1. Vetores
V´rias grandezas f´
a ısicas, tais como por exemplo comprimento, ´rea, volume, tempo, massa e temperatura
a
s˜o completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) ´ dada. Tais grandezas s˜o chamadas
a e a
escalares e s˜o modeladas por n´ meros reais. Outras grandezas f´
a u ısicas n˜o s˜o completamente caracteri-
a a
zadas at´ que uma magnitude, uma dire¸˜o e um sentido sejam especificados. Exemplos s˜o deslocamento,
e ca a
velocidade e for¸a. Tais grandezas s˜o chamadas vetoriais e s˜o modeladas por vetores.
c a a
Primeiramente, introduziremos o conceito de vetor do ponto de vista geom´trico, o que permite uma
e
vis˜o intuitiva dos vetores e de suas rela¸˜es entre si. Por isso, vamos nos restringir ao plano (espa¸o
a co c
bidimensional) e ao espa¸o (espa¸o tridimensional). Mais tarde, quando considerarmos vetores do ponto de
c c
vista alg´brico, o que nos permitir´ estudar vetores em espa¸os de mais de trˆs dimens˜es, a vis˜o geom´trica
e a c e o a e
que n´s adquirimos estar´ sempre ao nosso lado para nos guiar.
o a
Defini¸˜o geom´trica de vetores
ca e
A .
AB
B .
v
Dois pontos distintos A e B no espa¸o determinam uma reta. Esta reta ´ uma dire¸˜o no espa¸o. N˜o
c e ca c a
precisamos da reta toda para determinar esta dire¸˜o; o segmento da reta entre os pontos A e B, que ´ a
ca e
parte da reta compreendida entre estes dois pontos, serve muito bem para determinar esta dire¸˜o. Este
ca
segmento de reta pode ser facilmente orientado, provendo um sentido para o segmento, se considerarmos
um dos pontos como ponto inicial e o outro como ponto final. Por exemplo, o segmento orientado com ponto
inicial A e ponto final B ser´ denotado por AB. Pontos ser˜o considerados como segmentos orientados: um
a a
ponto ´ um segmento orientado nulo; por exemplo, o ponto A ´ identificado com o segmento orientado AA
e e
com ponto inicial A e ponto final tamb´m A. Al´m disso, podemos falar no comprimento de um segmento.
e e
O comprimento do segmento determinado por A e B ´ denotado por AB.
e
1

2. Segmentos orientados possuem portanto uma dire¸˜o, um sentido e um comprimento. No entanto, eles
ca
tamb´m s˜o caracterizados pelo seu ponto inicial. S˜o modelos (representa¸˜es) de vetores localizados,
e a a co
onde o ponto de aplica¸˜o do vetor ´ importante; n˜o os consideraremos neste curso. Vetores s˜o unicamente
ca e a a
caracterizados por dire¸˜o, sentido e magnitude. Eles ser˜o representados por segmentos orientados desde
ca a
que fizermos a seguinte conven¸˜o: segmentos orientados pertencentes a retas paralelas tais que, quando
ca
estas retas s˜o movidas uma em dire¸˜o ` outra at´ coincidirem, ocorre que os pontos iniciais e finais destes
a ca a e
segmentos tamb´m coincidem, representam o mesmo vetor. Assim, um vetor pode ser representado por v´rios
e a
segmentos orientados diferentes. A situa¸˜o ´ an´loga a dos n´meros racionais, que podem ser representados
ca e a u
por v´rias fra¸˜es diferentes: as fra¸˜es 1 , 4 , 10 e 111 representam o mesmo n´mero racional.
a co co 2 2 5 222 u
Resumindo:
Vetores s˜o representados por segmentos orientados e s˜o caracterizados por
a a
1. dire¸˜o,
ca
2. sentido,
3. magnitude.
Duas opera¸˜es entre vetores que podem ser definidas para quaisquer vetores, mesmo vetores em espa¸os
co c
de dimens˜es maiores s˜o a soma de vetores e a multiplica¸˜o de vetores por escalares.
o a ca
Soma de Vetores
Sejam v e w dois vetores. Sua soma v + w ´ o vetor definido da seguinte maneira:
e
C
A B
Escolha um representante qualquer AB para o vetor v. Para o vetor w escolha o unico representante BC
´
com ponto inicial B, isto ´, igual ao ponto final do representante de v. O vetor v + w ´ representado pelo
e e
segmento orientado AC, cujo ponto inicial ´ o ponto inicial A de v e cujo ponto final ´ o ponto final C de w.
e e
Esta defini¸˜o ´ motivada pela interpreta¸˜o de vetores como deslocamento: nesta interpreta¸˜o, a soma
ca e ca ca
de dois vetores corresponde ` composi¸˜o de deslocamentos ou o deslocamento total. Ela ´ a chamada regra
a ca e
do triˆngulo.
a
2

3. Uma defini¸˜o equivalente para a soma de dois vetores ´ sugerida pela interpreta¸˜o de vetores como
ca e ca
´
for¸as. E a chamada regra do paralelogramo:
c
Desta vez escolhemos os representantes respectivos AB e AC de v e w com o mesmo ponto inicial A.
Eles determinam um paralelogramo ABDC e o vetor v + w ´ o vetor representado pela diagonal (segmento
e
orientado) AD.
C D
A B
Nesta interpreta¸˜o, a soma de vetores corresponde ` resultante das for¸as.
ca a c
Propriedades da Soma de Vetores:
(1) Comutatividade:
Para quaisquer vetores v, w
v+w =w+v
Isso pode ser facilmente visto atrav´s do diagrama abaixo.
e
v
w w+v
v+w w
v
(2) Associatividade:
Para quaisquer vetores u, v, w
u + (v + w) = (u + v) + w
Isso pode ser facilmente visto atrav´s do diagrama a seguir.
e
3

4. w
u+v v
(u+v)+w
u+(v+w)
u v+w
Como uma conseq¨ˆncia destas duas propriedades, conclu´
ue ımos que vetores podem ser somadas em qual-
quer ordem.
(3) Existˆncia do Elemento Neutro da Soma:
e
Seja 0 o vetor nulo, isto ´, o vetor representado por segmentos orientados nulos. Ent˜o, para qualquer
e a
vetor v,
v+0=0+v =v
Isso ´ ´bvio da defini¸˜o.
eo ca
(4) Existˆncia do Elemento Inverso da Soma:
e
Seja −v o vetor que tem a mesma dire¸˜o, mesmo comprimento e sentido inverso ao do vetor v. Ent˜o
ca a
v + (−v) = 0.
Isso ´ ´bvio da defini¸˜o. Portanto, definimos a diferen¸a entre dois vetores:
eo ca c
v − w := v + (−w).
Podemos usar o seguinte diagrama para calcular a diferen¸a entre dois vetores:
c
w v-w
-w v
4

5. Isso permite inferir uma regra do triˆngulo para a diferen¸a dos vetores v e w: para encontrar um
a c
representante para v − w, escolha representantes para v e w que tˆm a mesma origem; ent˜o v − w ser´
e a a
representando pelo segmento cujo ponto inicial ´ o ponto final de w e cujo ponto final ´ o ponto final de v.
e e
Multiplica¸˜o de um vetor por um escalar
ca
Defini¸˜o. Se v ´ um vetor n˜o-nulo e α ´ um n´mero real n˜o-nulo, ent˜o a multiplica¸˜o do vetor v pelo
ca e a e u a a ca
escalar α ´ o vetor denotado αv definido por
e
(i) αv tem a dire¸˜o de v;
ca
(ii) αv tem o mesmo sentido de v se α > 0 e
αv tem o sentido oposto ao de v se α < 0;
(iii) αv tem comprimento |α| vezes o comprimento de v.
Definimos ainda 0v = 0 e α0 = 0.
Se
w = αv,
u ´ a
dizemos que w ´ um m´ ltiplo escalar do vetor v. E f´cil ver que dois vetores n˜o-nulos s˜o paralelos se e
e a a
somente se um ´ m´ltiplo escalar do outro.
e u
Observe que segue imediatamente da defini¸˜o que
ca
(−1)v = −v.
Propriedades da Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(1) Associatividade:
Para quaisquer escalares α, β e para qualquer vetor v
α(βv) = (αβ)v.
(2) Distributividade:
Para quaisquer escalares α, β e para quaisquer vetores v, w
α(v + w) = αv + βv,
(α + β)v = αv + βv.
(3) Para qualquer vetor v
1v = v.
Estas propriedades ser˜o facilmente provadas uma vez que introduzirmos um sistema de coordenadas
a
retangulares para vetores.
Como um exemplo da utilidade de se trabalhar com vetores, veremos que vetores podem ser utilizados
para provar fatos da geometria euclidiana.
Exemplo 1. Seja ABC um triˆngulo e M, N os pontos m´dios dos lados AC e BC. Mostre que o segmento
a e
M N ´ paralelo ao lado AB e tem comprimento igual ` metade do comprimento de AB.
e a
Resposta: Temos que provar que
1
MN = AB.
2
Temos
M N = M C + CN.
5

6. C
M N
A B
Como M ´ o ponto m´dio de AC e N ´ o ponto m´dio de BC, segue que
e e e e
1 1
MC = AC e CN = CB.
2 2
Portanto,
1 1 1 1
MN = AC + CB = (AC + CB) = AB.
2 2 2 2
Vetores em Coordenadas
Introduza um sistema de coordenadas cartesianas no espa¸o ambiente em que vocˆ est´ trabalhando, seja
c e a
ele o plano ou o espa¸o. Dado um vetor v, escolha um representante para v cujo ponto inicial ´ a origem
c e
deste sistema de coordenadas. Ent˜o definimos as coordenadas do vetor v como sendo as coordenadas do
a
ponto final deste representante de v.
y
v2
v
v1
x
No plano:
v = (v1 , v2 ).
6

7. No espa¸o:
c
v = (v1 , v2 , v3 ).
Ent˜o as opera¸˜es acima podem ser definidas equivalentemente da seguinte maneira.
a co
No plano, se v = (v1 , v2 ) e w = (w1 , w2 ),
v + w = (v1 + w1 , v2 + w2 ),
αv = (αv1 , αv2 ).
No espa¸o, se v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ),
c
v + w = (v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3 ),
αv = (αv1 , αv2 , αv3 ).
√ √
Exemplo 2. Se v = (2, −1, 4) e w = (− 2, − 3 2 2 , 1), ent˜o
a
√
√ √
√ 3 2
3v − 2w = 3(2, −1, 4) − 2(− 2, − , 1)
√ 2
= (6, −3, 12) + (2, 3, − 2)
√
= (8, 0, 12 − 2).
A norma de um vetor pode ent˜o ser dada em coordenadas, aplicando-se o Teorema de Pit´goras.
a a
No plano, se v = (v1 , v2 ), pelo Teorema de Pit´goras temos que
a
v = 2 2
v1 + v2 .
No espa¸o ´ necess´rio aplicar o Teorema de Pit´goras duas vezes para se obter a norma de um vetor em
c e a a
termos de suas coordenadas. Seja v = (v1 , v2 , v3 ) e considere a figura abaixo:
z
v3
v
v2
y
l .
v1
.
x
Aplicando-se o Teorema de Pit´goras ao triˆngulo retˆngulo vertical indicado na figura, obtemos
a a a
v = 2
l 2 + v3 .
7

8. Aplicando-se novamente o Teorema de Pit´goras ao triˆngulo retˆngulo que se situa no plano xy, obtemos
a a a
l2 = v1 + v2 .
2 2
Portanto,
v = 2 2 2
v1 + v2 + v3 .
Produto Escalar
O produto escalar ´ uma opera¸˜o entre dois vetores cujo resultado ´ um escalar.
e ca e
Defini¸˜o. O produto escalar (ou produto interno) de dois vetores v, w ´ o escalar denotado v · w
ca e
definido por
v · w = v1 w1 + v2 w2
se v = (v1 , v2 ) e w = (w1 , w2 ) s˜o vetores no plano, e por
a
v · w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3
se v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ) s˜o vetores no espa¸o.
a c
Exemplo 3.
(−5, 2) · (3, 7) = −15 + 14 = −1;
√ 1 √
(−1, 2, 3) · (5, − , 2 3) = −5 − 1 + 6 = 0.
2
Teorema. (Interpreta¸˜o Geom´trica do Produto Escalar) Se v, w s˜o dois vetores n˜o-nulos, ent˜o
ca e a a a
v·w = v w cos θ,
onde θ ´ o ˆngulo entre estes vetores.
e a
Prova: Sejam v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ). Pela lei dos cossenos (veja o diagrama)
£ £ ¢
¡
q
2 2 2
v−w = v + w −2 v w cos θ.
Logo
(v1 − w1 )2 + (v2 − w2 )2 + (v3 − w3 )2 = v1 + v2 + v3 + w1 + w2 + w3 − 2 v
2 2 2 2 2 2
w cos θ
8

9. donde, cancelando os termos comuns entre os lados desta equa¸˜o,
ca
−2v1 w1 − 2v2 w2 − 2v3 w3 = −2 v w cos θ
e portanto
v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 = v w cos θ.
O ˆngulo entre dois vetores ´ definido como o menor ˆngulo entre eles. Portanto,
a e a
0 ≤ θ ≤ 180◦ .
Podemos usar o produto interno para calcular o ˆngulo entre vetores, pois
a
v·w
cos θ = .
v w
Exemplo 4. Calcule o ˆngulo entre os vetores v = (2, −1, 1) e w = (1, 1, 2).
a
(2, −1, 1) · (1, 1, 2) 2−1+2 3 1
cos θ = =√ √ =√ √ = .
(2, −1, 1) (1, 1, 2) 4+1+1 1+1+4 6 6 2
Portanto θ = 60◦ .
Note que se v e w s˜o vetores n˜o-nulos, ent˜o
a a a
v · w > 0 se e somente se 0 ≤ θ < 90◦ .
v · w = 0 se e somente se v e w s˜o perpendiculares.
a
v · w < 0 se e somente se 90◦ < θ ≤ 180◦ .
De fato, se v e w s˜o vetores n˜o-nulos, ent˜o v · w = v
a a a w cos θ = 0 se e somente se cos θ = 0, ou seja, se
e somente se θ = 90◦ .
Propriedades do produto escalar:
(1) Comutatividade: Se v e w s˜o dois vetores quaisquer, ent˜o
a a
v · w = w · v.
(2) Distributividade: Se u, v e w s˜o vetores quaisquer, ent˜o
a a
u · (v + w) = u · v + u · w.
(3) Se v e w s˜o dois vetores quaisquer e α ´ um escalar qualquer, ent˜o
a e a
α(v · w) = (αv) · w = v · (αw)
Para todo vetor v
2
v·v = v ≥0
e
v · v = 0se e somente se v = 0.
Observe que a associatividade, “u · (v · w) = (u · v) · w” n˜o faz sentido para o produto escalar, j´ que n˜o
a a a
faz sentido fazer o produto escalar entre um vetor e um n´mero. Tamb´m n˜o pode existir um elemento
u e a
neutro para o produto escalar, ou seja, um vetor x tal que v · x = v para todo vetor v, pois v · x ´ sempre
e
um n´mero.
u
9

10. D C
A B
Exemplo 5. Mostre que as diagonais de um losango s˜o perpendiculares.
a
Resposta: Seja ABCD um losango.
Basta mostrar que
AC · BD = 0.
Para mostrar isso, temos que usar os dados b´sicos que dispomos a respeito de losangos. O primeiro
a
dado que temos sobre losangos ´ que, por defini¸˜o, eles s˜o pol´
e ca a ıgonos com quatro lados iguais; uma
conseq¨ˆncia imediata deste fato ´ que lados opostos s˜o paralelos. Estes s˜o os fatos b´sicos sobre
ue e a a a
losangos. Portanto, temos que escrever as diagonais do losango em termos dos lados, para poder usar
essas informa¸˜es. Escrevemos
co
AC = AB + BC,
BD = BA + AD.
Ent˜o
a
AC · BD = (AB + BC) · (BA + AD) = AB · BA + AB · AD + BC · BA + BC · AD.
Note que
BA = −AB
e, porque os lados de um losango tem o mesmo comprimento e s˜o paralelos,
a
BC = AD.
Logo, como o produto escalar ´ comutativo, e usando tamb´m a Propriedade (3), segue que
e e
AC · BD = AB · (−AB) + AB · AD + AD · (−AB) + AD · AD
2 2
= − AB + AD .
Mas, como os lados de um losango s˜o iguais, temos
a
AB = AD ,
donde
AC · BD = 0,
exatamente como quer´
ıamos provar.
10

11. Vetores Unit´rios e Proje¸˜o Ortogonal
a ca
Se v = 1, ent˜o v ´ chamado de vetor unit´rio. Dado um vetor n˜o-nulo v, um vetor unit´rio dire¸˜o
a e a a a ca
de v ´ o vetor
e
1
u= v.
v
De fato,
1 1
v = v = 1.
v v
Observe que u tamb´m tem o mesmo sentido de v.
e
Exemplo 6. Um vetor unit´rio na dire¸˜o do vetor v = (1, 2, −3) ´ o vetor
a ca e
1 1 2 3
u= √ (1, 2, −3) = √ , √ , −√ .
1+4+9 14 14 14
Dada uma dire¸˜o privilegiada definida por um vetor w, uma opera¸˜o importante ´ decompor qualquer
ca ca e
vetor v na soma de dois vetores v1 e v2 , sendo v1 na dire¸˜o de w e v2 perpendicular a w.
ca
v
v2
v1
w
v = v1 + v2 , v1 //w e v2 ⊥ w.
O vetor v1 ´ chamado a proje¸˜o ortogonal de v sobre w e ´ denotado por
e ca e
projw v.
Para obter v1 , observe que da figura ´ f´cil ver que seu comprimento ´ dado por v1 = v | cos θ| =
e a e
|v · w| w
. Como ´ um vetor unit´rio com a mesma dire¸˜o e sentido de v, segue que
e a ca
w w
v·w
projw v = 2 w.
w
Outra maneira de obter v1 ´ assumir que podemos escrever
e
v = αw + v2 com v2 ⊥ w.
e determinar o escalar α. Fazendo o produto escalar de ambos os lados desta express˜o pelo vetor w, obtemos
a
2
v · w = αw · w + 0 = α w ,
11

12. donde
v·w
α= 2.
w
Ent˜o v2 = v − projw v, e podemos verificar que v − projw v ´ de fato perpendicular a w:
a e
v·w v·w 2
w · (v − projw v) = w · v − 2w ·w =w·v− 2 w = w · v − v · w = 0.
w w
Exemplo 7. Seja w = (1, 0, −2) e v = (1, 2, 3). Encontre v1 e v2 tais que v = v1 + v2 , v1 //w e v2 ⊥ w.
Resposta:
v·w 1 + 0 + (−6) 5
v1 = projw v = 2w = (1, 0, −2) = − (1, 0, −2) = (−1, 0, 2).
w 5 5
v2 = v − projw v = (1, 2, 3) − (−1, 0, 2) = (2, 2, 1).
12

13. Produto Vetorial
Para vetores no espa¸o tridimensional, ´ poss´ definir um produto entre vetores cujo resultado ´ um vetor.
c e ıvel e
Defini¸˜o. O produto vetorial de dois vetores n˜o nulos v e w que n˜o s˜o paralelos ´ o vetor denotado
ca a a a e
v × w definido por
(i) v × w tem dire¸˜o perpendicular ao plano determinado por v e w;
ca
(ii) v×w tem sentido determinado pela regra da m˜o direita: direcionando o polegar direito no sentido
a
de v e o restante dos dedos da m˜o direita no sentido de w, ent˜o v × w tem o sentido projetando
a a
da palma da m˜o.a
(iii) Se θ ´ o ˆngulo entre v e w, a norma de v × w ´ dada por
e a e
v×w = v w senθ.
Se v e w s˜o paralelos, define-se v × w = 0. Tamb´m definimos v × 0 = 0 e 0 × v = 0.
a e
Note que o comprimento do vetor v × w ´ exatamente a ´rea do paralelogramo determinado por v e w
e a
(note que estas duas defini¸˜es s˜o consistentes com (iii)).
co a
w
||w|| senO
O
v
Propriedades do Produto Vetorial:
(1) Anti-comutatividade: Se v e w s˜o dois vetores quaisquer, ent˜o
a a
v × w = −w × v.
(2) Ser´ que vale a associatividade para o produto vetorial? Em outras palavras, ser´ que para todos os
a a
vetores u, v, w temos u × (v × w) = (u × v) × w?
(3) Distributividade: Se u, v e w s˜o vetores quaisquer, ent˜o
a a
u × (v + w) = u × v + u × w.
A prova desta importante propriedade ´ mais dif´ e ser´ feita mais adiante, depois de verificarmos
e ıcil a
as outras propriedades do produto vetorial.
13

14. (4)
α(v × w) = (αv) × w = v × (αw)
(5)
v × w = 0 se e somente se um destes vetores ´ m´ltiplo escalar do outro.
e u
(6)
v · (v × w) = w · (v × w) = 0
(7) Se u, v, w s˜o vetores coplanares (isto ´, est˜o contidos em um mesmo plano), ent˜o (u × v) · w = 0.
a e a a
Caso contr´rio, |(u × v) · w| ´ igual ao volume do paralelep´
a e ıpedo determinado por u, v e w. Al´m disso,
e
(u × v) · w > 0 se e somente se u, v e w satisfazem a regra da m˜o direita.
a
Dizer que os vetores u, v e w, nesta ordem, satisfazem a regra da m˜o direita, significa o seguinte:
a
Os vetores u e v determinam um plano no espa¸o tridimensional (o plano que os cont´m). Este plano
c e
subdivide o espa¸o em dois semiespa¸os. O vetor u × v, sendo perpendicular ao plano que cont´m u e v,
c c e
est´ contido em um destes semiespa¸os. Se o vetor w estiver no mesmo semiespa¸o que u × v, dizemos
a c c
que u, v, w satisfazem a regra da m˜o direita; em caso contr´rio, dizemos que u, v, w n˜o satisfazem
a a a
a regra da m˜o direita. A explica¸˜o da terminologia “u, v, w satisfazem a regra da m˜o direita” se
a ca a
justifica porque, de maneira grosseira, podemos dizer que w aponta mais ou menos na mesma dire¸˜o ca
que u×v , cuja dire¸˜o ´ dada pela regra da m˜o direita (porque w n˜o ´ necessariamente perpendicular
ca e a a e
a u e v, em geral w n˜o est´ exatamente na mesma dire¸˜o que u × v).
a a ca
w1 uxv
v
u
w2
Prova de (7): Veja a figura na pr´xima p´gina. A base do parelelep´
o a ıpedo tem ´rea igual a u × v ,
a
enquanto que a altura do paralelep´ıpedo ´ igual ao comprimento da proje¸˜o ortogonal do vetor w sobre o
e ca
vetor v × w.
Quanto ao sinal de (u × v) · w, se u, v, w satisfazem a regra da m˜o direita, ent˜o, por defini¸˜o, u × v e
a a ca
w est˜o no mesmo semiespa¸o em rela¸˜o ao plano que cont´m u e v, logo o ˆngulo entre u × v e w ´ agudo,
a c ca e a e
portanto seu produto escalar ´ positivo. Se eles n˜o satisfazem a regra da m˜o direita, ent˜o eles est˜o em
e a a a a
semiespa¸os opostos, logo o ˆngulo entre eles ´ obtuso e portanto seu produto escalar ´ negativo.
c a e e
(8) As opera¸˜es de produto escalar e produto vetorial comutam:
co
(u × v) · w = u · (v × w)
14

15. uxv
altura v
w
u
Prova de (8): Pela comutatividade do produto interno, u · (v × w) = (v × w) · u. Agora, assumindo (5),
segue que |(u × v) · w| = |(v × w) · u| pois o paralelep´
ıpedo ´ o mesmo. E o sinal tamb´m ´ o mesmo, pois
e e e
u, v, w satisfazem a regra da m˜o direita se e somente se v, w, u satisfazem, como pode-se verificar.
a
Prova de (3): Assumindo a ultima identidade em (4), escreva
´
a = u × (v + w) − u × v − u × w.
Temos que provar que a ´ o vetor nulo. Para isso, basta mostrar que
e
x · a = 0 para todo vetor x,
pois se isso vale para todo x, em particular vale para x = a, de modo que segue que a · a = 0, ou seja,
2
a = 0 e portanto a = 0. De fato,
x · a = x · u × (v + w) − x · u × v − x · u × w
= (x × u) · (v + w) − (x × u) · v − (x × u) · w
= (x × u) · [v + w − v − w]
= (x × u) · 0
= 0.
Destacamos os seguintes vetores unit´rios no espa¸o:
a c
i = (1, 0, 0),
j = (0, 1, 0),
k = (0, 0, 1).
15

16. Qualquer vetor v = (v1 , v2 , v3 ) pode ent˜o ser escrito como combina¸˜o linear (isto ´, soma de m´ltiplos
a ca e u
escalares) destes vetores, pois
v = (v1 , v2 , v3 ) = (v1 , 0, 0) + (0, v2 , 0) + (0, 0, v3 )
= v1 (1, 0, 0) + v2 (0, 1, 0) + v3 (0, 0, 1)
= v1 i + v2 j + v3 k.
Teorema 1. (Produto Vetorial em Coordenadas) Sejam v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ). Ent˜o
a
 
i j k
v × w = det  v1 v2 v3 
w1 w2 w3
isto ´,
e
v2 v3 v1 v3 v1 v2
v×w = det , − det , det .
w2 w3 w1 w3 w1 w2
Prova:
v × w = (v1 i + v2 j + v3 k) × (w1 i + w2 j + w3 k)
= v1 w1 (i × i) + v1 w2 (i × j) + v1 w3 (i × k)
+ v2 w1 (j × i) + v2 w2 (j × j) + v2 w3 (j × k)
+ v3 w1 (k × i) + v3 w2 (k × j) + v3 w3 (k × k)
= 0 + v1 w2 k + v1 w3 (−j)
+ v2 w1 (−k) + 0 + v2 w3 i
+ v3 w1 j + v3 w2 (−i) + 0
= (v2 w3 − v3 w2 )i − (v1 w3 − v3 w1 )j + (v1 w2 − v2 w1 )k.
Exemplo 8. Seja v = (1, 0, −2) e w = (1, 2, 3). Ent˜o
a
 
i j k
0 −2 1 −2 1 0
v × w = det  1 0 −2  = det , − det , det
2 3 1 3 1 2
1 2 3
= (4, −5, 2).
Teorema 2. (O Produto Misto) Sejam u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ). Ent˜o
a
 
u1 u2 u3
u · (v × w) = det  v1 v2 v3  .
w1 w2 w3
Prova: Usando o resultado obtido no Teorema 1:
v2 v3 v1 v3 v1 v2
u · (v × w) = u1 det − u2 det + u3 det .
w2 w3 w1 w3 w1 w2
Exemplo 10. Calcule o volume do paralelep´ ıpedo determinado por u = (2, 1, 4), v = (−1, 0, 2) e w =
(1, 2, 3). Calcule o volume do paralelep´
ıpedo determinado por a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) e c =
(−5, −1, 3).
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17. Resposta: Desenvolvendo em cofatores a partir da segunda linha, obtemos
 
2 1 4
det  −1 0 2  = −5 − 6 = −11,
1 2 3
logo
V [u, v, w] = 11.
No segundo caso, obtemos  
1 2 3
V [a, b, c] = det  4 5 6  = 0,
−5 −1 3
logo conclu´
ımos que os vetores a, b e c s˜o coplanares, isto ´, pertencem ao mesmo plano.
a e
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