda em AC atingirá a força de tração máxima de 10 kN antes da corda AB. A corda FC AC atingirá a força de Portanto,em = 10 kN = 10 x 103 N. tração máxima de 10 kN antes da corda AB. Portanto, FC = 10 kN = 10 x 103 N. Calma! Determinamos apenas o ângulo. Agora, vamos substituir na equação para obter o valor de FB. A força desenvolvida na corda AB pode ser obtida substituindo os valores de θ e FC, dada a equação: Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 11
  10. 10. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli Calma! Determinamos apenas o ângulo. Agora, vamos substituir na equação para obter o valor de FB. A força desenvolvida na corda AB pode ser obtida substituindo os valores de θ e FC, dada a equação: FC = FB cosθ FC = FB ⇒ FB = FC cos θ cos θ FC = FB ⇒ FB = FC cos θ cos θ Podemos concluir que a tração na corda, nas condições dadas, é menor que a força máxima para Podemos concluir que a tração na corda, nas condições dadas, é menor que a força romper a corda de 10 kN. máxima para romper a corda de 10 kN. 1.3 Resumo do Capítulo do Capítulo 1.3 Resumo Caro(a)Caro(a) aluno(a), aluno(a), Neste capítulo, você estudou que a resistência dos materiais é um ramo daé um ramo da Neste capítulo, você estudou que a resistência dos materiais mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças que mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo agem no seu interior. Se a força normal ou tensão existir para tracionar o elemento de área ∆A , ela será deformável e de tração, mas, se forças que agem no seu interior. Se a ∆A , normal ou denominada tensão a intensidade dasexistir para comprimir o elemento de áreaforça será denominada tensão de compressão. tracionar o elemento de área tensão existir para , ela será denominada tensão de tração, mas, se existir para comprimir o elemento de área , será denominada tensão de compressão. 1.4 Atividades Propostas 1. Um peso de 50 N está seguro pelas mãos, com o antebraço fazendo ângulo de 90° com o braço, como indica a figura. O bíceps exerce a força , aplicada a 3 cm da articulação O do cotovelo. O peso encontra-se a 30 cm da articulação. Determine: a) o módulo da força 12 ; b) a força exercida pelo braço sobre a articulação do cotovelo. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  11. 11. Resistência dos Materiais 1.4 Atividades Propostas 1. Um peso de 50 N está seguro pelas mãos, como antebraço fazendo ângulo de 90° com o braço, Figura 3 – Antebraço. como indica a figura. O bíceps exerce a força Fb , aplicada a 3 cm da articulação O do cotovelo. O peso encontra-se a 30 cm da articulação. Determine: Figura 3 – Antebraço. Figura 3 – Antebraço.  a) o módulo da força Fb ; b) a força exercida pelo braço sobre a articulação do cotovelo. Fonte: Serway (1996). Fonte: Serway (1996). Fonte: Serway (1996). 2. Uma prancha de comprimento L = 4 m e 2. Uma prancha de comprimento L = 4 m e massa M = 3 kg está apoiada, nas extremidades, nas nas plataformas de duas balanças, como i plataformas de duas balanças, como indica a figura. Uma carga de massa m = 6 kg está sobre a sobre 2. Uma prancha de comprimento prancha, a uma distância x1 = prancha, a uma distância x1 = 3 m da extremidade esquerda e x2 = 1am da extremidade direita. Determine as leituras das balanças. nas direita. Determine as leituras extremidadeplataformas de duas balanças sobre a prancha, a uma distânc Figura 4 Figura 3 – Prancha. –extremidade direita. Determine a Prancha. Figura 4 – Prancha. Fonte: Tipler (2000). Fonte: Tipler (2000). Fonte: Tipler (2000). Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 13
  12. 12. 2 LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG Caro(a) aluno(a), Em que: Você já estudou a lei de Hooke. Nesse caso, vamos aplicá-la em resistência dos materiais. A lei de Hooke define a relação linear entre a tensão e a deformação dentro da região elástica, sendo dada pela equação: σ = Eε σ ε representa a tensão aplicada; ƒƒ ƒƒ E representa o módulo de Young; representa a deformação sofrida ƒƒ pelo corpo. Saiba mais O módulo de Young somente pode ser utilizado se o material apresentar uma relação linear elástica. 2.1 Energia de Deformação e Elasticidade Volumétrica Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar energia internamente, em todo o seu volume. Como essa energia está relacionada com as deformações no material, ela é denominada energia de deformação. Agora, vamos representar um corpo sofrendo uma deformação em função da carga aplicada ao corpo. A tensão desenvolve uma força dada por: ∆F = σ ⋅ ∆A = σ ⋅ (∆x∆y ) Essa variação de força ocorre nas faces superior e inferior do elemento, após ele ter sofrido um deslocamento . ε∆z A tensão desenvolve uma força dada por: Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 15
  13. 13. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli Agora, vamos relembrar o que é trabalho em física. E o que vamos analisar, professor? Você pode definir o trabalho pelo produto entre a força e o deslocamento na direção da força. A deformação aumenta uniformemente de zero até seu valor final δF , quando é obtido o deslocamento ; nesse caso, o trabalho realizado pela força sobre o elemento é igual ao valor médio da força  ∆F  vezes o deslocamento   .  2  ε∆z ε∆z Note que esse trabalho externo é equivalente ao trabalho interno ou energia de deformação armazenada no elemento ou corpo de prova, quando do ensaio real. Agora, vamos considerar que nenhuma energia foi perdida na forma de calor. Nesse caso, a energia de deformação é:  1 ∆U =  ∆F  ⋅ ε ⋅ ∆z  2 1  ∆U =  σ∆x∆y  ⋅ ε ⋅ ∆z 2  Lembre-se de que o volume do elemento é dado por: ∆V = ∆x∆y∆z Portanto, a energia será dada por: 1 ∆U = σ ⋅ ε ⋅ ∆V 2 Vamos definir a densidade de energia de deformação, que é dada pela equação: µ= 16 σ = E ⋅ε Veja que podemos expressar a densidade de energia de deformação em termos de tensão uniaxial, como: 1  µ =  σ  ⋅ε 2  ou 1  σ 2  E µ =  σ ⋅ Portanto, temos: ou Se o comportamento do material for linear elástico, a lei de Hooke aplica-se e a equação é dada por: ∆U 1 = σ ⋅ε ∆V 2 2 1  σ 1σ µ =  σ ⋅ = 2  E 2 E Saiba mais Quando uma barra é confeccionada em material homogêneo e isotrópico e submetida a uma força axial que age no centroide da área de seção transversal, o material no interior da barra é submetido somente à tensão normal, admitindo-se que essa tensão é uniforme ou média na área da seção transversal. Quando um material homogêneo e isotrópico é submetido a um estado de tensão triaxial, a deformação em uma das direções da tensão é influenciada pelas deformações produzidas por todas as tensões. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  14. 14. Resistência dos Materiais 2.2 Módulo de Resiliência (µr) ê sabe o que é módulo de resiliência? Você sabe o que é módulo de resiliência? particular, quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, a Em particular, quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, a de energia de Você sabe o que é módulo de resiliência?resiliência. O módulo de deformação é denominada módulo de energia de deformação é denominada módulo densidade de energia a tensão σ atinge de resiliência. O módulo de resiliência é dado Em particular, quando de deformação é denominada módulo de resiliência. O módulo de por: dado por: o limite de proporcionalidade, a densidade de resiliência é dado por: ou ou Figura 5 – Curva de tensão-deformação. Figura 5 – Curva de tensão-deformação. Figura 5 – Curva de tensão-deformação. tensão Atenção A resiliência de um material representa a sua capacidade de absorver energia, sem sofrer qualquer dano permanente. deformação Atenção Atenção Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 17
  15. 15. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli 2.3 Módulo de Tenacidade (µt) lo de Tenacidade O módulo de tenacidade é representado Materiais com alto módulo de tenacidapela área inteira no diagrama de tensão-deformade sofrem grande distorção devido à sobrecarga, ção; portanto, indica a densidade de deformação porém podem ser preferíveis aos que possuem módulo de tenacidade épouco antes dapela áreaEssa pro- diagrama de tensãorepresentado ruptura. inteira no baixo valor de módulo de tenacidade; já os que do material um priedade é importante de deformação do material um pouco antes da de tenacidade baixo podem possuem módulo ão; portanto, indica a densidadeno projeto de elementos de estruturas que possam ser sobrecarregadas sofrer ruptura repentina, sem nenhum sinal dessa ssa propriedade é importante no projeto de elementos de estruturas que possam acidentalmente. ruptura iminente. Ligas de metais podem mudar arregadas acidentalmente. sua resiliência e tenacidade. Figura 6 – Curva de tensão-deformação para a tenacidade. Figura 6 – Curva de tensão-deformação para a tenacidade. teriais com 2.4 Exercíciode tenacidade sofrem grande distorção devido à alto módulo Resolvidos a, porém podem ser preferíveis aos que possuem baixo valor de módulo de e; já os que possuem módulo de tenacidade baixo podem sofrer ruptura 1. Um fio de cobre possui uma tensão de ruptura de 30 kgf/mm2 e apresenta uma estricção de sem nenhum sinal dessa ruptura iminente. Ligas de metais podem mudar sua 77%. Calcule: a e tenacidade. a) a tensão verdadeira de ruptura; cios Resolvidos b) a deformação verdadeira ε V na ruptura. de cobre possui uma tensão de ruptura de 30 kgf/m m2 e apresenta uma estricção alcule: o verdadeira de ruptura; mação verdadeira 18 na ruptura. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  16. 16. Resistência dos Materiais Resolução: Resolução: a) a) Isolando a carga P e sendo , temos: Substituindo os valores, obtemos a expressão dada por: A área final após a estricção de 77% é dada pela relação: A tensão verdadeira de ruptura é expressa por: Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 19
  17. 17. Portanto, temos: Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli Portanto, temos: e e b) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira na ruptura. Lembre-se de que a ε deformação instantânea é dadadeformação verdadeira V natemos: Lembre-se de que a deforma; portanto, ruptura. b) Agora, vamos calcular a pela derivada na temos: b) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira ção instantânea é dada pela derivada dε ; portanto, ruptura. Lembre-se de que a deformação instantânea é dada pela derivada ; portanto, temos: A elongação verdadeira é dada pela integral: A elongação verdadeira é dada pela integral: Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos os membros. Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos os A solução é: membros. A solução é: Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em ambos os membros. A solução é: Mas temos: 20 Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br e
  18. 18. Mas temos: Resistência dos Materiais Mas temos: A0 ⋅ el0 = Af ⋅ l f e A0 l f = A f l0 Portanto, temos: Portanto, temos: ε verdadeira  A0  =l   n   Af  A área final será dada por: A área final será dada por: Agora, vamos substituir o valor final obtido na deformação verdadeira: Portanto: Em porcentagem, corresponde a: Em porcentagem, corresponde a: ε verdadeira = 147% 2. Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 mm. A haste é tensionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br deformação sofrida pela haste de latão. 21
  19. 19. tensionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli deformação sofrida pela haste de latão. 2. Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 mm. A haste é tenResolução: sionada, de forma que a distância entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a deformação sofrida pela haste de latão. Vamos analisar o esquema da tração sofrida pela haste. Observe que o vetor indica oResolução:a direção da tração aplicada à haste. sentido e Vamos analisar o esquema da tração sofrida pela haste. Observe que o vetor indica o sentido e a direção da tração aplicada à haste. Figura 7 – Esquema da tração sofrida pela barra. Figura 7 – Esquema da tração sofrida pela barra. 50 mm A variação do comprimento é dada por: A variação do comprimento é dada por: ∆l = l final − linicial A deformação é dada pela equação: A deformação é dada pela equação: ε= ∆l l Agora, vamos substituir os valores dados: Agora, vamos substituir os valores dados: A deformação, em porcentagem, é: 2.5 Resumo do Capítulo Caro(a) aluno(a), Neste capítulo, você estudou que, quando um corpo que está submetido a uma carga externa é secionado, há uma distribuição de forças, que age sobre a área secionada e mantém cada segmento do corpo em equilíbrio. A intensidade dessa força interna em um 22ponto do corpo é denominada tensão. A lei de Hooke define a relação linear entre a tensão Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  20. 20. Resistência dos Materiais 2.5 Resumo do Capítulo Caro(a) aluno(a), Neste capítulo, você estudou que, quando um corpo que está submetido a uma carga externa é secionado, há uma distribuição de forças, que age sobre a área secionada e mantém cada segmento do corpo em equilíbrio. A intensidade dessa força interna em um ponto do corpo é denominada tensão. A lei de Hooke define a relação linear entre a tensão e a deformação dentro da região elástica. 2.6 Atividades Propostas 1. Uma haste de latão de 8 mm de diâmetro tem módulo de elasticidade Elatão = 100 GPa. Considerando a haste com 3 m de comprimento e sendo submetida a uma carga axial de 2 kN, determine: a) seu alongamento para o diâmetro de 8 mm; b) o alongamento, se o diâmetro for de 6 mm. 2. Um corpo de prova de aço, com diâmetro original de 12,5 mm e comprimento de referência de 50 mm, foi submetido a um ensaio de tração. Usando os dados apresentados na tabela, construa uma nova tabela descrevendo a tensão e a deformação em cada ponto dado. Carga (kN) Alongamento (mm) 0 0 11,1 0,0175 31,9 0,0600 37,8 0,1020 40,9 0,1650 43,6 0,2490 53,4 1,0160 62,3 3,0480 64,5 6,3500 62,3 8,8900 58,8 11,9380 Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 23
  21. 21. 3 ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES Figura 8 – Esquema de máquina de tração ou compressão. Caro(a) aluno(a), A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga, sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve ser determinada por métodos experimentais, como o ensaio de tração ou compressão. Uma máquina de teste é projetada para ler a carga exigida, para manter o alongamento uniforme. 3.1 Tensão-Deformação σ A tensão nominal , ou tensão de engenharia, é determinada pela divisão da carga aplicada P pela área original da seção transversal do corpo de prova A0. A tensão é dada pela equação: P σ= A0 L0 Para um comportamento elástico, temos que: ƒƒ a tensão é proporcional à deformação; ƒƒ o material é linearmente elástico. ε A deformação nominal , ou deformação de engenharia, é determinada pela razão da variação , no comprimento de referência do corpo de prova, pelo comprimento de referência original do corpo de prova L0. A equação é dada por: δ ε= δ O escoamento ocorre quando um pequeno aumento na tensão, acima do limite de elasticidade, resulta no colapso do material, fazendo com que ele se deforme permanentemente. Você deve observar que pode ocorrer um endurecimento por deformação, quando o escoamento tiver terminado. Aplicando uma carga adicional ao corpo de prova, obtém-se uma cur- Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 25
  22. 22. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli va que cresce continuamente, mas se torna mais achatada, até atingir a tensão máxima, denominada limite de resistência. Você vai constatar que, no limite de resistência, a área da seção transversal começa a diminuir em uma região localizada do corpo de prova, causando o que denominamos estricção. Figura 9 – Máquina de ensaio de tração da marca Panambra. Nesse caso, o corpo de prova quebra-se quando atinge a tensão de ruptura. Devemos notar que os valores da tensão e da deformação calculados por essas medições são denominados tensão real e deformação real. O comportamento da tensão-deformação de materiais dúcteis e frágeis... Mas, professor, o que é um material dúctil? Calma! Um material dúctil é aquele que pode ser submetido a grandes deformações antes de sofrer ruptura. Já um material frágil exibe pouco ou nenhum escoamento antes da falha. Colocação do corpo de prova 3.2 Módulo de Cisalhamento Olá, aluno(a)! Vamos, agora, pensar em fixar um parafuso na parede, utilizando uma chave de fenda. Elementos de fixação, como pregos e parafusos, frequentemente estão sujeitos a cargas de cisalhamento. Note que a intensidade de uma força de cisalhamento sobre o elemento de fixação é maior ao longo de um plano que passa pelas superfícies interconectadas. A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área secionada é definida por: τ média 26 V = A Em que: ƒƒ τ média : tensão de cisalhamento média na seção, que consideramos a mesma em cada ponto localizado na seção; ƒƒ V : força de cisalhamento interna resultante na seção, determinada pelas equações de equilíbrio; ƒƒ A : área na seção. O comportamento de um material submetido a cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório, por meio de corpos de prova na forma de tubos finos submetidos à carga de torção. Se o torque aplicado e os ângulos de torção resultantes forem medidos, os dados podem ser utiliza- Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  23. 23. Resistência dos Materiais dos para determinar a tensão de cisalhamento e a deformação por cisalhamento. Em que: Vamos admitir que a maioria dos materiais de engenharia apresente um comportamento linear elástico; portanto, a lei de Hooke para cisalhamento pode ser expressa por: ƒƒ G: módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez. τ = Gγ Uma tensão de cisalhamento aplicada a um material homogêneo e isotrópico somente produz deformação por cisalhamento no mesmo plano. 1. Exercícios Resolvidos 3.3 Um pedaço de gelatina (sobremesa), em forma de caixa, tem uma área superior de 15 cm2 e uma altura de 3 cm. Quando uma força tangencial de 0,50 N é aplicada à superfície superior, esta se desloca 4 mm em relação à superfície inferior. Quanto vale a tensão de 1. Um pedaço de gelatina (sobremesa), em forma de caixa, tem uma área superior de 15 cm2 e cisalhamento? uma altura de 3 cm. Quando uma força tangencial de 0,50 N é aplicada à superfície superior, esta se desloca 4 mm em relação à superfície inferior. Quanto vale a tensão de cisalhamento? Resolução: Resolução: Dados fornecidos pelo problema: Dados fornecidos pelo problema: ƒƒ V =V = 0,50 N; 0,50 N; ƒƒ A =A = cm2cm215 x 10-410-4. m2. 15 15 = = 15 x m2 A tensão de cisalhamento τ é dada por: por: A tensão de cisalhamento é dada 2. Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal é esticada 1 mm quando uma massa de 225 kg é pendurada em sua extremidade inferior. Considerando g = 9,8 m/s2, calcule o módulo de Young para a barra. Resolução: Os dados fornecidos pelo problema são: L = 4 m; A = 0,5 cm2; Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 27
  24. 24. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli 2. Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal é esticada 1 mm quando uma massa de 225 kg é pendurada em sua extremidade inferior. Considerando g = 9,8 m/s2, calcule o módulo de Young para a barra. Resolução: Os dados fornecidos pelo problema são: ƒƒ L = 4 m; ƒƒ A = 0,5 cm2; ƒƒ ∆L = 1 m ; ƒƒ m = 225 kg. Efetuando as conversões de unidades para o SI, temos: 4 5 A = 0,5 cm2 = 0,5.1010m2 = 5.1010m2 2 A = 0,5 cm2 = 0,5. 4 m2 = 5. 5 m A deformação é dada por: A deformação é dada por: A força resultante interna corresponde ao peso pendurado, ou seja: A força resultante corresponde ao peso pendurado, ou seja: A força resultante internainterna corresponde ao peso pendurado, ou seja: P = m⋅g P = 225 ⋅ 9,8 A tensãotensão aplicada é dada por: por: A tensão aplicada dadaé dada por: A aplicada σ é 28 P = 2205 N O O módulo de Young dado por: módulo de Young é é dado por: Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  25. 25. Resistência dos Materiais O módulo de Young Young é dado por: O módulo de é dado por: 3.4 Resumo do Capítulo 3.4 Resumo do Capítulo Caro(a) aluno(a), Neste capítulo, você estudou que muitos materiais de engenharia exibem Caro(a) aluno(a), inicial linear elástico, sendo a tensão proporcional à deformação e comportamento Neste capítulo, vocêHooke. Quando o material sofre tensão além do pontocomportamento inicial definida pela lei de estudou que muitos materiais de engenharia exibem de escoamento, linear elástico, sendo a tensão proporcional à deformação e definida pela lei de Hooke. Quando o mateocorre deformação permanente. O comportamento de um material submetido a rial sofre tensão além do ponto de escoamento, ocorre deformação permanente. O comportamento de um material submetido a cisalhamento puro podelaboratório, por meio de corpos meio de corpos de cisalhamento puro pode ser estudado em ser estudado em laboratório, por de prova na prova na forma de tubos finos submetidos à carga de torção. forma de tubos finos submetidos à carga de torção. 3.5 Atividades Propostas 3.5 AtividadesPropostas 1. Considere o parafuso de 12,5 mm de diâmetro da junta da figura. A força P é igual a 15 1. Considere o parafuso de 12,5 mm de diâmetro da junta da figura. A força P é igual a 15 kN. AdkN. mitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual é o valor dessas dessas em Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual é o valor tensões, qualquer uma das seções transversais mn ou pq? tensões, em qualquer uma das seções transversais mn ou pq? 2. Uma luminária de 90 kg é sustentada por duas hastes (AB e BC), como mostra a figura. Considerando AB com diâmetro de 12 mm e BC com diâmetro de 10 mm, determine a tensão normal média em cada haste. Considere g = 9,8 m/s2. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 29
  26. 26. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli 2. Uma luminária de 90 kg é sustentada por duas hastes (AB e BC), como mostra a figura. Considerando AB com diâmetro de 12 mm e BC com diâmetro de 10 mm, determine a tensão normal média em cada haste. Considere g = 9,8 m/s2. 30 Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  27. 27. 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Caro(a) aluno(a), Espera-se que, com esta apostila, você consiga se envolver na disciplina, entenda como definir os conceitos básicos da resistência dos materiais, saiba as grandezas envolvidas no estudo da resistência dos materiais, bem como desenvolva o raciocínio lógico e saiba utilizar e aplicar as equações pertinentes aos vários assuntos abordados e estudados na presente apostila, no âmbito profissional e, consequentemente, na sociedade em que se encontra inserido(a). Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 31
  28. 28. RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS Atenção Atenção Olá, aluno(a)! Para a resolução das atividades, não se esqueça de realizar uma revisão da teoria. Existem exercícios resolvidos que irão auxiliar você, passo a passo, na resolução das atividades. Você poderá utilizar a sua calculadora científica para facilitar os cálculos. Capítulo 1 Capítulo 1 1. O esquema de forças é: Para estar em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑Mo = 0. Considerando o polo em O, temos: Portanto: 2. O esquema das forças que atuam no sistema é: Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 33
  29. 29. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli 2. O esquema das forças que atuam no sistema é: Em que: e são as forças normais sobre a prancha; é o peso da prancha; é o peso do corpo. A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0; portanto, temos: Para estar em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑Mo = 0. Considerando o polo em N2, temos: 34 Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  30. 30. Resistência dos Materiais Substituindo o valor de N1 na equação das forças, temos: Substituindo o valor de N1 na equação das forças, temos: Capítulo 2 Capítulo 2 1. a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função do diâmetro. 1. Lembre-se de que a área transversal é dada por: Capítulo 2 a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função diâmetro. Lembre-se 1. a) Antes de iniciar a resolução, vamos determinar a área em função dodo diâmetro. de que a área transversal é dada por: Lembre-se de que a área transversal é dada por: Para o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por: π  A =   ⋅ d12 4 Para o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por: Para o diâmetro de 8 mm, a área transversal é dada por: Então: Então: Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 35
  31. 31. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli Portanto, a área em metros é: A tensão é dada por: O valor da carga P = 2.000 N; portanto: Ou seja: Lembre que: A deformação é dada pela equação: 36 Então, temos: Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  32. 32. Resistência dos Materiais Então, temos: Ou, ainda: Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por: Portanto, temos: b) Você pensa que terminou? Ainda não! Vamos, agora, calcular para o diâmetro de 6 mm: 6 mm: b) Você pensa que terminou? Ainda não! Vamos, agora, calcular para o diâmetro de π  A =   ⋅ (6) 2 m 4 2 Então: Então: Portanto, a área em metros é: Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 37
  33. 33. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli Portanto, a área em metros é: A tensão é dada por: O valor da carga P = 2.000 N; portanto: Ou seja: Lembre que: A deformação é dada pela equação: 38 Então, temos: Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  34. 34. Resistência dos Materiais Então, temos: Ou, ainda: Agora, vamos calcular o alongamento, utilizando a equação dada por: Portanto, temos: 2. Vamos, agora, construir a tabela relacionando a tensão e deformação sofridas pelo corpo corpo de 2. Vamos, agora, construir a tabela relacionando a tensão e deformação sofridas pelo prova. Os dados de prova. Os dados são: são: ƒƒdiâmetro do corpo de prova: d = 12,5 mm; diâmetro do corpo de prova: d = 12,5 mm; ƒƒ comprimento do corpo de prova: l = 50 mm. comprimento do corpo de prova: l = 50 mm. A área da seção transversal é dada por: A área da seção transversal é dada por: Portanto, a área é dada por: Em metros, temos: | Educação a Distância | www.unisa.br Unisa 39
  35. 35. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli Em metros, temos: Vamos construir a tabela, relacionando tensão e deformação: Vamos construir a tabela, relacionando tensão e deformação: Tensão: Tensão: σ = 0,0000 90,4509 0,0000 259,9446 308,0221 90,4509 333,2832 259,9446 355,2848 435,1435 308,0221 507,6661 333,2832 525,5933 507,6661 355,2848 479,1455 P A Deformação: Deformação: ε= 0,000000 0,000350 0,000000 0,001200 0,002040 0,000350 0,003300 0,001200 0,004980 0,020320 0,002040 0,060960 0,003300 0,127000 0,177800 0,004980 0,238760 435,1435 507,6661 l 0,020320 0,060960 525,5933 Capítulo 3 δ 0,127000 0,177800 1. Observe que a força P é 507,6661 uniformemente nas seções mn e pq. distribuída 479,1455 0,238760 Capítulo 3 1. Observe que a força P é distribuída uniformemente nas seções mn e pq. 40 Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  36. 36. Resistência dos Materiais Portanto, a força de cisalhamento Portanto, a força de cisalhamento corresponde a: A área do parafuso é: A tensão de cisalhamento é: 2. As forças que agem no sistema são: 2. As forças que agem no sistema são: A somatória das forças na direção x deve ser igual a zero, ou seja, ∑F = 0. A somatória das forças na direção x deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fx = 0. Os componentes na direção x são e , e valem: Assim: A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br Os componentes na direção y são , e valem: e 41
  37. 37. Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli Assim: A somatória das forças na direção y deve ser igual a zero, ou seja, ∑Fy = 0. Os componentes na direção y são e , e valem: Assim: A partir das equações das direções x e y, podemos montar o sistema linear: Multiplicando a primeira equação por , temos: Somando as duas equações, membro a membro, temos: Substituindo o valor de TCB na primeira equação, temos: 42 Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
  38. 38. Resistência dos Materiais Substituindo o valor de TCB na primeira equação, temos: Portanto, a tensão em cada haste é: ou ou Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 43
  39. 39. REFERÊNCIAS ALVARES, B. A.; LUZ, A. M. R. Física – ensino médio. São Paulo: Scipione, 2008. v. 2. AMALDI, U. Imagens da física – as idéias e as experiências do pêndulo aos quarks. São Paulo: Scipione, 1995. BEER, F. P.; JOHNSTON, R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1995. BONJORNO, R. A. et al. Física fundamental – 2º grau, volume único. São Paulo: FTD, 1993. BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Edgard Blucher, 2008. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. ______. Resistência dos materiais. Tradução de Arlete Símile Marques. 7. ed. São Paulo: Pearson Education, 2011. SERWAY, R. A. Física 1. [S.l.: s.n.], 1996. SERWAY R. A.; JEWETT JR., J. W. Princípios de física. São Paulo: Pioneira Thomson, 2008. v. 1. TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1993. v. 1-2. TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2000. v. 1. YOUNG H. D.; FREEDMAN R. A. Física IV. 12. ed. São Paulo: Pearson Education, 2008. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 45

×