1. MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 2.
HOJA 10. EJERCICIOS DE PROBABILIDAD. SOLUCIONES
1. Halla la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado
El espacio muestral asociado al experimento aleatorio es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Todos los sucesos elementales son
equiprobables. El suceso A = {obtener nº primo} = {2, 3, 5}, luego P(A) = 3/6 = 0.5
2. Se sabe que
Calcula .
Como los sucesos son compatibles ( , tendremos:
3. En un centro educativo hay 200 alumnos de bachillerato. De los 120 alumnos de 1º 62 son chicas, y en 2º hay 36
chicos. Calcula la probabilidad de que, elegido un alumno al azar, sea chica de 2º curso.
Distribuimos la información en una tabla (en negrita los datos iniciales)
chicas chicos total
1º 62 58 120
2º 44 36 80
106 94 200
Tras completar la tabla la P (chica y de 2º curso) = 44/200 = 11/50
4. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a. A = Se obtiene cinco en alguno de los dados.
b. B = Se obtiene un doble.
c.
d.
El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados es el siguiente:
E = {(1,1), (1,2),…. (1,6), (2,1), (2,2), … (2,6),……..(6,1), (6,2), …(6,6)} que son 36 resultados equiprobables.
a) El suceso A está formado por los siguientes sucesos elementales
A = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)], es decir 11 luego P(A) = 11/36
b) B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} , luego P(B) = 6/36 = 1/6
d) Calculamos previamente el apartado b). El suceso
c)
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2. 5. Calcula la probabilidad del suceso , sabiendo que la probabilidad de que ocurra al menos uno de los
sucesos A o B es 0,8 y que P(A)= 0,3.
Observese que s todo lo que es B pero no es A, que corresponde a la zona de B en blanco del gráfico
A
B
6. Sonia y Manuel tiran, cada uno, un dado numerado del 1 al 6. Calcula la probabilidad de cada uno de los
siguientes sucesos:
a. A = la suma de las puntuaciones sea 5.
b. B = la puntuación de Sonia sea superior a la de Manuel.
c. C = La puntuación de Sonia sea el doble de la de Manuel.
d. D = las puntuaciones sean números consecutivos (no importa el orden)
a) El espacio muestral está formado por 36 sucesos equiprobables. Si la primera de las puntuaciones es la de Miguel y la
segunda la de Sonia, tenemos que A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} y entonces P(A) = 4/36 = 1/9.
b) B = {(1,2),(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3, 4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)}, y P(B) = 15/36
c) C = {(1,2), (2,4), (3,6)}, siendo P(C) = 3/36 = 1/12
d) D = {(1,2), (2,1),(2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5)} y, por tanto, P (D) = 10/36 = 5/18
7. En una población se ha determinado que de cada 100 aficionados al fútbol, 25 son abonados del equipo A, 45
son abonados del equipo B y el resto son abonados del equipo C. Sabiendo que el 30% de los abonados de A, el
40% de los abonados de B y el 50% de los abonados de C tienen menos de 30 años, determina la probabilidad de
que, seleccionado al azar, un aficionado al fútbol en esa población sea menor de 30 años.
Sean los sucesos: A, B y C ser abonado al equipo A, B o C respectivamente, y X tener menos de 30 años. Tendremos:
8. En una urna hay 4 bolas rojas y 5 verdes. Se extraen dos bolas sin devolución. Halla la probabilidad de los
siguientes sucesos:
a. A = las dos bolas sean rojas.
b. B = la primera sea verde y la segunda roja.
c. C = las dos bolas sean del mismo color.
d. D = las dos bolas sean de distinto color.
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3. Al no haber devolución los sucesos no son, en principio, independientes. Si designamos los sucesos por la inicial del color
de la bola con el subíndice de primera o segunda extracción, tendremos
d) Las dos bolas sean de distinto color es el suceso contrario del suceso “las dos bolas sean del mismo color”, por tanto:
P(D) = 1 – P(C) = 5/9
9. Un jugador de baloncesto tiene un porcentaje de acierto desde la línea de tiros libres del 90%. Le han cometido
una falta personal y debe tirar dos tiros libres (recuerda que si falla el primero no tira el segundo). Calcula las
siguientes probabilidades:
a. A = no anote ningún punto.
b. B = anote un punto.
c. C = anote los dos puntos
Designamos A el suceso acertar y como F “fallar”. La pericia del lanzador es la misma en el primer tiro que en el segundo
tiro luego los sucesos son independientes.
a. P(A) = P(F1.) = 0,1
b. P(B) = P(A1∩F2) = P(A1)·P(F2) = 0.9·0.1 = 0.09
c. P(C) = P(A1)· P(A2) = 0.9·0.9 = 0.81
10. Sean A y B dos sucesos de una experiencia aleatoria tales que
a. Calcula
b. Razona si los sucesos A y B son independientes
c. Calcula .
Como , tenemos que
a.
b. Como , los sucesos no son independientes.
c.
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4. 11. Una empresa realiza el 50% de las operaciones en la Unión Europea, el 30% en América y el 20% en Asia. En la U.
E. sufren un retraso del 10%, en América del 15% y en Asia del 25%. Halla la probabilidad de que una operación
sufra retraso. Si una operación ha sufrido retraso, halla la probabilidad de que se haya realizado en la Unión
Europea.
Sean los sucesos UE “operación el unión europea” , AM “operación en América” y AS “operación en Asia”y sea X el
suceso “una operación sufre retraso”.
Los tres sucesos: UE, AM y AS constituyen una partición del espacio total E, puesto que su unión es E y son incompatibles
dos a dos. además X es compatible con los tres sucesos anteriores. Estamos en condiciones de aplicar el Teorema de la
probabilidad total. Así:
En el segundo aprtado me piden una probabilidad “a posterioi”: . Como estamos en condiciones de aplicar el
Teorema de Bayes:
También podéis ayudaros de diagramas en árbol dela forma:
0.1 R
UE
0.5 0.9 NR
0.3 0.15 R
Operación AM
0.85 NR
0.2 0.25 R
AS
0.75 NR
12. Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene 3 bolas blancas y 4 negras; la segunda, 5 bolas negras; y la
tercera, 4 blancas y 3 negras.
a. Si se elige una caja al azar y se extrae una bola de ella ¿cuál es la probabilidad de que sea negra?
b. Si se extrae una bola negra de una de las cajas ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda
caja?
La probabilidad “a priori” de elegir una caja es la misma para las tres. Si llamamos UNO, DOS y TRES a los sucesos “elegir
la caja 1, la 2 o la caja 3” tenemos que su unión constituye el espacio total E (no hay mas que esas tres posibilidades) y
además esos sucesos son incompatibles dos a dos (si escojo la 1 no puedo escoger la 2, etc.).
Sea N el suceso “sacar una bola negra de la caja elegida”. N es compatible con UNO, DOS y TRES. Aplicando el Teorema de
la probabilidad total:
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5. Podéis ayudaros de un diagrama en árbol
13. Una caja contiene tres monedas. Una moneda es normal, la otra tiene dos caras y la tercera está trucada de
forma que la probabilidad de obtener cara es 0,2. Extraemos, al azar, una de las monedas de la caja y la lanzamos
al aire,
a. ¿cuál es la probabilidad de que salga cara?
b. Sabiendo que hemos lanzado la moneda y ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que hayamos
lanzado la moneda normal?
Sean A, B y C los sucesos lanzar la moneda normal, la de las dos caras y la trucada. Del enunciado se desprende que
dichos sucesos constituyen una partición de E. Sea X el suceso sacar cara, compatible con los anteriores.
14. Un determinado día, en una tienda de ropa, se han realizado 400 ventas pagadas con tarjeta de crédito V, y 350
ventas pagadas con tarjeta MC. Las ventas restantes del día se han pagado en metálico. Se comprueba que 150
de las ventas pagadas con V superan los 150€, mientras que 300 de las compras pagadas con MC superan esa
cantidad. Se extrae al azar un comprobante de venta con tarjeta de crédito.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a una compra superior a 150€?
b. Si la compra es inferior a 150€ ¿cuál es la probabilidad de que haya sido pagada con MC?
Sean V y MC los sucesos “pagar con tarjeta V o con tarjeta MC”. Sea X “realizar una compra superior a 150€”.
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