FIM702: lecture 7

Modélisation de
stratégies en
finance de marché
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Frontière efficiente
Extensions
Limitations
Michaud
Modélisation de stratégies en finance de
marché
Séance 12 : Extensions du modèle de Markowitz
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD
alexander.surkov@usherbrooke.ca
École de gestion
Université de Sherbrooke
Le 5 avril 2017

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Table de matière
Modèle de Markowitz
Frontière efficiente de Markowitz revisitée
Extensions du modèle de Markowitz
Limitations du modèle de Markowitz
Frontière efficiente ré-échantillonnée

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Problème d’optimisation sans vente à découvert
La vente à découvert d’actifs risqués est souvent
interdite où compliquée.
Le problème d’optimisation sous contraintes
σ2
π = ωT
Σω → min
ω
ωT
µ = µπ, ωT
1 = 1, ω ≥ 0
La méthode des multiplicateurs de Lagrange ne permet
que des égalités dans les contraintes, elle ne fonctionne
donc plus.

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : des titres de propriété et de dette
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10
x 10
−3
σπ
µπ
SPX
TSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
LTB
STB
ITB

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Fonction quadprog de Matlab
x = quadprog( H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub );
La fonction quadprog permet de trouver la solution
d’un problème quadratique d’optimisation
1
2
xT
· H · x + f T
· x → min
x
A · x ≤ b, Aeq · x = beq, lb ≤ x ≤ ub
Pour plus de détails, voir
www.mathworks.com/help/optim/ug/quadprog.html

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Solution numérique en Matlab (1)
mu = nanmean( r, 1 )’;
N = length( mu );
sigma = nancov( r );
% Minimum global de la variance
mu_mgv = mgv( mu, sigma );
Nprtf = 25;
% Rendements de la frontière
MU = linspace( mu_mgv, max( mu ), Nprtf )’;
% Écarts type de la frontière
Sf = optnum( mu, sigma, MU );

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
function [ S, W ] = optnum( mu, sigma, MU )
N = length( mu );
Nprtf = length( MU );
W = NaN( N, Nprtf );
S = NaN( Nprtf, 1 );
for i = 1:Nprtf
[ W(:, i), S(i) ] = quadprog( sigma, ...
[], [], [], [ mu’; ones(1, N) ], ...
[ MU(i); 1 ], zeros( N, 1 ) );
end
S = sqrt( 2 * S );
end

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
function [ mu_mgv, S, W ] = mgv( mu, sigma )
N = length( mu );
[ W, S ] = quadprog( sigma, ...
[], [], [], ones( 1, N ), ...
1, zeros( N, 1 ) );
S = sqrt( 2 * S );
mu_mgv = W’ * mu;
end

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : frontière efficiente
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10
x 10
−3
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : frontières efficientes
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10
x 10
−3
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Problème d’optimisation avec l’actif sans risque
L’actif sans risque peut habituellement être prêté.
Le problème d’optimisation sous contraintes
σ2
π = ωT
Σω → min
ω, ω0
ωT
µ + ω0Rf = µπ, ωT
1 + ω0 = 1, ω ≥ 0
Si on exclu ω0 = 1 − ωT1,
σ2
π = ωT
Σω → min
ω
ωT
(µ − Rf 1) = µπ − Rf , ω ≥ 0

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : des titres de propriété et de dette
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10
x 10
−3
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Actif sans risque en Matlab (1)
mu = nanmean( r, 1 )’;
N = length( mu );
sigma = nancov( r );
Nprtf = 25;
% Rendements de la frontière
MU = linspace( Rf, 0.01, Nprtf )’;
% Écarts type de la frontière
Sf = optnumrf( mu - Rf, sigma, MU - Rf );

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Actif sans risque en Matlab (2)
function [ S, W ] = optnumrf( mu, sigma, MU )
N = length( mu );
Nprtf = length( MU );
W = NaN( N, Nprtf );
S = NaN( Nprtf, 1 );
for i = 1:Nprtf
[ W(:, i), S(i) ] = quadprog( sigma, ...
[], [], [], mu’, MU(i), ...
zeros( N, 1 ) );
end
S = sqrt( 2 * S );
end

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Portefeuille de marché
Le problème d’optimisation pour le portefeuille de
marché est non-linéaire
σπ
µπ − Rf
=
√
ωTΣω
ωTµ − Rf
→ min
ω
ωT
1 = 1, ω ≥ 0
En Matlab, la fonction fmincon permet de trouver une
solution à partir de certaines valeurs initiales.
[ rm, Srm ] = pdm( mu - Rf, sigma );
rm = rm + Rf;

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stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Portefeuille de marché en Matlab
function [ rm, S, W ] = pdm( mu, sigma )
N = length( mu );
f = @(x) sqrt( x’ * sigma * x ) / ( x’ * mu );
W = fmincon( f, ones( N,1 ) / N, ...
[],[], ones(1,N), 1, ...
zeros( N, 1 ) );
S = sqrt( W’ * sigma * W );
rm = W’ * mu;
end

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : portefeuille de marché
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10
x 10
−3
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Limitations et extensions du modèle de
Markowitz
Variance n’est pas une bonne mesure de risque : les
approches moyenne — semi-variance , moyenne
— CVaR etc.
Le modèle ne tient pas compte des passifs : l’approche
moyenne — tracking error ou pénalisation dans la
fonction cible pour l’erreur de suivi
Le corrélations ne sont pas les mêmes dans une période
de tension : ajustement des corrélations
Les poids résultants sont souvent peu intuitifs.
De plus, ils sont très sensibles au rendement cible et
aux erreurs d’estimation : l’approche des frontières
simulées de Michaud, modèle de Black–Litterman

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Sensibilité aux intrants et l’erreur
d’échantillonnage
L’optimisation cause des poids positifs pour les actifs
les plus avantageux (plus de rendement, moins de
risque) et négatifs (si permis) pour les pires actifs.
Ces extrémités sont probablement les cas avec la pire
erreur d’échantillonnage.
L’algorithme a donc une tendance à amplifier des
erreurs.
L’erreur peut être visualisée par un ré-échantillonnage :
par l’entremise d’un tirage avec la remise de
l’échantillon des données observées,
ou bien par la simulation de type Monte-Carlo (tirage
de la distribution ajustée aux données observées).

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : sensibilité aux paramètres estimés
0 0.02 0.04 0.06 0.08
0.005
0.01
0.015
0.02
σπ
µπ

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Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Sensibilité en Matlab
T = 241;
Nsim = 500;
Wsim = zeros( N, Nprtf, Nsim );
for j = 1:Nsim
Rsim = mvnrnd( mu, sigma, T );
mu_sim = mean( Rsim, 1 )’;
sigma_sim = cov( Rsim );
mu_mgv = mgv (mu_sim, sigma_sim );
MUsim = linspace( mu_mgv, max(mu_sim), Nprtf )’;
[ Ssim, Wsim(:,:,j) ] = optnum( ...
mu_sim’, sigma_sim, MUsim );
end

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Portefeuilles équivalents
En faisant varier les paramètres µ et Σ, pour chaque µπ,
nous pourrions trouver plusieurs portefeuilles optimaux.
Pour chacun de ces portefeuilles, le rendement et la
variance peuvent être calculés selon les µ et Σ observés.
Ces portefeuilles sont équivalent de point de vue
statistique au portefeuille correspondant sur la frontière
efficiente (α = 5% des portefeuilles avec les rendements
minimaux pourraient être exclus).
Dans la frontière efficiente ré-échantillonnée, les poids
sont égaux aux moyennes des poids de tous les
portefeuilles équivalents.

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : portefeuilles équivalents
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10
x 10
−3
σπ
µπ

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Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Exemple : la frontière ré-échantillonnée
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10
x 10
−3
σπ
µπ

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Conclusion (1)
Les portefeuilles de la frontière ré-échantillonnée sont
plus diversifiés (plus d’actifs sont présents dans la
solution).
En raison de cela, les portefeuilles de la frontière
ré-échantillonnée ont une meilleure performance hors
échantillon que ceux de Markowitz.
De plus, leur composition varie plus graduellement si le
rendement exigé change.
Cependant, l’approche de la frontière ré-échantillonnée
est complètement heuristique, il ne se base sur aucun
problème d’optimisation.

Modélisation de
stratégies en
Alexander Surkov
Modèle de
Markowitz
Extensions
Limitations
Michaud
Conclusion (2)
La moyenne de frontières efficientes ne représente pas
les portefeuilles optimaux tenant compte de l’incertitude
dans les intrants.
La frontière ré-échantillonnée peut être concave, ce qui
n’est pas possible pour une frontière efficiente.
Le rendements pour construire la frontière
ré-échantillonnée sont tirés de la distribution dont les
paramètres contient l’erreur.
Cette méthode est quand même bonne pour estimation
de précision de l’approche de Markowitz.

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