Cálculos para Reticação de Onda                                  Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa                       ...
1.1.2 Reticação de sinal senoidal em meia ondaO sinal a ser reticado em meia onda é         f (t) = Vm sen(ωt), com ω = 2π...
∫       T                                                                1                                                ...
∫      T                     2      1                   Vrms   =                f 2 (t)dt                            T    ...
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4.1.1 Sinal senoidalUsando a Eq. 6, temos:                                               √       Vm                       ...
Sabemos que (vide demonstração Seção 5.1)                                                      ∆V                         ...
pois   T2 = T − T1   para meia onda.   O valor ecaz da parcela AC da reticação em meia-onda é:                            ...
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Figura 4: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reticado ltrado por capacitor5.2   Estimativa do fator de o...
Vdc + 4f RL CVm Vdc − 4f RL CVm = 0                                     2                           2     Resolvendo   Vdc...
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  1. 1. Cálculos para Reticação de Onda Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa 10 de agosto de 2011 Resumo Este documento objetiva fornecer um material documentado das equações envolvidas na determinação de tensões DC, RMS, fator de ondulação de ripple usadas ao longo da disciplinas de Eletrônica.1 Cálculo de valor DC de sinaisO nível DC, ou nível CC, corresponde ao valor médio do sinal - f (t) - em um intervalo de tempoinnito (T → ∞). Como nossos sinais geralmente serão periódicos, T é nito e corresponde aoinverso da freqüência do sinal. Desta forma, temos: ∫ T 1 Vdc = f (t)dt (1) T 0 Como sabemos, qualquer sinal pode ser decomposto em uma parcela constante (nível DC) eoutra parcela que oscila (nível AC). Nesta decomposição, oriunda da Teoria e Séries de Fourier,notaremos que a média obtida por pela Eq. 1 gera o nível constante do sinal.1.1 Exemplos1.1.1 Sinal senoidalConsidere o sinal f (t) = Vm sen(ωt) onde ω = 2π/T é a freqüência - em radianos - do sinal f (t) e Vm é o valor máximo do sinalf (t). Naturalmente sua média, intuitivamente, é zero. Usando a Eq. 1, temos: ∫ T 1 Vdc = f (t)dt T {∫ 0 } 2π/ω ω = Vm sen(ωt)dt 2π 0 Vm { 2π/ω } = [− cos(ωt)]0 2π =0 1
  2. 2. 1.1.2 Reticação de sinal senoidal em meia ondaO sinal a ser reticado em meia onda é f (t) = Vm sen(ωt), com ω = 2π/T , T é o períodofundamental do sinal e Vm é o valor máximo do sinal f (t). Aplicando a Eq. 1, temos: ∫ T 1 Vdc = f (t)dt T {∫ 0 } π/ω ω = Vm sen(ωt)dt 2π 0 ω { π/ω } = [− cos(ωt)]0 2π 1 = Vm π = 0,318Vm1.1.3 Reticação de sinal senoidal em onda completaO sinal a ser reticado em onda completa é f (t) = Vm sen(ωt), com ω = 2π/T , T é o períodofundamental do sinal e Vm é o valor máximo do sinal f (t). Aplicando a Eq. 1, temos: ∫ T 1 Vdc = f (t)dt T {∫ 0 ∫ 2π/ω } π/ω ω = Vm sen(ωt)dt − Vm sen(ωt)dt 2π 0 π/ω ω { π/ω 2π/ω } = [− cos(ωt)]0 − [− cos(ωt)]π/ω 2π 2 = Vm π = 0,636Vm1.1.4 Onda quadradaEste sinal é denido por: { 1, 0 ≤ t ≤ T 2 f (t) = 0, T ≤ t ≤ T 2 Aplicando a Eq. 1, temos: ∫ T 1 Vdc = f (t)dt T 0 ∫ 1 T /2 = Vm dt T 0 1 = Vm 22 Cálculo de valor RMS de sinaisO valor ecaz, ou valor RMS, corresponde ao valor médio quadrático do sinal - f (t) - em umintervalo de tempo innito (T → ∞). Como esses sinais geralmente são periódicos, T é nito ecorresponde ao inverso da freqüência do sinal. Desta forma, temos: 2
  3. 3. ∫ T 1 Vrms = f 2 (t)dt (2) T 0 O valor ecaz pode ser visto como a energia do sinal. Note que f (t) pode conter nível DCe AC. Geralmente aplicamos a Eq. 2 em sinais sem nível DC, ou seja, estamos interessados emquanticar em um único número um sinal contendo apenas componentes oscilatórias.2.1 ExemplosConsidere os sinais já denidos na seção anterior2.1.1 Sinal senoidalUsando a Eq. 2, temos: ∫ T 2 1 Vrms = f 2 (t)dt T {∫ 0 } 2π/ω ω = 2 Vm sen2 (ωt)dt 2π 0 {∫ ∫ } 2π/ω 2π/ω 1 ω 2 = V dt − cos(2ωt)dt 2 2π m 0 0 [ ] 1 ω 2 2π/ω 1 ω 2 sen(2ωt) 2π/ω = V [t] − V 2 2π m 0 2 2π m 2ω 0 Vm2 Vm = ⇒ Vac = √ 2 2 onde sen2 (α) = 1 2 [1 − cos(2α)] (das relações trigonométricas).2.1.2 Reticação de sinal senoidal em meia ondaUsando a Eq. 2, temos: ∫ T 2 1 Vrms = f 2 (t)dt T {∫0 } π/ω ω = Vm sen2 (ωt)dt 2 2π 0 {∫ ∫ } π/ω π/ω 1 ω 2 = V dt − cos(2ωt)dt 2 2π m 0 0 [ ] 1 ω 2 π/ω 1 ω 2 sen(2ωt) π/ω = Vm [t]0 − Vm 2 2π 2 2π 2ω 0 Vm2 Vm = ⇒ Vac = 4 22.1.3 Reticação de sinal senoidal em onda completaUsando a Eq. 2, temos: 3
  4. 4. ∫ T 2 1 Vrms = f 2 (t)dt T {∫ 0 ∫ } ω π/ω π/ω [ ] = Vm sen2 (ωt)dt + 2 −Vm sen2 (ωt) 2 2π 0 0 {∫ } π/ω ω =2 Vm sen2 (ωt)dt 2 2π 0 2 Vm Vm = ⇒ Vac = √ 2 2 Note que o valor RMS do sinal reticado é exatamente igual ao valor RMS do sinal nãoreticado (sinal senoidal). É fácil vericar isso visualmente, o que simplica os cálculos.2.1.4 Onda quadradaUsando a Eq. 2, temos: ∫ T 2 1 Vrms = f 2 (t)dt T 0 ∫ 1 T /2 2 = Vm dt T 0 V2 Vm = m ⇒ Vac = √ 2 23 Cálculo de valor RMS na parcela AC de sinaisO valor RMS na parcela AC de sinais consiste em eliminar o nível DC do sinal e determinar ovalor ecaz deste. Para facilitar esse cálculo, considere que: f (t) = fac (t) + Vdc (3) Isso signica que: fac (t) = f (t) − Vdc (4) Calculando o valor ecaz de fac (t) através da Eq. 2 e considerando a denição de nível DC(Eq. 1), temos: ∫ 2 1 T 2 Vac = f (t)dt T 0 ac ∫ 1 T = [f (t) − Vdc ]2 dt T 0 ∫ 1 T[ 2 ] = f (t) − 2Vdc f (t) + Vdc dt 2 T 0 ∫ ∫ ∫ 1 T 2 1 T 1 2 T = f (t)dt − 2Vdc f (t)dt + Vdc dt T 0 T 0 T 0 = Vrms − 2Vdc Vdc + Vdc 2 2 = Vrms − Vdc 2 2 Logo, 4
  5. 5. 2 2 2 Vrms = Vac + Vdc (5)3.1 ExemplosConsidere os sinais já denidos na seção anterior3.1.1 Sinal senoidalUsando a Eq. 5, temos: Vac = Vrms − Vdc 2 2 2 Vm2 Vm = ⇒ Vac = √ 2 23.1.2 Reticação de sinal senoidal em meia ondaUsando a Eq. 5, temos: Vac = Vrms − Vdc 2 2 2 2 [ ] Vm Vm 1 1 = − 2 2 = Vm − 2 ⇒ Vac ≈ 0,385Vm 4 π 4 π3.1.3 Reticação de sinal senoidal em onda completaUsando a Eq. 5, temos: Vac = Vrms − Vdc 2 2 2 [ ] Vm 4 2 2 1 4 = − 2 Vm = Vm − ⇒ Vac ≈ 0,308Vm 2 π 2 π23.1.4 Onda quadradaUsando a Eq. 5, temos: Vac = Vrms − Vdc 2 2 2 Vm Vm 2 Vm = − ⇒ Vac = 2 4 24 Fator de ondulaçãoNo processo de reticação CA-CC, temos interesse de vericar quando reticado é o sinalresultando do processo. Isso permite comparar métodos de reticação. Tal medida é chamada fator de ondulação e é denida por: Vac r= × 100% (6) Vdc4.1 ExemplosConsidere os sinais já denidos na seção anterior 5
  6. 6. 4.1.1 Sinal senoidalUsando a Eq. 6, temos: √ Vm Vac r= × 100% = 2 × 100% = ∞ Vdc 04.1.2 Reticação de sinal senoidal em meia ondaUsando a Eq. 6, temos: Vac 0,385Vm r= × 100% = × 100% = 121% Vdc 0,318Vm4.1.3 Reticação de sinal senoidal em onda completaUsando a Eq. 6, temos: Vac 0,308Vm r= × 100% = × 100% = 48% Vdc 0,636Vm4.1.4 Onda quadradaUsando a Eq. 6, temos: Vac Vm 2 r= × 100% = √ × 100% = 141% Vdc 2 Vm5 Reticação com ltro capacitivoConsidere a Fig. 1, na qual um trecho do sinal reticado em onda completa sem e com ltrocapacitivo é apresentado. Queremos determinar Vrms-ac desse sinal, construído a partir de umaaproximação por sinal triangular. Naturalmente temos: Figura 1: Sinal reticado em onda completa, sem e com ltro capacitivo ∆V Vdc = Vm − (7) 2 Note que ∆V corresponde à tensão pico-a-pico do sinal reticado, enquanto que Vm é o valormáximo desse sinal. Considerando o intervalo T2 , que é o trecho onde há descarga do capacitor, temos: ∆Q ∆V C ∆V C Ic = = ≈ Idc = (8) T2 T2 T2 6
  7. 7. Sabemos que (vide demonstração Seção 5.1) ∆V Vac = √ (9) 2 3 Note Vac depende de ∆V , que foi calculado em função da corrente de descarga do capaci-tor (ou uma aproximação da corrente DC). Mas tal corrente depende de T2 , que precisamosdeterminar. Por relação de triângulos e considerando a rampa de carga do capacitor (na Fig. 1), temosque: ∆V Vm = T1 T /4 Isso permite que determinemos T1 em função de parâmetros conhecidos do sinal, ou seja: T /4 T1 = ∆V Vm e naturalmente T T2 = − T1 2 T T /4 = − ∆V 2 Vm 2T Vm − (∆V )T = 4Vm ( ) 2Vm − ∆V T = Vm 4 Reescrevendo a Eq. 7, temos que: 2Vm − ∆V Vdc = 2 E assim, Vdc T T2 = Vm 2 Retornando T2 na Eq. 8, produzindo: [ ] Idc Vdc T ∆V = C Vm 2 (10) Idc Vdc = 2f C Vm Assim, usando a Eq. 9, temos: Idc Vdc Vac = √ (11) 4 3f C Vm Se considerarmos a reticação em meia-onda com ltragem por capacitor, as expressões camum pouco mais complexas com a aproximação por onda triangular adotada, ou seja: Idc Vm + Vdc ∆V = (12) 2f C Vdc 7
  8. 8. pois T2 = T − T1 para meia onda. O valor ecaz da parcela AC da reticação em meia-onda é: ( ) Idc Vm + Vdc Vac = √ (13) 4 3f C Vm Posteriormente verique os cálculos de valor ecaz da parcela AC usando a aproximação(com onda também triangular) da onda reticada e ltrada usando capacitor da Fig. 2.Figura 2: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reticado ltrado por capacitor √5.1 Demonstração de V=? = ∆V /(2 3)Considere a Fig. 3, que é um período da aproximação do sinal reticado em onda completa apósa aplicação do ltro capacitivo. A partir do mesmo, determinamos dois segmentos de reta queforma f (t).Figura 3: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reticado ltrado por capacitor  f (t) = ∆V t − ∆V ,  1 0 ≤ t ≤ T1 f (t) = T1 2 f (t) = − ∆V (t − T ) + ∆V ,  2 T1 ≤ t ≤ T2 1 T2 − T1 2 Aplicando a Eq. 2 (pois da Eq. 5 e da Fig. 3 notamos que o nível DC de f (t) é zero), temos: ∫ T2 1 Vac = f 2 (t)dt T2 0 [∫ T1 ∫ T2 ] 1 2 2 = f1 (t)dt + f2 (t)dt T2 0 T1 Calculando a primeira integral, temos: 8
  9. 9. ∫ T1 ∫ T1 [ ]2 ∆V ∆V 2 f1 (t)dt = t− dt 0 0 T1 2 ∫ T1 ∫ T1 ∫ T1 (∆V )2 2 2(∆V )2 (∆V )2 = 2 t dt − tdt + dt 0 T1 0 2T1 0 4 1 (∆V )2 [ 3 ]T1 1 (∆V )2 [ 2 ]T1 (∆V )2 T1 = 2 t 0 − t 0 + [t]0 3 T1 2 T1 4 1 1 1 = (∆V )2 T1 − (∆V )2 T1 + (∆V )2 T1 3 2 4 1 2 = (∆V ) T1 12 Calculando a segunda integral, temos: ∫ ∫ [ ] T1 T2 ∆V ∆V 2 2 f2 (t)dt = − (t − T1 ) − dt 0 T1 T2 − T1 2 ∫ ∫ T2 ∫ T2 T2 (∆V )2 2(∆V )2 (t − T1 ) (∆V )2 = (t − T1 ) dt − 2 dt + dt T1 (T2 − T1 )2 T1 2(T2 − T1 ) T1 4 Para facilitar a integração, efetuamos a seguinte troca de variáveis:  t = T 2  → a = T2 − T1 , a = t − T1 ⇒ t = T1 → a = 0,   dt = da ∫ T1 ∫ T2 −T1 ∫ T2 −T1 ∫ T2 −T1 (∆V )2 2 (∆V )2 (∆V )2 2 f2 (t)dt = a da − a da + da 0 0 (T2 − T1 )2 0 (T2 − T1 ) 0 4 1 (∆V )2 1 (∆V )2 (∆V )2 = (T2 − T1 )3 − (T2 − T1 )2 − (T2 − T1 ) 3 (T2 − T1 )2 2 (T2 − T1 ) 4 1 = (∆V )2 (T2 − T1 ) 12 Com as duas integrais resolvidas, temos: 1 1 (∆V )2 T1 + (∆V )2 (T2 − T1 ) 2 Vac = 12 12 T2 1 = (∆V )2 12 Ou seja: ∆V Vac = √ 2 3 Posteriormente verique se esse resultado é vericado para a onda triangular mostrada naFig. 4. 9
  10. 10. Figura 4: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reticado ltrado por capacitor5.2 Estimativa do fator de ondulaçãoA partir do cálculo do nível RMS de uma onda triangular qualquer (Eq. 9) e da expressão dofator de ondulação (Eq. 6), temos: Vac r= × 100% Vdc ∆V 1 = √ × 100% 2 3 Vdc Mas, da Eq. 7, temos: ∆V Vdc = Vm − ⇒ ∆V = 2 (Vm − Vdc ) 2 E, portanto: 1 Vm − Vdc r=√ × 100% (14) 3 Vdc Isso signica que: Vm √ = 1 + 3r Vdc Note que estas expressões são válidas para reticação tanto em meia-onda quanto em ondacompleta, já que podemos representar a onda de ripple de ambas as reticações por uma ondatriangular. Além disso, a expressão resultante (Eq. 14) independe de T.5.3 Estimativa do nível DCPodemos agora estimar o valor Vdc a partir do valor máximo de tensão da onda a ser reticada(Vm ) e outras informações do circuito, facilitando a comparação com medidas obtidas a partirdo multímetro. Considere uma resistência de carga RL drenando uma corrente Idc do circuito reticadorca-cc. Desta forma temos uma tensão sobre o resistor de carga Vdc . A partir da Eq. 10 temos: Idc Vdc ∆V = 2f C Vm 2 Vdc = 2f RL CVm Considerando a Eq. 7, temos: 2 Vdc 2 (Vm − Vdc ) = 2f RL CVm 10
  11. 11. Vdc + 4f RL CVm Vdc − 4f RL CVm = 0 2 2 Resolvendo Vdc dessa equação de segundo grau, temos: [ √ ] Vdc = 2Vm −f RL C ± f RL C(f RL C + 1) √ Note que −a − a(a + 1) é negativo, resultando em uma tensão Vdc também negativa, o queé incompatível com o processo de reticação, e também com a Eq. 7 para valores positivos deVm e Vm ≫ ∆V /2. Assim: [ √ ] Vdc = 2Vm −f RL C + f RL C(f RL C + 1) (15) Assim, a partir da resistência de carga, do capacitor de reticação e da freqüência e amplitudedo sinal CA podemos estimar a tensão CC produzida. Para a reticação em meia-onda com ltragem usando capacitor temos: Vm [ √ ] Vdc = −(1 + 4f RL C) + (1 + 4f RL C)2 + 42 f RL C (16) 2 que é obtida relacionando a Eq. 7 e a Eq. 12. Posteriormente calcule Vdc para a aproximação mostrada na Fig. 2. 11

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