Introdução a Grafos
Aleatórios
Alexandre Duarte / Alisson Brito
Modelos de Rede
Por que modelos?
 Representação simples de redes complexas
 Pode derivar propriedades matemáticas
 Pre...
Erdös e Rényi
Erdös-Renyi: o mais simples modelo de
rede
 Premissas
 vértices conectados aleatoriamente
 a rede é não-direcional

 P...
Com o que elas se parecem

Re-arranjo de
layout
Grau de distribuição
 (N,p)-model: para cada aresta potencial,
uma moeda desbalanceada é lançada
 Com probabilidade p a ...
http://ladamic.com/netlearn/NetLogo501/ErdosRenyiDegDist.html
Grau de distribuição
Qual a probabilidade de um nó ter 0,1,2,3,…
arestas?
A soma das probabilidades é 1
Quantas arestas por nó?
 Cada nó tem (N – 1) tentativas de ter
arestas
Cada tentativa tem prob. p de sucesso
Probabilid...
Sobre distribuição binomial
Grafo de 8 nós, probabilidade p de 2
nós terem uma aresta
 Qual a probabilidade de um dado n...
Coeficiente binomial: escolher 4 de 7
Sejam os 7 nós da rede com os quais nosso nó pode
ter arestas. Azul são aqueles com ...
Coeficiente binomial
G

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Se a ordem é importante, então há 7! Diferentes
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Há 7 opções na primeira ...
Coeficiente binomial
Suponha que a ordem dos nós que não são conectados (brancos)
não importa
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Coeficiente binomial
E

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ocupam, perdemos um fator de 4!
Coeficiente binomial
Números de formas de escolher k itens de (n-1)

formas de arranjar n-1 itens

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Coeficiente binomial
 De quantas formas podemos de
escolher 2 de 5 itens?
 10
 120
6
5
… agora a distribuição
p = probabilidade de haver uma aresta (azul)
(1-p) = probabilidade de não haver aresta
(branco)
...
Distribuição binomial
Se a ordem não importa, precisamos multiplicar a
ordem de um dado arranjo qualquer pela
quantidade ...
Se p = 0,5
p = 0,1
Qual a média?
Grau médio z = (n-1)*p
= E(X) = x p(x)

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0.05

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No geral:

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+1*

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Qual a variância?
 Variância em grau
(n-1)*p*(1-p)

 No geral:

2

= E[(X- )2] =
*

(0.5)2 *

0.20

0.25

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Aproximações

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Binomial
Limite p pequeno

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2s 2

Poisson
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Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson
O que se conclui de redes aleatórias?
 Não esperamos encontrar nós
concentrando um grande número de
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Análise de Redes Sociais: Introdução aos Grafos Aleatórios

  1. 1. Introdução a Grafos Aleatórios Alexandre Duarte / Alisson Brito
  2. 2. Modelos de Rede Por que modelos?  Representação simples de redes complexas  Pode derivar propriedades matemáticas  Prever propriedades e consequências Também:  No que uma rede real é diferente de uma hipotética?  Que aprendizados podem ser obtidos dessas redes?
  3. 3. Erdös e Rényi
  4. 4. Erdös-Renyi: o mais simples modelo de rede  Premissas  vértices conectados aleatoriamente  a rede é não-direcional  Parâmetro chave (número de nós vizinhos: N) : p ou M  p = probablidade de dois nós compartilharem uma aresta  M = número total de arestas no grafo
  5. 5. Com o que elas se parecem Re-arranjo de layout
  6. 6. Grau de distribuição  (N,p)-model: para cada aresta potencial, uma moeda desbalanceada é lançada  Com probabilidade p a aresta é adicionada  Com probabilidade (1-p) a aresta não é adicionada
  7. 7. http://ladamic.com/netlearn/NetLogo501/ErdosRenyiDegDist.html
  8. 8. Grau de distribuição Qual a probabilidade de um nó ter 0,1,2,3,… arestas? A soma das probabilidades é 1
  9. 9. Quantas arestas por nó?  Cada nó tem (N – 1) tentativas de ter arestas Cada tentativa tem prob. p de sucesso Probabilidade de um nó ter grau k: æ N -1 ö k N-1-k B(N -1;k; p) = ç ÷ p (1- p) è k ø
  10. 10. Sobre distribuição binomial Grafo de 8 nós, probabilidade p de 2 nós terem uma aresta  Qual a probabilidade de um dado nó ter grau 4? A B C D G E F
  11. 11. Coeficiente binomial: escolher 4 de 7 Sejam os 7 nós da rede com os quais nosso nó pode ter arestas. Azul são aqueles com aresta com nosso nó e branco aqueles sem. A B C D E F G Quantas amostras diferentes podemos ter contendo os mesmos nós, mas em ordens diferentes? G E C D B F A
  12. 12. Coeficiente binomial G E C D B F A Se a ordem é importante, então há 7! Diferentes ordens: Há 7 opções na primeira escolha, 6 para a segunda, 5 para terceira e assim em diante: 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
  13. 13. Coeficiente binomial Suponha que a ordem dos nós que não são conectados (brancos) não importa Todas as possíveis combinações de nós brancos são a mesma coisa para mim. A B F D E C G A B G D E C F A B E D F C G A B G D F C E A B E D G C F A B F D G C E A B D Ao invés de 7! combinações, temos 7!/3! combinações C
  14. 14. Coeficiente binomial E F G O Mesmo acontece para os azuis, se não importa a posição que ocupam, perdemos um fator de 4!
  15. 15. Coeficiente binomial Números de formas de escolher k itens de (n-1) formas de arranjar n-1 itens = ----------------------------------------------------------------(formas de arranjar k itens)*(formas de arranjar n-1-k itens) n-1! = ----------------k! (n-1-k)! Note que o coeficiente binomial é simétrico – há um mesmo número de formas de escolher k ou n-1-k itens de um total de n-1
  16. 16. Coeficiente binomial  De quantas formas podemos de escolher 2 de 5 itens?  10  120 6 5
  17. 17. … agora a distribuição p = probabilidade de haver uma aresta (azul) (1-p) = probabilidade de não haver aresta (branco)  Probabilidade de um nó se conectar a 4 de um total de 7 nós numa ordem particular (2 brancos seguidos por 3 azuis, um branco e um azul) é: P(white)*P(white)*P(blue)*P(blue)*P(blue)*P(white)*P(blue) = p4*(1-p)3
  18. 18. Distribuição binomial Se a ordem não importa, precisamos multiplicar a ordem de um dado arranjo qualquer pela quantidade de arranjos: æ 7 ö 4 3 B(7;4; p) = ç ÷ p (1- p) è 4 ø + ….
  19. 19. Se p = 0,5
  20. 20. p = 0,1
  21. 21. Qual a média? Grau médio z = (n-1)*p = E(X) = x p(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 No geral: 0* +1* +2* +3* +4* = 3.5 +5* +6* +7*
  22. 22. Qual a variância?  Variância em grau (n-1)*p*(1-p)  No geral: 2 = E[(X- )2] = * (0.5)2 * 0.20 0.25 (-0.5)2 (x- )2 p(x) 0.15 (1.5)2 * 0.00 0.05 0.10 (-1.5)2 * (-2.5)2 * (-3.5)2 * + + (2.5)2 * + + + + (-3.5)2 * +
  23. 23. Aproximações pk n 1 k p k (1 p) n 1 k Binomial Limite p pequeno pk zke z k! 1 pk = e s 2p (k-z)2 2s 2 Poisson Limite n grande Normal
  24. 24. Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson
  25. 25. O que se conclui de redes aleatórias?  Não esperamos encontrar nós concentrando um grande número de conexões

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