Geometría analítica - Descubrimientos clave de Descartes, Fermat y Newton
1. GEOMETRÍA
EL LENGUAJE DEL ESPACIO Y LAS FORMAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Ms. Ana María Teresa LUCCA
matematicaconhistoria.jimdo.com
2. LOS COMIENZOS DE
LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas
6. Importancia
Viète había descubierto un nuevo tipo de lenguaje
que podía ser utilizado para…
representar todo tipo de relaciones lógicas.
para estudiar las relaciones entre puntos, curvas,
volúmenes y otros objetos geométricos.
Cambio del concepto de
geometría
de los matemáticos.
9. Un sistema de coordenadas…
permite al usuario establecer una correspondencia entre
conjuntos de números y puntos en el espacio.
cada punto en el espacio pueda ser identificado por un
conjunto de coordenadas.
cada conjunto de coordenadas identifique un único punto en el
espacio.
10. Recta numérica real
𝟎 𝟏 𝟐-1
Números positivosNúmeros negativos
Correspondencia uno a uno entre los números reales y
los puntos en la recta real: para cada punto existe un único número,
y para cada número hay un único punto.
13. Menecmo
Estudiante de Eudoxo
Secciones cónicas
parábola – hipérbola – elipse
Medias proporcionales
(ca. 380 a.C. – ca. 320 a.C.)
14. Medias proporcionales
Dados dos números,
que representamos con las letras 𝑎 y 𝑏,
encontrar dos números desconocidos
–que llamamos 𝑥 e 𝑦–
tales que 𝑎/𝑥 = 𝑥/𝑦 y 𝑥/𝑦 = 𝑦/𝑏.
15. Apolonio de Perga
Cónicas
Primer uso sistemático de
un sistema de coordenadas.
(c. 262 – c. 190 a. C.)
16. Nosotros…
comenzamos con un
sistema de coordenadas.
Imaginamos un par de rectas, los ejes
coordenados,
y en estas rectas graficamos la curva
de la que tenemos un interés.
17. Apolonio…
Comenzó describiendo una sección cónica,
y luego construyó un sistema de coordenadas
usando la cónica en sí.
Uno de los ejes coordenados era una recta que era
tangente a la cónica.
El otro eje era el diámetro de la cónica.
El diámetro de la cónica
es un eje de simetría.
26. Discurso del método
Aparece su contribución a los fundamentos de la geometría
analítica.
Gran parte está dedicado a la interacción entre la geometría
y el álgebra.
Reformuló problemas de álgebra en el lenguaje de la
geometría.
Los matemáticos islámicos
lo habían hecho
siglos antes.
Notación
30. Su metodología…
Imaginar que el problema geométrico de interés ya está
resuelto.
Dar nombres a cada una de las cantidades, conocidas y
desconocidas.
Las cantidades conocidas pueden ser tomadas directamente del
problema; están representadas por números.
Las incógnitas son representadas con letras elegidas para
indicar que son cantidades a ser determinadas.
Expresar el problema en la forma de una ecuación y
resolverlo algebraicamente.
31.
32. Descartes…
Utiliza sólo coordenadas oblicuas.
No pudo ver el valor de las coordenadas negativas.
No usó una de las técnicas más importantes de la geometría
analítica, una técnica que fue posible sólo por su propio
trabajo: la representación gráfica.
no representa
ni una sola
función!!!!
33. Conexión entre geometría y álgebra
Toda ecuación indeterminada que es expresada
con dos incógnitas representa una curva.
una ecuación que tiene infinitas soluciones
cada solución de la ecuación consta de dos números,
uno para cada incógnita
Principio fundamental de la geometría analítica
locus
34. Conexión entre geometría y álgebra
En una ecuación indeterminada
que involucra tres variables
el conjunto resultante de puntos solución forma
una superficie en el espacio tridimensional.
35. Pierre de Fermat
Publicó sólo un artículo
de matemática
Fuentes
publicaciones póstumas
correspondencia personal
(1601 – 1665)
37. Leyendo a Pappus…
Plane Loci
de Apolonio
Fermat se da cuenta que la presentación
podía simplificarse considerablemente
mediante la aplicación del álgebra a la
geometría a través del uso de coordenadas.
38. A diferencia de Descartes…
Fermat graficó ecuaciones en su sistema
de coordenadas de manera similar a la
forma en que los estudiantes aprenden a
graficar hoy.
39. Además…
Fermat se dio cuenta de las relaciones
entre determinados tipos de ecuaciones
y curvas particulares.
40. Ejemplo
El lugar de los puntos
determinados por cualquier
ecuación de primer grado con dos variables
es una línea recta.
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄
41. Además…
Fermat se dio cuenta de que las
ecuaciones de segundo grado podían estar
relacionadas con diversas secciones
cónicas, y reconoció que la forma de una
ecuación está determinada por el sistema
de coordenadas en uso.
42. Ejemplo
𝟒𝒙 𝟐
− 𝒚 𝟐
= 𝟏
hipérbola
𝟏𝟏𝒙 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟑𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐 = 𝟒
¿cómo el cambio de
coordenadas
cambia la ecuación
resultante?
43. Como Descartes
Fermat descubrió que
una ecuación indeterminada
en tres variables
representa una superficie
en el espacio tridimensional.
44. Diofanto
ternas pitagóricas
Conjunto de tres números
naturales con la propiedad
de que cuando cada uno de
ellos se eleva al cuadrado,
uno de los cuadrados es la
suma de los otros dos.
47. Comenzó con…
búsqueda de ternas de números enteros positivos
con la propiedad de que cuando cada número se
eleva al cubo la suma de dos cubos es igual al
tercero.
𝒂 𝟑 + 𝒃 𝟑 = 𝒄 𝟑
Descubrió que no existen tales ternas.
48. Con algo más de trabajo…
No hay ternas de números enteros positivos
que satisfacen la ecuación 𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏 = 𝒄 𝒏
para cualquier número entero positivo
𝒏 mayor que 𝟐.
Fermat
50. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas
51. Geometría analítica de D y F
es una herramienta importante para la
investigación de la geometría.
proporciona un lenguaje
en el que se pueden
expresar las ideas del cálculo.
54. Tenía un don…
Inventar buena notación matemática
cálculo
Invirtió una gran cantidad de pensamiento
para desarrollar una notación
que transmitiera las ideas y técnicas
que forman la base de la materia.
58. ¿Cómo iban a
descubrir
las propiedades
de una curva que estaba
descrita únicamente en
términos de
una ecuación?
59. Por ejemplo
Para graficar una curva
¿En qué intervalos la curva disminuye o aumenta?
¿En qué posiciones, de ser el caso, la curva alcanza un valor
máximo o mínimo?
Los matemáticos
podían determinar en qué puntos
la curva era más empinada,
podían encontrar el área bajo la curva.
60. Isaac Newton
Asistió a la escuela en las
cercanías de Grantham
Trinity College
(1643 – 1727)
61. Recordamos a Newton por…
trabajo en óptica
teoría del movimiento
por el descubrimiento de la ley de la gravedad
por la invención del cálculo
pero también le interesaba la geometría.
69. Coordenadas cartesianas
Usaba coordenadas negativas.
Tenía una imagen más
completa de las propiedades
de las funciones que sus
predecesores.
Fue capaz de ver más
claramente los fenómenos que
estas funciones representan.
70. Universo
Un lugar donde se desarrolla el juego.
El espacio era el lugar donde el universo se desenvuelve.
Las cosas sucedían en el espacio;
no pasaban al espacio.
Espacio absoluto
71. Tiempo
El tiempo se encuentra fuera del universo de la misma
manera que un cronómetro está fuera de la carrera.
Dos observadores equipados con relojes precisos
miden la misma cantidad de tiempo
siempre que sus relojes muestren que
haya transcurrido una cantidad
igual de tiempo.
72. Coordenadas cartesianas 4D
𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑, 𝒕
Newton creía que el mismo sistema de coordenadas
se puede aplicar a través del espacio,
ya que las distancias y los tiempos son los mismos
en todas partes para todo el mundo.
punto en el espacio punto en el tiempo
sistema de referencia newtoniano
74. Recordar…
En una ecuación indeterminada
que involucra tres variables
el conjunto resultante de puntos solución forma
una superficie en el espacio tridimensional.
76. Geometría mediante ecuaciones algebraicas
Euler tuvo que determinar cómo una ecuación
que describe una superficie
en un sistema de coordenadas
cambia cuando cambia
el propio sistema de coordenadas.
77. Problema 1
Establecer cuándo dos ecuaciones que lucen diferentes,
cada una describiendo una superficie en el espacio
tridimensional, describen en realidad la misma superficie
en diferentes coordenadas.
(1601 – 1665)
(1707 – 1783)
78. Especial interés
Cambios a sistemas de coordenadas
que involucran
traslaciones
rotaciones
Transformaciones euclidianas
79. Euler…
buscó una expresión analítica
de la idea de Euclides de congruencia
aplicada al espacio tridimensional.
En la geometría euclidiana dos figuras se
dicen congruentes si una puede hacerse
coincidir con la otra después de una serie
de traslaciones y rotaciones.
criterio
analítico
80. Superficies cuádricas
el paraboloide elíptico
el paraboloide hiperbólico
el cono elíptico
el elipsoide
los hiperboloides de una y dos hojas.
ecuación de segundo grado
en tres variables
forma estándar
Cambio de los
sistemas de
coordenadas
81. Concepto de función
Las funciones son a menudo representaciones de objetos.
Al cambiar el énfasis de las descripciones
sintéticas de curvas y superficies a un énfasis
algebraico de funciones, Euler fue capaz de
avanzar hacia un tipo más abstracto y en última
instancia más productivo de matemática.
82. Representación paramétrica de superficies
Euler descubrió que a veces es conveniente
introducir una o más variables auxiliares en un
problema, y luego escribir curvas y superficies en
función de estas variables auxiliares o parámetros.
83. correspondencia uno-a-uno entre
los puntos en el alambre unidimensional
y los puntos de la curva en un espacio bidimensional
𝒕
(𝒙, 𝒚)
𝒙(𝒕)
𝒚(𝒕)
Representación paramétrica
de la curva
84. Cicloide
𝒙 = 𝒓𝒕 − 𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝒕
𝒚 = 𝒓 − 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝒕
parámetro
radio de la rueda
85. Representación paramétrica de superficies
Una correspondencia uno-a-uno
entre los puntos en el plano
–aquí representado por una lámina plana de goma–
y la superficie del cuerpo.
𝒖 = 𝒖 𝒙, 𝒚
𝒗 = 𝒗 𝒙, 𝒚
𝒘 = 𝒘 𝒙, 𝒚
86. Hemisferio
𝒖 𝒙, 𝒚 = 𝒙
𝒗 𝒙, 𝒚 = 𝒚
𝒘 𝒙, 𝒚 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐
restringidos al
disco de radio 1
centrado en el origen
de coordenadas
87. Problema 2
Movimiento a lo largo de una superficie curva en el espacio
de tres dimensiones
Si se está obligado a permanecer en la superficie,
y se dan dos puntos sobre la superficie,
¿cuál es el camino más corto
entre estos dos puntos?
90. Legado de Euler
El desarrollo de las herramientas conceptuales necesarias
para la representación y análisis de superficies y curvas.
Su énfasis estaba
en la descripción
de las superficies a
nivel global.
92. Carl Friedrich Gauss
Fundador de la
geometría diferencial
(1777 – 1855)
Rama de la geometría que
utiliza las herramientas del
análisis para el estudio de las
propiedades locales de las
superficies.
93. Geodesia
Se ocupa de la determinación
del tamaño y la forma exacta de la Tierra
y la ubicación precisa
de los puntos de la Tierra.
94. Gauss se ocupó de…
El problema de producir
mapas planos más precisos
de superficies curvas.
es una buena
introducción a algunas
ideas de la
geometría diferencial
95. Cada mapa de una región, una provincia, o incluso
una gran ciudad debe distorsionar distancias,
incluso cuando el terreno no es del todo
montañoso, porque ningún accidente geográfico
incluso de tamaño modesto es plano.
96. Plano tangente a la esfera
El plano tangente
es la mejor
aproximación
plana a la esfera
en el punto de
tangencia.
102. Solución de Gauss
Reducir cada problema de determinar
la curvatura en un punto
sobre una superficie a un conjunto de
dos problemas que involucran
curvaturas de curvas.
103. Gauss descubrió…
La dirección de la curva con
mayor curvatura en 𝑷 es
siempre perpendicular a la
dirección de la curva de
menor curvatura en 𝑷.
curvatura gaussiana
de la superficie en el punto
104. Los matemáticos querían…
hacer matemática general sobre superficies
curvas.
estudiar curvas y figuras geométricas sobre
superficies curvas.
identificar la ruta más corta que conecta dos
puntos sobre una
superficie curva.
105. ¿Qué podemos aprender
sobre la superficie en la
que nos encontramos a
partir de las observaciones
hechas en la superficie?
¿Podemos reconocer, por
ejemplo, si la superficie en
la que vivimos se curvó?
¿Podríamos calcular su
curvatura?
106. Georg Friedrich Bernhard Riemann
Universidad de Berlín
Universidad de Göttingen
(1826 – 1866)
116. Espacio de dimensión 𝒏
Si 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑, … , 𝒙 𝒏 y 𝒚 𝟏, 𝒚 𝟐, 𝒚 𝟑, … , 𝒚 𝒏
son dos puntos en el espacio 𝒏-dimensional,
la distancia entre ellos es
𝒙 𝟏 − 𝒚 𝟏
𝟐 + 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐
𝟐 + 𝒙 𝟑 − 𝒚 𝟑
𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒏 − 𝒚 𝒏
𝟐.
117. Espacios planos
Independientemente del número de dimensiones
del espacio, si la distancia entre los puntos en el
espacio viene dada por la fórmula de la distancia
entonces el espacio es plano o euclidiano.
118. ¿por qué dimensión > 3?
Aunque nuestros sentidos no se extienden a los
espacios de dimensiones superiores, nuestra
imaginación sí lo hace.
A matemáticos, científicos e ingenieros con frecuencia
les resulta conveniente y a veces incluso necesario
calcular en espacios de dimensiones superiores, como
cuando resuelven problemas prácticos que involucran
muchas variables independientes.
120. Geodésicas
Un conjunto completo de geodésicas
proporciona un sistema de coordenadas
que permitiría a un ser imaginario
encontrar su camino a través del espacio
en la misma forma, por ejemplo, que las líneas
de longitud y latitud nos permiten encontrar
el camino alrededor del globo.
121. Distancia más corta
En el espacio euclidiano la distancia más corta entre dos
puntos es una línea recta.
En un espacio curvo la distancia más corta entre dos puntos
es una geodésica.
122. ¿Podría un ser viviente
dentro del espacio distinguir
un espacio ordinario
tridimensional euclidiano
de un espacio curvo?
123. Teorema de Pitágoras
Si la distancia entre dos puntos no era predicha
por el teorema de Pitágoras, entonces el espacio
no era el espacio euclidiano. Este debía ser
curvado.
El grado de curvatura del espacio podría ser
investigado observando la cantidad que las
distancias reales variaron de lo predicho por el
teorema de Pitágoras.
124. ¿por qué la curvatura?
La curvatura del espacio es importante
por lo que puede significar sobre
el tamaño y la forma del universo.
Universo infinito ⟹ Universo sin fronteras
Universo sin fronteras ⇏ Universo infinito
125. Fernando de Magallanes
(ca. 1480 – 1511)
La superficie de la Tierra no tiene fronteras.
La superficie de la Tierra tampoco es infinita en extensión.
126. ¿Cuál es la forma
del universo?
¿Cómo podemos
saber si nuestras
ideas son correctas?
127. LA FORMA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas
128. En no mucho tiempo…
Las ideas de Riemann acerca de la curvatura del
espacio encontraron su camino en la física
moderna.
Las exóticas geometrías de Riemann comenzaron
a parecer más adecuadas para describir ciertos
aspectos de la estructura del universo.
130. Teoría especial de la relatividad
Cambió las ideas de los científicos acerca de la geometría
del universo.
Demostró que el sistema de
referencia newtoniano era,
para ciertas aplicaciones,
no válido.
132. Otros intereses
Pasó años argumentando en contra de
muchos de los descubrimientos en la
nueva rama de la física llamada mecánica cuántica.
Llamó la atención del presidente Franklin Roosevelt acerca
de las implicaciones potencialmente peligrosas de la
investigación que se llevaba a cabo en Europa en la
división del átomo.
Después de la Segunda Guerra Mundial, Einstein abogó
por la creación de un único gobierno mundial para proteger
a la humanidad de nuevos conflictos a gran escala.
133. Albert Abraham Michelson Edward Williams Morley
Experimentos de Michelson-Morley
No era posible que las leyes de la física y la naturaleza
newtoniana del espacio y tiempo, ambas,
fueran simultáneamente verdaderas.
134. Consecuencias
La velocidad de la luz en el vacío
era la misma para todos los observadores
que se mueven a velocidad constante.
135. Riemann había querido saber cuánto un ser imaginario que
vive sobre una superficie curva puede descubrir sobre la
superficie sin pisar fuera de ella.
Ahora, los científicos también querían saber sobre la
estructura geométrica curva del universo.
Einstein indicó que el espacio podría ser curvo,
pero ¿cuánto de curvo,
y en qué dirección es curvo?
136. Y la física clásica?
Si la relatividad es "correcta", ¿debe la física clásica estar
"mal"?
¿Podemos concluir que la geometría euclidiana es errónea
porque no tiene en cuenta la geometría del universo
predicha por la teoría de la relatividad?
137. 1915
La idea de la geometría como
principio organizador central de la naturaleza
fue reintroducida con éxito poco después de que
Einstein publicó su artículo sobre la teoría general
de la relatividad.
138. Emmy Noether
(1882 – 1935) 1915
¿La energía
se conserva o no
en el modelo del
universo de
Einstein?
139. Noether descubrió que existe una estrecha relación
entre las leyes de conservación y las simetrías de
una amplia clase de ecuaciones, una clase que
contiene el conjunto básico de ecuaciones que
describen la teoría de la relatividad.
Restauró la geometría como
principio de organización en la ciencia.
141. ¿Dimensión infinita?
Gran parte de la motivación para crear y estudiar
espacios de dimensión infinita surge de la
necesidad de comprender conjuntos de funciones.
El estudio de conjuntos abstractos
de funciones se llama
análisis funcional.
144. Geometría del espacio de dimensión infinita
Elegir nuestras descripciones de objetos para que
se apliquen a espacios de cualquier número de
dimensiones.
Usar nuestra intuición tridimensional para guiar
nuestra comprensión
en dimensión infinita.
145. Esfera
El conjunto de todos los puntos
que están a una distancia 𝒓
desde el origen.
146. Pero…
Así como los espacios de Hilbert
son una generalización a
dimensión infinita del
espacio de dimensión finita,
existen generalizaciones
de dimensión infinita de
espacios de Hilbert.
148. Principios del siglo XX
Los matemáticos empezaron a buscar patrones
a gran escala en la matemática.
Se volvieron menos interesados en funciones específicas y
más interesados en las propiedades que todas las funciones
de un determinado tipo comparten.
Se volvieron menos interesados en cualquier operación
matemática en particular y más interesados en
determinadas clases de operaciones matemáticas.
149.
150. antes con espacios de Banach
¿qué hay de nuevo?
El término punto significaba
en general un punto
geométrico, y un punto
geométrico estaba a menudo
estrechamente asociado con
uno o más números a través
de un sistema de
coordenadas.
Un punto a menudo es
interpretado como una
función particular, y con
frecuencia no hay sistemas de
coordenadas en absoluto. Y
una operación en los puntos a
menudo es interpretada como
una operación sobre una clase
entera de funciones.
151. En espacios de Banach…
podemos ser capaces de demostrar que
existe la solución a un problema particular;
podemos saber que es única; pero podemos
seguir siendo incapaces de escribir la
solución o incluso escribir una buena
aproximación de la misma.