madariss achamel 2012 www.madariss-achamel.info

1. ‫-1-‬ ‫ﺍﻟﺠﺫﻉ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ‬ ‫ﻭ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻔﺘﺢ - ﺍﻟﺨﻤﻴﺴﺎﺕ‬
‫‪Prof : A.BEN ELKHATIR L’ensemble‬‬ ‫8002/7002 ‪et Notions d’Arithmétique Année scolaire‬‬
‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ10:‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ:‬
‫1(- ﺤﺩﺩ ﻻﺌﺤﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: 27 ، 57 ، 38 ، 021 ، 521 ، 051 ﻭ 002 .‬ ‫∈ ‪ k‬ﻴﺴﻤﻰ ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻴﺎ .‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻴﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪ n = 2k‬ﺤﻴﺙ‬
‫2(- ﺤﺩﺩ ﻻﺌﺤﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : 87 = ‪ b = 5 × 78 ، a‬ﻭ 87 × 7 = ‪. c‬‬ ‫∈ ‪ k‬ﻴﺴﻤﻰ ﻋﺩﺩﺍ ﻓﺭﺩﻴﺎ .‬ ‫ﻭ ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻴﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل 1 + ‪ n = 2k‬ﺤﻴﺙ‬
‫3(- ﺤﺩﺩ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ 12 ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ 001 ﻭ 052 .‬ ‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺎت:‬
‫4(- ﻜﻡ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ 71 ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ 0001 ﻭ 0052 ؟‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ P‬ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ ﻭ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ I‬ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ20:‬ ‫∈ ‪I = {2k + 1/ k‬‬ ‫}‬ ‫∈ ‪ P = {2 k / k‬ﻭ‬ ‫}‬ ‫ﺇﺫﻥ :‬
‫5× 2 = ‪. n‬‬
‫01‬ ‫8‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ :‬
‫ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ : }→ ;....;6;4 ;2 ;0{ = ‪ P‬ﻭ }→ ;....;7;5;3;1{ = ‪. I‬‬
‫1(- ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ‪ n‬ﻤﺭﺒﻊ ﻟﻌﺩﺩ ﻴﺠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩﻩ ، ﻭ ﺃﻥ ‪ 20n‬ﻤﻜﻌﺏ ﻟﻌﺩﺩ ﻴﺠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩﻩ ﺃﻴﻀﺎ .‬
‫ﻭ ﻻﺤﻅ ﺃﻥ : ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺇﻤﺎ ﺯﻭﺠﻴﺎ ﻭ ﺇﻤﺎ ﻓﺭﺩﻴﺎ ، ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪ P‬ﻭ ‪I‬‬
‫2(- ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ 75 × 82 = ‪ d‬ﻗﺎﺴﻡ ل ‪ n‬ﻭ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ 7 × 85 × 212 = ‪ m‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ل ‪. n‬‬
‫.‬ ‫ﺘﻜﻭﻨﺎﻥ ﺘﺠﺯﻴﺌﺎ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ30:‬
‫ﺨﺫ ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﺜﻡ ﻀﻊ ﺠﺎﻨﺒﻪ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ‪a‬‬ ‫ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻭ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬
‫ﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺴﺘﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ .‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ:‬
‫ﺤﺩﺩ ‪ b‬ﺨﺎﺭﺝ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a‬ﻋﻠﻰ 7 ، ﺜﻡ ﺤﺩﺩ ‪ c‬ﺨﺎﺭﺝ ﻗﺴﻤﺔ ‪ b‬ﻋﻠﻰ 11 ﻭ ﺃﺨﻴﺭﺍ ﺤﺩﺩ ‪ d‬ﺨﺎﺭﺝ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ .‬
‫ﻗﺴﻤﺔ ‪ c‬ﻋﻠﻰ 31 . ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪. m = ka‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ m‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ل ‪ a‬ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ‪ k‬ﻤﻥ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ40:‬ ‫ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ a‬ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪. a‬‬
‫ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ :‬ ‫1(- ﺤﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻡ ‪ n‬ﻤﻥ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪. a = qd‬‬ ‫ﻭ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﻌﺩﻡ ‪ d‬ﻗﺎﺴﻡ ل ‪ a‬ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ‪ q‬ﻤﻥ‬
‫.‬ ‫: )3 (‬ ‫ﻭ 42 + ‪n − 4 | 3n‬‬ ‫: )2 (‬ ‫8 + ‪n − 1| n + 11 ، (1) : n | n‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ‪ d | a‬ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ) ‪ Div ( a‬ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪. a‬‬
‫.‬ ‫:)‪(E‬‬ ‫2(- ﺤﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺃﺯﻭﺍﺝ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ) ‪ ( x, y‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ : 42 = 2 ‪x 2 − y‬‬ ‫ﻭ ﻻﺤﻅ ﺃﻥ : ‪ m‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ل ‪ a‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻗﺎﺴﻤﺎ ل ‪ ، m‬ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ :‬
‫ﻤﺼﺎﺩﻴﻕ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 9 ﻭ 52‬ ‫‪ m ∈ a‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ) ‪. a ∈ Div ( m‬‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ : 46375 = ‪. N‬‬ ‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺎت:‬
‫ﻟﺩﻴﻨﺎ : 01 × 5 + 01 × 7 + 01 × 3 + 01× 6 + 4 = ‪ ، N‬ﻭ ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ‬
‫2‬ ‫4‬ ‫5‬
‫.‬ ‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ 0 ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻷﻱ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ a‬ﻷﻥ : ‪ 0 = 0 × a‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻤﻥ‬
‫ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻴﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل : ‪c0 + c1 × 10 + c2 × 102 + ... + cr × 10r‬‬ ‫.‬ ‫ﻭ ﺃﻥ 0 ﻻ ﻴﻘﺴﻡ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﻌﺩﻡ ‪ a‬ﻷﻥ : ‪ 0 × q ≠ a‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ‪ q‬ﻤﻥ‬
‫ﻨﻜﺘﺏ : 0‪. n = cr ...c2 c1c‬‬ ‫.‬ ‫ﻟﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ a‬ﻗﺎﺴﻤﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻫﻤﺎ 1 ، ﺇﺫﻥ ) ‪ {1; a} ⊂ Div ( a‬ﻟﻜل ‪ a‬ﻤﻥ‬

2. ‫-2-‬ ‫ﺍﻟﺠﺫﻉ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ‬ ‫ﻭ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻔﺘﺢ - ﺍﻟﺨﻤﻴﺴﺎﺕ‬
‫‪Prof : A.BEN ELKHATIR L’ensemble‬‬ ‫8002/7002 ‪et Notions d’Arithmétique Année scolaire‬‬
‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ:‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ:‬
‫- ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ b‬ﻗﺎﺴﻤﺎ ل ‪ a‬ﻓﺈﻥ : ‪. a ∨ b = a‬‬ ‫}8;6;4 ;2 ;0{‬ ‫- ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﺯﻭﺠﻴﺎ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺭﻗﻡ ﻭﺤﺩﺍﺘﻪ 0‪ c‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ:‬
‫ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ل5 ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺭﻗﻡ ﻭﺤﺩﺍﺘﻪ 0‪ c‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ }5;0{ .‬
‫ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﻌﺩﻤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻭ ﺃﻜﺒﺭ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ‬
‫ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻬﻤﺎ ﻤﻌﺎ ﻭ ﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪. a ∧ b‬‬ ‫- ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ل3 )ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ل9 ( ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﺭﻗﺎﻤﻪ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ل3‬
‫ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ : ) ) ‪. a ∧ b = pge ( Div ( a ) ∩ Div ( b‬‬
‫)ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ل9 ( .‬
‫ﻣﺜﺎل:‬ ‫- ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ل4 ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ 0‪ c1c‬ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺭﻗﻤﻲ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﻋﺸﺭﺍﺕ‬
‫ﻤﻥ ﺠﻬﺔ 9 × 5 = 51 × 3 = 54 ×1 = 54 ﺇﺫﻥ : }54 ;51;9;5;3;1{ = ) 54 ( ‪Div‬‬ ‫‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ل4 .‬
‫ﻭ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ : 01 × 6 = 21 × 5 = 51 × 4 = 02 × 3 = 03 × 2 = 06 ×1 = 06‬ ‫ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ل52 ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ : }57;05;52 ;00{ ∈ 0‪. c1c‬‬
‫ﺇﺫﻥ : }06;03;02 ;51;21;01;6;5;4 ;3;2 ;1{ = ) 06 ( ‪Div‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ50:‬
‫ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ : 51 = 06 ∧ 54 .‬ ‫1(- ﻜﻭﻥ ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻤﻥ ﺨﻤﺴﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ ل3 ﻭ ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 6 .‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ:‬ ‫2(- ﻜﻭﻥ ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻤﻥ ﺨﻤﺴﺔ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ ل3 ﻭ4 ﻭ ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 9 .‬
‫.‬ ‫‪( a ∨ b ) . ( a ∧ b ) = ab‬‬ ‫ﻟﻜل ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻟﺩﻴﻨﺎ :‬ ‫3(- ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻡ ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ 1‪ a = 63 x‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ل9 ؟‬
‫ﻭ ﺒﺼﻔﺔ ﺨﺎﺼﺔ ، ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ 1 = ‪ a ∧ b‬ﻓﺈﻥ : ‪. a ∨ b = ab‬‬ ‫4(- ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻡ ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻌﺸﺭﺍﺕ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ 1‪ b = 63 x‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ل3 ﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‬
‫ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺃﻗﻠﻴﺩﺱ ﺃﻭ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ل9 ؟‬
‫ﺘﻤﻜﻥ ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺃﻗﻠﻴﺩﺱ ﻤﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ‪ a ∧ b‬ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ‬
‫ﻤﻨﻌﺩﻤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ ‪: a > b‬‬ ‫5(- ﺤﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺭﻗﻤﻴﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻟﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ c = 28 x75 y‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ل3 ﻭ4 .‬
‫ﻨﻨﺠﺯ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻷﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ل ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ b‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ 1‪ r‬ﺒﺎﻗﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ، ﺜﻡ ﻨﻨﺠﺯ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻷﻗﻠﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻭ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ‬
‫ل ‪ b‬ﻋﻠﻰ 1‪ r‬ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ 2‪ ، r‬ﺜﻡ ﻨﻨﺠﺯ ﻗﺴﻤﺔ 1‪ r‬ﻋﻠﻰ 2‪ r‬ﻭ ﻨﻌﻴﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ:‬
‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻤﻨﻌﺩﻤﺎ ، ﻭ ﻫﻭ ‪ a ∧ b‬ﺁﺨﺭ ﺒﺎﻗﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﻌﺩﻡ .‬ ‫ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻤﻭﺠﺏ ﻗﻁﻌﺎ ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﻌﺩﻤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬
‫ﻣﺜﺎل:‬
‫ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ل ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪. a ∨ b‬‬
‫ﻟﻨﺤﺩﺩ 021 ∧ 54 ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺃﻗﻠﻴﺩﺱ ، ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺃﺴﻔﻠﻪ ﻴﻠﺨﺹ ﺍﻟﻘﺴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ :‬
‫‪. a ∨ b = ppe ( a‬‬ ‫*‬
‫‪∩b‬‬ ‫*‬
‫)‬ ‫ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ :‬
‫ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ‬ ‫2 = 1‪q‬‬ ‫1 = 2‪q‬‬ ‫2 = 3‪q‬‬
‫ﻣﺜﺎل:‬
‫ﺇﺫﻥ : 51 = 021 ∧ 54‬ ‫021 = ‪a‬‬ ‫54 = ‪b‬‬ ‫03 = 1‪r‬‬ ‫51 = 2‪r‬‬
‫51‬ ‫*‬
‫21 ﻭ }→ ...;06;54 ;03;51{ =‬ ‫*‬
‫ﻟﺩﻴﻨﺎ : }→ ...;06;84 ;63;42 ;21{ =‬
‫03 = 1‪r‬‬ ‫51 = 2‪r‬‬ ‫0 = 3‪r‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ‬
‫ﺇﺫﻥ : 06 = 51 ∨ 21 .‬

3. ‫-3-‬ ‫ﺍﻟﺠﺫﻉ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ‬ ‫ﻭ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻔﺘﺢ - ﺍﻟﺨﻤﻴﺴﺎﺕ‬
‫‪Prof : A.BEN ELKHATIR L’ensemble‬‬ ‫8002/7002 ‪et Notions d’Arithmétique Année scolaire‬‬
‫ﻭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻡ ﻴﺸﻁﺏ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻻ ﺘﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ : 2 ، 3 ، 5 ﻭ 7 ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻭ ﻏﺭﺒﺎل ﺇﺭﺍﻁﻭﺴﺘﻴﻥ‬
‫ﻤﺭﺒﻌﺎﺘﻬﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ 001 ، ﺇﺫﻥ ﻓﻬﻲ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺃﻭﻟﻴﺔ .‬ ‫1(- ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ:‬
‫1‬ ‫2‬ ‫8 7 6 5 4 3‬ ‫01 9‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ:‬
‫11‬ ‫21‬ ‫81 71 61 51 41 31‬ ‫02 91‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻪ ﻗﺎﺴﻤﻴﻥ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﻫﻤﺎ 1 ﻭ ‪. n‬‬
‫ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ : }‪. Div ( n ) = {1; n‬‬
‫12‬ ‫22‬ ‫82 72 62 52 42 32‬ ‫03 92‬
‫13‬ ‫23‬ ‫83 73 63 53 43 33‬ ‫04 93‬
‫14‬ ‫24‬ ‫84 74 64 54 44 34‬ ‫05 94‬ ‫ﻣﺜﺎل:‬
‫15‬ ‫25‬ ‫85 75 65 55 45 35‬ ‫06 95‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻫﻲ : 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 31 ، 71 ، 91 ، 32 ﻭ 92 .‬
‫16‬ ‫26‬ ‫86 76 66 56 46 36‬ ‫07 96‬ ‫ﻭ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻜﻠﻬﺎ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻤﺎ ﻋﺩﺍ 2 ﻓﻬﻭ ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻲ .‬
‫17‬ ‫27‬ ‫87 77 67 57 47 37‬ ‫08 97‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ60:‬
‫18‬ ‫28‬ ‫88 78 68 58 48 38‬ ‫09 98‬
‫19‬ ‫29‬ ‫89 79 69 59 49 39‬ ‫001 99‬ ‫ﺤﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻡ ‪ n‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪ An‬ﻋﺩﺩﺍ ﺃﻭﻟﻴﺎ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :‬
‫ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﻙ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ:‬ ‫.‬ ‫4 + 4 ‪( 3) : An = n‬‬ ‫3 + ‪ ( 2 ) : An = n 2 − 8n + 15 ، (1) : An = n 2 + 4n‬ﻭ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ:‬
‫2(- ﻏﺭﺒﺎل ﺇﺭﺍﻁﻭﺴﺘﻴﻥ: ) ‪(crible d’ératosthène‬‬
‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﻌﺩﻡ ﻭ ﻴﺨﺎﻟﻑ 1 ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻔﻜﻴﻜﻪ ﺒﻜﻴﻔﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ:‬
‫ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ .‬
‫ﻟﻴﻜﻥ ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺒﺤﻴﺙ 2 ≥ ‪. a‬‬
‫ﻣﺜﺎل:‬
‫ﻨﻨﺠﺯ ﺘﻔﻜﻴﻜﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ 054 = ‪ a‬ﻭ 5763 = ‪ b‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ :‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a‬ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ ‪ p‬ﺒﺤﻴﺙ : ‪ ، p 2 ≤ a‬ﻓﺈﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ .‬
‫ﺇﺫﻥ :‬ ‫ﻣﺜﺎل:‬
‫2‬ ‫3‬ ‫5 5 3‬
‫25 × 23 × 2 = 054‬ ‫054 = ‪a‬‬ ‫522‬ ‫57‬ ‫1 5 52‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ 784 = ‪ a‬ﻭ 115 = ‪. b‬‬
‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﺒﻌﺎﺘﻬﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ 784 = ‪ a‬ﻫﻲ : 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 31‬
‫ﺇﺫﻥ :‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫7 7 5‬ ‫71 ﻭ 91 .‬
‫2 7 × 25 × 3 = 5763‬ ‫1 7 94 542 5221 5763 = ‪b‬‬ ‫ﻭ784 ﻻ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ) ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ( ﺇﺫﻥ 784 ﻋﺩﺩ ﺃﻭﻟﻲ .‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ:‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ 115 = ‪ ، b‬ﻟﺩﻴﻨﺎ : 37 × 7 = 115 ، ﺇﺫﻥ ﻓﻬﺫﺍ ﻋﺩﺩ ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ .‬
‫- ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﻜﺒﺭ ‪ a ∧ b‬ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ‬
‫ﻏﺮﺑﺎل إراﻃﻮﺳﺘﻴﻦ:‬
‫ﻓﻲ ﺘﻔﻜﻴﻜﻲ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﺭﻓﻭﻋﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﺼﻐﺭ ﺃﺱ .‬ ‫ﻏﺭﺒﺎل ﺇﺭﺍﻁﻭﺴﺘﻴﻥ ﺠﺩﻭل ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ‬
‫- ﻭ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺍﻷﺼﻐﺭ ‪ a ∨ b‬ﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻫﻭ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻌﻭﺍﻤل‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻌﻠﻭﻡ ‪ ، N‬ﻤﺜﻼ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ل 001 = ‪ N‬ﻨﻨﺸﺊ ﺠﺩﻭﻻ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل 01 × 01‬
‫ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻭ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﺘﻔﻜﻴﻜﻲ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﺭﻓﻭﻋﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﻜﺒﺭ ﺃﺱ .‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ﻓﻴﻪ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﻥ 1 ﺇﻟﻰ 001 .‬
‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﺩﻴﻨﺎ : 57 = 52 × 3 = 25 × 3 = 5763 ∧ 054‬ ‫ﻨﺸﻁﺏ ﺃﻭﻻ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ 1 ) ﻷﻨﻪ ﻟﻴﺱ ﺃﻭﻟﻴﺎ ( ، ﺜﻡ ﻨﺸﻁﺏ ﺒﺎﻟﺘﺘﺎﺒﻊ ﻋﻠﻰ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬
‫.‬ ‫ﻭ 05022 = 5763 × 6 = 2 7 × 25 × 23 × 2 = 5763 ∨ 054‬ ‫2 ، 3 ، 5 ﻭ7 ) ﻤﺎ ﻋﺩﺍ 2 ، 3 ، 5 ﻭ7 ﻷﻨﻬﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺃﻭﻟﻴﺔ ( .‬