1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
EXAMEN SUPLETORIO
1.- Para que valores de a, b y m el sistema tiene:
a) Única solución
b) Infinitas soluciones
c) No tiene solución
| |
( )
a) Para que tenga única solución el determinante del sistema tiene que ser
diferente de cero.
∴
No existe valor de m para que el sistema tenga única solución
Reducimos por filas el sistema de ecuaciones.
. | / ≈ . | /
b)
c)
20

2. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
2.- Sean u y v dos vectores ortonormales en el espacio vectorial con el
producto interno usual (/). Probar que
u/v = v/u = 0 vectores ortogonales
∴
√( ) ( )
√. / . / . / ( )
√. / . / ( )
√. / ( ) ( )
√. / ( )
√( ) ( )
∴

3. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
3.- Dada la matriz A =. / hallar los valores y vectores propios.
| |
| | ( )( )
( )( )
∴
Para
. | / ≈ . | /
*( )⁄ +
Para
. | / ≈ . | /
*( )⁄ +

4. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
4.- *( ) ( )( )+ Hallar la capsula de S.
*( ) ( )⁄ ( ) ( ) ( )+
( ) ( )
{
( | ) ≈ ( | ) ≈
( | )
∴ *( )⁄ +

5. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
5.- Si = ( ) ¿Para qué valores de “a” existe la matriz A?
( )
| | | | | | | |
( ) ( )
( )
∴ * +

6. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
6.- *( ) ( )( )+ ¿Para qué valores de “a” S es L.I?
Combinación lineal nula:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
{ ( ) ( )
Para que sea L.I el determinante del sistema de ecuaciones tiene que ser diferente
de cero.
| | | |
| | | |
( )( )
( )( )
∴ * +

7. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
7.- Sea W=* ( ) / ( )= ( )+ Calcular una base de W.
( )
( )
( )
( )
( )
W=* ( ) / ( ) = ( )+
* ⁄ +
* ⁄ +
*( ) ( )⁄ +
* ( ) ( )⁄ +
∴ * + S Genera a W
∴

8. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
8.- Sea , - . / Matriz asociada a ( ( )) Hallar f.
*( )( )+
* +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
∴ ( ) ( ) ( ) ( )

9. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
9.-Sea ( ) Tal que ( ) *( ) ( ) ( )+
Probar si f es biyectiva.
{
* +
* +
*( ) ( )⁄ ( )+
*( ) ( ) ( ) ( )⁄ ( )+
{
Si el determinante del sistema es diferente de cero tiene única solución
Esta solución es la trivial (0,0,0) CERO VECTOR. (f es inyectiva)
| | | |
∴ El sistema tiene infinitas soluciones
El Nf no es el CERO VECTOR
La función no es Inyectiva por lo tanto tampoco es Biyectiva

10. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
10.- Dadas las Bases *( ) ( )( )+
* +
Sea, - = A = ( )
Determinar{
, -
, -
, - , - , - , -
, - ( )
, - (, - ) ( )
( | ) ≈( | )
≈ ( | ) ≈
( | )
. /
. /
. /
≈( | )
, - ( )
, - ( ) ( ) [( ) ( )]
∴ , - . / ( )