Va r

La Value-at-Risk 1 La Valeur à Risque

I. GENERALITES

I.1. Introduction: Le besoin d’une mesure de risque standardisée (VaR)

Jusqu’à la fin des années 80, les méthodes utilisées pour détecter et gérer les risques de
marché n’étaient adaptées qu’à des produits spécifiques. Il était alors impossible de comparer
les mesures de risques entre les différentes « tables » d’une même salle de trading.
L’accroissement de la volatilité des marchés financiers, le développement spectaculaire des
produits dérivés et, surtout, une série de désastres (les plus connus étant ceux de la banque
Baring, de Metallgesellschaft, de la banque Daiwa et du Comité d’Orange aux Etats-Unis) ont
poussé les instituts financiers à rechercher un indicateur global et synthétique des risques
financiers, à partir d’outils adéquats de contrôle interne qui devront assurer la qualité du
processus de mesure, de suivi, et de gestion du risque.

En juillet 1993, le Groupe des 30 (constitué de représentants de l’industrie financière et
des autorités de surveillance) recommandait de quantifier les risques par une mesure uniforme
appelée Value-at-Risk (VaR). Cette recommandation a été très largement suivie puisque la
VaR est devenue, en quelques années, un standard pour l’évaluation des risques financiers.
Plusieurs évènements ont favorisé son adoption par la communauté financière :

Octobre 1994 : la banque d’affaires américaine JP Morgan1 dévoile sa méthodologie
RiskMetrics™ et la met gratuitement à disposition sur Internet.

Janvier 1996 : le Comité de Bâle adopte l’amendement « Risques de marché » aux
Accords de Bâle de 1988. Cet amendement permet aux banques de choisir entre la méthode
standardisée et leur propre modèle pour calculer la consommation en fonds propres de leurs
activités de négociation. Contrairement aux méthodes de la VaR, la méthode standardisée ne
tient pas compte des effets de diversification et implique en pratique une plus grande
consommation de fonds propres.
La Capital Adequacy Directive (CAD) a fait de la VaR l’outil privilégié de calcul de la
quantité nécessaire de fonds propres pour les activités de marché de la banque.
L’objectif de notre étude est d’introduire la notion de VaR, de montrer comment elle se
calcule et de discuter ses applications.

1
“At the close of business each day, tell me what the market risks are across all business and location.”
Dennis Weatherstone, Chairman, JP Morgan

Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004


I.2. Cadre juridique, réglementation comptable et prudentielle de la VaR

L’objectif de cette section est de présenter l’intérêt des méthodes d’évaluation des
risques au niveau juridique.
Les opérations de marché des établissements de crédit et des entreprises d’investissement ont
en effet connu un important développement au cours des vingt dernières années, en liaison
notamment avec la déréglementation et la libéralisation des marchés de capitaux et la
législation bancaire à tenter de suivre. Des travaux menés dans un cadre international, au
Comité de Bâle, au niveau communautaire et national, ont permis d’élaborer des normes en
vue de mieux appréhender les risques de marché. Le but est d’obtenir des normes comptables
prudentielles permettant de contrôler le risque bancaire.
Organismes définissant les règles du contrôle bancaire

Comité de Bâle
Niveau International

Etablissements de Comité de Réglementation
crédit et entreprises Bancaire (CRB)
d’investissement Niveau national

Conseil de L’Union
Européenne (CAD)
Niveau Communautaire

Le dispositif consiste à prévoir une mesure des risques résultant des opérations de marché,
ainsi qu’une couverture de ceux-ci par des exigences de fonds propres. L’intérêt de la VaR est
qu’elle apporte de nouvelles exigences par rapport aux anciennes méthodes du ratio de
solvabilité.
Le CRB par la réglementation du 21 juillet 1995 définit quatre risques de marché :



1. Le risque de taux d’intérêt : Obligations, titres de créances négociables et instruments
assimilés
2. Le risque de variation du prix des titres de propriété : Actions et instruments assimilés
3. Le risque de réglementation contrepartie : Titres de créances ou de propriété, pensions
prêts et emprunts de titres, dérivés de gré à gré.
4. Le risque de change :
Pour les trois premiers types de risques, seuls les éléments du bilan et du hors bilan inclus
dans le portefeuille de négociation (titres de transactions et de placements, produits dérivés)
sont soumis aux exigences de fonds propres. Pour le risque de change, il a pour assiette
l’ensemble des éléments du bilan et du hors bilan.
Les établissements doivent déterminer, au sein de leur portefeuille de négociation, les
positions nettes sur chacun des titres ou instruments, c’est-à-dire le solde acheteur ou vendeur.
Pour les positions sur dérivés, les banques devaient jusqu’en janvier 1996, les convertir en
positions équivalentes sur le titre sous-jacent ou en positions de change équivalentes.
Maintenant, le Comité de Bâle accepte la gestion à partir des coefficients delta gamma et
vega.
Pour évaluer les risques, les autorités de contrôle acceptent deux types de modèle :

I.2.1. L’approche standard :

Le modèle est construit par les autorités de contrôle. Dans ce cas, différentes méthodes
sont proposées pour déterminer la position nette relative à chaque type de risque. Par ailleurs,
les établissements peuvent être autorisés à recourir à des algorithmes prédéfinis, pour
déterminer directement le risque afférent à leurs positions sur les dérivés.
Pour chaque classe de risque précédemment définie, l’approche standard sépare le risque
général du risque spécifique, propre à chaque titre.
Il est évident que cette méthode est difficile à mettre en œuvre pour les banques. Elle
n’accepte pas le principe de diversification et nécessite une gestion ligne par ligne. Aussi, les
grandes banques ont fait le forcing auprès des autorités de contrôle pour obtenir le droit de
développer des modèles propres.

I.2.2. L’approche interne



Ainsi, le 9 avril 1995 le Comité de Bâle a accepté que les banques développent elles-
mêmes des modèles d’évaluation des risques. Les modèles évaluant le risque potentiel de
pertes maximales : VaR , se sont développés. Ces modèles doivent toujours être soumis au
contrôle des autorités mais surtout, le besoin en fonds propres résultant du modèle est
multiplié par un facteur compris entre 3 et 4.
Les modèles doivent répondre à deux types de conditions :
• Conditions qualitatives : Il s’agit principalement de conditions destinées à s’assurer de
l’existence d’un contrôle satisfaisant des risques au sein de l’établissement. Une unité
spéciale de contrôle doit produire des rapports quotidiens d’évaluation du respect des
limites de risques. Elle doit également être chargée de vérifier les résultats et la fiabilité du
modèle et faire rapport à la direction générale, qui doit elle-même être impliquée dans le
processus de contrôle. Des scénarios de crises doivent impérativement être analysés.
• Conditions quantitatives : Si aucun modèle n’est prescrit, la prise en compte des
risques doit être satisfaisante et reposer sur des hypothèses statistiques imposées. Les
modèles doivent en outre, prévoir l’agrégation par simple somme des risques potentiels de
pertes maximales pour chaque catégorie de risques. Par ailleurs, une exigence en fonds
propres supplémentaire est requise dans le cas où le modèle interne ne prend pas en
compte de manière adéquate le risque spécifique associé aux instruments dérivés de taux
et d’actions.
La Commission Bancaire peut autoriser un établissement à utiliser son modèle interne pour
déterminer les exigences relatives à l’un des trois types de risques seulement, et à avoir
recours à la méthode standard pour les autres.

I.2.3. Le calcul des fonds propres :

Les fonds propres éligibles :
1. Bénéfices hors activité de négociation.
2. Actions, réserves et autres.
3. Fonds propres sur-complémentaires : Ce sont les profits effectivement enregistrés sur
le portefeuille de négociation et non les plus-values latentes. On trouve aussi les emprunts
subordonnés à plus de deux ans. Ils ne doivent pas dépasser 250 % des fonds propres
classiques.
Par la réglementation 95-02, le CRB en accord avec la CAD de l’Union Européenne, a défini
la charge de fonds propres nécessaires :



 VaRt −1. 
CFP = Max CFMSt ; CFMSt .
t ; m.VaRt −1 
 VaRt ' . 

Le facteur m est compris entre 3 et 4.
Il est évident que la complexité grandissante des instruments financiers, ainsi que la taille des
groupes bancaires, rend toute généralisation de ces calculs très difficile. Pour Madame
Danièle Novy, Secrétaire générale adjoint du Comité de Bâle, une bonne information
financière (disclosure) de chaque groupe sur les opérations et sur les modèles peut remplacer
à terme une réglementation trop généraliste.

I.3. Le concept de VaR

Conceptuellement, la VaR est une notion très simple : l’idée est de résumer en un
seul nombre l’ensemble des pertes potentielles que peut subir le portefeuille d’activités
financières de la banque en agrégeant toutes ses positions, c’est à dire en une mesure
cohérente de risque. La VaR essaie donc de quantifier dans un intervalle de confiance pré-
spécifié, la perte potentielle maximum que peut subir une position isolée donnée, ou un
portefeuille ou la banque dans son ensemble, sur une courte période de temps (allant de 1 à 10
jours ouvrés) dans des conditions de marché normales. Cette mesure basée sur des conditions
de marché normales n’a que très peu de portée dans des périodes de mouvements extrêmes du
marché, il faudra donc recourir à des tests de stress et à des analyses de scénarios afin de
compléter cette mesure. Cette mesure appliquée à différents portefeuilles de la banque devrait
permettre d’identifier les activités les plus consommatrices de fonds propres pour le risque de
marché, et ainsi d’allouer ces fonds propres aux activités les plus rentables. Car plus la perte
potentielle est importante pour un niveau de rentabilité donné moins l’activité semble
rentable.
Il faut noter que la CAD laisse le choix aux organismes financiers de la méthode
standard ou alternative pour le calcul de la charge en fonds propres liée aux activités de
marchés (ce montant est souvent rapporté aux fonds propres total). La méthode standard
consiste à considérer séparément les différentes catégories d’actifs et de leur attribuer
indépendamment un pourcentage de fonds propres nécessaire pour le risque de marché. La



méthode alternative est basée sur le modèle interne de VaR de la banque. Cette méthode doit
prendre en compte les effets de diversification entre les différentes catégories d’actifs.
Pour introduire l’idée de base, prenons un exemple. Vous avez investi une partie de
vos économies dans un portefeuille d’actions suisses. Votre conseiller vient de vous informer
que la valeur de votre portefeuille a encore baissé le mois dernier et que celui-ci vaut
maintenant 50'000 francs suisses. Après avoir écouté ses explications sur les raisons de cette
mauvaise performance, vous désirerez sûrement avoir une idée de la perte maximale que le
portefeuille pourrait enregistrer d’ici la fin du mois. La réponse la plus correcte serait que
vous pourriez perdre toutes vos économies. Or cette réponse n’est pas satisfaisante parce
qu’elle ne vous apporte rien de nouveau et, surtout, parce que le scénario de perte totale a
trop peu de chances de se produire. Il serait plus réaliste et plus professionnel de dire : «Qu’en
l’absence d’événements exceptionnels, il y a 95% de chances que le portefeuille reparte à la
hausse ou qu’il perde 4'000 francs ou moins d’ici la fin du mois. » C’est le genre de réponse
que la méthode VaR permet de donner.
Par définition, la VaR d’un portefeuille d’actifs financiers correspond au montant de
pertes maximum sur un horizon de temps donné, si l’on exclut un ensemble d’événements
défavorables (worst case scenarios) ayant une faible probabilité de se produire.
A l’aide du concept VaR, on peut ainsi exprimer en un seul chiffre le montant à risque d’un
portefeuille, même si celui-ci est composé de plusieurs classes d’actifs (actions, obligations,
options, devises, etc.). On pourra alors dire si le portefeuille est trop risqué ou non, en
fonction du chiffre obtenu, de la valeur du portefeuille et de l’aversion au risque de
l’investisseur.
Reprenons l’exemple précédent. La VaR à 95% et sur un horizon de temps d’un mois
de votre portefeuille est égal à 4'000 francs. Cela signifie que si le portefeuille ne change pas
jusqu’à la fin du mois et que les conditions du marché restent normales, il y a 95% de chances
pour que la perte sur tout le mois soit inférieure à 4'000 francs. Les événements défavorables
(worst case scenarios) ont une probabilité de 5%. Le portefeuille perdrait alors plus de
4'000 francs si l’un de ces derniers devait se produire. Il faut noter que la perte totale fait
partie des événements défavorables. Bien entendu, ce calcul ne signifie pas que votre
portefeuille ne réalisera pas de performance positive sur le mois.
Les modèles de VaR développés par les banques essaient de mesurer la perte d’un
portefeuille (ou de la banque dans son ensemble) pour une période de détention spécifique qui
ne sera dépassée seulement qu’un certain pourcentage de fois (le plus généralement 1% ou



5%). Elle est aussi définie comme la perte potentielle maximale pour une probabilité fixée sur
une période de détention donnée.
La VaR d’une position de marché est donc un nombre censé mesurer et résumer le risque
encouru sur cette position. Les risques considérés sont généralement ceux liés aux fluctuations
des taux d’intérêt, du cours de change des monnaies, du prix des actions et du cours des
matières premières.
Si l’on dispose de la distribution de la variation ( ∆P ) de valeur du portefeuille,
mathématiquement la VaR est égale à l’inverse de la fonction de répartition de la loi de ∆P
évaluée en p (p=5% ou 1%).
Si l’on note X la variable aléatoire représentant la variation de valeur du portefeuille
(variation pour un intervalle de temps ∆t = j jours si la période de détention est de j jours),
alors on cherche le nombre VaR tel que : P[ X < −VaR] = p ⇔ P[∆P / P < −VaR / P] = p . En
inversant cette équation et en supposant une loi normale N(o;σ) pour ∆P / P , on obtient
VaR = −Φ −1 ( p ) × σ × P , ou Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Loi normale centrée réduite: illustration

0,45

0,4

0,35

0,3

0,25
-σ +σ
p=68%
0,2

0,15

0,1

-2σ +2σ p=95%
0,05

p=99,8%
-3σ +3σ
0
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5



Ci-dessous, a été donnée une illustration graphique de la densité de probabilité d’une loi
normale N(0 ;15) pour 30000 observations ,pour p=0.01 VaR=-2.33*15%*P.

5000
Series: R
Sample 1 30000
4000 Observations 30000

Mean 0.029012
3000 Median -0.011326
Maximum 64.55084
Minimum -57.42176
2000 Std. Dev. 14.99157
Skewness 0.005798
Kurtosis 3.001255
1000
Jarque-Bera 0.170071
Probability 0.918480
0
-60 -40 -20 0 20 40 60

VaR p=1%

I.4. La démarche générale pour le calcul de la VaR

L’approche moderne de la VaR a pour objectif d’évaluer le risque global de la banque
en prenant en compte toutes les interactions possibles entre les différents actifs et passifs.
Il existe différentes méthodes de mesure de la VaR, mais elles ont en commun ces différents
points :
La VaR tend à être un outil général de gestion qui quantifie le risque en global,
voyant la firme comme un portefeuille géant d’actifs et de passifs avec des valeurs de
marché fluctuantes.
L’utilisation d’informations statistiques : c’est-à-dire toutes les informations
statistiques pertinentes à propos des composantes du portefeuille, comme les volatilités
historiques et les corrélations entre les différentes sources de risques qui sont utilisées
dans la quantification du risque du portefeuille.
La reconnaissance de l’interaction : il faut prendre en compte dans le portefeuille
total les effets de diversification et de couverture. Par exemple une position couverte est
assez peu risquée tandis qu’une position sur un dérivé seul peut se révéler très risquée.
Pour cette raison le risque d’un portefeuille n’est généralement pas la simple somme des
risques de ces différentes composantes, et la contribution marginale d’une position au
risque total d’un portefeuille dépend de la composition du portefeuille.



Le concept de VaR semble plutôt simple, mais sa mise en œuvre pratique ne l’est pas.
Il existe différentes mesures qui se différencient par leurs hypothèses et les outils statistiques
utilisés. Cependant, les principes de bases restent les mêmes entre les différentes mesures.
Pour commencer, les données concernant l’ensemble des positions de l’institution financière
doivent être réunies dans une base de données centralisée. Cette tâche n’est pas toujours
évidente.
Toutes les positions doivent être valorisées à leur valeur de marché.
Une fois les données centralisées, le risque global doit être calculé par agrégation des
risques des instruments individuels entrant dans la composition du portefeuille, de sorte que
les effets de diversification soient correctement pris en compte.
C’est à dire qu’il faut déterminer les facteurs de risque individuels communs aux
différentes positions comme les principaux indices boursiers, les principaux cours de change
et de matières premières et les taux zéro coupons pour différentes maturités, qui sont censés
influencer les différentes composantes du portefeuille.
Il faut choisir la période de détention, le plus généralement un, cinq ou dix jours
ouvrés.
Il faut déterminer les variations des facteurs de risques individuels pour la période de
détention, basées sur la distribution des changements de prix constatés sur un échantillon
d’observations historiques prédéterminé.
Puis il faut estimer les effets des variations des facteurs de risques individuels sur la
valeur des composantes du portefeuille.
La VaR peut ensuite être calculée, une fois que la relation précise entre la variation de la
valeur du portefeuille et les variations de chaque source de risque individuel a été déterminée.
Cette dernière étape est sans doute la plus difficile pour le calcul de la VaR, et nécessite
certaines approximations qui peuvent se révéler dangereuses.
Il ressort une hypothèse sous-jacente dans l’étape de la détermination des facteurs de risques,
et de l’effet de la variation de ces facteurs sur la valeur du portefeuille. C’est à dire que la
distribution des futures variations des facteurs de risques est identique à celle des variations
passées (stabilité de la loi), et que la relation entre la variation de la valeur du portefeuille et
les variations des facteurs est stable.
Les différentes procédures pour ces deux dernières étapes classifient les méthodes de
détermination de la VaR en différentes catégories.



I.5. Modélisation des risques de marché

A ce stade, nous pouvons nous demander s’il est vraiment nécessaire de faire
intervenir des probabilités dans l’évaluation des risques financiers. Pour répondre à cette
question, il faut observer que la principale cause de ces risques est l’incertitude liée à
l’évolution des prix. A l’heure actuelle, la théorie des probabilités est le meilleur outil dont on
dispose pour modéliser cette incertitude. Le processus de modélisation se déroule en deux
étapes : description de l’ensemble de tous les événements futurs possible, puis assignation
d’une pondération à chacun d’entre eux pour représenter sa probabilité de réalisation. Le
modèle ainsi obtenu est synthétisé par son diagramme de fréquence, appelé loi de probabilité
ou distribution du modèle. La distribution la plus connue est la distribution normale (ou de
Gauss cf. supra représentation graphique): c’est la fameuse courbe en forme de cloche utilisée
dans de nombreux domaines scientifiques.
Pour déterminer le risque d’un portefeuille, il faut d’abord identifier les différentes
variables de marché, appelées facteurs de risque, susceptibles d’influer sur l’évolution future
du portefeuille (prix d’actions, taux de change, taux d’intérêt, etc.). Chaque facteur de risque
est ensuite modélisé par une distribution (de probabilité). La distribution des pertes et profits
du portefeuille résultera d’une combinaison adéquate des choix effectués pour les facteurs de
risque.
Une question fondamentale demeure : comment choisir un modèle de distribution pour
une variable de marché ? Idéalement, il faudrait un modèle qui soit simple et qui « colle » très
bien aux observations empiriques. Dans notre contexte, le modèle le plus simple est la
distribution normale, une loi très connue et qui est déterminée par deux paramètres : la
moyenne et la volatilité. C’est d’ailleurs la loi qui peut servir de base au CAPM et qui est le
point de départ du modèle de Black-Scholes. Malheureusement, de nombreuses études
empiriques ont montré que ce modèle probabiliste « colle » mal aux observations empiriques.
Les krachs boursiers
boursiers sont les manifestations les plus spectaculaires de cette
inadéquation. Par exemple, les deux plus importantes baisses de l’indice Dow Jones sur une
séance se sont produites le 19 octobre 1987 (-22.61%) et le 28 octobre 1929 (-12.82%), soit à
un intervalle de 58 ans. Pour une seconde illustration, la Banque Cantonale Vaudoise a
considéré les rendements quotidiens du SMI entre le 16 juin 1999 et le 15 mai 2001. Les
principaux indicateurs de ces rendements sont consignés dans le tableau I ci-dessous. Il faut
noter que le rendement quotidien moyen est très faible par rapport à la volatilité.

Tableau I : statistiques des rendements quotidiens du SMI entre le 16 juin 1999 et le 15 mai 2001.



Nombres d'observations 500

Rendement moyen 0.0134%

Volatilité (écart-type) 0.9984%

Rendement minimal (obtenu le 22.03.2001) -5.78%

Rendement maximal (obtenu le 16.03.2000) 3.93%

Source : Banque Cantonale Vaudoise, Datastream

Le graphique I présente l’histogramme des rendements quotidiens du SMI entre les deux dates
mentionnées, c’est-à-dire la distribution empirique des rendements. la distribution normale la
plus proche des observations historiques a été superposée.

Graphique I : histogramme des rendements quotidiens du SMI entre le 16 juin 1999 et le 15 mai 2001
avec sa meilleure approximation normale.

Source : Banque Cantonale Vaudoise, Datastream

Contrairement à la distribution normale, l’empirique possède une asymétrie entre les gains et
les pertes et elle est plus « effilée » autour de la moyenne. On observe aussi beaucoup plus de
rendements extrêmes que la distribution normale ne le prévoit. Autrement dit, le choix d’une
distribution normale pour modéliser les rendements quotidiens du SMI conduirait à une sous-
estimation des risques de pertes (ou de gains) extrêmes. Un test d’adéquation statistique



(appelé test de Jarque-Bera) a été effectué sur les données et le résultat confirme que
l’hypothèse de normalité ne « colle » pas avec les observations.
Pour améliorer l’adéquation avec les données empiriques, on peut considérer des distributions
plus compliquées ou alors intégrer le fait (observé empiriquement) que la volatilité des
rendements varie dans le temps. Les modèles actuellement disponibles combinent ces deux
solutions. Ces modèles plus compliqués ne sont pas forcément plus efficaces, car ils posent de
délicats problèmes d’identification et d’estimation. Il faut donc chercher un compromis entre
l’efficacité et l’adéquation avec les données empiriques.

I.6. Les trois paramètres d’une VaR

La VaR d’un portefeuille dépend de trois paramètres :
Distribution des pertes et profits du portefeuille en fin de période.
Niveau de confiance qui est égale à 1 moins la probabilité des événements
défavorables. Par exemple, un niveau de confiance de 95% si l’on désire ignorer les 5%
relatifs aux événements les plus défavorables.
Période de temps sur laquelle sur laquelle on désire mesurer la VaR.

Graphique II : représentation graphique de la VaR.

Le paramètre le plus important est la distribution des pertes et profits du portefeuille. C’est
aussi le paramètre le plus difficile à déterminer. Comme le niveau de confiance dépend de
l’aversion au risque du propriétaire du portefeuille, plus ce niveau est important et plus la
VaR sera élevée. Autrement dit, si le propriétaire craint les risques, il s’arrangera pour que la



probabilité des événements défavorables soit très petite. En ce qui concerne l’horizon de
temps, il dépend surtout de la fréquence de recomposition du portefeuille et de la liquidité des
actifs financiers qui y sont contenus. Pour les mesures de VaR des portefeuilles de
négociation des instituts financiers, la réglementation impose un niveau de confiance de 99%
et une période de dix jours ouvrables, soit deux semaines.

I.7. Remarques

Contrairement à ce que l’on a pu lire ça et là, la notion de VaR n’a été ni inventée par
les financiers, ni par la banque américaine JP Morgan. Les actuaires utilisent cette notion
depuis plus d’un siècle pour calculer les probabilités de ruine et de réserves de solvabilité.
Dans ce domaine , le niveau de confiance est toutefois plus élevé (99.9%) et l’horizon de
temps plus vaste (au moins une année).
La méthodologie de la VaR a été étendue à la quantification des risques de crédit et
aussi à la mesure des risques de marché d’entreprises non financières. Dans ces deux cas, il
est souvent nécessaire de prendre des horizons de temps plus longs, par exemple un an.

I.8. Exemples de mesures de la VaR

Rappelons que la « Value at Risk » est la perte potentielle maximale, à l’intérieur d’un
intervalle de confiance donnée, supportée par un établissement sur son portefeuille de
positions, dans l’hypothèse d’un scénario défavorable de marché sur un horizon déterminé.
Exemple1 : Calcul de la VaR
Soit le portefeuille suivant :
Long 100 USD/FRF spot (Position X1)
Long 500 FRF zéro coupon 10 ans (Position X2)
Acheteur équivalent 100 FRF CAC 40 (Position X3)
Quelle est la Value at Risk de ce portefeuille ?

1.Estimation des paramètres (volatilités et corrélations)
Hypothèses : volatilité USD/FRF : 9%
volatilité taux FRF 10 ans : 14 %
volatilité CAC 40 : 26%
corrélation USD/FRF et taux FRF 10 ans : +0,071
corrélation USD/FRF et CAC 40 : + 0,39
corrélation taux FRF 10 ans et CAC 40 : + 0,11
Données de marché :USD/FRF : 5,50



taux zéro coupon continu 10 ans : 5%
CAC 40 : 4000
2.Calcul de la variance du portefeuille
Volatilité de la position de change : 100 USD x 5,50 x 9 % x = 9,86 FRF
Volatilité de la position de taux : 500e -(10x5%) x 10 x 14 % x 5 % x = 4,23 FRF
Volatilité de la position de CAC 40 : 100 FRF x 26 % = 5,18 FRF
Variance du portefeuille :

[9,86]2 + [4,23]2 + [5,18]2

- 2 x 0,071 x 9,86 x 4,23 + 2 x 0,39 x 9,86 x 5,18
- 2 x 0,11 x 4,23 x 5,18
= 171,04 MF²

d'où volatilité de portefeuille = 171,04 = 13,08 MF

d' où VaR. (2,33 ρ) = 2,33 x 13,08 = 30,47 MF
Exemple2:
Depuis quelques années, les grands groupes financiers publient des informations sur la VaR
de leur portefeuille de négociation. Deux raisons peuvent expliquer une telle démarche :
volonté délibérée de transparence (pression concurrentielle ?) et exigence de la SEC (le
gendarme de la bourse américaine) en matière de communication financière. Le tableau II
présente des chiffres extraits des rapports annuels 2000 du Credit Suisse Group, de l’UBS et
de la Deutsche Bank. Les chiffres pour la Deutsche Bank ont été convertis en francs suisses
au taux de change EUR/CHF en vigueur fin 1999 et fin 2000.
Tableau II : exemples de mesures de la VaR de portefeuilles de négociation. Le niveau de confiance
est de 99% et l’horizon de temps de 10 jours.

Source : Rapports annuels 2000 des trois banques



Ce tableau montre que les trois banques ont réduit leur exposition au risque de marché entre
fin 1999 et fin 2000. Les corrections survenues sur les marchés des actions en 2000 ne doivent
pas être étrangères à ces réductions. On aurait aussi envie de déduire de ce tableau que l’UBS
a pris plus de risques que les deux autres banques. Une telle déduction n’est malheureusement
pas correcte. En effet, on verra que les banques utilisent des méthodes différentes pour
calculer leur VaR et que les résultats de ces dernières ne sont pas directement comparables.

II. TECHNIQUES CLASSIQUES D’ESTIMATION DE LA VAR

La méthode de calcul est déterminée par la distribution choisie pour modéliser les pertes
et profits du portefeuille. Le calcul de la VaR peut s’effectuer aussi bien pour une position
isolée ou un facteur de risque seul que pour un portefeuille, voire pour la totalité des actifs
d’une entreprise. Nous allons donc présenter les méthodes d’estimation de la VaR les plus
utilisées.

II.1. La méthode de la matrice des variances-covariances estimée

On émet l’hypothèse que les rendements du portefeuille et des facteurs de risque ont des
distributions normales. Même si cette hypothèse n’est pas empiriquement justifiée, elle
permet de simplifier énormément les calculs. Voici ses principales étapes :
1. Calculer la valeur actuelle V0 du portefeuille.
2. Estimer la moyenne m et la volatilité2 σ des rendements futurs du portefeuille (à partir
de données historiques).
3. La VaR du portefeuille est donnée par la formule suivante :
σ
VaR=V0(-m + zq.σ), où: zq est égal à 1.65 si le niveau de confiance est de 95% et égal à 2.33
si ce dernier est de 99%.
La méthode de la matrice des variances-covariances estimée suppose que les variations de
prix :
sont stationnaires dans le temps ;
sont conditionnellement distribuées suivant une loi normale ;
s’expriment linéairement à partir des facteurs de risque.
Pour les produits non linéaires (options), une linéarisation prenant en compte les indications
delta, gamma et thêta est appliquée.

2
La volatilité décrit la dispersion de la variable « return d’un actif » autour de sa valeur moyenne.




II.2. La méthode RiskMetrics

La méthode RiskMetrics est une méthode paramétrique, c’est à dire qu’elle a pour
hypothèse que les taux de rentabilité des facteurs de risque appartiennent à une certaine classe
de loi qui peut être déterminée par ses paramètres. Elle postule donc la forme de la
distribution des taux de rentabilité.
Si l’on postule des loi normales pour les taux de rentabilité des facteurs de risque, il est
possible de connaître la variation la plus défavorable qui n’aura que x% de chance d’être
dépassée. Par exemple pour x=1, la rentabilité ne tombera en dessous de µ−2.33σ qu’une fois
sur cent. Alors pour une position donnée i, connaissant sa valeur de marché(Vi) et sa
sensibilité à son facteur de risque(Si), il est possible de déterminer la valeur la plus
défavorable qui n’aura que 1% de chance d’être dépassée en effectuant le calcul :
Di=Vi*Si*2.33σ.
Les sensibilités sont déterminées par des méthodes d’évaluation locale faisant
généralement intervenir le premier ordre du développement de Taylor (delta, ou au mieux le
deuxième ordre gamma). Cette méthode d’évaluation locale pose des problèmes lorsque les
variations sont importantes et lorsque la variation de la valeur du portefeuille n’est pas
linéaire pour tous les niveaux de prix (options).
Une fois postulée la forme de la distribution pour les facteurs de risque, en l’occurrence la loi
normale (ou plus précisément une loi normale multivariée), il est nécessaire de déterminer la
matrice de variance-covariance (m) des facteurs de risque sur la période historique
d’observation. Dans le calcul des variances et des covariances, il est possible de donner le
même poids à toutes les observations ou un poids décroissant en fonction du temps.
Connaissant m, et le vecteur D des Di, il est possible de calculer la VaR :

VaR = (D tVD * ∆t ) , ou ∆t est la période de détention.
1/ 2

L’hypothèse de normalité des distributions des taux de rentabilité de court terme n’est en
générale pas satisfaisante mais permet une grande simplicité dans les calculs. En effet, ces
distributions sont souvent leptokurtiques, ce qui implique des événements extrêmes plus
fréquents que pour la loi normale.

II.3. L’analyse historique

C’est sans doute la méthode la plus simple dans sa conception et sa mise en œuvre.
En effet, il suffit des données historiques des gains et pertes journalières du portefeuille dont
l’on souhaite calculer la VaR. A partir de ces données, il est possible de reconstituer la



distribution empirique des gains et pertes journalières et d’en déduire la VaR en tronquant
95% ou 99% de la distribution.
Le problème est que si la composition du portefeuille change souvent, cette approche ne
permettra pas de composer une VaR qui reflète la situation courante. C’est pour cela que l’on
adopte plutôt la méthode de la simulation historique.

II.4. La méthode de la simulation historique

Supposons que l’on veuille calculer la VaR pour une période de détention de un jour, à
partir des données historiques sur un an. Nous utilisons donc les séries passées journalières
des facteurs de risques qui influent sur notre portefeuille, et un modèle d’évaluation ou
fonction de prix qui relie la variation du portefeuille aux variations des facteurs de risque.
A partir de ces séries journalières, il faut calculer les variations relatives des facteurs de risque
qui tiennent donc compte directement des corrélations entre ces facteurs. On applique ensuite
ces variations aux valeurs actuelles des facteurs de risque. Il est ainsi possible à partir de la
composition actuelle du portefeuille et de la fonction de prix qui relie ∆P aux ∆F de simuler
la distribution empirique de la variation de valeur du portefeuille, et donc d’en tirer la VaR.
Cette méthode a pour avantage de ne pas supposer la normalité des distributions des taux de
rentabilité des facteurs de risque. Elle peut donc prendre en compte des queues plus épaisses
dans la distribution de la variation de valeur du portefeuille et donc des événements extrêmes.
Cependant la distribution simulée est complètement dépendante de la période
d’observation considérée, et donc la prise en compte des événements extrêmes aussi. De plus
afin d’avoir une distribution la plus précise possible, il est nécessaire de prendre une longue
période de données historiques qui n’est pas toujours disponible.
Par exemple pour générer 1000 scénarios (un scénario est le calcul de ∆F pour chaque
facteur de risque pour la période ∆t ) pour une période de détention de 10 jours ( ∆t = 10 j ), il

faut 1000 / (250 / 10) = 40 ans de données. C’est la raison pour laquelle on a souvent recours à
la simulation de Monte Carlo.
De plus, augmenter la période d’observation pour l’estimation des distributions des
rendements des facteurs de risque peut inclure l’erreur de non stationnarité des lois
considérées.
La méthode d’estimation de la VaR par analyse historique est celle qui est prônée par Chase
Manhattan3, avec les systèmes Charisma et Risk$.

3
CHASE MANHATTAN BANK N.A ; Value at Risk: its measurement and uses, Chase Manhattan Bank N.A; s.d.



II.5. La méthode de la simulation de Monte Carlo

La simulation de Monte Carlo est une méthode paramétrique, c’est à dire que cette
méthode requiert la connaissance de la forme et des paramètres des distributions des facteurs
de risque. Connaissant ces éléments, il est possible de simuler de nombreuses trajectoires pour
chaque facteur de risque, tout en tenant compte des corrélations entre chaque facteur de
risque. Comme dans le modèle précédent, il est nécessaire d’avoir un modèle d’évaluation ou
une fonction de prix qui relie la variation de la valeur du portefeuille aux variations des
facteurs de risque. A partir de la composition actuelle du portefeuille et des nombreux
scénarios tirés, il est donc possible de simuler la distribution de variation de valeur du
portefeuille puis d’en tirer la VaR.
Dans le problème de construction de la distribution de la perte et de l’estimation de la VaR, la
méthode de simulation de Monte Carlo est prônée par Bankers trust, avec son système RaRoc
2020.
La simulation de Monte Carlo diffère de la simulation historique sur un aspect
principal. Tandis que les scénarios des facteurs de risque sont directement pris du passé dans
l’approche historique, ils ont à être simulé à travers une modélisation mathématique dans
l’approche stochastique. Pour modéliser l’évolution des facteurs de risque, il est nécessaire de
spécifier un processus stochastique pour chaque facteur, et d’estimer les paramètres de ces
processus ainsi que les corrélations entre les parties aléatoires des processus.

Les avantages et inconvénients des différentes méthodes sont résumés dans le tableau III.

Tableau III : comparaison des principales méthodes de calcul de la VaR



Source : Banque Cantonale Vaudoise

Une application de ces différentes méthodes de calcul à un cas simple a été effectuée. Nous
sommes le 16 mai 2001 et nous avons 50'000 francs suisses investis dans l’indice SMI. On
aimerait calculer la VaR de ce portefeuille à l’aide des quatre méthodes que nous venons de
présenter. L’horizon de temps est d’un mois (soit 20 jours ouvrables) et les niveaux de
confiance considérés de 95% et 99%. La série des prix de clôture journaliers du SMI entre le
16 juin 1999 et le 15 mai 2001 est utilisée pour les estimations de paramètres et les calculs,
soit 500 rendements quotidiens. Pour chaque méthode, on calcule d’abord la VaR sur un jour
et on multiplie le résultat par la racine carrée de 20 pour avoir la VaR sur un mois (règle de la
racine carrée). Les VaR du portefeuille selon les quatre méthodes sont présentées dans le
tableau IV.

Tableau IV: VaR d’un portefeuille SMI valant 50'000 francs au 16 mai 2001 et pour un horizon d’un
mois.




Pour un même portefeuille, on obtient donc des mesures VaR différentes. Dans cet exemple,
la différence entre les méthodes Variance-Covariance et Monte Carlo s’explique par un
problème d’échantillonnage. L’écart serait moindre si on avait considéré plus de scénarios
pour Monte carlo. Pour le niveau de confiance de 95%, c’est la méthode historique qui donne
la plus petite valeur, alors que pour celui de 99% ce sont les méthodes Variance- Covariance
et Monte Carlo qui la fournissent. Ce qui illustre le fait que la Variance-Covariance sous-
estime les événements extrêmes.
Dans leurs rapports annuels 2000, les trois banques citées dans le tableau II ont indiqué les
méthodes VaR qu’elles utilisent. La Deutsche Bank effectue ses calculs par simulation Monte
Carlo, tandis que l’UBS utilise la méthode historique avec 5 ans de données. Le Credit Suisse
Group emploie la méthode historique avec deux ans de données depuis le deuxième trimestre
2000. Cette dernière avait auparavant travaillé avec les méthodes Variance-Covariance et
RiskMetrics. La comparaison de chiffres VaR de deux banques différentes est à cet effet, un
exercice délicat.

II.6. Le Backtesting

Les résultats du tableau IV posent clairement la question du choix de la méthode de
calcul de la VaR. Tout naturellement, les critères de coûts d’implémentation, de complexité
du modèle et de flexibilité sont déterminants. Cependant, il est aussi très important de
s’assurer de l’adéquation de la méthode choisie ; on parle de backtesting. Cet exercice
consiste à confronter la VaR calculée avec les pertes et profits effectivement réalisés. Ainsi,
pour un niveau de confiance de 99%, les pertes effectives ne devraient dépasser les prévisions



VaR que dans 1% des cas environ. Sinon, il faut se demander si la méthode de calcul choisie
est adaptée au portefeuille considérée. Le régulateur a d’ailleurs prévu des pénalités (sous
forme d’augmentation d’exigence de fonds propres) en cas d’inadéquation.
On a procédé à titre illustratif, à un backtesting sur l’indice SMI entre le 4 décembre 1991 et
le 15 mai 2001. Comme la méthode Monte-Carlo avec l’hypothèse de normalité fournit des
résultats proches de ceux de la méthode Variance-Covariance, on a examiné les trois
méthodes suivantes dans le backtesting : Historique, Variance-Covariance, RiskMetrics. Les
500 rendements quotidiens entre le 3 février 1990 et le 3 décembre 1991 ont été utilisés pour
calculer les trois prévisions de la VaR pour le 4 décembre 1991. Ces prévisions sont ensuite
comparées au rendement du SMI à cette date. La fenêtre de 500 jours est ensuite décalée d’un
jour pour la confrontation des prévisions de la VaR et du rendement effectif pour le 5
décembre 1991. De la même façon, on a continué jusqu’au 15 mai 2001. L’exercice de
backtesting a, au total, été effectué sur 2'465 jours entre le 4 décembre 1991 et le 15 mai
2001. Pour mesurer l’adéquation d’une méthode, on calcule son taux d’échec, c’est-à-dire le
pourcentage de fois que la VaR a été dépassée. Les résultats sont consignés dans le tableau V.

Tableau V : backtesting des méthodes historique, variance-covariance et RiskMetrics pour l’indice SMI entre
le 4 /12/ 1991 et le 15 mai 2001. Le taux d’échec représente le pourcentage de dépassement des prévisions VaR.


Par rapport aux valeurs théoriques, on remarque que la méthode variance-covariance se
comporte bien pour le niveau de confiance de 95%, mais réalise un résultat médiocre pour
celui de 99%. C’est la méthode historique qui, globalement est la mieux adaptée au
portefeuille considéré. La mauvaise performance de la méthode RiskMetrics explique cet
état de fait. Pour un autre portefeuille, les conclusions auraient été probablement différentes.



III. UTILISATIONS DE LA VAR

La VaR a été développée pour fournir un indicateur simple et global de l’exposition
d’un institut financier aux risques de marché. En tant que outil de reporting, elle fournit des
informations sur les concentrations de risques par type de marché, par trader, par produit
financier, etc. Elle permet aussi de fixer des limites de négociation, d’allouer le capital
disponible et d’évaluer les performances des différentes « tables » d’une salle de marché.
En dehors des salles de marché, la VaR devient de plus en plus populaire auprès des
gestionnaires de fortune. La VaR permet d’agréger dans ce domaine, les risques de marché à
travers plusieurs classes d’actifs, mais sur un horizon de temps plus long (un mois, trois mois
ou un an). Elle permet également de quantifier la performance d’un portefeuille par rapport à
un benchmark4 ; on parle dans ce cas de la VaR relative. La performance est
traditionnellement mesurée par le tracking error, c’est-à-dire la volatilité de l’écart de
rendement entre le portefeuille et son benchmark. Le tracking error ne distingue pas une
sous-performance d’une sur-performance par rapport au benchmark. La VaR permet de
corriger ce défaut, puisqu’elle est censée mesurer une éventuelle sous-performance. En fait, le
tracking error s’interprète comme la VaR à un niveau de confiance de 84%, si certaines
hypothèses telles de normalité et d’écart moyen nul , sont confirmées.

4
prix de référence (en finances)



IV. CONCLUSION

L’introduction de la VaR a constitué un pas important dans la direction d’une gestion
cohérente et adéquate des risques financiers. Comme pour n’importe quel outil, une utilisation
efficace de la VaR passe par la bonne compréhension de ses limites. La modélisation de la
VaR n’est pas un exercice aisé et les risk managers diront d’ailleurs que les problèmes
d’implémentation à savoir la collecte, le nettoyage et le traitement de données sont tout aussi
importants. Une autre limite de la VaR est directement liée au concept lui-même. En fait, la
VaR ne fournit aucune indication sur l’ampleur des pertes si un événement défavorable devait
se produire. C’est pour cette raison que le régulateur oblige les banques à compléter leurs
calculs de la VaR par des analyses de scénarios catastrophes (stress testing). Dans de telles
analyses, on calcule la perte que pourrait provoquer une variation extrême du marché,
indépendamment de toute hypothèse de modélisation (une baisse brutale de l’indice SMI de
10% par exemple). Le choix de scénarios intéressants est souvent un exercice délicat, qui
relève plus de l’intuition et de l’expérience. Par ailleurs, des chercheurs ont proposé d’autres
mesures de risque proches de la VaR et qui captent mieux le problème des variations
extrêmes. Les scénarios quasi-aléatoires, les scénarios « miroirs », la méthode de Duffie et
Pan, et les scénarios pondérés en constituent ces nouvelles extensions.



V. BIBLIOGRAPHIES

Livres
Lopez Thierry, Esch Louis, Kieffer Robert
Value at Risk. Vers un Risk Management moderne, avec CD-ROM.
Edition : De Boeck Université, 1997, ISBN : 2-8041-2496-7
Jacquillart, Bertrand et Bruno Solnik
Marchés Financiers: gestion de portefeuille et des risques, Dunod, Paris, 4ème éd., 2002.

Bulletin et Revues
« Le point sur…la VaR » - P. Poncet - Banque et Marchés n° 37. Nov98
Bulletin de la commission de la réglementation bancaire – Règlement 97-02
Comité de Bâle – M. Novy – Secrétaire Général.

Sites Internet
http://www.gloriamundi.org (le site le plus complet sur la VaR accessible aussi via
http://pw2.netcom.com/~bschacht/varbiblio.html )
http://www.riskmetrics.com (les manuels de RiskMetrics contiennent de nombreuses
informations)
http://www.bcv.ch (le site de la Banque Cantonale Vaudoise)
http://salledem.free.fr/sdmpage/risques/risk30.php (des questions sur la VaR)

VI. ANNEXES

RAROC : « Risk-Adjusted Return On Capital »
SEC: La Securities and Exchange Commission
RAROA: «Risk-Adjusted return on Assets»
SMI: Système Monétaire International



Table des Matières
I. GENERALITES ................................................................................................................................................. 1
I.1. INTRODUCTION: LE BESOIN D’UNE MESURE DE RISQUE STANDARDISEE (VAR) ........................................ 1
I.2. CADRE JURIDIQUE, REGLEMENTATION COMPTABLE ET PRUDENTIELLE DE LA VAR ................................. 2
I.2.1. L’approche standard : ................................................................................................................... 3
I.2.2. L’approche interne ......................................................................................................................... 3
I.2.3. LE CALCUL DES FONDS PROPRES : ......................................................................................................... 4
I.3. LE CONCEPT DE VAR .................................................................................................................................. 5
I.4. LA DEMARCHE GENERALE POUR LE CALCUL DE LA VAR ........................................................................... 8
I.5. MODELISATION DES RISQUES DE MARCHE................................................................................................ 10
I.6. LES TROIS PARAMETRES D’UNE VAR ....................................................................................................... 12
I.7. REMARQUES .............................................................................................................................................. 13
I.8. EXEMPLES DE MESURES DE LA VAR......................................................................................................... 13
II. TECHNIQUES CLASSIQUES D’ESTIMATION DE LA VAR ................................................................. 15
II.1. LA METHODE DE LA MATRICE DES VARIANCES-COVARIANCES ESTIMEE .............................................. 15
II.2. LA METHODE RISKMETRICS.................................................................................................................. 16
II.3. L’ANALYSE HISTORIQUE ........................................................................................................................... 16
II.4. LA METHODE DE LA SIMULATION HISTORIQUE ......................................................................................... 17
II.5. LA METHODE DE LA SIMULATION DE MONTE CARLO ............................................................................... 18
II.6. LE BACKTESTING ..................................................................................................................................... 20
III. UTILISATIONS DE LA VAR ....................................................................................................................... 22
IV. CONCLUSION .............................................................................................................................................. 23
V. BIBLIOGRAPHIES ....................................................................................................................................... 24
VI. ANNEXES ..................................................................................................................................................... 24


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