Algoritmo Genetico

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Algoritmo Genetico

  1. 1. Componentes de um Algoritmo Genético 1. Problema 2. Representação 3. Decodificação 4. Avaliação 5. Operadores 6. Técnicas 7. Parâmetros 1. PROBLEMA GAs são indicados em problemas complexos de otimização- onde se busca uma solução melhor: : ® muitos parâmetros e variáveis; ® mal estruturados: com condições e restrições, difíceis de serem modeladas matematicamente; ® grandes espaços de busca onde não é possível a busca exaustiva.
  2. 2. 2. REPRESENTAÇÃO Representação é fundamental na modelagem de um GA e deve: ® descrever o espaço de busca relevante ao problema; ® codificar geneticamente a “essência” do problema: evolução do “código” evolução da solução ® ser compatível com os operadores (crossover e mutação) representação adequada sucesso, evolução 2. REPRESENTAÇÃO Método de Solução ↔ Representação – Numérico – Binário, Real – Ordem – Lista – Grupo – Vetor – Inteiro – Inteiro – Misto – Ex: Real e Ex: Lista
  3. 3. BINÁRIO CODIFICANDO REAL O binário é um contador de unidades de precisão Aspectos importantes: ¬variáveis do problema (x1 , x2 , ... , xt ) ¬domínio de valores: xi ∈ (míni, máxi) em R ¬precisão: p casas decimais (máxi-míni)x10p diferentes soluções domínio de xi míni máxi Precisão è 1/10p Representação: k1 bits k2 bits ... kt bits x1 x2 xt onde, 2k i ≥ (máxi-míni)x10p Precisão = (máxi-míni) 2k i - 1 Decodificação para Real: xi real = xi bin .(máxi-míni) + míni ________ 2k i - 1 se xibin=(0 0 ... 0) xi real = míni se xibin=(1 1 ... 1) xi real = máxi
  4. 4. REPRESENTAÇÃO BINÁRIA ® simples de criar e manipular ® produz bons resultados ® facilita aplicações de operadores ® fácil decodificação numérica ( inteiro,real ) ® facilita a demonstração de teoremas ® porém, nem sempre é adequada 3. DECODIFICAÇÃO Construir a solução para o problema a partir de um cromossoma: Cromossomas “representam” soluções. Cromossoma Transformação Solução 0011011 bin inteiro x=27 0011011 x=27 x 10/27 -1 x=2,1 x ∈[0,10] 1 casa decimal A cidades 3Km ADBCE D 7Km A→D→B→C→E 1Km B E 4Km 3Km (Σ dist.=18) C
  5. 5. 4. AVALIAÇÃO Elo entre o algoritmo genético e o problema . f(cromossoma) = medida numérica de aptidão Chances de seleção são proporcionais à aptidão. f(i) n ∑ f(j) j= 1 5. OPERADORES Atuam no processo de criação de novos indivíduos (descendentes): 1. Crossover 2. Mutação 3. Inversão 4. Operadores específicos ao problema
  6. 6. 6. TÉCNICAS - Técnicas de Representação - Técnicas de Inicialização da População - Técnicas de Eliminação da População Antiga - Técnicas de Reprodução - Técnicas de Seleção de Genitores - Técnicas de Aptidão - Técnicas de Parametrização - Técnicas de Elitismo - Técnicas de Seleção de Operadores 7. PARÂMETROS - TAMANHO_POPULAÇÃO - TOTAL_INDIVÍDUOS - NÚMERO_GERAÇÕES - TAXA_CROSSOVER - TAXA_MUTAÇÃO - APTIDÃO_OPERADORES - ETC.
  7. 7. Desenvolvimento de um Algoritmo Genético procedure algoritmo_genético begin t=0 ; primeira geração inicializa P(t) ; população inicial aleatória avalia P(t) ; calcula f(i) p/ cada indivíduo while (not condição_parada) do begin t=t+1 ; próxima geração seleciona P(t) de P(t-1) altera P(t) ; crossover e mutação avalia P(t) ; calcula f(i) p/ cada indivíduo end end Sistemas de Desenvolvimento l ICADEMO l Genesis, Genesys l WinGenesis l GENOCOP l GeneHunter l Evolver 4.0 l Escapade l Sugal l Bibliotecas específicas (C, Pascal, etc) – TNA/C++,
  8. 8. Algoritmos Genéticos l Exemplos GA1-1 a GA6-1 l Especificação de técnicas e parâmetros por módulos: – Módulo de Avaliação – Módulo de População – Módulo de Representação l Módulo de Avaliação GA1-1 Função de Avaliação: Função binária F 6 l Módulo de População Técnica de Representação: Binária 44 bits Técnica Inicialização da População: Aleatória Técnica Eliminação da População: Elimina todos Técnica de Reprodução: Troca da geração Técnica de Seleção de Genitores: Roleta Técnica de Aptidão: Aptidão é a avaliação Técnica de Parametrização: Nenhuma Técnica de Elitismo: Nenhuma Population Size: 100 Total de Indivíduos: 4000 l Módulo de Reprodução Técnica de Seleção de Operadores: Use todos Operadores: Crossover 1 ponto & Mutação Taxa Mutação: 0,008 Taxa Crossover: 0,65 Técnica de Parametrização: nenhuma
  9. 9. Função F6 Função F6(x,y) 1 F6(x,0) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -100 - 50 0 50 100 x
  10. 10. Características da F6 F6(x,y) = 0,5 - (sen √ x2 + y2 )2 - 0,5 (1,0 + 0,001 (x2 + y2 ))2 l Objetivo: Maximizar F6 l Uma única solução ótima: F6(0,0)=1 l Difícil de otimizar: vários mínimos locais Representação l Binária codificando real l 2 Variáveis: x, y l Domínio: x,y ∈ [-100, +100] l Precisão: 4 a 5 casas decimais 6 7 l log2 2x10 ó Ki ó log2 2x10 l Ki=22 Ô total de 44 bits
  11. 11. Exemplo l Cromossoma: 00001010000110000000011000101010001110111011 l Dividido em x e y: 0000101000011000000001 1000101010001110111011 l Convertidos para base 10: 165377 e 2270139 l Multiplicados por: 200/222-1 7,885791751335085 e 108,24868875710696 l Subtraídos de mín: x=-92,11420824866492 e y=8,248688757106959 l Aplicados a F6(x,y): F6(x,y)=0,5050708 Módulo de População l Técnica Inicialização da População: Aleatória Ü Geração aleatória de palavras de 44 bits l Técnica Eliminação da População: Elimina todos Ü Elimina pop_size indivíduos da população anterior l Técnica de Reprodução: Troca da geração Ü Reproduz pop_size indivíduos para a nova população l Técnica de Aptidão: Aptidão é a avaliação Ü Aptidão é numericamente igual à avaliação l Técnica de Seleção de Genitores: Roleta
  12. 12. Parâmetros l Tamanho da População: Exemplo pop_size 100 l Número de Gerações: num_ger 40 l Total de Indivíduos: total_ind = pop_size x num_ger 4000 Parâmetros l Tamanho da População: Exemplo pop_size 1000 l Número de Gerações: num_ger 4 l Total de Indivíduos: total_ind = pop_size x num_ger 4000
  13. 13. Parâmetros l Tamanho da População: Exemplo pop_size 10 l Número de Gerações: num_ger 400 l Total de Indivíduos: total_ind = pop_size x num_ger 4000 Seleção pela Roleta Objetivo: Selecionar indivíduos aleatoriamente, proporcionando maiores chances de reprodução aos mais aptos. Método por Computador l Encontre a soma da aptidão de todos os membros da população AT= ∑ Ai (0 ó i ó pop_size-1) l Gere um número aleatório 0 ó rand ó AT l Pegue o primeiro membro da população Ik cuja aptidão somada às aptidões dos membros precedentes é maior ou igual a rand. ∑ Ai ò rand (i < k)
  14. 14. Exemplo da Roleta Cromossoma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Aptidão 8 2 17 7 2 12 11 7 3 7 ∑ Ai 8 10 27 34 36 48 59 66 69 76 Número Aleatório 23 49 76 13 1 27 57 Selecionado 3 7 10 3 1 3 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2 17 7 2 12 11 7 3 7 8 10 27 34 36 48 59 66 69 76 Módulo de Reprodução l Técnica de Seleção de Operadores: Use todos Ü Use o primeiro operador da lista de operadores l Operadores: Crossover & Mutação – Taxa Mutação: 0,008 – Taxa Crossover: 0,65 l Valores ideais das taxas são obtidos experimentalmente
  15. 15. Mutação l Troca cada gene de um cromossoma se o teste de probabilidade for verdadeiro l Taxa Mutação: 0,8% (0,008) – Teste Verdadeiro Ô troca bit – Teste Falso Ô mantém Cromossoma Número Aleatório Novo Cromossoma 1 0 1 0 0,801 0,102 0,266 0,373 1 0 1 0 1 1 0 0 0,128 0,96 0,005 0,84 1 1 1 0 0 0 1 0 0,768 0,473 0,894 0,001 0 0 1 1 Crossover l Partes de dois cromossomas genitores são trocadas a partir de uma posição escolhida aleatoriamente l Taxa de Crossover : 65% – Teste Verdadeiro Ô Efetua Cruzamento – Teste Falso Ô Copia os Genitores P1 1 0 1 1 0 1 P2 0 0 1 1 0 0 F1 1 0 1 1 0 0 F2 0 0 1 1 0 1 ponto de corte aleatórioÚ
  16. 16. Evolução X Convergência l Crossover: – acelerador do processo de busca – tira proveito das soluções mais promissoras l Mutação – operador exploratório – dispersa a população pelo espaço de busca l Convergência (causas): – população com indivíduos muito similares – não há mais evolução: • ótimo encontrado ou convergência prematura (mínimo local) – para continuar a evoluir é preciso introduzir mais diversidade na população Análise de Desempenho l Melhor de um Experimento (valor) l Curva dos Melhores por Geração l Curva da Média de Melhores de Vários Experimentos
  17. 17. Média de Experimentos l Calcula a média dos melhores indivíduos por geração em vários experimentos. l Mede o desempenho do GA em encontrar uma solução melhor na geração seguinte l GAs são estocásticos: desempenho varia a cada experimento l São necessários muitos experimentos para se conhecer o desempenho médio do modelo de GA. e A(t) = ∑ Ae (t) 1 ó e ó #_Experimentos #_Experimentos t: geração Ae(t): aptidão do melhor indivíduo em t no experimento e A(t): média em #_Experimentos das aptidões dos melhores indivíduos a cada geração t Média de Experimentos Experimentos Melhores nas gerações 1a. 2a. 3a. 4a. Média ger 1 0,6 0,5 0,8 0,5 0,60 ger 2 0,7 0,5 0,8 0,7 0,68 ger 3 0,7 0,6 0,9 0,7 0,73 ger 4 0,8 0,6 0,9 0,8 0,78 Média de Experimentos 1,00 Avaliação 0,50 0,00 1 2 3 4 5 Experimentos
  18. 18. Característica da Curva de Desempenho •bom desempenho no início da evolução •pouco ou nenhum desempenho no final Curva da Média de Experimentos Aptidão A(t) 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 Gerações Curva Média de Experimentos para F6(x,y) l Usamos o número de dígitos 9 após o ponto decimal para distinguir avaliações muito próximas de 1,00 . l Exemplo: Avaliação dígitos 9 0,99873578 2 0,82435787 0 0,99995432 4
  19. 19. ICADEMO l Módulo de Avaliação GA1-1 Função de Avaliação: Função binária F 6 l Módulo de População Técnica de Representação: Binária 44 bits ICADEMO Técnica Inicialização da População: Aleatória Técnica Eliminação da População: Elimina todos Técnica de Reprodução: Troca da geração Técnica de Seleção de Genitores: Roleta Técnica de Aptidão: Aptidão é a avaliação Técnica de Parametrização: Nenhuma Técnica de Elitismo: Nenhuma Population Size : 100 Total de Indivíduos: 4000 l Módulo de Reprodução Técnica de Seleção de Operadores: Use todos Operadores: Crossover 1 ponto & Mutação Taxa Mutação: 0,008 Taxa Crossover: 0,65 Técnica de Parametrização: nenhuma
  20. 20. Novas Técnicas e Parâmetros l Técnicas de Aptidão l Elitismo l Reprodução Steady State l Ajuste dos Parâmetros l Módulo de Avaliação GA2-1 a Função de Avaliação: Função binária F 6 l Módulo de População GA2-5 Técnica de Representação: Binária 44 bits Técnica Inicialização da População: Aleatória é Técnica Eliminação da População: Elimina o último é Técnica de Reprodução: Steady State s/ duplicados Técnica de Seleção de Genitores: Roleta é Técnica de Aptidão: Normalização Linear (100 a 1) Técnica de Parametrização: Nenhuma Técnica de Elitismo: Nenhuma Population Size : 100 Total de Indivíduos: 4000 l Módulo de Reprodução Técnica de Seleção de Operadores: Use todos Operadores: Crossover 1 ponto & Mutação é Taxa Mutação: 0,04 é Taxa Crossover: 0,8 Técnica de Parametrização: nenhuma
  21. 21. Medida de Aptidão l O que ocorre se alterarmos a F6 para: F6 (x,y) = 0,5 - (sen √ x2 + y2 )2 - 0,5 (1,0 + 0,001 (x 2 + y2 ))2 Medida de Aptidão l O que ocorre se alterarmos a F6 para: F6Elevada(x,y) = 999,5 - (sen √ x2 + y2 )2 - 0,5 (1,0 + 0,001 (x 2 + y2 ))2 l Formato F6 = formato F6 elevada l Melhor cromossoma para F6 = melhor para F6 elevada l Avaliação de F6 elevada = avaliação F6 + 999 è Todavia, GA 1-1 para F6Elevada não apresenta desempenho algum. è PORQUE?
  22. 22. Aptidão = Avaliação Ai = fi : aptidão do indivíduo i pi = Ai/ AT = fi / ∑ fJ : chances de seleção de I há pop_size sorteios, então Di = pi x pop_size = (fi x pop_size) / ∑ fJ = Di = fi / fAV : número provável de sorteios de i, ou número de descendentes na próxima geração l F6 avaliação l F6 Elevada avaliação best 0,979 best 999,979 worst 0,066 worst 999,066 average 0,514 average 999,514 l Dbest = 1,905 l Dbest = 1,0005 l Dworst = 0,128 l Dworst = 0,9996 è forte pressão seletiva em è melhor e pior cromossomas favor do melhor vão gerar o mesmo número de descendentes O efeito da seleção é quase nulo porque as avaliações estão relativamente muito próximas. .
  23. 23. Técnicas de Aptidão l Aptidão é a Avaliação Ai = fi Exemplo: Ai = 999,979 l Windowing – subtrair uma constante dos valores de fi l Normalização Linear – atribuir valores a Ai baseados no rank do cromossoma Windowing l Obtenha a avaliação mínima na população. l Atribua a cada cromossoma I uma aptidão igual a: Ai = (f i - Amín) l Opcionalmente, atribua uma aptidão mínima de “sobrevivência”, maior que a aptidão mínima calculada, como garantia de reprodução para os cromossomas menos aptos. l Exemplo: Ai = (999,979 - 999,066)= 0,913
  24. 24. Normalização Linear l Coloque os pop_size cromossomas em ordem decrescente de avaliação (i=1 é o menos apto). l Crie aptidões, partindo de um valor mín e crescendo linearmente até o valor máx. l Os valores de máx e mín (ou a constante de incremento) são parâmetros da técnica. Ai = mín + (máx - mín) x (i - 1) pop_size - 1 l Quanto maior a constante de incremento, maior a pressão seletiva sobre os melhores. Exemplo Comparativo Rank dos cromossomas 6 5 4 3 2 1 Avaliação original 200 9 8 7 4 1 Aptidão é avaliação 200 9 8 7 4 1 Normalização Linear, taxa=10 60 50 40 30 20 10 Normalização Linear, taxa=20 101 81 61 41 21 1 Windowing 199 8 7 6 3 0 • SUPER INDIVÍDUO: cromossoma 6 •poucas chance de recombinação com outros indivíduos; elimina competidores em poucas gerações; rápida convergência. • COMPETIÇÃO PRÓXIMA: entre cromossomas 3, 4 e 5 •é preciso aumentar a pressão seletiva sobre os melhores
  25. 25. l Módulo de Avaliação GA2-1 Função de Avaliação: Função binária F 6 l Módulo de População Técnica de Representação: Binária 44 bits ICADEMO Técnica Inicialização da População: Aleatória Técnica Eliminação da População: Elimina todos Técnica de Reprodução: Troca da geração Técnica de Seleção de Genitores: Roleta é Técnica de Aptidão: Normalização Linear (100 a 1) Técnica de Parametrização: Nenhuma Técnica de Elitismo: Nenhuma Population Size : 100 Total de Indivíduos: 4000 l Módulo de Reprodução Técnica de Seleção de Operadores: Use todos Operadores: Crossover 1 ponto & Mutação Taxa Mutação: 0,008 Taxa Crossover: 0,65 Técnica de Parametrização: nenhuma Elitismo l Melhor cromossoma de P(t) é copiado em P(t+1), após o mutação e crossover. l Reduz o efeito aleatório do processo seletivo. l Garante que o melhor indivíduo da próxima geração é melhor ou igual ao da geração anterior.
  26. 26. l Módulo de Avaliação GA2-2 Função de Avaliação: Função binária F 6 l Módulo de População Técnica de Representação: Binária 44 bits ICADEMO Técnica Inicialização da População: Aleatória Técnica Eliminação da População: Elimina todos Técnica de Reprodução: Troca da geração Técnica de Seleção de Genitores: Roleta é Técnica de Aptidão: Normalização Linear (100 a 1) Técnica de Parametrização: Nenhuma é Técnica de Elitismo: Copia o melhor Population Size : 100 Total de Indivíduos: 4000 l Módulo de Reprodução Técnica de Seleção de Operadores: Use todos Operadores: Crossover 1 ponto & Mutação Taxa Mutação: 0,008 Taxa Crossover: 0,65 Técnica de Parametrização: nenhuma Algoritmo Genético Tradicional l Representação Binária l Reprodução com substituição da população l Elitismo l Normalização Linear l Crossover de 1 ponto e Mutação – Algoritmo de partida em aplicações – Apresenta bom desempenho em vários problemas
  27. 27. Reprodução Steady State l Substituição parcial de indivíduos a cada geração (mais elitista) l Bons indivíduos (material genético) são preservados, garantindo mais chances de reprodução l Método: – Crie n filhos (seleção+crossover+mutação) – Elimine os n piores membros da população – Avalie e introduza os filhos na população l GAP = fração da população que é trocada l valor de GAP determina relação entre exploitation e exploration Exemplo de Steady State C19 120 120 121 C18 110 110 120 C17 100 100 110 C16 99 99 100 C15 95 95 99 C14 81 81 95 C13 76 76 88 C12 67 67 81 C11 58 58 76 C10 44 44 67 C9 42 42 58 C8 36 36 58 C7 22 22 44 C6 20 38 38 42 C5 19 6 6 38 C4 17 121 121 36 C3 10 88 88 22 C2 8 58 58 17 C1 5 17 17 6 avaliações crie n substitua os n avaliações de P(t) novos piores de P(t+1)
  28. 28. l Módulo de Avaliação GA2-3 Função de Avaliação: Função binária F 6 l Módulo de População Técnica de Representação: Binária 44 bits ICADEMO Técnica Inicialização da População: Aleatória é Técnica Eliminação da População: Elimina o último é Técnica de Reprodução: Steady State Gap Testar de 5 em 5 Técnica de Seleção de Genitores: Roleta é Técnica de Aptidão: Normalização Linear (100 a 1) Técnica de Parametrização: Nenhuma Population Size : 100 Total de Indivíduos: 4000 l Módulo de Reprodução Técnica de Seleção de Operadores: Use todos Operadores: Crossover 1 ponto & Mutação Taxa Mutação: 0,008 Taxa Crossover: 0,65 Técnica de Parametrização: nenhuma Steady State sem Duplicados l Substituição parcial de indivíduos com exclusão de duplicados l Evita os duplicados que são mais frequentes com steady state (populações mais estáticas) l Maior eficiência do paralelismo de busca, garantindo pop_size indivíduos diferentes l Descendentes duplicados são desprezados l Maior overhead para teste de igualdade
  29. 29. Novos Técnicas, Parâmetros e Operadores l Crossover de 2 pontos l Crossover Uniforme l Operadores Independentes e Seleção de Operadores l Interpolação dos Parâmetros l Módulo de Avaliação GA3-1 a Função de Avaliação: Função binária F 6 l Módulo de População GA 3-3 Técnica de Representação: Binária 44 bits Técnica Inicialização da População: Aleatória Técnica Eliminação da População: Elimina o último Técnica de Reprodução: Steady State s/ duplicados Gap Testar de 5 em 5 Técnica de Seleção de Genitores: Roleta Técnica de Aptidão: Normalização Linear (100 a 1) é Técnica de Parametrização: Interpolar taxa de incremento (de 0,2 a 1,2) Population Size : 100 Total de Indivíduos: 4000 l Módulo de Reprodução é Técnica de Seleção de Operadores: Roleta é Operadores: Crossover Uniforme é Mutação Taxa Mutação: 0,04 Taxa Crossover: 0,8 é Técnica de Parametrização: Interpolar Pesos dos Operadores é de (70 30) a (50 50)
  30. 30. Crossover de 2 Pontos l Semelhante ao crossover de 1 ponto l 2 pontos são escolhidos aleatoriamente l Crossover de 1 ponto não consegue combinar todos os padrões de dois genitores P1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 P2 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 pontos de corte P1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 P2 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 F1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 F2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 Crossover Uniforme l A contribuição de cada genitor é decidida aleatoriamente por um padrão l Capacidade de combinar quaisquer padrões P1 1 0 0 1 0 1 1 P2 0 1 0 1 1 0 1 Padrão 1 1 0 1 0 0 1 F1 F2
  31. 31. Operadores Independentes l Determinados GAs podem incorporar diversos operadores genéticos. l Operadores não devem ser usados todos, com a mesma intensidade, a cada fase da evolução ( por ex: mais crossover no início e mais mutação no final da evolução ). l Uma roleta sorteia um operador a cada reprodução. l Pesos (chances) dos operadores, iniciais e finais, e taxa de interpolação são parâmetros do algoritmo. OP4 OP3 OP2 OP1 l Módulo de Avaliação GA3-1 Função de Avaliação: Função binária F 6 l Módulo de População Técnica de Representação: Binária 44 bits ICADEMO Técnica Inicialização da População: Aleatória Técnica Eliminação da População: Elimina o último Técnica de Reprodução: Steady State s/ duplicados Gap Testar de 5 em 5 Técnica de Seleção de Genitores: Roleta Técnica de Aptidão: Normalização Linear (100 a 1) Técnica de Parametrização: Nenhuma Population Size : 100 Total de Indivíduos: 4000 l Módulo de Reprodução é Técnica de Seleção de Operadores: Roleta é Operadores: Crossover 2 pontos é Mutação Taxa Mutação: 0,01 Taxa Crossover: 0,7 Técnica de Parametrização: Nenhuma é Pesos (50 50)
  32. 32. l Módulo de Avaliação GA3-2 Função de Avaliação: Função binária F 6 l Módulo de População Técnica de Representação: Binária 44 bits ICADEMO Técnica Inicialização da População: Aleatória Técnica Eliminação da População: Elimina o último Técnica de Reprodução: Steady State s/ duplicados Gap Testar de 5 em 5 Técnica de Seleção de Genitores: Roleta Técnica de Aptidão: Normalização Linear (100 a 1) Técnica de Parametrização: Nenhuma Population Size : 100 Total de Indivíduos: 4000 l Módulo de Reprodução é Técnica de Seleção de Operadores: Roleta é Operadores: Crossover Uniforme é Mutação Taxa Mutação: 0,01 Taxa Crossover: 0,7 Técnica de Parametrização: Nenhuma é Pesos (50 50) Desempenho l Aspectos importantes: – convergência do GA – proximidade dos melhores cromossomas a um mínimo local – diversidade da população – valores dos parâmetros do GA l Exemplo: variação da aptidão dos operadores durante evolução. 30 30 30 25 25 25 20 20 20 66 6 6 15 15 15 6 6 6 6 10 10 10 6 66 6 6 5 6 6 66 5 6 6 5 0 66 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Início: Meio: Fim: Crossover Crossover Crossover Mutação Mutação Mutação
  33. 33. Interpolação de Parâmetros l Consiste na variação dos valores dos parâmetros do GA durante a execução, de modo a alcançar maior desempenho. l Parâmetros: – taxa de crossover – taxa de mutação – taxa incremento da normalização da aptidão – aptidão dos operadores l Interpolação define: – valores inicial e final do parâmetro e frequência de ajuste. l Módulo de Avaliação GA3-3 Função de Avaliação: Função binária F 6 l Módulo de População Técnica de Representação: Binária 44 bits ICADEMO Técnica Inicialização da População: Aleatória Técnica Eliminação da População: Elimina o último Técnica de Reprodução: Steady State s/ duplicados Gap Testar de 5 em 5 Técnica de Seleção de Genitores: Roleta Técnica de Aptidão: Normalização Linear (100 a 1) é Técnica de Parametrização: Interpolar taxa de incremento (de 0,2 a 1,2) Population Size : 100 Total de Indivíduos: 4000 l Módulo de Reprodução é Técnica de Seleção de Operadores: Roleta é Operadores: Crossover Uniforme é Mutação gráfico Taxa Mutação: 0,01 Taxa Crossover: 0,7 é Técnica de Parametrização: Interpolar Pesos dos Operadores é de (70 30) a (50 50)
  34. 34. Algoritmos Genéticos Híbridos q Consiste na construção de um GA inspirado no “algoritmo de otimização em uso” em determinado problema (se houver). Alg. Alg . Híbrido = Alg. Em Uso + Alg. Genético Alg. Alg. q Hibridizar: – Adotar REPRESENTAÇÃO em uso – Adaptar OPERADORES – Adotar HEURÍSTICAS de otimização Vantagens q Modelo incorpora o conhecimento no domínio do problema; q Resulta num sistema mais familiar para o usuário; q Algoritmo em uso pode fornecer “sementes” para o GA, garantindo soluções melhores. q Novos operadores devem estar alinhados com a filosofia de GAs: recombinação e mutação – Crossover: recombinação de sub-partes de indivíduos – Mutação: variações globais ou locais para manter agitada a variedade genética 1
  35. 35. Representação por Números Reais Cromossomas são estruturas contendo números reais. q Hibridizando com “algoritmo em uso” para a otimização da função f6 (x,y) q “Algoritmo em uso” ≡ Busca Exaustiva de x e y reais •Gera x e y ∈ ℜ aleatoriamente; •Calcula f6 para o par (x,y); •Salva (x,y) e f6(x,y); •Retorna a melhor avaliação se tempo esgotado; avaliação •Retorna ao primeiro passo; Hibridização q Representação: Lista de Reais : (x,y) q Avaliação: f6(x,y) real q Inicialização: Números reais aleatórios q Operadores Genéticos: Crossover e Mutação e Operadores inspirados no problema 2
  36. 36. Crossover q Cromossoma é uma lista de reais: (x,y) q Crossover de 1 ou 2 pontos ou Uniforme sobre lista: q Exemplo: Crossover Uniforme Problema com 4 variáveis P1 ≡ (x1, y1, t 1, z 1) F1 ≡ (x2, y1, t 1, z 2) ➨ P2 ≡ (x2, y2, t 2, z 2) F2 ≡ ( x1, y2, t 2, z 1) Padr ão ≡ 0 1 1 0 Padrã Crossover de Média q Cruzamento específico para o problema q Se dois cromossomas são promissores, a média de seus valores reais pode levar a uma melhor solução P1 ≡ (x1, y1) ➨ F1 ≡ ( ( x1+x2)/2, ( y1+ y2)/2) (x (y P2 ≡ (x2, y2) q A média entre dois valores pode resultar em valores mais próximos do valor desejado. 3
  37. 37. Crossover de Média q Crossover aritmético é uma combinação linear de dois vetores (genitores) P1 e P2 na geração t: F1 = a . P 1 + (1-a) P 2 (1- F2 = a . P 2 + (1-a) P 1 (1- q a =cte =cte : crossover uniforme q a =f(t) : crossover não-uniforme (a depende da idade da população) Mutação q Mutação de real – substitui cada número real em um cromossoma por um número real aleatório (se teste probabilidade=TRUE) (x1, y1) ➨ (x1, yrand) q Creep – busca uma solução próxima através de ajustes aleatórios em ambas as direções (+ e -) (x1, y1) ➨ (x1 ± ∆ x, y1± ∆ y) ∆ ≡ pequeno ou grande 4
  38. 38. Creep - Método de Ajuste 1 Xt + ∆ (máx - Xt) se bit sorteado =0 q Xt+1 = Xt - ∆ (Xt - mín) se bit sorteado =1 máx e mín = limites do domínio de x q ∆ (s) = s . rand rand = número aleatório ∈ [0, p], p≤ 1 ≤ q O ajuste varia com o valor de p : se p = pequeno ➨ ajuste menor se p = grande ➨ ajuste maior Creep - Método de Ajuste 2 Xt + ∆ (t, máx- Xt) se bit sorteado =0 q Xt +1 = Xt - ∆ (t, Xt -mí n) se bit sorteado =1 t= geração; máx e mín = limites do domínio de x . q ∆ (t, s) = s . ( 1 - rand (1 - t/T) b ) rand = número aleatório ∈ [0,1] T = número máximo de gerações b = grau de dependência com o número da geração q A probabilidade de ∆ (t, s) ser próximo de zero pró aumenta com o número de gerações. nú gerações. 5
  39. 39. Creep - Método de Ajuste 2 ∆ (t, s) ∆ (t, s) s s t/T=0,50; b=2 t/T=0,90; b=2 1 rand 1 rand q O operador busca uniformemente no espaço no início da evolução (t=pequeno), e mais localmente no final da evolução (t=grande) q Mód ulo de Av aliação GA5-1 ➩ Função de Avaliação: Função F6 real q Mód ulo de População ➩ T écnica de Representação: Lista de números reais ➩ T écnica Inicialização da População: Números reais aleatórios T écnica Eliminação da População: Elimina o último T écnica de Reprodução: Steady State s/ duplicados Gap Testar de 5 em 5 T écnica de Seleção de Genitores: Roleta T écnica de Aptidão: Normalização Linear (100 a 1) T écnica de Parametrização: Interpolar taxa de incremento (0,2 a 1,2) Population Size: 100 Total de Indivíduos: 4000 q Mód ulo de Reprodução T écnica de Seleção de Operadores: Roleta ➩ Operadores: Crossover Uniforme de Lista ➩ Crossover de Média ➩ Mutação de Número Real ➩ Creep ∆ pequeno ➩ Creep ∆ grande ➩ T écnica de Parametrização: Interpolar Pesos dos Operadores ➩ de (10 40 10 30 10) a (10 20 0 40 30) 6
  40. 40. Binária x Reais q Representação dos genes por números reais (ponto flutuante) é mais adequada em problemas de otimização de parâmetros com v ariáveis sobre domínio contínuo; q Especialmente em grandes domínios onde a representação binária requer um longo cromossoma: Ex: 100 v ariáveis, [-500,500], 4 casas decimais ➨ 2400 bits q Representação por reais é mais rápida na execução; q Representação por reais of erece maior precisão (depende do computador); q Desempenho pode ser melhorado com operadores específicos ao problema; q Representação por reais tem a propriedade que dois pontos próximos um ao outro no espaço de representação, estão também próximos no espaço do problema; q Representação por reais evita Hamming Cliffs. 7
  41. 41. Distância de Hamming q Rep. Binário Valor Real C1 = 0 1 1 1 1 1 31 C2 = 1 0 0 0 0 0 32 ➨ distância = 6 q Rep. Real Valor Real C1 = 31 31 C2 = 32 32 ➨ distância = 1 8
  42. 42. GA em Otimização Combinatorial q Problemas onde a busca da solução depende da avaliação de diversas combinações (ORDEM) dos elementos considerados – Problem a do Caixeiro Viajante – Problem as de Planejamento – Problem as de Cronogram as – Alocação de Salas – Grafos: Colorir Particionar, Percorrer Colorir, Problema de Colorir o Grafo índice I-P 1-5 2-8 3-4 peso q Regras: 4-9 5-6 6-7 – Colorir os nós do grafo de modo a maximizar a soma total dos pesos. 7-13 8-10 9-15 – Pares de nós conectados por um arco não podem possuir a mesma cor 1
  43. 43. Algoritmo Guloso q Considera apenas uma das possíveis soluções, 1-5 2-8 3-4 colorindo os nós em ordem decrescente de peso. q Nós em ordem 4-9 5-6 6-7 decrescente de peso: (9, 7, 8, 4, 2, 6, 5, 1, 3) q Solução Ótima p/ 1 cor: 7-13 8-10 9-15 (9, 4, 2) ➨ ∑ Pi = 32 Algoritmo Guloso q Considera apenas uma das possíveis soluções, 1-5 2-8 3-4 colorindo os nós em ordem decrescente de peso. q Nós em ordem 4-9 5-6 6-7 decrescente de peso: (9, 7, 8, 4, 2, 6, 5, 1, 3) q Solução Ótima p/ 1 cor: 7-13 8-10 9-15 (9, 4, 2) ➨ ∑ Pi = 32 2
  44. 44. Algoritmo Guloso q Considera apenas uma das possíveis soluções, 1-5 2-8 3-4 colorindo os nós em ordem decrescente de peso. q Nós em ordem 4-9 5-6 6-7 decrescente de peso: (9, 7, 8, 4, 2, 6, 5, 1, 3) q Solução Ótima p/ 1 cor: 7-13 8-10 9-15 (9, 4, 2) ➨ ∑ Pi = 32 Algoritmo Guloso q Considera apenas uma das possíveis soluções, 1-5 2-8 3-4 colorindo os nós em ordem decrescente de peso. q Nós em ordem 4-9 5-6 6-7 decrescente de peso: (9, 7, 8, 4, 2, 6, 5, 1, 3) q Solução Ótima p/ 2 cores: 7-13 8-10 9-15 (9, 4, 2) e ( 7, 6, 5) ➨ ∑ Pi = 32 + 26 3
  45. 45. Aplicando o Algoritmo Guloso q Nós em ordem decrescente de peso: 2-8 1-12 (7, 3, 4, 1, 6, 5, 2) 3-14 6-10 7-15 4-13 5-9 Aplicando o Algoritmo Guloso q Nós em ordem decrescente de peso: 2-8 1-12 (7, 3, 4, 1, 6, 5, 2) q Algoritmo Guloso começa 3-14 7-15 6-10 e para no nó 7 4-13 5-9 4
  46. 46. Aplicando o Algoritmo Guloso q Nós em ordem decrescente de peso: 2-8 1-12 (7, 3, 4, 1, 6, 5, 2) q Soluções Ótimas: 3-14 7-15 6-10 – 1 cor: (1, 5, 3) – 2 cores: (2, 4, 6) 4-13 5-9 Características do Problema q A modificação dos pesos, número de cores e arcos, altera radicalmente a solução do problema. q Estratégias como o algoritmo guloso não funcionam bem para todos os problemas de colorir o grafo. q Heurísticas (Ex: a valiar número de arcos ou pesos de nós vizinhos antes colorir um nó) podem não ser eficientes para grandes espaços de busca. q Algoritmos Genéticos oferecem uma solução (sub- ótima ou ótima) para qualquer problema de colorir o grafo. 5
  47. 47. Componentes de um Algoritmo Genético 1. Problema 2. Representação 3. Decodificação 4. Avaliação 5. Operadores 6. Técnicas 7. Parâmetros Tentando a Representação Binária q Cada nó do grafo é representado por um campo (gene) no cromossoma: Símbolo do Campo ≡ Cor do nó q Podemos usar a representação binária. Para apenas 1 cor : 0 ≡ não colorido 1 ≡ colorido 1-5 2-8 3-4 Cromossoma ≡ 0 1 0 1 1 0 0 0 1 Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4-9 5-6 6-7 7-13 8-10 9-15 6
  48. 48. Avaliando Representação Binária q C é um cromossoma ILEGAL ILEGAL. q Inicialização, crossover e mutação vão gerar soluções ilegais. q Seria necessário um módulo reparador de cromossomas q Representação binária permite soluções sub-ótimas: 1-5 3-4 2-8 C≡ 010100000 Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4-9 5-6 6-7 q C ainda poderia ter o nó 6, ou 8 ou 9 colorido e ser legal. 7-13 8-10 9-15 Representação Baseada em Ordem q GA Híbrido ≡ Técnicas de GA + Algoritmo Guloso q Algoritmo Guloso: – Cria uma lista de nós (ordem decrescente de peso) – Constrói a solução: atribui ao próximo nó da lista uma cor legal q Algoritmo Genético – Cria uma lista (nós em ordem qualquer) – Constrói a solução: atribui ao próximo nó da lista uma cor legal 7
  49. 49. Exemplo q Cromossoma = lista C1 ≡(9, 7, 8, 4, 2, 6, 5, 1, 3) 1-5 2-8 3-4 C2 ≡(2, 3, 7, 4, 9, 6, 5, 1, 8) C3 ≡(4, 5, 1, 2, 9, 6, 8, 7, 3) 4-9 5-6 6-7 q C1 C2 C3 resultam na solução ótima p/ 1 cor: (9, 4, 2) ➨ ∑ Pi = 32 7-13 8-10 9-15 q Informação codificada é a ordem relativa dos n ós nó Operadores Genéticos q Testando o Crossover de 1 ponto: P1 ≡(9, 7, 8, 4, 2, 6, 5, 1, 3) P2 ≡(2, 6, 7, 4, 9, 3, 5, 1, 8) F1 ≡(9, 7, 8, 4, 2, 3, 5, 1, 8) F2 ≡(2, 6, 7, 4, 9, 6, 5, 1, 3) q Descendentes são cromossomas ilegais: nós repetidos e ausência de determinados nós. q Crossover e mutação devem garantir uma lista válida de todos os nós 8
  50. 50. Modelagem do Algoritmo Genético 1. Problema • Problema de Colorir o Grafo 2. Representação • Permutação dos índices dos nós 3. Decodificação • Da esquerda para direita, atribui uma cor válida ao próximo nó 4. Avaliação • ∑ Pi 5. Operadores • Crossover Uniforme Baseado em Ordem q Mutação por Embaralhamento Crossover Uniforme Baseado em Ordem q Dados dos genitores P1 e P2, , criar descendente F1; q Gere um padrão de bits do mesmo comprimento que os genitores; q Preencha F1, copiando o genitor P1 nas posições em que o padrão é igual a “1”; q Faça uma lista dos elementos de P1 associados com os bits “0” do padrão; q Permute estes elementos de modo que eles apareçam na mesma ordem em que aparecem em P2 ; q Preencha as lacunas de F1 com os elementos ordenados no passo anterior; 9
  51. 51. Exemplo P1 1 2 3 4 5 6 7 8 P2 8 6 4 2 7 5 3 1 Padrão 0 1 1 0 1 1 0 0 F1 - 2 3 - 5 6 - - F2 8 - - 2 - - 3 1 Elementos de P 1 associados a “ 0”: 1, 4, 7, 8. Ordenados segundo P 2 : 8, 4, 7, 1 Elementos de P 2 associados a “ 1”: 6, 4, 7, 5. Ordenados segundo P 1 : 4, 5, 6, 7 F1 8 2 3 4 5 6 7 1 F2 8 4 5 2 6 7 3 1 Mutação por Embaralhamento q Seleciona aleatoriamente uma sub-lista do cromossoma q Embaralha sub-lista 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 6 4 8 7 5 9 10
  52. 52. q Mód ulo de Av aliação GA6-1 ➩ Função de Avaliação: Avaliador do problema de colorir o grafo ∑ Pi q Mód ulo de População ➩ T écnica de Representação: Lista de nós ➩ T écnica Inicialização da População: Permutação aleatória T écnica Eliminação da População: Elimina o último T écnica de Reprodução: Steady State s/ duplicados Gap Testar de 5 em 5 T écnica de Seleção de Genitores: Roleta T écnica de Aptidão: Normalização Linear (100 a 1) T écnica de Parametrização: Interpolar taxa de incremento (0,2 a 1,2) Population Size: 100 Total de Indivíduos: 4000 q Mód ulo de Reprodução T écnica de Seleção de Operadores: Roleta ➩ Operadores: Crossover Uniforme Baseado em Ordem ➩ Mutação por Embaralhamento ➩ T écnica de Parametrização: Interpolar Pesos dos Operadores ➩ de (60 40) a (30 70) Problema de Colorir o Grafo q Grafo com 100 nós ➨ 100! permutações diferentes q 3 cores possíveis q Listagem descreve o grafo através de: (índice_nó, peso (lista de nós conectados)) (1 62 (20 58 74 82)) (2 183 (6 12 20 28 29 32 51 53 70 79 84 94)) (3 247 (18 24 33 50 88 92)) .................... ........... (99 254 (29 52 53 67 75 80 84 89)) (100 145 (15 20 22 29 34 44 60 87)) 11
  53. 53. Busca Aleatória q Muitas vezes não temos como comparar os resultados obtidos por um GA. q Nestes casos, podemos usar a busca exaustiva como base de comparação. q Gera-se uma curva média de desempenho para a busca aleatória com o mesmo número de tentativas que o GA. q Um modelo de GA desempenhando abaixo da busca exaustiva deve prova velmente conter erros de modelagem e/ou programação. Busca Aleatória procedure busca_aleatória begin t=0 ; primeira geração inicializa P(t) ; população inicial aleatória av alia P(t) ; calcula f(i) p/ cada indivíduo salv a_melhor de P(t) ; salva melhor indivíduo while (not total_indivíduos) do begin t =t + 1 ; próxima geração inicializa P(t) ; população aleatória av alia P(t) ; calcula f(i) p/ cada indivíduo compara_melhor P(t) com melhor P(t-1) salv a_melhor end end 12
  54. 54. Resultados do GA 6-1 6- q GA 6-1 é em média 7,4% que a busca aleatória após 4000 tentativas: – média GA 6-1= 10300 média busca aleatória=9600 10300; 9600 q GA 6-1 é em média 7,4% que a Algoritmo Guloso: – máximo do Alg. Guloso= 9590 q GA 6-2 com pop_size=1200 e total_indivíduos=10000 encontrou avaliação=10594 10594 13
  55. 55. GA em Otimização de Planejamento q Planejamento envolve: Procedimentos Recursos Tarefas Tempo Objetivos Restrições e condições q Otimizar: – “Alocar , no tempo, os recursos para a execução das tarefas, respeitando as restrições e condições, de modo a alcançar os objetivos do problema.” Exemplos – Problema do Caixeiro Viajante – Otimização da Distribuição (Rota de veículos) – Alocação de Salas; Timetabling – Planejamento de Vôos de Cias Aéreas – Otimização de Estoque/Produção – Otimização da Produção Industrial 1
  56. 56. Variáveis Típicas do Planejamento q Restrições de Recursos – número de instâncias de cada recurso/máquina; – diferenças entre as instâncias (velocidade, tempo máximo de operação, capacidade etc). – paradas de manutenção – máquinas com programação especial: laminadores de aço (largura, espessura e dureza) q Restrições Temporais – horário de funcionamento preferenciais; – tempo de transporte de material entre máquinas q Reajuste das Máquinas – tarefas exigem setup de máquinas (automático ou manual). Variáveis Típicas do Planejamento (cont.) q Prioridade – tarefas possuem prioridades diferentes (prazo de entrega, emergência, manutenção, tipo de cliente etc). q Estoque – matéria prima: disponibilidade, ordem de desempilhamento q Reprogramação – reprogramação das máquinas em casos de contingências q Precedência – certas tarefas não podem ser programadas antes que outras tenham terminado. 2
  57. 57. Características do Planejamento q Há muitas condições e restrições que não podem ser ser expressas matematicamente; q Métodos de busca podem falhar devido aos requisitos de tempo; q Podar o espaço de busca reduz o tempo de execução mas limita desempenho; q Heurísticas são úteis para acelerar a busca; q GA é um técnica adequada a problemas mal estruturados como os de planejamento. Problema Simples de Planejamento de Produção q 90 tarefas: (a, b, c, d, e, f................) q cada tarefa possui um peso associado a sua importância (lucro, prioridade, benefício etc) q 30 recursos: apenas uma instância de cada recurso q tarefas requerem de 1 a 3 horas para execução q programação para um total de 40 horas de produção q algumas tarefas têm restrições nas primeiras 12 horas do planejamento q Objetivo: maximizar a soma dos pesos das tarefas planejadas nas primeiras 40 horas 3
  58. 58. Exemplo de Tarefas: a..u Tempo de Execução de cada tarefa: 1, 2 ou 3 horas Recursos requeridos por cada tarefa: “ . ” = recurso não requerido “ a” = recurso requerido Tarefas Tempo Execução Recursos Utilizados pelas Tarefas a 3 . a . . . . a a . . . a a . . . . . . . a . . . . . b 1 . . b . . . . b . b . . b . b b . . b . b . . . . . c 3 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . d 3 . . d . . . d . . d . . d . . . . . . . . d . . . . e 3 . . . . e e e . . e . . . . . . . e . . . . . . . . f 1 . f . f f f . . f . . . . . . . . . . . f . f f f . g 3 g . g . . . . g . . . . g . g g g . . . . g g . g g h 2 h . . . h . h . h . h h . . . . . . . . . . . . . . i 1 . . . i . . . . . . i i i . . . . . i . . i . . . . j 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j . k 1 . . k k . k . k . . . . . k k . . . . . . k . . . . l 1 l . . . l l . . l . . . l . . l . l l . . . l . . l m 3 . . . . m . m . . . m m . . . . . . . . . . . . m . n 2 . . . . . . . . . . . . . . n n . . n n . . . . . . o 3 . o o . . . . . o . . . . . o . . o o . . o . . . . p 1 . . . . p . . . . . p . p p . . . . p . . p . p . . q 3 . . . q . . . q . . . . q . . q . . q . q . . q . q r 1 r . . . . . . . . . r r . r . . . . . r . . . . . . s 3 . . . s s . . . s s . . . . . s . . . . . s . . . . t 1 t . . . . . . . . . . . . . t . . t t . . . . . . . u Exemplo de Planejamento q Planejamento parcial das tarefas em ordem alfabética Tempo Hora . a c . c c a a c . . a a c . . c c . c a c c . . . . . . . 1 a c . c c a a c . . a a c . . c c . c a c c . . . . . . . 2 . a c . c c a a c . . a a c . . c c . c a c c . . . . . . . 3 . . b . . . . b . b . . b . b b . . b . b . . . . . . . . 4 . f d f f f d . f d . . d . . . . . . . f d f f f . f . f d 5 . . d . . . d . . d . . d . . . . . . . . d . . . . . . . d 6 . . d . . . d . . d . . d . . . . . . . . d . . . . . . . d 7 g . g . e e e g . e . . g . g g g e . . . g g . g g e . . e 8 g . g . e e e g . e . . g . g g g e . . . g g . g g e . . e 9 g . g . e e e g . e . . g . g g g e . . . g g . g g e . . e 10 . f . f f f . . f . . . . . . . . . . . f . f f f . f . f . 11 g . g . . . . g . . . . g . g g g . . . . g g . g g . . . . 4
  59. 59. Modelagem do Algoritmo Genético 1. Problema 2. Representação 3. Decodificação 4. Avaliação 5. Operadores 6. Técnicas 7. Parâmetros Representação q Cromossoma ≡ permutação (lista) de tarefas P1 = (a, b, c, d, e, . . . . t) P2 = (d, s, e, h, g, . . . . i) q cromossoma codifica a ordem e a vez (posição) nas quais as tarefas serão planejadas q requer decodificador ≡ construtor de planejamentos legais 5
  60. 60. Decodificador do Cromossoma q Constrói soluções LEGAIS q Concentra todo o conhecimento no domínio do problema: restrições, recursos, horários, etc. q Regra Principal: “Se uma tarefa está planejada na hora t, uma outra tarefa não pode ser planejada em t, exceto se a interseção dos recursos requisitados é vazia” Decodificador do Cromossoma 1 Pega a primeira tarefa da lista; 2 Coloca a tarefa no planejamento a partir de t=0; 3 Pega próxima tarefa e procura colocá-la no planejamento, considerando as restrições presentes, a partir de t=0 até t=40 horas; 4 Vai para 3 se não terminou a lista. 6
  61. 61. P = (t, c, s, a) Hora t . . . . . . . . . . . . . t . . t t . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 P = (t, c, s, a) Hora t . . . . . . . . . . . . . t . . t t . . . . . . . . . . . 1 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . . . . . 2 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . . . . . 3 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . . . . . 4 5 6 7 8 9 10 11 7
  62. 62. P = (t, c, s, a) Hora t . . . . . . . . . . . . . t . . t t . . . . . . . . . . . 1 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . . . . . 2 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . . . . . 3 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . . . . . 4 . . . s s . . . s s . . . . . s . . . . . s . . . . s . . . 5 . s s . . . s s . . . . . s . . . . . s . . . . s . . . 6 . s s . . . s s . . . . . s . . . . . s . . . . s . . . 7 8 9 10 11 P = (t, c, s, a) ➨ 7 horas Hora t a . . . . a a . . . a a . t . . t t . a . . . . . . . . . 1 . a c . c c a a c . . a a c . . c c . c a c c . . . . . . . 2 . a c . c c a a c . . a a c . . c c . c a c c . . . . . . . 3 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . . . . . 4 . . . s s . . . s s . . . . . s . . . . . s . . . . s . . . 5 . s s . . . s s . . . . . s . . . . . s . . . . s . . . 6 . s s . . . s s . . . . . s . . . . . s . . . . s . . . 7 8 9 10 11 8
  63. 63. P = (t, a, s, c) Hora t . . . . . . . . . . . . . t . . t t . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 P = (t, a, s, c) Hora t a . . . . a a . . . a a . t . . t t . a . . . . . . . . . 1 . a . . . . a a . . . a a . . . . . . . a . . . . . . . . . 2 . a . . . . a a . . . a a . . . . . . . a . . . . . . . . . 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9
  64. 64. P = (t, a, s, c) Hora t a . s s . a a s s . a a . t s . t t . a s . . . . s . . . 1 . a . s s . a a s s . a a . . s . . . . a s . . . . s . . . 2 . a . s s . a a s s . a a . . s . . . . a s . . . . s . . . 3 4 5 6 7 8 9 10 11 P = (t, a, s, c) ➨ 6 horas Hora t a . s s . a a s s . a a . t s . t t . a s . . . . s . . . 1 . a . s s . a a s s . a a . . s . . . . a s . . . . s . . . 2 . a . s s . a a s s . a a . . s . . . . a s . . . . s . . . 3 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . . . . . 4 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . . . . . 5 . . c . c c . . c . . . . c . . c c . c . c c . . . . . . . 6 7 8 9 10 11 10
  65. 65. Avaliação q Uma possível função considera: – pesos das tarefas ➨ maximizar a soma das planejadas – restrições das tarefas ➨ penalizar se violação – período ➨ não planejar se além de t=40 horas Ai = ∑ pt - ∑ pn + ∑ pp + ∑ pv/2 t n p v – pt = pesos de todas as tarefas – pn = pesos das tarefas não planejadas – pp = pesos das tarefas planejadas – pv = pesos das tarefas que violaram restrição q Ai ≥ 0; Ai = 0 ➨ nenhuma planejada; Ai = 2 ∑ pt ➨ todas Avaliando Operadores q Mutação Baseada em Ordem q Mutação Baseada em Posição q Mutação por Embaralhamento q Crossover Baseado em Ordem q Crossover Baseado em Posição q Recombinação de Adjacências Aspectos importantes – Ordem Relativa • tarefas anteriores podem impedir o planejamento das tarefas posteriores – Posição da Tarefa • tarefas no início da lista têm maior chance de serem planejadas 11
  66. 66. Avaliação de Desempenho q Avaliação dos Operadores isoladamente: – só mutação – só crossover q Combinando os Melhores Operadores q Busca Aleatória para comparar resultados – gera uma lista de tarefas e avalia q Espaço de Representação = 90! = 10138 q Média de 50 Experimentos de 3000 Indivíduos: média dos melhores a cada instante Busca Aleatória 12
  67. 67. Mutação Baseada em Ordem q duas tarefas são selecionadas aleatoriamente e a segunda é colocada na frente da primeira q Exemplo: (a b c d e f) a (a b c d e f) ⇓ ⇓ (e a b c d f) e (a d b c e f) q operador preserva ordem relativa de parte do cromossoma Mutação Baseada em Posição q troca as posições de duas tarefas escolhidas aleatoriamente (a b c d e f) a (a b c d e f) ⇓ ⇓ (e b c d a f) e (a d c b e f) q operador não preserva a ordem relativa das posições selecionadas em relação as tarefas do meio 13
  68. 68. Mutação por Embaralhamento q embaralha sub-lista escolhida aleatoriamente (a | b c d | e f) (a b c | d e f |) ⇓ ⇓ (a | c d b | e f) (a b c | f d e |) q operador tem maior poder de dispersão da população Resultados da Mutação q Testes sem crossover e com elitismo q Mutação é mais efetiva que busca aleatória q Mutação baseada em ordem é mais efetiva q Embaralhamento é melhor que busca aleatória q Operadores de mutação são heurísticos, por isso são melhores que busca aleatória 14
  69. 69. Resultados da Mutação Crossover de Ordem q Posições são selecionadas aleatoriamente q Ordem das tarefas nas posições selecionadas em um genitor é imposta nas tarefas correspondentes no outro genitor P1 = a b c d e f g h i j P2 = e i b d f a j g c h posições ✶ ✶ ✶ ✶ F1 = a _ c d e _ _ h _ j F2 = _ i _ d f a j g _ _ F1 = a i c d e b f h g j F2 = b i c d f a j g e h 15
  70. 70. Crossover de Posição q Posições são selecionadas aleatoriamente q Posições das tarefas em um genitor são impostas nas tarefas correspondentes no outro genitor P1 = a b c d e f g h i j P2 = e i b d f a j g c h posições ✶ ✶ ✶ ✶ F1 = _ i b _ f _ _ g _ _ F2 = _ b c _ e _ _ h _ _ F1 = a i b c f d e g h j F2 = i b c d e f a h j g Recombinação de Adjacências q Crossover combina a informação de adjacências entre as tarefas presentes nos genitores P1 = a b c d e f P2 = b d c a e f P1 ➩ ab bc cd de ef fa informação de adjacência P2 ➩ bd dc ca ae ef fb informação de adjacência F = b c d e a f F ➩ bc cd de ea af fb informação de adjacência 16
  71. 71. Recombinação de Adjacências q Operador foi originalmente criado para o problema do Caixeiro Viajante (TSP) A cidades 3Km 7Km ADBCE D B E 1Km 4Km 3Km C q No TSP temos: – informação de adjacência é importante – direção (ordem) entre 2 cidades não importa (A B = B A) Resultados do Crossover q Testes sem mutação e com elitismo (rápida evolução no início, nada acontece após 1000 indivíduos) q Crossover de ordem apresenta resultado equivalente ao de posição: são de fato o mesmo operador !! q Recombinação de Adjacências é equivalente a busca aleatória no problema de planejamento 17
  72. 72. Resultados do Crossover Combinando Crossover e Mutação 1 Mutação de Ordem (50%) + Crossover de Ordem (50%) 2 Mutação de Ordem (50%) + Crossover de Posição (50%) 3 Mutação de Ordem (50%) + Recomb. de Adjacências (50%) q Curvas menos inclinadas no início e menos planas no final q Variando os pesos do crossover e mutação, pode-se melhorar o desempenho: aumentando-se a mutação e diminuindo-se o crossover, lentamente, durante a evolução. 18
  73. 73. Crossover (50%) + Mutação (50%) Variando-se os Pesos de Crossover + Mutação 19
  74. 74. Fundamentos Matemáticos Como e porque Algoritmos Genéticos funcionam? Teoria de Schema (John Holland 1975) “Schema é um padrão genético que descreve um conjunto de cromossomas do espaço de busca com similaridades em certas posições” Schema q Buscando padrões de jogadores de seleção Sexo Idade Gosto Profissão Gostam de Médico Futebol Jogadores da Seleção > 30 anos Feminino Masculino
  75. 75. Aptidão dos Padrões Sexo Idade Gosto Profissão Gostam de Futebol Médico Aptidão Masculino I>30 X X baixa Jogadores da Seleção30 anos > Feminino Feminino X X X baixa Masculino Masculino I<30 X X boa X X Sim Médico baixa Representação de um Schema q Utiliza-se um símbolo adicional: ✴ = don’t care q Exemplo: H= 1 1 ✴ H é um padrão que descreve todos os cromossomas do espaço 2 3 , cujos os dois primeiros bits são iguais a ‘1’, não importando os demais.
  76. 76. Interpretação q f(x) = x2 , x ∈ 23 q Seja o schema: schema: H= 1 1 ✴ q H refere-se a conjectura que a razão pela qual 111 e 110 são bons cromossomas (ou não), são os dois bits mais significativos iguais a ‘1’, não importando os demais. q Para esta conjectura “podem” existir numa determinada população dois representantes: 110 e 111. q 110 e 111 “pertencem” a H= 1 1 ✴ Número de Schemata q Seja o espaço de busca KL onde: K ≡ número de elementos do alfabeto de representação L ≡ comprimento do cromossoma ➨ Total de Schemata = (K+1) L q Exemplo: K=2; L=3 23 = 8 pontos Total de Schemata = 27
  77. 77. Ordem de um Schema q Ordem ou Especificidade O(H) O(H) ≡ número de posições fixas (diferentes de *) presentes no schema H= 0 1 1 ✴ 1 ✴ ✴ O(H) =4 H= 0 ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ O(H) =1 Comprimento de um Schema q δ(H) ≡ distância entre a primeira e a última posições específicas (diferentes de *) no schema. H= 0 1 1 ✴ 1 ✴ ✴ δ(H) =4 H= 0 ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ ✴ δ(H) =0
  78. 78. Representação Geométrica Schemata de Ordem 3: Pontos 110 111 010 011 100 101 000 001 Representação Geométrica Schemata de Ordem 2: Linhas 110 11✶ 111 ✶ 10 ✶ 11 01✶ 010 011 1✶ 0 1✶ 1 0✶ 0 0✶ 1 100 10✶ 101 ✶ 00 ✶ 01 000 00✶ 001
  79. 79. Representação Geométrica Schemata de Ordem 1: Planos 110 111 ✶ 1✶ 010 011 1✶ ✶ ✶✶ 0 ✶ ✶1 0✶ ✶ 100 101 ✶ 0✶ 000 001 Indivíduos Pertencentes ao um Schema q Um indivíduo pertence a um schema se para todas as L posições o símbolo do indivíduo é igual ao símbolo do schema, exceto nas posições onde o símbolo do schema é don’t care (✴). q Um schema possui 2L-O(H) indivíduos. q Exemplo: ✴ 1 ✴ possui 23-1 indivíduos 0 10 0 11 1 10 1 11
  80. 80. Indivíduos Pertencentes ao Schema Sch ema I ndi ví du os 1 0 00 0 00 2 0 01 0 01 3 00 * 0 00 0 01 4 0 10 0 10 5 0 11 0 11 6 01 * 0 10 0 11 7 0* 0 0 00 0 10 8 0* 1 0 01 0 11 9 0 ** 0 00 0 01 0 10 0 11 10 1 00 1 00 11 1 01 1 01 12 10 * 1 00 1 01 13 1 10 1 10 14 1 11 1 11 15 11 * 1 10 1 11 16 1* 0 1 00 1 10 17 1* 1 1 01 1 11 18 1 ** 1 00 1 01 1 10 1 11 19 *0 0 0 00 1 00 20 *0 1 0 01 1 01 21 * 0* 0 00 0 01 1 00 1 01 22 *1 0 0 10 1 10 23 *1 1 0 11 1 11 24 * 1* 0 10 0 11 1 10 1 11 25 * *0 0 00 0 10 1 00 1 10 26 * *1 0 01 0 11 1 01 1 11 27 *** 0 00 0 01 0 10 0 11 1 00 10 1 11 0 11 1 Schemata representados por um indivíduo q Um indivíduo representa 2L schemata. q Para cada uma das L posições de um indivíduo, define-se um schema diferente, usando o símbolo presente no indivíduo ou o símbolo ‘ ✴ ’. q Exemplo: 0 1 0 representa os seguintes schemata: 0 10 ✴1 0 0✴0 01✴ 0✴✴ ✴1 ✴ ✴ ✴0 ✴✴✴

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