UNIDADE DE APRENDIZAGEM 1
Razão e Proporção
1.1. Introdução
Se a mensalidade da faculdade sofresse hoje um reajuste de R$ ...
Métodos Quantitativos Aplicados
A razão entre 5 e
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Exemplo 4. Ao dizer que de 40 alunos entrevistados 10 gostam de matemática, poderemos supo...
Métodos Quantitativos Aplicados
1.6. Cálculo de um Termo Desconhecido
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, ...
Métodos Quantitativos Aplicados
Exercício 4. Determine o valor x nas proporções:
a)
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Métodos Quantitativos Aplicados
Exercício 4. Determine o valor x nas proporções:
a)
2 7
3 5
4x
5
= b)
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Razão e proporção

  1. 1. UNIDADE DE APRENDIZAGEM 1 Razão e Proporção 1.1. Introdução Se a mensalidade da faculdade sofresse hoje um reajuste de R$ 80,00, como você reagiria ? Acharia caro, normal ou abaixo da expectativa ? Apesar de parecer caro no reajuste da mensalidade, esse mesmo valor seria considerado insignificante caso se tratasse de um acréscimo no seu salário. Naturalmente, você já percebeu que R$ 80,00 nada representa se não for comparado a um valor- base e avaliado de acordo com a natureza da comparação. Por exemplo, se a mensalidade fosse de R$ 90,00, o reajuste poderia ser considerado alto, afinal, o valor da mensalidade teria quase dobrado. Já no caso de uma mensalidade de R$ 1000,00, o aumento não seria muito significativo. A fim de esclarecer melhor esse tipo de problema, vamos estabelecer regras para a comparação entre grandezas. 1.2. Razão Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 10 estudantes, 7 são meninas”, “De cada 100 funcionários, 5 faltam uma vez por mês”. Em cada uma dessas frases está sempre clara uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos 7 entre 10; no segundo, 5 entre 100. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão. Razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Geralmente, indicamos da seguinte maneira: a b ou a :b (lemos: a para b). Os números a e b são os termos da razão, e a é chamado de antecedente e b, conseqüente da razão. Exemplo 1. A razão de 7 para 10 é: 10 7 . A razão de 5 para 100 é: 20 1 100 5 = .
  2. 2. Métodos Quantitativos Aplicados A razão entre 5 e 1 2 é: 5 2 5 10 1 1 2 = × = . A razão entre 1 2 3   + ÷   e 7 é: 1 72 7 1 13 3 7 7 3 7 3   + ÷   = = × = . 1.3. Razão de Duas Grandezas Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso a razão será simplesmente um número sem unidade. Exemplo 2. A razão de 20m para 30m é: 20m 2 30m 3 = . Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo 3. Um automóvel percorre 168km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é: 168km 168 km h 84km h 2h 2 = = 1.4. Proporção O conceito de proporcionalidade, obtido por meio da idéia de razão, é de fundamental importância na área biomédica, farmacêutica, química, humana, etc. É por intermédio desse conceito simples que resolveremos situações-problema da área de administração, recursos humanos, etc. Neste capítulo vamos nos familiarizar com tais conceitos e suas aplicações. Dados, em certa ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d). Simbolicamente, representamos uma proporção por: a c b d = (e lemos: “a está para b, assim como c está para d”). 2
  3. 3. Métodos Quantitativos Aplicados Exemplo 4. Ao dizer que de 40 alunos entrevistados 10 gostam de matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80. 80 20 40 10 = (10 está para 40 assim como 20 está para 80) Exemplo 5. 18 está para 6, assim como 27 está para 9, pois 18 27 3 3 6 9 = ⇒ = . Exemplo 6. 2 está para 1 3 , assim como 9 2 está para 3 4 , pois 9 2 3 9 4 362 2 6 6 6 1 3 1 2 3 6 3 4 = ⇒ × = × ⇒ = ⇒ = . Comentário: Na proporção a c b d = , os termos a e d são chamados de extremos e os termos b e c são chamados de meios, isto é: a c b d = 1.5. Propriedade Fundamental das Proporções Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, isto é: a c a d b c b d = ⇒ × = × Exemplo 7. Dada a proporção 4 12 6 18 = , temos: 4 18 6 12× = × 3 extremo extremo meio meio
  4. 4. Métodos Quantitativos Aplicados 1.6. Cálculo de um Termo Desconhecido Aplicando a propriedade fundamental das proporções, é sempre possível determinar o valor de um termo qualquer, quando os outros três termos são conhecidos. Exemplo 9. Determine o valor de d na proporção 15 60 20 d = . Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 1200 15d 20 60 15d 1200 d d 80 15 = × ⇒ = ⇒ = ⇒ = . Exemplo 10. Determine o valor de b na proporção 7 56 3b 2 = . Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 21 7 3 21 21 1 21 7125b 5b b b b b 6 2 12 5 12 5 60 20 = × ⇒ = ⇒ = ⇒ = × ⇒ = ⇒ = . 1.7. Atividades Exercício 1. Estabeleça a razão em cada caso: a) De cada 30 carros vistoriados 7 não estão em perfeitas condições. b) De cada 40 camisetas fabricadas, 1 sai com defeito. c) Trabalho 4 horas e descanso 1. Exercício 2. O censo de uma cidade mostrou que 1300 pessoas tinham idade acima de 40 anos, 26000 estavam entre 20 e 40 anos de idade e 30000 eram menores de 20 anos. Estabeleça a razão entre: a) os habitantes com mais de 40 anos e os de 20 a 40 anos; b) os habitantes com mais de 40 anos e todos os habitantes da cidade; c) os menores de 20 anos e todos os habitantes da cidade. Exercício 3. Verifique se são verdadeiras as proporções: a) 9 5 45 25 = b) 8 6 24 15 = c) 18 12 3 2 = d) 19 76 17 68 = 4
  5. 5. Métodos Quantitativos Aplicados Exercício 4. Determine o valor x nas proporções: a) 2 7 3 5 4x 5 = b) 0,06 0,18 0,25 x = c) 25 2 125 4 = +x Exercício 5. Determine x e y nas proporções: a) 5 4 34 == yx b) 1 475,2 == yx c) 2 3 5 2 4 2 = + = + yx Respostas: 1. a) 30 7 , b) 40 1 , c) 4 1 ; 2. a) 20 1 , b) 573 13 , c) 191 100 ; 3. a,c e d são verdadeiras; 4. a) 21 8 , b) 4 3 , c) 6; 5. a) 5 12 5 16 == yex , b) 4 7 8 5 == yex , c) 2 11 4 == yex ; 5
  6. 6. Métodos Quantitativos Aplicados Exercício 4. Determine o valor x nas proporções: a) 2 7 3 5 4x 5 = b) 0,06 0,18 0,25 x = c) 25 2 125 4 = +x Exercício 5. Determine x e y nas proporções: a) 5 4 34 == yx b) 1 475,2 == yx c) 2 3 5 2 4 2 = + = + yx Respostas: 1. a) 30 7 , b) 40 1 , c) 4 1 ; 2. a) 20 1 , b) 573 13 , c) 191 100 ; 3. a,c e d são verdadeiras; 4. a) 21 8 , b) 4 3 , c) 6; 5. a) 5 12 5 16 == yex , b) 4 7 8 5 == yex , c) 2 11 4 == yex ; 5

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