Solución de la Primera Evaluación de Teoría Electromagnética I - 2011 - 1S FIEC - ESPOL

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ING. JORGE ARAGUNDI R. ( ) ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. CARLOS DEL POZO CAZAR ( ) ING. ALBERTO TAMA FRANCO (  )
PRIMERA EVALUACIÓN Fecha: martes 05 de julio del 2011
Alumno: ________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Total Primera
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Evaluación
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2011 – 1S

2. Primer Tema:
Un cilindro dieléctrico de permitividad  , de radio a y de altura 2L tiene la siguiente
Po
polarización: P  z z
L
a) Encuentre el campo eléctrico y el vector de desplazamiento a lo largo del eje z .
b) Encuentre las densidades de cargas de polarización (superficial y volumétrica) y la
carga total de polarización en el dieléctrico.
z
 1  
  r    z
zL a r r  z
1  1 P P
P   r Pr     z
r r r  z

h  2L y 1     1  2  2
o
 2  r  
r r  r  r 2  2 z 2
z  L
x
P Po z
En virtud de que P      0  E  E , por lo cual: E 
   0     0  L z
 Po z
De igual manera, como D   E , se tendría lo siguiente: D  
   0  L z
Con relación a las DCP’s, se tienen dos tipos de distribuciones de cargas de
polarización: la superficial y la volumétrica. Existirán tantas distribuciones superficiales
de polarización, como materiales dieléctricos existan y como superficies tenga cada
material dieléctrico. Entretanto que existirán tantas distribuciones volumétricas de
polarización como materiales o volúmenes dieléctricos existan.
A éste respecto, se tendrán 3 densidades superficiales de cargas de polarización y una
densidad volumétrica de cargas de polarización, de la siguiente manera:
 P ( z   L)  n  z   L   P  z   L   n  z   L  P  z  z  L cos 180o   P  z  z  L
Po
 P ( z   L)   z   P ( z   L)  Po
L z  L
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3.  P ( z  L)  n  z  L   P  z  L   n  z  L  P  z  z  L cos 0o   P  z  z  L
Po
 P ( z  L)  z   P ( z  L)  Po
L zL
 P (r  a )  n  r  a   P  r  a   n  r  a  P  z  r  a cos 90o  0
 P (r  a)  0
1  1 P P 
 P  r  a     P     r Pr     z 
 r r r  z 
Po
En el presente problema Pr  P  0 y Pz  z , por lo cual se tendrían lo siguiente:
L
Pz   Po 
P  r  a     P  r  a   
z  L
z
z  
Po
P  r  a   
L
Procederemos a determinar el valor de la carga total de polarización en el dieléctrico.
Toda vez que las cargas de polarización son cargas ficticias, el valor de la carga total
de polarización del dieléctrico debe ser idéntico a cero.
QTotal de polarización  QTotal superficial de polarización  QTotal volumétrica de polarización
QTotal de polarización  
Sup
P  s ' dA  
Vol
P s "
dV
En virtud de que las densidades de carga de polarización son constantes; es decir,
uniformemente distribuidas, se tendría lo siguiente:
QTotal de polarización   P  z   L  A z   L    P  z  L  A z  L    P  r  a  A r a    P r  a Vr a 
 P 
QTotal de polarización  Po a 2  Po a 2  0  2 a  2L     o   a 2   2L 
 L
QTotal de polarización  2 a 2 Po  2 a 2 Po  0
QTotal de polarización  0
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4. Segundo Tema:
Se tiene dos conductores cilíndricos de radio a , muy largos y paralelos, separados de eje
a eje por una distancia d , tal como se muestra en la figura.
a) Calcular la capacitancia por unidad de longitud.
b) Si a  1  cm y d  20  cm , grafique cómo varía la intensidad de campo eléctrico en
el espacio entre los conductores, indicando su valor máximo y mínimo, cuando la
diferencia de potencial entre los 2 cables es de 13,800 voltios.
2a 2a
d
D dl D dl
E E
E
E
dS  dS
r1 M r2
r d r

 D (r  a)  dS = QNETA r  a   Q
Q Q
| D (r  a ) | 2 r1l  Q  | D (r  a ) |  | E  ( r  a ) |
2 r1l 2 0 r1l
Similar análisis podría hacerse para el cilindro con carga negativa. Para un punto de
estudio u observación M , ubicado en la línea que une los dos conductores cilíndricos,
ambos campos eléctricos apuntan hacia la derecha, tal como se muestra en la figura;
por lo tanto, la intensidad de campo eléctrico total en dicho punto sería la siguiente:
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5. Q Q
ETotal  M   E   M   E   M   ETotal  M   
2 0 rl 2 0  d  r  l
A continuación procederemos a determinar la diferencia de potencial entre los cilindros,
es decir:
 a
 Q Q 
      ETotal  dl     2 rl  2  d  r  l 
  dl cos 180o , donde: dl   dr
 
d a 0 0 
 Q 
a
d r 
a
Q Q r a Q
        2 rl 2  d  r  l  dr   2 l lnr  ln  d  r   r  d  a  2 l ln  r 
   
  d a
d a  0 0  0 0
Q d a Q d a  0l 
    2ln         Q
 0 l  a 
ln 
2 0 l  a   d a
ln  
 a 
Q Q Q  0l C  0
C   C   
      Q d a d a l d a
ln   ln  
 0l  a 
ln 
  a   a 
Reemplazando Q en la expresión de intensidad de campo eléctrico total, se tiene que:
 1 1 
ETotal  M      , cuya representación gráfica es la siguiente:
 d a  r d r 
2ln  
 a 
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6. Tercer Tema:
La función de potencial en un medio dieléctrico (constante dieléctrica    / 0 ) está dada
por:
 Aa 3 
1  r  a    E0  r  2  cos  y 2  r  a    E0 Br cos 
 r 
Donde A y B son constantes desconocidas y E0 es la intensidad de campo eléctrico
constante fuera de la cavidad esférica, tal como se indica en la siguiente figura. Calcular la
intensidad de campo eléctrico dentro de la cavidad esférica de radio a , únicamente en
función de  y del vector E0 .
r
E0
E0 
a
 1  1 
  r    
r r  r sen 
1  2 1 P
P 
r r
2  r Pr   r sen   P sen   r sen 
1

1   2   1     1  2
 2   r   2  sen   2 2
r 2 r  r  r sen     r sen   2
  1 2 1 2 
E2  r  a   2  r  a     2 r     
 r r  r sen  
Como 1 y  2 son funciones matemáticas de r y  , siendo constantes con respecto a  ,
se tendría lo siguiente:
2 1 2  1 
E2  r  a    r       E0 Br cos   r    E0 Br cos   
r r  r r 
E 2  r  a   E0 B cos   r  E0 B sen  
D2  r  a    0 E 2  r  a    0 E0 B cos   r   0 E0 B sen  
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7.    Aa 3   1    Aa 3  
E1  r  a      E0  r  2  cos   r    E0  r  2  cos   
r   r   r    r  
 2 Aa 3   Aa3 
E1  r  a   E0 1  3  cos  r  E0 1  3  sen  
 r   r 
 2 Aa 3   Aa 3 
D1  r  a    E1  r  a    E0 1  3  cos  r   E0 1  3  sen  
 r   r 
A partir de la segunda condición de frontera, se tendría que:
D1n  r  a  r  a  D2 n  r  a  r a
 2 Aa 3 
 E0 1  3  cos  r a
 0 E0 B cos  r a
 r 
B   1  2 A  
Siendo la función de potencial eléctrico una función continua, se debe cumplir lo siguiente:
1  r  a  r  a  2  r  a  r a
 Aa3   Aa3 
 E0  r  2  cos  r a
  E0 Br cos  r a
  a  2  cos   Ba cos 
 r   r 
 Aa 3 
 a  2   Ba  a 1  A   aB
 r 
B  1 A 
Al combinar las ecuaciones  y  se tiene que:
 1 3
A y B , por lo cual:
2  1 2  1
3 3
E2  r  a   E0 cos  r  E0 sen  
2  1 2  1
Es así que el módulo de la intensidad de campo eléctrico dentro de la cavidad esférica de
radio a , estará dada por la siguiente expresión matemática:
3
E2  r  a   E0
2  1
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