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Prova de matemática mg 1ª parte - soluções em 14 julh 2013

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Prova de matemática mg 1ª parte - soluções em 14 julh 2013

  1. 1. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com PROVA DE MATEMÁTICA – TIPO A – PERITO CRIMINAL DE MINAS GERAIS QUESTÃO 11 O Sr. João é um economista aposentado que resolveu melhorar sua qualidade de vida comprando uma pousada com 40 suítes em uma bela região praiana. Com base em dados do proprietário anterior, ele deduziu duas funções para gerenciar seu negócio: a função do preço (p) por diária da suíte (x) e a da receita (R). As funções foram definidas, respectivamente, por: ( )p x 5x 350= − + e ( ) 2 R x 5x 350x= − + . Considerando essas funções, o preço que o Sr. João deve cobrar para maximizar a receita é (A) R$ 150,00 (B) R$ 175,00 (C) R$ 190,00 (D) R$ 225,00 Solução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 R x 5x 350x R ' x 0 10x 350 0 10x 350 x 35 Assim : p x 5x 350 Substituindo : p 35 5 35 350 175 350 175 p 35 175,00 Re sp :R$ 175,00 = − + = − + = ⇔ = ∴ = = − + = − + = − + = ∴ = Alternativa Correta: (B) AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 1
  2. 2. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com QUESTÃO 12 Uma entidade filantrópica fez um levantamento dos serviços prestados em certa região e observou que 1.680 famílias foram atendidas por uma equipe de 12 funcionários em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia. Elaborou um novo planejamento logístico em que as equipes seriam formadas por 5 funcionários que iriam trabalhar 6 dias de 4 horas por dia. Nesse novo planejamento, o número de famílias que serão atendidas por equipe será igual a (A) 290 (B) 350 (C) 420 (D) 840 Solução: FAMÍLIA FUNCIONÁRIOS DIAS HORAS /DIA 1680 12 5 8 x 5 6 4 D D D Assim : 1680 12 x = 6 5 ÷ 5 × 6 6 8 ÷ × 4 4 ÷ 4 1680 2 2 1680 4 4x 1680 x 1 1 x 1 1680 x 420 x 420 4 Re sp : 420 famílias ÷ ⇔ = × ⇔ = ⇔ = = = ∴ = Alternativa Correta: (C) AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 2
  3. 3. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com QUESTÃO 13 a companhia aérea decidiu solicitar a uma empresa especializada kits contendo uma mistura de sementes oleaginosas para ofertar aos seus clientes. Os kits deveriam conter 100 g de uma mistura de amendoim, amêndoa e avelã. A companhia aérea solicitou que a quantidade de amêndoa fosse igual a um terço da soma das outras duas e informou que estava disposta a pagar R$ 1,15 por kit. A empresa especializada sabe que o quilo do amendoim custa R$ 5,00, o de amêndoa, R$ 20,00 e o de avelã, R$ 16,00. A quantidade, em gramas, de cada semente que a empresa deve colocar em cada kit, de tal maneira que atenda a todas as exigências estabelecidas pela companhia aérea, deverá ser, respectivamente, de: (A) 50; 25; 25. (B) 50; 20; 30. (C) 60; 20; 20. (D) 60; 15; 25. Solução: ( ) Definindo : x quantidade em gramas de amendoim y quantidade em gramas de amêndoa z quantidade em gramas de avelã Assim : x y z 100 x y z 100 x y z 10 1 y x z 3y x z 3 5x 20y 16z 1150 5 20 16 x y z 1,15 1000 1000 1000 ≡ ≡ ≡   + + = + + = + + =   = × + ⇔ = + ⇔    + + = + + = ( ) 0 x 3y z 0 5x 20y 16z 1150 Assim : x y z 100 100 4y 100 y 25 y 25 4x 3y z 0 Assim : x y z 100 x y z 100 5x 20y 16z 1150 5x 20y 16z 1150 Assim : x y z 100 5 5x 5y 5z 500 5x 20y5x 20y 16z 1150   − + − =  + + = + + = ⇔ = ⇔ = = ∴ = − + − = + + = + + =  ⇔  + + = + + =   + + = × − − − − = − ⇔ + ++ + = 16z 1150 Assim : 15y 11z 650 11z 650 15 25 650 375 11z 275 275 11z 275 z 25 Z 25 11 Assim : x y z 100 x 100 y z 100 25 25 50 x 50 Re sp :50; 25; 25   = + = ⇔ = − × = − ⇔ = = ⇔ = = ∴ = + + = ⇔ = − − = − − = ∴ = Alternativa Correta: (A) AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 3
  4. 4. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com QUESTÃO 17 Uma pesquisa sobre acidentes em rodovias observou que, de todos os acidentes fatais, 24% envolveram capotagens e 15,8%, carros utilitários. Considerando que uma capotagem não tenha sido envolvida, 5,6% de todos os acidentes fatais envolveram carros utilitários. Sabendo-se que o acidente fatal envolveu um carro utilitário, a probabilidade de que ele tenha sido capotagem é de, aproximadamente, (A) 11,5%. (B) 38%. (C) 48%. (D) 94,4%. CAPOTAGEM 24% UTILITÁRIOS SOMENTE 5,6% DE 76 UTILITÁRIOS 15,8% 24 100 4,256 15,8 → → → → Assim, temos o seguinte Diagrama de Venn-Euler: ( ) ( ) ( ) ( ) Assim,"sabendo-se que o acidente fatal envolveu um carro utilitário, a probabilidade de que ele tenha sido capotagem é de, aproximadamente:" p A B 11,544 p A |B 0,73 p A |B 73% p B 15,8 Mas,"sabendo-se que o aci ∩ = = = ∴ = ( ) ( ) ( ) ( ) dente fatal envolveu uma capotagem, a probabilidade de que ele tenha sido utilitário é de, aproximadamente:" p B A 11,544 p B | A 0,481 p B | A 48% p A 24 ∩ = = = ∴ = Comentários: Esta questão deve ser anulada por falha na pergunta. AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 4
  5. 5. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com QUESTÃO 18 Duas sequências são formadas pelos termos gerais: Quando n tende para o infinito, pode-se observar que o comportamento dessas sequências é dado, respectivamente, por: (A) Divergente; convergente para zero. (B) Divergente; divergente. (C) Convergente para zero; convergente para zero. (D) Convergente para zero; divergente. Solução: ( ) ( ) n 1 n n n n n n n n n 1 n 1 a 1 b 1 2n 1 2n 1 Assim : 1 1 lim lim 0 Convergente, tende para zero. 2n 1 2n 1 e n 1 n 1 n 1 1 lim lim lim lim Divergente. 2n 1 2n 1 2n 2 2 + →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ + = − × = − × − −   = = ∴ ÷− −  + + = = = = ∴ − − Alternativa Correta: (D) AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 5
  6. 6. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com QUESTÃO 19 Com o objetivo de diversificar sua renda, um produtor rural decidiu construir um tanque para criar tilápias. Colocou, inicialmente, 1.000 tilápias e, descuidadamente, deixou cair também 8 piabas. Suponha que o aumento das populações de piabas e tilápias ocorre segundo as leis P(t)=P010t e T(t)=T02t , respectivamente, em que P0 é a população inicial de piabas, T0 é a população inicial de tilápias e t o número de anos contados a partir do ano inicial. O tempo, em anos, em que o número de piabas será igual ao número de tilápias é (A) 3 (B) 6 (C) 12 (D) 18 Solução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 0 t 0 t 0 t 3 t 3 t t 3 t 3 t 3 t 3 t 3 t Dados : P 8 T 1000 10 Mas : P t P 10 T t T 2 Substituindo : P t 8 10 e T t 10 2 Mas : 2 2 P t T t 8 10 10 2 2 10 10 2 10 10 Assim : 2 2 t 3 anos 10 10 Re sp : t 3 anos = = = = = = × = × = ⇔ × = × ⇔ × = × ⇔ =     = ∴ = ÷  ÷     = Alternativa Correta: (A) AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 6
  7. 7. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com QUESTÃO 20 Um laboratório está testando um tipo de isca para formigas. A isca tem o formato de uma circunferência e foi fixada numa bancada experimental, quadriculada por um plano cartesiano, com centro em (0,-2). Uma formiga tangenciou a isca no ponto (1, 2). A equação da reta tangente à circunferência nesse ponto é dada por: (A) y = 4x – 2 (B) y = 4x + 2 (C) 4y – x = 7 (D) 4y + x = 9 Solução: Temos a seguinte situação: Queremos encontrar a equação da reta (r) tangente à circunferência no ponto P(1,2) e perpendicular à reta que passa pelos pontos C(0,-2) e P(1,2). 1º) Equação da reta que contém os pontos C(0,-2) e P(1,2). x y 0 2 0 2x y 2 2x 0 y 4x 2 0 y 4x 2 1 2 x y − = ⇔ − + + − = ⇔ − + = ∴ = − AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 7
  8. 8. Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3092-2268 afonsocarioca@afonsocarioca.com.br / afonsocarioca@hotmail.com 2º) Coeficiente angular da reta (r) perpendicular à reta que passa pelos pontos C(0,-2) e P(1,2). ( )CP r r CP : y 4x 2 Assim : 1 m 4 m r CP 4 Logo : 1 m 4 = − = ⇒ = − ⇔ ⊥ = − 3º) Equação da reta (r) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 r : y x n 4 substituindo P 1,2 : 1 1 1 1 9 y x n 2 1 n n 2 n 2 n 4 4 4 4 4 Assim : 1 1 9 r : y x n r : y x r : 4y x 9 r : 4y x 9 4 4 4 = − +   = − + ⇔ = − + ⇔ − = ⇔ = + ∴ = ÷   = − + ⇔ = − + ⇔ = − + ∴ + = Alternativa Correta: (D) GABARITO: 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C A A B C C D A D AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 8

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