3. DEFINICIÓN
• Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha
definido el producto interno( / ).
• Sean 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢, 𝑣 son ortogonales
ssi: 𝑢 𝑣 = 0.
• Si 𝑆 ⊆ 𝑉, entonces S se dice ortogonal si
todo par de elementos distintos de S son
ortogonales
4. OBSERVACIONES
• El Ov es ortogonal a cualquier vector pues 𝑶 𝒗 𝒖 = 𝟎.
• S debe tener por lo menos dos vectores para verificar
si es un conjunto ortogonal
• Al comprobar si todos los productos internos son cero
entre los vectores de S, para tener un conjunto S de
vectores ortogonales.
• Si un conjunto es ortogonal entonces es LI
• Si 𝑺′ = 𝜶 𝟏 𝒖 𝟏, 𝜶 𝟐 𝒖 𝟐, … , 𝜶 𝒏 𝒖 𝒏 es ortogonal, si a cada
vector le multiplicamos por cualquier escalar, siempre
en nuevo conjunto va a ser ortogonal.
5. EJEMPLO:
• Dados los vectores 𝒖 = −𝟐, 𝟑, 𝟏 , 𝒗 =
𝟑, 𝟏, 𝟑 que son ortogonales obtener un tercer
vector “w” ortogonal a “u” y “v”.
Hacemos el producto cruz para encontrar el
tercer vector
•
𝒊 𝒋 𝒌
−𝟐 𝟑 𝟏
𝟑 𝟏 𝟑
= 𝒊
𝟑 𝟏
𝟏 𝟑
− 𝒋
−𝟐 𝟏
𝟑 𝟑
+ 𝒌
−𝟐 𝟑
𝟑 𝟏
= 𝟖𝒊 + 𝟗𝒋 − 𝟏𝟏𝒌
• 𝒘 = 𝟖, 𝟗, −𝟏𝟏
• 𝑺 = −𝟐, 𝟑, 𝟏 , 𝟑, 𝟏, 𝟑 𝟖, 𝟗, −𝟏𝟏
7. DEFINICION
• Un conjunto de vectores es llamado ortogonal, si
cada uno de sus elementos son vectores
ortogonales, es decir, que son perpendiculares
entre si o que su producto interno es igual a
cero.
• Sea (V, K, +, . ) un espacio vectorial, definido
con producto interno, T es un subconjunto de V.
T es un conjunto ortogonal si y solamente si:
Para todo vector que pertenezca a T y sean distintos
tienen que cumplir que su producto interno sea 0.
• (𝒖/𝒗)=0
11. DEFINICIÓN
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha
definido el producto interno ( / ) y S un sub
espacio vectorial de V.
Es una base ortogonal si:
• Sea S base de V
• Sean los productos internos de dos a dos
ortogonales, es decir todos sus vectores
ortogonales entre si.
• Sea LI
17. DEFINICION:
• Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la
vez un conjunto ORTOGONAL y la NORMA de
cada uno de sus vectores es igual a 1. Esta
definición sólo tiene sentido si los vectores
pertenecen a un espacio vectorial en el que se ha
definido un producto interno.
19. ¿CÓMO LOGRAR
ORTONORMALIZACIÓN ?
• Usar el proceso de GRAM-SCHMIDT.
• Dada una base ortogonal de un espacio es
trivial hallar una base ortonormal a partir de la
primera dividiendo cada vector de la base
ortogonal original por el valor de su norma.
23. DEFINICIÓN
• Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial en un
campo k con producto interno y externo, W es
subespacio vectorial de V. DimV =n, entonces
W tiene una base ORTONORMAL.
• Todo subespacio V con producto interno tiene
al menos una base ortogonal y una base
ortonormal.
24. • Si S={u1;u2;…;un} es una base de V , entonces
W={w1;w2;…;wn} es una base ortogonal donde:
25. • Para calcular la base S2 ortonormal
partimos de la base S1 ortogonal.
• Sea, S2={r1;r2;…;rn} la base ortonormal
buscada, entonces procedemos así:
30. PROPIEDADES
•Todas las bases canonícas son:
a) Ortogonales
b) orto normales
• Esta base tiene siempre que cumplir:
a)LI
b)Genera a e.v.
c)Dim(B) = Dim(e.v.)
