1. AT
EU
Cap´
ıtulo 1
I-
´
Algebra vectorial
AI
AD
Galileo Galilei [Pisa, 1564; Arce-
Galileo dec´ que la F´
ıa ısica est´ en un gran libro que se abre continuamente
a tri (Florencia), 1642]: Fue el pione-
ante nuestros ojos y que no se puede comprender sin antes aprender la lengua
LIC ro en usar el m´todo experimental
e
en que est´ escrito. Esa lengua es la matem´tica. En este cap´
a a ıtulo introducimos para determinar las leyes de la Na-
algunas herramientas matem´ticas esenciales que manejaremos a lo largo del
a turaleza, y se le considera el fun-
dador de la Din´mica, ya que fue
a
libro.
el primero en determinar las leyes
del movimiento de los proyectiles
y en enunciar la ley de la inercia;
AP
1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores hallazgos recogidos en su obra Dis-
libres, deslizantes y ligados corsi e dimostrazioni matematiche
intorno a due nuove scienze atte-
nenti alla mecanica e i movimenti
locali (Discursos y demostraciones
CA
1.1.1. Magnitudes escalares y vectoriales entorno a dos nuevas ciencias rela-
cionada con la mec´nica y los mo-
a
Los objetos que maneja la F´ ısica son magnitudes mensurables, tambi´n e vimientos locales), de 1602. Cons-
llamadas observables f´ ısicos: son magnitudes que se pueden comparar con un truy´ uno de los primeros telesco-
o
patr´n o unidad y expresar, con una cierta precisi´n, como un m´ltiplo de esta
o o u pios y sus observaciones le llevaron
ISI
unidad. a defender el heliocentrismo fren-
te al geocentrismo aristot´lico. La
e
Las magnitudes f´ ısicas pueden representarse mediante diferentes objetos
Inquisici´n le abri´ un proceso y le
o o
matem´ticos. En particular, las magnitudes f´
a ısicas que manejaremos en este prohibi´ defender sus ideas.
o
libro ser´n de dos tipos: escalares y vectoriales.
a
.F
Las magnitudes escalares son aqu´llas que se caracterizan mediante uno
e magnitudes escalares
(por lo general) o varios n´meros reales que son invariantes bajo traslaciones y
u
rotaciones del sistema de referencia.
TO
EJEMPLO: La energ´ cin´tica, la temperatura, la intensidad de corriente, la
ıa e
carga el´ctrica, el resultado de un partido de f´tbol.
e u
DP
Las magnitudes vectoriales son aqu´llas que se caracterizan no s´lo por su
e o magnitudes vectoriales
magnitud sino, adem´s, por su direcci´n y sentido. Se representan mediante
a o
vectores.
Los vectores se pueden visualizar como flechas cuya longitud es proporcional
a la magnitud y cuyas direcci´n y sentido coincide con las del vector.
o
5

2. 6 ´
Algebra vectorial
AT
EJEMPLO: La posici´n, velocidad y aceleraci´n de una part´
o o ıcula, la fuerza,
EU
el momento de una fuerza.
Como veremos enseguida, hay varios tipos de magnitudes vectoriales. Otras
magnitudes f´ ısicas se describen mediante otros objetos matem´ticos: vectores
a
I-
cuyas componentes son n´meros complejos, matrices, tensores, etc. En parti-
u
cular, los tensores son de uso frecuente en ciertas aplicaciones t´cnicas (por
e
ejemplo, el momento de inercia de un sistema respecto de los distintos ejes que
AI
pasan por un punto fijo o las tensiones de un cuerpo seg´n las distintas direc-
u
ciones que pasan por un punto se representan por tensores), pero su estudio
excede los objetivos de este libro.
AD
1.1.2. Vectores
Un segmento de recta queda determinado por sus dos puntos extremos.
Cuando estos puntos est´n dados en cierto orden, se dice que el segmento
a
est´ orientado.
a
LIC
vector Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo
determinan se llama origen y el segundo extremo del vector.
Para indicar un vector se usa una flecha encima de la letra que lo representa,
por ejemplo v, o una flecha encima de las letras que representan su origen y su
AP
extremo, por ejemplo AB. Otras veces se utilizan letras negritas, por ejemplo
v. En este libro usaremos la notaci´n v, excepto en los casos en los que se
o
desee poner de manifiesto el origen y el extremo, en cuyo caso emplearemos la
notaci´n AB.
o
recta de aplicaci´n
o La recta que contiene el vector se llama recta de aplicaci´n o recta de acci´n
o o
CA
del vector, y determina la direcci´n del mismo. La orientaci´n sobre la recta,
o o
direcci´n
o definida como aqu´lla que va del origen al extremo del vector, determina el
e
sentido sentido del vector. Todos los vectores situados sobre una misma recta o sobre
rectas paralelas tienen la misma direcci´n. Sobre cada recta hay dos sentidos
o
opuestos.
ISI
Toda magnitud vectorial puede representarse por un vector cuya longitud
sea proporcional al valor de esa magnitud y cuya direcci´n y sentido sean las
o
correspondientes a la magnitud.
.F
m´dulo
o Se llama m´dulo de un vector a la longitud del segmento orientado que
o
lo define. El m´dulo de un vector es siempre un n´mero positivo o nulo. Si el
o u
vector es v = AB, el m´dulo se representa mediante cualquiera de las siguientes
o
notaciones:
TO
|v| = v = |AB|. (1.1)
Cuando el m´dulo es nulo el segmento se reduce a un punto (sin direcci´n
o o
ni sentido). Se define como vector nulo aqu´l que tiene su m´dulo igual a cero.
e o
DP
1.1.3. Vectores libres, deslizantes y ligados
En F´
ısica las magnitudes vectoriales aparecen en tres situaciones diferentes.
A cada una de estas situaciones le corresponde un tipo de vector.

3. 1.1 Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores libres, deslizantes y ligados 7
AT
Vectores libres
EU
Los vectores libres son aqu´llos que quedan caracterizados por su:
e vectores libres
(A) m´dulo,
o
(B) direcci´n y
o
(C) sentido.
I-
As´ dos vectores libres son equivalentes si tienen el mismo m´dulo, direcci´n y
ı, o o
sentido. Como veremos, un vector libre se caracterizan mediante un conjunto
AI
de n n´meros reales, donde n es la dimensi´n del espacio vectorial.
u o
En F´ısica usaremos vectores libres para describir magnitudes vectoriales que
permanecen invariantes, es decir cuyo m´dulo, direcci´n y sentido no cambian,
o o
ante:
AD
(1) cualquier traslaci´n del vector a lo largo de su recta de acci´n y
o o
(2) cualquier traslaci´n del vector paralela a s´ misma.
o ı
LIC
EJEMPLO: Una magnitud f´ ısica que puede describirse mediante un vector
libre es la aceleraci´n debida a la gravedad en una habitaci´n en la superficie
o o
terrestre, g, que es un vector libre de m´dulo 9,8 m/s2 , direcci´n vertical y
o o
sentido hacia abajo, puesto que la aceleraci´n con que caen los cuerpos masivos
o
AP
en la superficie de la Tierra no cambia (aproximadamente) si nos movemos a
lo largo de la vertical (siempre y cuando no nos alejemos demasiado de la
superficie de la Tierra) o paralelamente a la direcci´n del vector (siempre y
o
cuando los efectos de la curvatura terrestre sean despreciables).
CA
Vectores deslizantes
Los vectores deslizates son aqu´llos que quedan caracterizados por su:
e vectores deslizates
ISI
(A) m´dulo,
o
(B) direcci´n,
o
(C) sentido y
.F
(D) recta de aplicaci´n.
o
As´ dos vectores deslizantes son equivalentes si tienen el mismo m´dulo, direc-
ı, o
TO
ci´n, sentido y recta de aplicaci´n. Matem´ticamente se caracterizan mediante
o o a
un conjunto de n n´meros reales (es decir, un vector libre) y la ecuaci´n de
u o
una recta (para cuya caracterizaci´n basta con conocer la direcci´n de la recta
o o
de aplicaci´n, que coincide con la del vector, y un punto de ´sta).
o e
En F´ısica usaremos vectores deslizantes para describir magnitudes vectoria-
DP
les que permanecen invariantes ante (1) pero no ante (2).
EJEMPLO: Una magnitud f´ ısica que puede describirse mediante un vector des-
lizante es una fuerza aplicada sobre un s´lido r´
o ıgido, ya que su efecto mec´nico
a

4. 8 ´
Algebra vectorial
AT
no cambia si la aplicamos sobre puntos de la misma recta de acci´n. M´s ade-
o a
lante dedicaremos mucha atenci´n al estudio de las fuerzas aplicadas a s´lidos
o o
EU
r´
ıgidos.
Vectores ligados
I-
vectores ligados Los vectores ligados son aqu´llos que quedan caracterizados por su:
e
(A) m´dulo,
o
AI
(B) direcci´n,
o
(C) sentido y
AD
(E) punto de aplicaci´n.
o
As´ dos vectores ligados son equivalentes si tienen el mismo m´dulo, direcci´n,
ı, o o
sentido y punto de aplicaci´n. Matem´ticamente se caracterizan mediante un
o a
conjunto de n n´meros reales (es decir, un vector libre) y las coordenadas de
u
un punto.
LIC
En F´ısica usaremos vectores ligados para describir magnitudes vectoriales
que no son invariantes ni ante (1), ni ante (2).
AP
EJEMPLO:
Una magnitud f´ ısica que puede describirse mediante un vector ligado
es la velocidad instant´nea de una part´
a ıcula puntual, v(t). Se trata de
un vector, que s´lo tiene sentido f´
o ısico si est´ aplicado sobre el punto
a
CA
donde se encuentra la part´ıcula en ese instante, punto que a su vez queda
caracterizado por un vector ligado, el vector posici´n r(t).
o
a b Otra magnitud que debe describirse mediante un vector ligado es la fuerza
aplicada sobre un cuerpo deformable (por ejemplo un chicle). El cuerpo
ISI
experimenta deformaciones distintas seg´n se aplique la fuerza en uno u
u
c d otro punto.
FIGURA 1.1: Si los cuatro vectores a, Otra magnitud que debe describirse mediante un vector ligado es el mo-
.F
b, c, d fuesen vectores libres entonces mento de una fuerza en un punto (sobre el que volveremos en el cap´ ıtu-
a, b y c ser´ equivalentes. Si los cua-
ıan lo 3). Este vector s´lo tiene sentido f´
o ısico si est´ aplicado sobre el punto
a
tro vectores fuesen vectores deslizan- respecto al cual se ha calculado el momento de la fuerza.
tes entonces s´lo a y b ser´ equiva-
o ıan
lentes. Si los cuatro vectores fuesen
TO
vectores ligados entonces no habr´ ıa
dos vectores equivalentes.
1.1.4. Caracterizaci´n algebraica de un vector
o
DP
Componentes de un vector
Supongamos en el espacio un sistema de coordenadas cartesianas ortogona-
les de origen O y ejes x, y, z. Sean P1 (x1 , y1 , z1 ) y P2 (x2 , y2 , z2 ) el origen y el
extremo de un vector dado a (fig. 1.2).
componentes Se llaman componentes de un vector a respecto del sistema (O; x, y, z) a las

5. 1.1 Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores libres, deslizantes y ligados 9
AT
proyecciones de a sobre los ejes x, y, z; es decir, a los n´meros
u
z
P2
EU
ax = x2 − x1 , (1.2)
ay = y2 − y1 , (1.3) az
az = z2 − z1 . (1.4) a
ax
Para denotar un vector en un cierto sistema de coordenadas cartesianas
ay P1
I-
escribiremos a = (ax , ay , az ). Los vectores libres opuestos (es decir, aqu´llos
e
y
que tienen igual m´dulo y direcci´n, pero sentidos opuestos) tienen todas las
o o O
componentes iguales en valor absoluto, pero de signos contrarios.
AI
Dos vectores libres iguales tienen las mismas componentes en cualquier sis-
tema de coordenadas. x
Como se ilustra en la fig. 1.2, la longitud del vector a coincide con la de la
diagonal de un paralelep´ ıpedo recto cuyas aristas son ax , ay , az . Por tanto, el FIGURA 1.2: Componentes del vector
a respecto del sistema (O; x, y, z).
AD
m´dulo de a verifica
o
|a| = ax 2 + ay 2 + az 2 , (1.5)
donde la ra´ cuadrada se toma siempre positiva.
ız
LIC
√
EJEMPLO: a = (1, −2, 3), |a| = 12 + (−2)2 + 32 = 14.
Cosenos directores
AP
Se llaman cosenos directores de un vector, respecto de un sistema de coor- cosenos directores
denadas ortogonales (O; x, y, z), a los cosenos de los ´ngulos que forma el vector
a
con el sentido positivo de los ejes coordenados.
Los ´ngulos hay que tomarlos entre 0 y π radianes, de manera que los
a
CA
cosenos directores puedan ser positivos o negativos.
Si los ´ngulos del vector a = (ax , ay , az ) con el sentido positivo de los ejes
a
x, y, z son, respectivamente α, β, γ (fig. 1.3), los cosenos directores se deducen
de las f´rmulas que expresan que la proyecci´n de un segmento sobre un eje,
o o
es igual a la longitud del segmento por el coseno del ´ngulo que el segmento
a z
ISI
forma con el eje
ax = |a| cos α, (1.6) g
ay = |a| cos β, (1.7)
.F
az = |a| cos γ. (1.8) a
a b
Sustituyendo estas igualdades en la ec. (1.5), resulta y
O
TO
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1, (1.9)
que es la relaci´n fundamental que liga los cosenos directores de un vector.
o x
Conocidas las componentes de un vector se puede calcular tanto su m´dulo,
o
´
FIGURA 1.3: Angulos α, β y γ corres-
mediante (1.5), como sus cosenos directores, mediante (1.6)–(1.8). El m´dulo
o
DP
determina la longitud del vector. Los cosenos directores determinan la direcci´n
o pondientes al vector a en el sistema
(O; x, y, z).
y sentido del vector.
Los vectores de m´dulo unidad se llaman vectores unitarios o versores.
o vectores unitarios
A cada vector a le corresponde un versor que tiene la misma direcci´n y el
o
mismo sentido. Este vector se denota por a.ˆ

6. 10 ´
Algebra vectorial
AT
Para obtener el versor que tiene la misma direcci´n y sentido que el vector
o
a = (ax , ay , az ), basta con dividir cada una de sus componentes entre el m´dulo
o
EU
de a,
ax ay az
a=
ˆ , , . (1.10)
|a| |a| |a|
Es decir, a es aqu´l que tiene por componentes los respectivos cosenos directores
ˆ e
de a,
I-
a = (cos α, cos β, cos γ).
ˆ (1.11)
AI
EJEMPLO: a = (1, −2, 3); a = ( √1 , − √2 , √3 ), cos α =
ˆ 14 14 14
√1 ,
14
cos β = − √2 ,
14
√3 .
cos γ = 14
AD
1.2. ´
Algebra vectorial
LIC
1.2.1. Introducci´n
o
Los vectores no son simplemente conjuntos ordenados de n´meros reales,
u
AP
sino objetos matem´ticos que se comportan de una forma bien definida bajo
a
traslaciones y rotaciones del sistema de referencia y que en cada sistema de
referencia se describen mediante un conjunto de n´meros reales distinto. Por
u
ejemplo, consideremos el par de n´meros (2, 1). Si (2, 1) representa un vec-
u
tor (por ejemplo, una posici´n, una velocidad o una fuerza) entonces cuando
o
CA
trasladamos y rotamos el sistema de referencia ese vector no cambia, pero se
expresa mediante un par de n´meros distinto. Sin embargo, si (2, 1) representa
u
el n´mero de goles que se han marcado en un partido de f´tbol, al cambiar de
u u
sistema de referencia el resultado no cambia. En ese caso (2, 1) no es un vector,
sino una pareja de escalares.
ISI
An´logamente, hay operaciones sobre vectores que son vectoriales y otras
a
que no lo son. Todo depende de c´mo se comporten los resultados de esa ope-
o
raci´n ante un cambio de sistema de referencia. Por ejemplo, la operaci´n que
o o
consiste en multiplicar cada una de las componentes de un vector por un cierto
.F
escalar λ (producto por un escalar) es una operaci´n vectorial, porque apli-
o
cada sobre un vector siempre proporciona el mismo vector resultante (cuyas
componentes ser´n diferentes en cada sistema de referencia). Sin embargo, la
a
TO
operaci´n que consiste en sumar λ a cada una de las componentes de un vector,
o
no es una operaci´n vectorial: aplicada sobre el mismo vector expresado en dos
o
sistemas de referencia distintos, no da como resultado el mismo vector.
En las pr´ximas secciones vamos a introducir una serie de operaciones “vec-
o
toriales” entre vectores. Todo lo que digamos hasta el final del cap´ıtulo es v´lido
a
DP
para vectores libres. Dado que los vectores deslizantes (ligados) no son sino vec-
tores libres aplicados sobre una recta (un punto), tambi´n ser´ v´lido para estos
e a a
vectores all´ donde tenga sentido (por ejemplo, tiene sentido sumar dos fuerzas
a
aplicadas sobre la misma recta de un s´lido r´
o ıgido, pero no tiene sentido sumar
las velocidades instant´neas de dos part´
a ıculas diferentes).

7. 1.2 ´
Algebra vectorial 11
AT
1.2.2. Suma y diferencia de vectores
EU
Adici´n de vectores
o
Para sumar geom´tricamente dos vectores a y b se procede de la siguiente
e
manera. Se coloca el origen de b sobre el extremo de a; el vector a + b es
aqu´l cuyo origen es el origen de a y cuyo extremo es el extremo de b (fig. 1.4
e
izquierda). Este procedimiento se conoce con el nombre de regla de la poligonal.
I-
Al mismo resultado se llega tomando a y b con el mismo origen O y definien- b b
a+ a+
do la suma como la diagonal que pasa por O, del paralelogramo determinado b b
por a y b (fig. 1.4 derecha). Este procedimiento se conoce como regla del para-
AI
lelogramo. a a
Proyectando la poligonal formada por los vectores a, b y a + b sobre los
ejes coordenados, resulta que las componentes del vector suma a + b son la FIGURA 1.4: Representaci´n
o
suma de las componentes de los vectores a = (ax , ay , az ) y b = (bx , by , bz ). geom´trica de la suma de dos
e
AD
vectores a y b. A la izquierda usando
Por ejemplo, al proyectar sobre el eje x (fig. 1.5) la componente de a + b es la regla de la poligonal. A la derecha
P1¯ 3 = P1¯ 2 + P2 P3 = ax + bx , donde Pi¯ j es la distancia (que puede ser
P P ¯ P usando la regla del paralelogramo.
negativa) entre los puntos Pi y Pj .
z
Se puede, por tanto, establecer la siguiente definici´n: El vector suma de
LIC o
a y b es el vector que tiene por origen y extremo, respectivamente, el origen
y el extremo de la poligonal obtenida llevando un vector a continuaci´n del o a+
b
otro. Las componentes del vector suma respecto del sistema (O; x, y, z) son las b
P
sumas de las componentes a = (ax , ay , az ) y b = (bx , by , bz ) respecto del sistema a
(O; x, y, z), es decir,
AP
P1
a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz ), (1.12) P2 y
que es la forma algebraica de describir la suma de los vectores a y b. P3
x
CA
EJEMPLO: a = (1, 2, 3), b = (1, −2, 3); a + b = (2, 0, 6).
FIGURA 1.5: La componente x del
¯ ¯
vector a + b es P1 P3 = P1 P2 +
De la fig. 1.4 izda., usando el teorema de Pit´goras, se deduce inmediata-
a ¯
P 2 P 3 = ax + b x .
mente que el m´dulo del vector suma verifica
o vector suma
ISI
|a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2 |a| |b| cos θ, (1.13)
donde θ es el ´ngulo entre a y b.
a
.F
Por otra parte, puesto que, como se ve en la fig. 1.4 izda., a, b y a + b son
los lados de un tri´ngulo, se cumple la desigualdad triangular:
a a a
|a + b| ≤ |a| + |b|, (1.14) -b -b
TO
a-b
a-b
donde la igualdad se alcanza unicamente en el caso θ = 0.
´
FIGURA 1.6: Representaci´n
o
Sustracci´n de vectores
o
geom´trica de la diferencia de dos
e
DP
El vector diferencia a − b de dos vectores es igual a la suma de a y del vector vectores a y b.
−b, opuesto a b. vector diferencia
Por tanto, las componentes del vector diferencia a − b respecto del sistema
(O; x, y, z) son
a − b = (ax − bx , ay − by , az − bz ). (1.15)

8. 12 ´
Algebra vectorial
AT
Para visualizar geom´tricamente la diferencia a − b procederemos como en
e
el caso de la suma, tomando −b en vez de b. Las figs. 1.6 izda. y dcha. son las
EU
an´logas a las figs. 1.4 izda. y dcha. para este caso de la diferencia de vectores.
a
Propiedades de la suma de vectores
Cualesquiera que sean los vectores a y b, se verifican las siguientes propie-
I-
dades:
Propiedad asociativa:
AI
(a + b) + c = a + (b + c). (1.16)
AD
Propiedad conmutativa:
a + b = b + a. (1.17)
Elemento neutro (el vector nulo, 0):
LIC
a + 0 = a. (1.18)
Elemento sim´trico (para cada vector a, su opuesto −a):
e
AP
a + (−a) = 0. (1.19)
1.2.3. Producto de un escalar por un vector
CA
Sea un vector a = (ax , ay , az ) y un escalar λ. Se llama producto del escalar
el escalar λ por el vector a λ por el vector a (o producto del vector a por el escalar λ) al vector que tiene:
(1) el m´dulo igual al producto del m´dulo de a por el valor absoluto de λ;
o o
(2) la misma direcci´n que a; (3) el mismo sentido que a si λ es positivo y el
o
ISI
sentido opuesto si λ es negativo.
a
Las componentes del vector λ a respecto del sistema (O; x, y, z) son, por
tanto,
-2a λa = (λ ax , λ ay , λ az ). (1.20)
.F
3a
Por ejemplo, la fig. 1.7 representa los vectores a, −2a, 3a.
FIGURA 1.7: Vectores a, −2a, 3a.
TO
EJEMPLO: a = (−7, 2, 3), λ = 2 ; λ a = − 7 , 1, 2 .
1
2
3
1
Si λ = |a| , el vector
DP
a
λa = (1.21)
|a|
es un vector de m´dulo unidad (o unitario o versor) y de la misma direcci´n y
o o
sentido que a.

9. 1.3 Producto escalar y producto vectorial 13
AT
Versores fundamentales
EU
Sea (O; x, y, z) un sistema de coordenadas ortogonales. Los versores funda-
mentales ı, , k son los que tienen, respectivamente, las direcciones de los ejes versores fundamentales
x, y, z, y con el sentido coincidente con el sentido positivo de los mismos. Sus
componentes respecto del sistema (O; x, y, z) son
ı = (1, 0, 0), (1.22)
I-
 = (0, 1, 0), (1.23)
k = (0, 0, 1). (1.24)
AI
Todo vector a = (ax , ay , az ) puede escribirse en la forma
a = ax ı + ay  + az k, (1.25)
AD
puesto que seg´n las reglas de adicci´n de vectores y de multiplicaci´n de los
u o o
mismos por un escalar, el vector del segundo miembro tiene componentes ax ,
ay , az , es decir, es el vector a.
Esta descomposici´n de un vector como suma de los tres versores funda-
o
´
LIC
mentales es muy importante y util. La llamaremos descomposici´n can´nica de
o o
un vector.
Propiedades del producto de un vector por un escalar
AP
Cualesquiera que sean los escalares α y β y los vectores a y b, se verifican
las siguientes propiedades:
Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares:
(α + β) a = α a + β a. (1.26)
CA
Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:
α (a + b) = α a + α b. (1.27)
ISI
Propiedad asociativa de escalares:
(αβ) a = α(β a). (1.28)
.F
Elemento neutro (el 1):
1 a = a. (1.29)
TO
1.3. Producto escalar y producto vectorial
DP
1.3.1. Producto escalar
Se llama producto escalar o interno de dos vectores a, b al escalar obtenido producto escalar
como producto de los m´dulos de a y b por el coseno del ´ngulo formado por
o a
los dos vectores.

10. 14 ´
Algebra vectorial
AT
Indicaremos el producto escalar de dos vectores mediante un punto “·” entre
ellos. As´
ı,
EU
a · b = |a| |b| cos θ, (1.30)
siendo θ el ´ngulo que forman los vectores a y b.
a
Mediante las componentes de los vectores a y b, su producto escalar se
expresa
a · b = ax bx + ay by + az bz . (1.31)
I-
La condici´n necesaria y suficiente para que dos vectores sean perpendicu-
o
lares es que el producto escalar sea cero.
AI
Si a y b tienen la misma direcci´n y el mismo sentido θ = 0 y a · b = |a| |b|.
o
Si a y b tienen la misma direcci´n y sentido opuesto (se dice entonces que
o
son vectores antiparalelos) θ = π y a · b = −|a| |b|.
Con el producto escalar, el ´ngulo θ entre los vectores a y b se calcula
a
AD
mediante la f´rmula
o
a·b
cos θ = . (1.32)
|a| |b|
LIC
EJEMPLO: a = (1, 2, 3), b = (0, −4, 5); a · b = 1 · 0 + 2 · (−4) + 3 · 5 = 7,
θ = arc cos √147√41 .
Ahora que hemos introducido el producto escalar, la ec. (1.13) se puede
reescribir como
AP
|a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2 a · b. (1.33)
Es f´cil comprobar que
a
|a − b|2 = |a|2 + |b|2 − 2 a · b. (1.34)
CA
La interpretaci´n geom´trica del producto escalar a · b pasa por observar
o e
que |b| cos θ es el m´dulo (o el m´dulo multiplicado por −1) del vector que
o o
se obtiene al proyectar el vector b sobre el vector a (fig. 1.8). An´logamente
a
|a| cos θ es el m´dulo (o el m´dulo multiplicado por −1) del vector que se obtiene
o o
ISI
al proyectar el vector a sobre el vector b. As´ pues, a · b se puede interpretar
ı
como el escalar que se obtiene al multiplicar el m´dulo de a por el m´dulo (o
o o
el m´dulo multiplicado por −1) del vector que se obtiene al proyectar el vector
o
b sobre el vector a.
.F
Propiedades del producto escalar
Cualesquiera que sean el escalar λ y los vectores a y b, se verifican las
TO
siguientes propiedades:
Propiedad conmutativa:
a · b = b · a. (1.35)
Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:
DP
a · (b + c) = a · b + a · c. (1.36)
λ (a · b) = (λ a) · b. (1.37)

11. 1.3 Producto escalar y producto vectorial 15
AT
Vector proyecci´n
o
EU
El vector proyecci´n de b sobre a (fig. 1.8), que denotaremos por Pa (b) es
o vector proyecci´n
o
un vector que tiene la misma direcci´n que a, el mismo sentido si 0 < θ < π o
o 2
sentido opuesto si π < θ < π y cuyo m´dulo es al valor absoluto de
2 o
a·b
|b| cos θ = . (1.38)
|a|
I-
El vector proyecci´n de b sobre a se expresa
o
AI
a·b a
Pa (b) = . (1.39)
|a| |a|
El vector proyecci´n de a sobre b, que denotaremos por Pb (a), se obtiene inter-
o
AD
cambiando en la ec. (1.39) los papeles de a y b.
FIGURA 1.8: Vector proyecci´n de b
o
1.3.2. Producto vectorial LIC sobre a. El m´dulo de este vector es
o
Se llama producto vectorial o externo de dos vectores a y b, y lo denotaremos el valor absoluto de |b| cos θ. La direc-
por a × b (o por a ∧ b), al vector que tiene: (1) el m´dulo igual al producto de
o ci´n coincide con la de a. El sentido
o
es el de a o el opuesto, dependiendo
los m´dulos de a y b por el seno del ´ngulo (positivo) que forman,
o a del valor de θ.
|a × b| = |a| |b| sen θ; (1.40) producto vectorial
AP
(2) la direcci´n perpendicular al plano determinado por las direcciones de los
o
vectores a y b; (3) el sentido igual al que se obtiene al aplicar la regla de la mano
derecha: consideremos los dedos coraz´n, ´o ındice y pulgar de la mano derecha.
Colocamos el dedo ´ ındice en la misma direcci´n y sentido que a, el dedo coraz´n
o o
en la misma direcci´n y sentido que b, entonces el sentido del vector a × b es el
o
CA
del pulgar (fig. 1.9).
a a xb
ISI
.F
TO
b
FIGURA 1.9: Regla de la mano de-
DP
recha para obtener el sentido de a×b.
Equivalentemente, el sentido de a × b tambi´n se puede definir, aplicando la
e
regla del sacacorchos, como el de avance de un sacacorchos de a a b siguiendo
el ´ngulo menor de π.
a

12. 16 ´
Algebra vectorial
AT
N´tese que para conocer el sentido de a × b hay que conocer previamente
o
la orientaci´n de un triedro en el espacio (la mano derecha o el sacacorchos).
o
EU
La visualizaci´n geom´trica del producto vectorial viene descrita por la
o e
propia definici´n. Baste a˜adir que el m´dulo del producto vectorial coincide
o n o
con el ´rea del paralelogramo determinado por a y b (fig. 1.10).
a
Las componentes del vector a× b respecto del sistema (O; x, y, z) se obtienen
a xb de las de a = (ax , ay , az ) y b = (bx , by , bz ) mediante el siguiente determinante
I-
b ı  k
q a × b = ax ay az
AI
bx by bz
a = (ay bz − az by ) ı + (az bx − ax bz )  +
bx a
(ax by − ay bx ) k
AD
= (ay bz − az by , az bx − ax bz , ax by − ay bx ). (1.41)
FIGURA 1.10: Representaci´n
o
geom´trica de los productos vecto-
e EJEMPLO: a = (1, 0, 2), b = (1, 2, 0); a × b = (−4, 2, 2), b × a = (4, −2, −2).
LIC
riales a × b y b × a. El m´dulo de
o
esos productos vectoriales coincide
La condici´n necesaria y suficiente para que dos vectores tengan la misma
o
con el ´rea del pol´
a ıgono determinado
por a y b, que es el valor absoluto direcci´n (con sentidos iguales u opuestos) es que su producto vectorial sea
o
de |a| |b| sen θ. La direcci´n es la
o nulo.
AP
perpendicular al plano determinado
por a y b. Propiedades del producto vectorial
Cualesquiera que sean el escalar λ y los vectores a, b, c, se verifican las
siguientes propiedades:
Propiedad anticonmutativa:
CA
a × b = −b × a. (1.42)
Carece de la propiedad asociativa:
ISI
a × (b × c) = (a × b) × c. (1.43)
Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:
.F
a × (b + c) = a × b + a × c. (1.44)
λ (a × b) = (λ a) × b. (1.45)
TO
Adem´s, es f´cil comprobar que los versores fundamentales verifican
a a
ı ×  = k, (1.46)
 × k = ı, (1.47)
DP
k × ı = . (1.48)
Como veremos m´s adelante, las ecs. (1.46)–(1.48) implican que los versores
a
fundamentales forman una base cartesiana en un espacio vectorial de dimen-
si´n 3.
o

13. 1.4 Independencia lineal. Bases 17
AT
1.4. Independencia lineal. Bases
EU
1.4.1. Independencia lineal
Un conjunto de vectores {v1 , . . . , vk } se dice que es linealmente indepen-
diente si la ecuaci´n
o linealmente independiente
I-
λ 1 v1 + . . . + λ k vk = 0 (1.49)
s´lo tiene la soluci´n trivial λ1 = . . . = λk = 0.
o o
Si existe alguna soluci´n no trivial a la ec. (1.49); es decir, si al menos uno
o
AI
de los λi = 0, entonces diremos que los vectores {v1 , . . . , vk } son linealmente
dependientes.
Ning´n vector de un conjunto de vectores linealmente independientes puede
u
expresarse como combinaci´n lineal de los otros. Es decir, la ecuaci´n
o o
AD
λ1 v1 + . . . + λi−1 vi−1 + λi+1 vi+1 + . . . + λk vk = vi (1.50)
no tiene soluci´n.
o
En un conjunto de vectores linealmente dependientes hay al menos un vector
que puede expresarse como combinaci´n lineal de los otros.
o
LIC
La dimensi´n de un espacio vectorial V es el mayor n´mero posible de
o u
vectores linealmente independientes en V .
1.4.2. Bases
AP
Un conjunto de vectores B = {v1 , v2 , . . . , vk } se dice que es una base de un base
espacio vectorial V de dimensi´n k si:
o
{v1 , v2 , . . . , vk } es linealmente independiente, y
CA
cualquier vector v de V se puede escribir como combinaci´n lineal de los
o
vectores de la base. Es decir, existe un conjunto de n´meros λ1 , λ2 , . . . , λk ,
u
tales que v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk .
Una base se dice base ortogonal si el producto escalar de cualquier pareja base ortogonal
ISI
de vectores de la base es cero.
Una base se dice base ortonormal si es una base ortogonal y est´ formada
a base ortonormal
por vectores unitarios.
Si k ≥ 3, una base B = {v1 , v2 , . . . , vk } se dice base cartesiana si es una base cartesiana
.F
base ortonormal y adem´s v1 × v2 = v3 , . . . , vk−1 × vk = v1 .
a
EJEMPLO: {ı, , k} es una base cartesiana de R3 porque:
TO
{ı, , k} es linealmente independiente,
∀v ∈ R3 ∃ vx , vy , vz ∈ R : v = vx ı + vy  + vz k,
|ı| = || = |k| = 1,
DP
ı ·  = ı · k =  · k = 0,
se verifican las ecs. (1.46)–(1.48).

14. 18 ´
Algebra vectorial
AT
Problemas propuestos
EU
1.1. Dados los vectores a = ı − 3 + 3k y b = (1, 2, 2), (b) El vector proyecci´n del vector v = (3, 4) sobre la
o
calcula: recta.
(a) a + b, 3 a − 2 b. (c) El ´ngulo que forma v con la recta.
a
I-
(b) |a + b|, |a − b|. 1.4. Consideremos los tres vectores libres v1 , v2 , v3 de la fi-
(c) El ´ngulo que forman a y b.
a gura. Sabiendo que: v1 est´ contenido en el plano OY Z, v2
a
est´ contenido en el plano OXZ, v3 es perpendicular tanto
a
AI
(d) El vector unitario que tiene la misma direcci´n y sen-
o a v1 como a v2 , v3 tiene componente z positiva, |v1 | = 4,
tido que a. El vector unitario que tiene la misma direcci´n
o √ √
|v2 | = 3 3, |v3 | = 3 6.
y sentido opuesto que b.
(e) Los cosenos directores de a. (a) Halla las componentes de los vectores v1 , v2 , v3 .
AD
(b) Halla los ´ngulos que forma el vector v1 + v3 con los
a
(f) a · b, a × b, b × a.
vectores ı, , k.
(g) El vector proyecci´n de a sobre b y de b sobre a.
o
(c) Calcula el vector proyecci´n de v1 sobre v2 y el vector
o
(h) Un vector de m´dulo 7 que sea perpendicular a a y b.
o proyecci´n de v2 sobre v1 .
o
LIC
−→
1.2. El vector P1 P2 tiene como origen P1 (1, 0, 2) y extremo ←
P2 (2, 2, 0). Halla: v3
z
(a) Las componentes cartesianas del vector.
AP
(b) Su m´dulo y cosenos directores.
o
30o
(c) El vector unitario que tiene la misma direcci´n y sen-
o ←
−→ v2 ←
tido que P1 P2 . 60o v1
CA
(d) El vector con la misma direcci´n y el mismo sentido
o
−→
que P1 P2 pero de m´dulo 5.
o
−→
y
(e) Un vector perpendicular a P1 P2 , de m´dulo 5 y cuya
o
componente x valga 0. O
ISI
x
1.3. Dada la recta de ecuaci´n x + 3y − 4 = 0, determi-
o
na:
PROBLEMA 1.4
.F
(a) Un vector unitario en la direcci´n de la recta.
o
TO
Cuestiones
1.1. El producto escalar de dos vectores unitarios es (d) un valor num´rico comprendido entre menos uno y
e
DP
uno.
(a) un vector unitario.
1.2. Sea a · b el producto escalar de los vectores a y b. Si b
(b) la unidad. es un vector unitario entonces |a · b| es siempre
(c) un valor num´rico comprendido entre cero y uno.
e
(a) igual al m´dulo de la proyecci´n de b sobre a.
o o

15. Cuestiones 19
AT
(b) igual al coseno del ´ngulo que forman a y b.
a 1.5. Dados los vectores a, b y c no nulos, el resultado
de a · (b × c)
(c) igual al m´dulo de la proyecci´n de a sobre b.
o o
EU
(d) igual al m´dulo de a.
o (a) es cero si los tres vectores son coplanarios.
1.3. El vector proyecci´n de a sobre b no puede tener
o (b) es un vector perpendicular a a, b y c.
(c) es cero si b y c son coplanarios.
(a) la misma direcci´n que a.
o
(d) siempre es un escalar no negativo.
I-
(b) la misma direcci´n que b.
o
(c) m´dulo mayor que el de a.
o 1.6. Sean tres vectores no nulos a, b, c. Las componentes
de a y b respecto del sistema cartesiano {O; x, y, z} son,
AI
(d) m´dulo mayor que el de b.
o respectivamente, (ax , ay , az ) y (bx , by , bz ); el ´ngulo que
a
forma el vector a con el sentido positivo del eje z es γ; el
1.4. Dada la expresi´n vectorial a × b = a, con a y b no
o
´ngulo entre a y b es θ. Se˜ala la opci´n incorrecta.
a n o
nulos, se cumple que
AD
(a) b es un vector unitario paralelo a a. (a) a · (b + c) = a · b + c · a.
(b) b es un vector unitario perpendicular a a. (b) a · b = (ax bx , ay by , az bz ).
(c) |a| = az / cos γ.
(c) b es un vector unitario coplanario con a. LIC
(d) la expresi´n no es correcta para ning´n b.
o u (d) |a × b| = |a| |b| sen θ .
AP
CA
ISI
.F
TO
DP