Membangun intuisi fisika

Click here for a version of this paper done in British units (feet instead of meters)

Think Like a Physicist
or, Why do Physicists Waste So Much Time Talking About Math?
Copyright (c) 1996 by Kenny Felder
Converted to SI units by Ray Forma
Animated GIF by Chris Quarnstrom
After talking to a lot of bright-but-frustrated students, I've come to the conclusion that the "hard
part" of Physics is not the Physics per se—the laws of nature and so on. And it isn't the math
either! The problem is somewhere in between: it's going back and forth between the Physics and
the math that loses people. The "I hate word problems" aspect, if you will.
So, the following experiment. I'm going to do an entire Physics lecture about math, but using no
math at all. This may sound odd, or even useless, but I will make a very strong claim: the
concepts in this small paper are exactly the concepts that prevent otherwise intelligent people
from really enjoying Physics. Give this paper an hour of your life, and the payback—in terms of
better grades, or just in terms of opening up a rich new mental world—could be absolutely
enormous.
This paper is based on the following scenario: you throw a rock. It goes straight up into the air,
and then comes down. That's all.
Now, let's put some numbers to it. First, let's assume that the rock starts at the ground (even
though it would be difficult to throw a rock that way in real life). You throw the rock with an
initial speed of 9.8 metres per second. It goes up for exactly one second, reaches a height of 4.9
metres, and then takes exactly one second to fall back down.
Finally, let's coin some letters. We will call the time t, measured in seconds. t starts at zero
when the rock begins its journey, and reaches 2 at the end (because the whole trip is 2 seconds).
We will call the height of the rock off the ground h, measured in metres. h starts at zero, when
the rock is on the ground, goes all the way up to 4.9 m, and ends back at zero when the rock is
back on the ground.
(Wait a minute, I thought he said no math.)
(It's okay, those are just some numbers and letters. I promise
not to try to add them or anything fancy like that.)

Okay, here comes the leap. At any given time t, the rock is at a certain height h. There is a

mathematical equation that relates the two variables: that is, it tells you what h is, for any given
time t. Let's call this the height equation. I'm not going to tell you what the height equation is
(it's printed at the end, and you may already know it, but indulge me and don't use it). The key
thing to know about this equation, is simply that it exists. And this whole paper is going to be a
series of questions about what you would get, if you were to use this equation.
For each question, please read the question (in boldface) without looking at the answer
(anything typed below the boldface). Then write down the answer you think is right, before you
look at the real answer. Remember, do all of this without ever looking at, or using the equation!

Question 1: If you plug t=0 into the height equation, what h will you get?
Once again (and for the last time, I promise), I want to stress: please write down your answer
before you read any farther. The answer should be in the form of a number. Without using any
equation, figure out what you would get, for h, if you set t=0 and went through the math.
In order to answer this question, you have to translate it into words. The word translation is:
"what height is the rock at, after no time at all has elapsed?" I hope the answer is obvious by
now: it is zero. At time t=0—at the beginning, in other words—the rock is on the ground, which
means h=0. If you plugged t=0 and got any other value for h, that wouldn't mean your
common sense was wrong. It would mean that the equation was wrong, or else you did your
math wrong. That answer has to be right.

Answer: you will get 4.9. At time t=1, one second after launch, the rock is 4.9 m high.

Answer: you will get 0. At time t=2, two seconds after launch, the rock is back on the ground, at
height 0.

Your first impulse might be to say, that you won't get anything at all. But that's wrong. It's an
equation, it has to do something!
Your second guess might be that you will get 0. That's a pretty good guess! Because after three
seconds, the rock will still be on the ground, at height zero.
But in fact, what you will discover if you do the math (*don't do it now, take my word for it!), is
that you get a negative number. What does that mean?
What it means is that the equation is only valid during the time of the rock's flight: the equation
doesn't know about the ground at all. The equation doesn't understand that the rock stops

suddenly when it hits the ground. It blindly computes as if the rock was going to keep going,
straight down, and hence finds a negative h. So in this case, the equation is just wrong! You
know something about the problem that the equation doesn't know. So if you were asked "where
will the rock be after three seconds?" you might use the equation: but when it gave you a
negative number, you would have to be smart, and realize that it was lying to you. The right
answer to that question is, "on the ground."

Question 5: If you plug h=4.9 into the height equation, what t will you get?
The big point I want to make with this question is that equations go both ways. We have an
equation that relates t to h. You can plug in a t and get an h. But you can also plug in an h to
get a t! In this case, the question you are asking the equation is, "When will the rock be at height
4.9?" The answer, of course, is after one second. So if you do the math right, you will wind up
with t=1.

Question 6: If you plug h=0 into the height equation, what t will you get?
This might look like a rerun of question 1, but don't answer too quickly! The answer is t=0, of
course, because at time zero, the height is zero. But wait a minute: isn't the height also zero after
two seconds have elapsed? So t=2 is also a valid answer! What will the math say?
The answer is, it will say both. You will find both t=0 and t=2 come out of this one question.
Here I want to make a brief mathematical digression, which you can feel free to ignore if you
like. h is a function of t. That means that for any given t there is exactly one h. But the reverse
is not necessarily true. In principle, one h could have one t, or two, or none at all, or twenty. In
this particular case, we will see 0, 1, or 2 answers, but never more. This might tip you off, if you
remember your math, that a quadratic equation is at work. If it doesn't, that's okay too.

Question 7: If you plug h=3 into the height equation, what kind of values for t
will you get? (ie how many answers; positive, negative, or zero?)
In this case, there is no way to actually figure out the number without going through the math.
But you can figure out what kind of answers you would expect to get. This is very important,
because if you go through the math and get answers that don't make sense, you know you did the
math wrong!
In this case, what you are asking the equation is: "when will the rock be at height 3?" The answer
is, of course, twice: once on the way up, and once on the way down. So you would expect to get
two answers back, both positive. One answer should be between 0 and 1 seconds, and the other
should be between 1 and 2 seconds; since those represent the times that the rock was moving up
and moving down, respectively. Going further, you might even recognize that the number 1
should be exactly in between the two numbers: so you might get 0.8 and 1.2, or 0.7 and 1.3, or
something like that. But that is as far as you can go without crunching the math.

Question 8: If you plug h=6 into the height equation, what kind of values for t
This is a very different question from the last one, since the rock never actually reaches that
height! You might expect to get a bogus answer, like we did in number 4. If you wrote that
down, give yourself credit, you're doing fine. But in fact, although the equation doesn't know
about the ground, it does know about the rock reaching the top. Because our equation is valid for
the entire period of the toss, even if it isn't valid before and after. So as it turns out, you will
get…no answer at all.

Question 9: If you plug h=-1 into the height equation, what kind of values for t
By now, I hope you've become pretty familiar with our little equation. You know that it
understands what the rock does between the throw, and hitting the ground; but it doesn't know
about the ground. So you can probably guess that you will get some answer greater than 2; the
equation believes that after two seconds, the rock keeps going down, and eventually reaches
height -1.
But in fact, if you do the math, you will get two answers. Because the equation also doesn't know
about the start of the rock's journey. So you will get one answer greater than 2, but you will also
get a negative answer…signifying that the rock was below the ground, some time before we
started counting!
Does that mean that the rock really started below the ground? No: once again, we know better
than the equation. The rock was probably sitting on the ground, or maybe you were just putting it
on the ground, or who knows what? before time t=0. But we know that we can't expect the
equation to know that either.

For questions 10-13, we are going to introduce one more variable: v for the velocity of the
stone, measured in metres per second. Because v is a vector quantity, and therefore has
direction, v is positive when the stone is going up, and negative when the stone is going down.
Like h, v is a function of time: that is, there is an equation that tells you v for any given value of
t. I'll call this the velocity equation.

Question 10: If you plug t=0 into the velocity equation, what kind of values for v
Remember, a positive v means you are going up: a negative v means you are going down. I hope
it is clear that you will get one answer, and it will be positive. In fact, it will be 9.8. How do I
know? Because we already said that the rock starts off at 9.8 metres per second. It pays to
remember details.

Question 11: If you plug t=1.5 into the velocity equation, what kind of values
for v will you get? (ie how many answers; positive, negative, or zero?)
After 1.5 seconds, the stone is going down. So you will get one negative answer. The exact
number is impossible to determine without going through the math.

Question 12: If you plug v=0 into the velocity equation, what of value for t will
you get? (Give an actual numerical answer.)
If you're having trouble with this one, let me urge you to turn the question into words. At what
time is the speed of the stone zero?
If you think about it, I think you will see that there is only one answer. As the stone is going up,
its speed is always positive. On the way down, its speed is always negative. But right at the
top—for just a split instant—the stone stops, as it turns around. Its speed is neither positive nor
negative. It is zero. So the answer to this question is, you will get 1. Because at time t=1 second,
the stone is still.

Question 13: When v=0 what is h? (Give an actual numerical answer.)
This is a sneaky problem, in terms of the math. There is no equation (at least, we haven't
introduced one) that relates v to h! So what you would actually have to do is use both of our
equations, the height and velocity. First, you would use the velocity equation to find the time
when v=0. As we discussed in question 12, you would find t=1. Then you would plug that into
the height equation, and we're back to question 2: we wind up with h=4.9.
So it's getting more roundabout here. But we're also starting to answer some harder questions.
Because in fact, this is exactly how a Physicist would go about figuring out how high something
will go when you throw it! A Physicist would start with the observation that at the top, the
velocity is zero—and would work backward from there, to find the height. This is a great
example of a problem where knowing all the equations in the world won't help you solve the
problem, if you don't also think about the Physics of the situation.

Question 14: What's the point of all this?
I mean this one very seriously. Indulge me one more time and write down what you think the
point of going through all this math, without the math, is.
If you're scoring yourself, give yourself credit for whatever you wrote down. (No credit if you
wimped out and didn't write anything.) But here is how I would put it. Mathematical equations
represent reality. When we do Physics, we go through a translation process: we translate a
physical question into math, we solve the math, and then we translate the math back into a
physical answer. This indirect sort of approach turns out to be a very powerful, very rich way of
solving all kinds of problems which would be next to impossible otherwise.

But the danger is that we will leave our common sense behind, and trust the math too much!
Math can never represent reality fully. And even when it gives the right answer, if you don't
understand the Physics behind the problem, you haven't really learned anything useful or
interesting. It's when you are using the math as a tool to give answers to problems that you fully
understand—and you fully understand what the math is really doing for you—that it becomes
useful, and fun. And the key to that fun is never abandoning your common sense.
That way, when you reach Relativity and Quantum Mechanics, and your common sense is
suddenly wrong about everything, the real fun begins!

Epilogue or Appendix or Whatever: The Equations
After you have gone through all of the above, you may find it worthwhile to actually work
through the numbers and confirm that you get what you expected. In fact, I would highly
recommend it. When you see that the numbers do actually turn out the way you predicted, your
confidence level goes way up.
So: throughout our period of concern, the rock is under the force of gravity, which happens to
exert a constant acceleration. That isn't obvious, it's just a law of Physics. But that's where we
start.
The equation for motion under constant acceleration is x=xo+vot+½at2 where x is the position
at any given time, xo is the initial position, vo is the initial velocity, and a is the acceleration.
This equation is also not obvious; although with a really good understanding of velocity and
acceleration, you can derive it slowly using algebra, or very quickly using calculus.
In our case, the position x was actually a height h. The initial position xo was zero: that is, we
started at height zero. The initial velocity vo was 9.8: we started at 9.8 metres per second. And
the acceleration was -9.8, since the acceleration due to gravity happens to be -9.8
metres/second/second. (Also not obvious: this is just an experimental result.) So the actual height
equation we were working with comes from plugging in all these numbers:
h = 9.8t - 4.9t2

The general velocity equation under constant acceleration turns out to be v=vo+at, so our
velocity equation is:
v = 9.8 - 9.8t

Using those two equations, you should be able to get all the answers. Most of the questions
require only very basic algebra: questions 5-9 involve quadratic equations.
As an example, let's take problem 1. We started by saying that t=0. So by the above equation,
we see that h=9.8(0)-4.9(0)2 which is 0. So sure enough, the math gives us what we
thought it would.

Note that the "no-answer" problem, number 8, winds up mathematically resolving to the square
root of a negative number. This is one of my favorite examples of math, almost magically, doing
what it has to in order to give you the right answer. Similarly, you will get one valid answer for
question 5, and two valid answers for question 6. Try it!

The Math and Physics Help Home Page
www.ncsu.edu/felder-public/kenny

Written by Kenny Felder, KenFe@HotMail.com
Converted to SI units by Ray Forma, RayF@SmartChat.net.au

Berpikir seperti layaknya Seorang Fisikawan
Atau Mengapa Seorang Fisikawan Membuang Banyak Waktu Hanya untuk membicarakan
Matematika ?
Hak Cipta 1996 oleh Kenny Felder
Diterjemahkan oleh Amalia, M. P. Fis
Sulitnya fisika bukanlah pada hukum-hukumnya ataupun pada matematikanya. Masalahnya
terletak pada kesulitan menghubungkan bolak balik antara Matematika dan Fisika. Dengan kata
lain adalah aspek pada “soal cerita”, yaitu menterjemahkan dari soal fisika untuk kemudian
menulis persamaan matematisnya.
Jadi, dari kasus berikut, akan dijelaskan kuliah fisika tentang matematika, tapi tanpa
menggunakan matematika sama sekali. Kedengarannya aneh, atau bahkan tak berguna, tapi bisa
dijelaskan dengan lantang disini : konsep dalam makalah ini adalah konsep yang menyebabkan
orang-orang jenius sangat menikmati fisika. Luangkan waktu 1 jam untuk mempelajari makalah
ini, dan hasilnya adalah nilai fisika Anda akan menjadi lebih baik, atau mungkin setidaknya
membuka cakrawala pemikiran Anda tentang dunia.

Makalah ini berdasarkan kasus berikut : Anda melemparkan sebuah batu. Batu tersebut bergerak
lurus ke atas untuk kemudian jatuh kembali ke tanah. Hanya itu !!!
Sekarang, mari memberi angka-angkanya. Pertama, Mari diasumsikan bahwa batu mulai
bergerak dari atas tanah (walaupun dalam kenyataannya mungkin sangat sulit melempar yang
benar-benar dari tanah). Anda melempar batu dengan kecepatan 10 m/s. Batu tersebut terlempar
ke atas selama satu detik, mencapai ketinggian 5 m, dan kemudian menghabiskan waktu 1 detik
lagi untuk sampai di tanah.
Akhirnya, mari kita namai variabel-variabelnya. Kita sebut waktunya t, diukur dalam detik. t
dimulai dari nol ketika memulai perjalanannya dan mencapai dua detik di akhir perjalanan
tersebut. Kita sebut ketinggian batu dari tanah adalah h, diukur dalam satuan meter. H dimulai
dari nol, ketika batu tersebut di tanah, bergerak ke atas sampai mencapai 5 m dan kembali ke nol
ketika batu tersebut kembali ke tanah.
[Katanya tadi nggak ada matematikanya .
Tenang-tenang, itu hanyalah angka dan variabel berupa huruf. Janji kok, nggak akan dijumlah,
kali, bagi dan sebagainya ☺].
Ini lompatan asiknya. Pada waktu t berapapun, batu akan mencapai suatu ketinggian h tertentu.
Artinya, ada persamaan matematis yang menghubungkan 2 variabel ini, yaitu yang menyatakan
pada Anda berapa ketinggiannya h untuk waktu t yang diberikan. Kita sebut saja persamaan
tersebut adalah Persamaan ketinggian. Kuncinya adalah mengetahui bahwa persamaan
ketinggian ini benar-benar ada. Dan keseluruhan makalah ini adalah pertanyaan berurutan
tentang hasil yang akan anda peroleh jika Anda menggunakan persamaan ketinggian tersebut.
Untuk tiap pertanyaan yang dicetak tebal, jawablah tanpa melihat jawabannya atau apapun yang
tertulis di bawah tulisan cetak tebal tersebut. Kemudian tulis jawaban yang Anda anggap benar,
sebelum melihat jawaban yang sebenarnya. Ingat, jawablah tanpa melihat atau menggunakan
persamaan tersebut.
Pertanyaan 1 : Jika Anda memasukkan waktu t = 0 s , berapakah ketinggian h ?
Sekali lagi Anda diperingatkan [terakhir nih ^_^] untuk tidak membaca lebih lanjut sebelum
menjawab pertanyaan yang dicetak tebal. Jawabannya harus dalam bentuk angka. Tanpa
menggunakan persamaan apapun, pikirkan berapa ketinggian h yang akan anda dapat, jika waktu
t adalah nol.
Jawabannya jelas kan? Ketinggiannya adalah nol ketika waktu t = nol. Pada waktu t=0—dengan
kata lain pada saat awal—batu tersebut berada di tanah, artinya h=0. Jika Anda memasukkan t=0
dan mendapatkan hasil lain untuk h, tidak berarti bahwa pemikiran anda salah, tapi persamaan
Anda yang salah, atau mungkin matematikanya yang salah.
Jawaban : Anda akan mendapatkan angka 5. Pada waktu t=1, yaitu 1 detik setelah dilempar, batu
tersebut mencapai ketinggian 5 m.

Jawaban : Anda akan mendapatkan 0. Pada waktu t=2, yaitu 2 detik setelah dilempar, batu
tersebut kembali ke tanah, pada ketinggian 0.
Reaksi pertama Anda mungkin berkata bahwa Anda tidak mendapatkan apa-apa. Tapi hal
tersebut salah. Hal yang berkenaan dengan persamaan adalah bahwa persamaan tersebut harus
melakukan sesuatu terhadap angka.
Tebakan kedua mungkin Anda mendapatkan 0. Tebakan yang bagus ! karena setelah 3 detik,
batu akan kembali ke tanah pada ketinggian nol.
Tapi dalam kenyataannya, apa yang akan Anda temukan bila mengerjakan matematika ?
(*jangan dikerjakan sekarang, kan tadi sudah janji untuk tidak mengerjakan matematika ^-^ take
my word for it!). Apakah Anda mendapatkan angka negatif ? Apa artinya ?
Artinya adalah bahwa persamaan tersebut benar, hanya selama batu tersebut melayang di udara :
persamaan tersebut sama sekali tidak tahu tentang tanah. Persamaan itu sama sekali tidak tahu
bahwa batu berhenti ketika menumbuk tanah. Pendeknya, persamaan terus menghitung bahkan
ketika batu tersebut telah menumbuk tanah, terus dan terus ke bawah sampai menemukan angka
negatif. Jadi dalam kasus ini, persamaan tersebut salah ! Anda mengetahui sesuatu yang tidak
diketahui oleh persamaan tersebut. Jadi kalau Anda ditanya “dimana batu tersebut setelah 3
detik?” Anda boleh menjawab dengan persamaan tersebut : tetapi jika persamaan matematis
tersebut memberi nilai negatif, Anda harus pintar dan sadar bahwa persamaan tersebut
berbohong pada Anda. Jawaban yang benar dari pertanyaan tersebut adalah, “di atas tanah”
Pertanyaan 5 : Jika Anda memasukkan ketinggian h = 5 m , berapakah waktu t ?
Poin penting dari pertanyaan ini adalah bahwa dengan pertanyaan ini mak akan merujuk pada
dua jalur, yaitu t dan h. Anda dapat memasukkan angka berapapun pada t dan akan mendapatkan
nilai h. Begitu juga sebaliknya. Anda dapat memasukkan angka berapapun pada h untuk
mendapatkan t! Dalam kasus ini, dengan kalimat lain, : ”Kapan batu tersebut mencapai
ketinggian 5 m ?” Jawabannya, tentu saja, setelah 1 detik. Kalau matematika yang Anda kerjakan
benar, maka Anda akan mendapatkan t=1.
Pertanyaan 6 : Jika Anda memasukkan ketinggian h = 0 m , berapakah waktu t?
Pertanyaan ini sepertinya kembali ke pertanyaan 1, tapi jangan menjawab terlalu cepat ! Jawaban
t=0, tentu saja, karena pada waktu t sama dengan nol, ketinggian juga nol. Tapi tunggu dulu :
Ketinggian juga nol setelah 2 detik kan? Jadi t=2 juga jawaban yang tepat ! Secara matematisnya
bagaimana ?
Jawabannya adalah, keduanya benar. Anda akan mendapati jawaban t=0 and t=2 dari pertanyaan
ini.

Agak menyimpang sedikit yah, kita bahas matematikanya sedikit. Kalau bosan bisa diabaikan
kok ^_^. h adalah fungsi t. Artinya untuk tiap t yang diberikan, pastilah ada nilai h tertentu. Tapi
belum tentu sebaliknya. Pada prinsipnya, satu h bisa mempunyai satu t, atau dua t atau tidak ada
sama sekali, atau duapuluh. Dalam hal ini kita akan melihat 0, 1, atau 2 jawaban, tapi tidak akan
lebih. Kalau Anda ingat matematikanya, hal ini menandai sesuatu, persamaan kuadratis. Kalau
nggak ingat? Ya nggak pa-pa juga ^_^
Pertanyaan 7 : Jika Anda memasukkan ketinggian h = 3 m , berapa jenis waktu t yang
Anda dapat ? (berapa jenis jawaban ; positif, negatif atau nol?)
Dalam kasus ini, tidak ada angka pasti tanpa menggunakan persamaan matematis. Tapi Anda
dapat menebak jenis jawaban dari pertanyaan tersebut. Hal ini menjadi penting karena jika Anda
memakai matematika dan mendapat jawaban yang tidak masuk akal, maka Anda tahu bahwa
matematikanya salah jalan !
Dalam kasus ini, pertanyaan yang ditanyakan adalah : “kapan batu tersebut berada pada
ketinggian h = 3 m ?" Jawabannya tentu saja, dua kali, sekali ketika dalam perjalanan ke atas dan
sekali ketika hendak jatuh. Jadi Anda pasti mendapatkan dua t yang bernilai positif. 1 pastilah
berada diantara 0 dan 1 sekon, dan yang satunya berada diantara 1 dan 2 sekon; karena kedua
nilai tersebut masing-masing melambangkan waktu ketika batu tersebut bergerak ke atas dan
satunya lagi ketika jatuh ke bawah. Selanjutnya, Anda mungkin akan mendapat jawabannya 0.8
dan 1.2, atau 0.7 dan 1.3, atau angka-angka yang seperti itu. Tapi jawaban berupa diantara 0 dan
1 sekon, dan yang satunya berada diantara 1 dan 2 sekon sudah cukup baik untuk sesuatu yang
tidak memakai matematika. :D
Pertanyaan 8: Jika Anda memasukkan ketinggian h = 6 m , berapa jenis waktu t yang
Anda dapat ? Bernilai [+] [-] atau [0]
Ini adalah pertanyaan yang sulit daripada pertanyaan sebelumnya, karena batu tidak pernah
mencapai ketinggian tersebut ! Anda mungkin tidak mendapatkan jawaban yang jelas, seperti
pada pertanyaan nomor 4. Walaupun dalam kenyataannya persamaan matematisnya tidak
mengetahui tentang tanah, tapi persamaan tersebut tahu tentang jarak terjauh yang dapat dicapai
oleh batu tersebut karena persamaan matematis tersebut valid untuk semua waktu. Jadi jawaban
yang benar adalah.... tidak ada jawaban sama sekali.
Pertanyaan 9: Jika Anda memasukkan ketinggian h = - 1 m , berapa jenis waktu t yang
Anda dapat ? Bernilai [+] [-] atau [0]
Sampai saat ini, diharapkan Anda cukup mengenal tentang persamaan. Anda mengetahui tentang
Apa yang dilakukan batu ketika ke atas, ke bawah dan ketika mencapai tanah; tapi batu tersebut
tidak mengetahui tentang keberadaan tanah. Jadi mungkin Anda akan mendapatkan jawabannya
lebih dari 2 sekon; Persamaan menyatakan bahwa setelah 2 detik, batu tersebut akan jatuh ke
bawah dan mungkin mencapai ketinggian -1.
Nyatanya, jika Anda mengerjakan persamaan matematisnya, Anda akan mendapatkan 2 jawaban,
karena persamaan matematisnya juga tidak tahu permulaan dari perjalanan batu tersebut. Jadi

Anda akan mendapatkan satu jawaban yang lebih dari 2 detik, tapi Anda juga akan mendapatkan
jawaban negatif... yang menyatakan bahwa sebelumnya batu berada di bawah tanah, beberapa
saat sebelum kita menghitung waktunya.
Apakah itu berarti bahwa batu benar-benar berawal sebelum dari tanah ? TIDAK : sekali lagi,
kita tahu lebih banyak dari pada persamaan matematis. Pada ketinggian -1, Batu tersebut bisa
saja telah terletak di tanah, atau bisa saja Anda baru meletakkan di atas tanah atau apalah
sebelum t=0. Tapi kita tahu bahwa kita tidak dapat mengharap bahwa persamaan mengetahui hal
tersebut juga.
Untuk pertanyaan 10-13, kita akan memperkenalkan 1 variabel lain; v untuk kecepatan batu
[v=velocity=kecepatan] diukur dalam satuan m/s. v bernilai positif ketika naik ke atas, dan
negatif ketika turun ke bawah. Seperti h, v adalah fungsi waktu: yaitu suatu persamaan yang
akan menyatakan pada Anda tentang nilai kecepatan untuk tiap waktu t yang diberikan.
Persamaan ini disebut persamaan kecepatan.

Pertanyaan 10: Jika Anda memasukkan waktu t = 0 s , berapa jenis kecepatan v yang
didapat? Bernilai [+] [-] atau [0]
Ingat, positif artinya v bergerak ke atas: negatif artinya jatuh ke bawah. Tentu saja Anda akan
mendapatkan jawaban v positif. Dan jawabannya adalah 10 m/s. Mengapa ? Karena sesuai
dengan soal, Batu dilempar dengan kecepatan awal 10 m/s.
Pertanyaan 11: Jika Anda memasukkan waktu t = 1,5 s , berapa jenis kecepatan v yang
didapat? Bernilai [+] [-] atau [0]
Setelah 1,5 sekon, batu akan turun ke bawah. Jadi, Pasti Anda akan mendapatkan 1 angka
negatif. Angka pastinya tak mungkin di dapat tanpa menggunakan persamaan matematis.
Pertanyaan 12: Jika Anda memasukkan kecepatan v = 0 m/s , berapa nilai t yang Anda
dapat? Tulis Angkanya
Atau dengan kata lain, Kapan batu tersebut mempunyai kecepatan nol ?
Jika Anda pikirkan, Anda akan mendapati hanya satu jawaban. Ketika batu bergerak ke atas,
kecepatannya selalu positif. Ketika jatuh ke bawah, kecepatannya negatif. Tetapi ketika di atas—
pada satu titik tertentu—batu tersebut berhenti, sesaat sebelum jatuh ke bawah. Kecepatannya
bukan positif maupun negatif, tetapi nol. Jadi jawaban dari pertanyaan ini adalah 1 detik, karena
pada t=1 sekon, batu tersebut berhenti sebentar, sebelum kemudian turun.
Pertanyaan 13: Ketika kecepatan v = 0 m/s , berapakah besar Ketinggian h ? Tulis
Angkanya
Ini adalah penyebab adanya persamaan matematis yang sampai saat ini belum ada, yang
menghubungkan v ke h! Jadi yang harus Anda lakukan adalah menggunakan kedua persamaan,

yaitu ketinggian h dan kecepatan v. Pertama, Anda harus menggunakan persamaan kecepatan
untuk menentukan kapan v=0. Sebagaimana yang telah didiskusikan dalam pertanyaan 12, Anda
akan mendapatkan t=1. Kemudian jika Anda masukkan t=1 ke persamaan tersebut, kita akan
kembali ke jawaban pertanyaan ke-2 h=5 m.
Seperti inilah para fisikawan berpikir tentang berapa ketinggian sebuah benda bila dilempar.
Fisikawan akan mulai observasi pada ketinggian paling atas dimana kecepatannya sama dengan
nol—dan mereka akan berpikir mundur dari sana, untuk menentukan ketinggian tersebut. Ini
adalah contoh yang baik bahwa persamaan tidak akan banyak berguna tanpa memikirkan tentang
situasi fisisnya.
Pertanyaan 14: Kesimpulannya apa ?
Persamaan matematis melambangkan kenyataan. Ketika menyelesaikan fisika, kita melalui
proses PENTERJEMAHAN : kita menterjemahkan pertanyaan fisis menjadi matematis, kita
menyelesaikan matematikanya dan kemudian kita menterjemah matematika kembali pada
jawaban fisikanya. Pendekatan tak langsung ini sangat ampuh untuk menyelesaikan segala jenis
persoalan, bahkan untuk persoalan yang paling tidak mungkin sekalipun.
Tetapi bahayanya adalah ketika kita tinggalkan logika berpikir kita dan terlalu mempercayai
matematika ! Matematika tidak sepenuhnya dapat melambangkan kenyataan. Walapun
matematika memberi jawaban yang tepat, namun jika Anda tidak mengetahui fisisnya, maka
Anda tidaklah belajar sesuatu yang menyenangkan. Matematika menjadi menyenangkan ketika
dapat digunakan sebagai alat untuk menyelesaikan masalah yang benar-benar Anda pahami—
dan Anda juga paham tentang apa yang sebenarnya matematika lakukan untuk menjawab
persoalan fisis tersebut—maka matematika menjadi berguna dan menyenangkan. Hal ini dapat
Anda amati ketika sampai pada pelajaran RELATIVITAS dan MEKANIKA KUANTUM, logika
Anda menjadi salah dan kesenangan dimulai ! :D
Epilog : Persamaan
Jadi, selama ini, Batu berada dalam pengaruh gaya gravitasi, yang menyebabkan batu bergerak
dengan percepatan konstan. Hal ini tidaklah jelas, hanya hukum Fisika, tetapi dari sanalah hal ini
bermula.
Persamaan untuk gerak dengan percepatan konstan / constant acceleration adalah x=xo+vot+½at2
dimana x adalah posisi pada waktu kapanpun yang diberikan, xo adalah posisi mula-mula, vo
adalah kecepatan mula-mula, dan a adalah percepatan. Persamaan ini juga belum jelas ;
walaupun dengan pemahaman yang baik tentang kecepatan dan percepatan, Anda dapat
menurunkan persamaan tersebut dengan lambat menggunakan aljabar, atau dengan sangat cepat
menggunakan kalkulus.
Dalam kasus ini, posisi x adalah ketinggian h. Posisi mula-mula xo adalah nol: yaitu kita mulai
pada ketinggian nol. Kecepatan awal vo adalah 10 m/s. Dan percepatannya adalah -10 m/s,
karena percepatan yang berdasarkan percepatan gravitasi adalah -10 m/sekon/sekon. (Juga tidak

jelas : angka ini hanyalah hasil dari percobaan). Jadi persamaan ketinggian yang kita kerjakan
didapat dengan memasukkan angka-angka tersebut ke dalam soal.
h = 10t - 5t2
Persamaan umum kecepatan dengan percepatan tetap adalah v=vo+at, sehingga persamaan
kecepatan adalah:
v = 10 - 10t
Dengan menggunakan dua persamaan ini, Anda bisa mendapatkan semua jawaban dari soal-soal
di atas. Kebanyakan pertanyaan hanya memerlukan aljabar dasar : pertanyaan 5-9 berkenaan
dengan persamaan kuadratis.
Sebagai contoh, coba kita lihat soal 1. Kita mulai dengan mengambil t=0. Dengan menggunakan
persamaan di atas, kita lihat bahwa : h=10(0)-5(0)2 = 0. Jadi pastilah matematika memberi kita
jawaban yang sama dengan pemikiran kita.
Catatan : soal yang tidak mempunyai jawaban, yaitu soal nomor 8, berakhir dengan nilai akar
dari bilangan negatif. Cukup ajaib ! Persamaan matematis melakukan apa yang seharusnya
untuk memberikan jawaban yang benar. Dengan cara yang sama, Anda akan mendapatkan 1
jawaban yang valid untuk soal nomor 5 dan 2 jawaban yang valid untuk soal nomor 6. Cobalah !

Membangun intuisi fisika

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais de Amalia Lia

Mais de Amalia Lia (12)

Membangun intuisi fisika