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  1. 1. MAKRON Books CAPÍTULO 1 EDITORA NÚMEROS REAIS Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses con- juntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais. Neste 12 capítulo, vamos analisar o conjunto dos números reais. Enunciaremos os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades. 1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto N = {1, 2, 3, ...}. Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por Z={0,±1,±2,±3,...}.
  2. 2. 2 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos: Q= {x I x mln , m, n e Z, n O}. Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mln, n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'. Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por 1? = Qu Q' A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto dos números reais. No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adi- ção e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo: 1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto. 1.1.2 Comutatividade. Se a, b e R entãoa+b=b+a e a-b=b-a. 1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então a + (b + c) = (a + b) + c e a (b - c) = (a•b) • c. 1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então a• (b + c) = ab + ac. 1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a e a • 1= a, para qualquer a E R.
  3. 3. Números reais 3 1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotado por —a, tal que a + (—a) = O. 1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a O tem um inverso, denotado por 1/a, tal que a • 1 — a = 1. Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais. 1.1.8 Subtração. Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida por a — b = a + (—b). 1.1.9 Divisão. Se a,bEIReb O, o quociente de a e b é definido por — a = a b• 1.2 DESIGUALDADES Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, deve- mos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem. 1.2.1 Axioma de Ordem. No conjunto dos números reais existe um subconjunto denominado de números positivos, tal que: (i) se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo; — a é positivo; (ii) a soma de dois números positivos é positiva; (iii) o produto de dois números positivos é. positivo. 1.2.2 Definição. O número real a é negativo se e somente se — a é positivo. 1.2.3 Os símbolos (menor que) e (maior que) são definidos: (i) a b = b — a é positivo; (ii) a b .:;= a — b é positivo.
  4. 4. 4 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 1.2.4 Os símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos: (i) a 5_ b = a b ou a =-- b; (ii) a b=aboua=b. Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESI- GUALDADES. abeab são desigualdades estritas enquanto a ^ bea b são desigualdades não estritas. 1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N. (i) Seab ebc, então a c. (ii) Se abec O, então ac bc. (iii) Se abe c O, então ac bc. (iv) Se a b, então a+cb+c para todo real c. (v) Seabec d, entãoa+cb+ d. (vi) SeabOecd O, então acbd. As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as definições anteriores. Por exemplo: Prova da Propriedade i). (Seabeb c, então a c). (def) Se a b (a — b) O. (def) Se b c (b — c) O. Usando 1.2.1 (ii), temos (a — b) + (b — c) O (def) ou a—c0ac.
  5. 5. Números reais 5 Prova da Propriedade ii). (Se a b e c O, então ac bc). (def.) Se a b (a — b) O. Usando 1.2.1 (iii) temos (a — b) • c O ou (ac — bc) O e finalmente, pela definição, ac bc. 1.3 VALOR ABSOLUTO 1.3.1 Definição. O valor absoluto de a, denotado por lal, é definido como lal = a, se a O lal = — a, se a O. 1.3.2 Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de a, também chamado módulo de a, representa a distância entre a e O. Escreve-se então lal = . 1.3.3 Propriedades. (i) lxl a = —a x a, onde a O. (ii) a=xaoux—a, onde a O. (iii) Se a, b E IR, então la • bl = Ia! • Ibl. (iv) Se a,bEReb O, então a b lal Ibl • (v) (Desigualdade triangular) Se a, b e IR, então la + bl lal + (vi) Se a, b E R, então la — bl 5 lal + Ibl. (vii) Se a, b E IR, então Ia! — Ibl .5 Ia — bl.
  6. 6. la 1 ). lb 1 a b 6 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Vamos provar algumas das propriedades citadas. Prova da Propriedade i). (Ix1 a = — a x a, onde a 0). Provaremos por partes: Parte 1: — a x a, com a O Ixl a. Se x _ 0, lx1 = x. Como, por hipótese, x a, vem que Ixl a. Se x O, lxl = — x. Como — a x, aplicando a propriedade 1.2.5 iii) concluí- mos que — x a. Assim, lx1 = — x a ou seja Ixl a. Parte 2: lxl a onde a O — a x a. Se x . 0, então Ixl = x. Como lx1 a, concluímos que x a. Como a 0, segue que — a O e então — a O x a ou seja —axa. Se x O, lxl = — x. Como por hipótese Ixl a, temos que —x a. Como x 0, segue que — x 0. Portanto, — a 0 — x a ou de forma equivalente — a x a. Prova da Propriedade iii). (Se a, b E I? então Ia • bl = lal . lbl). Usando 1.3.2, vem labl = I(ab)2 = 'Va2 • b2 = .Va2 • 'NFTo lal • Ibl. Prova da Propriedade iv). (Se a, b E R e b t O então Usando 1.3.2, vem = I = — — b O. *NW 1 a 1 b2 I b 1 a b
  7. 7. Números reais 7 Prova da Propriedade v). (Se a, b E I?, então la + bl 5_ lal + lb1). Como a, b E R, de 1.2.1(i) vem que ab é positivo, negativo ou zero. Em qualquer caso vale, ab labl = tal Ibl. (1) Multiplicando (1) por 2, temos 2ab 2 lal IbI. (2) Da igualdade (a + b)2 a2 + 2ab + b2 e de (2) vem que (a + b)2 a2 + 2 lal Ibl +b2 (a + b)2 la12 + 2 lal Ibl + Ib12 (a + b)2 5_ (Ial + 1b1)2. (3) Tomamos a raiz quadrada de (3) e obtemos la + bl 5_ lal + Ibl. Prova da Propriedade vi). (Se a, b e 1?, então la — bl 5 lal + 1b1). Basta escrever a — b = a + (—b) e aplicar a propriedade v). Ia — bl = la + (—b)I lal + I —bl lal + Ibl. Prova da Propriedade vii). (Se a, b E R, então lal — Ibl la — b1). Vamos fazer a — b = c. Aplicando a propriedade v, vem lal = Ic + bl Icl + 1bl lal — Ibl Icl lal — Ibl la — bl .
  8. 8. 8 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 1.4 INTERVALOS Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue: 1.4.1 Intervalo Aberto. {xl a x b} denota-se (a, b) ou ]a, b[. 1.4.2 Intervalo Fechado. fx1 a x b) denota-se [a, b]. 1.4.3 Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda. {xl a x b} de- nota- se (a, b] ou ]a, b]. 1.4.4 Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda. {xl a x b} de- nota- se [a, b) ou [a, b[. 1.4.5 Intervalos Infinitos. (i) {x I x a} denota-se (a, + oo) ou ] a, + oo[; (ii) {x 1 x a} denota-se [a, + o.) ou [a, + oo [; (iii) {x 1 x b} denota-se (-00, b) ou ]— ao, b{; (iv) {x 1 x b} denota-se (— co, b] ou ]- .0, b]. Podemos fazer uma representação gráfica dos intervalos como nos exemplos que seguem: ex. 1.4.1 — (2, 3) ex. 1.4.2 — [O, 3] ex. 1.4.3 — (1, 4] ex. 1.4.4 — [O, 4) O 1 2 3 4 E O 1 2 3 4 O 1 2 3 4 O 1 2 3 4
  9. 9. Números reais 9 ex. 1.4.5 — (i) (O, + ao) O 1 2 3 4 (ii) [1, + O 1 2 3 4 (iii) (-0., 3) 4 O 1 2 3 4 (iv) (-00, 4] 4 3-- 0 1 2 3 4 1.5 EXEMPLOS 1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica. 3+7x 8x+9 3+7x-3 8x+9-3 7x 8x + 6 7x-8x 8x + 6 — 8x —x 6 x (propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5 iii) Portanto, {x I x —6} = (— 6, + 00) é a solução, e graficamente 6
  10. 10. 10 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 7 5x+35.9 7-3 5x+3-3 ^ 9-3 4 5x_6 4 6 x 5 5 (propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5 ii) Portanto, {x 1 4/5 x 6/5} = (4/5, 6/5] é a solução, e graficamente 4/5 6/5 (iii) x + 7 5 , x —7. Vamos multiplicar ambos os membros da desigualdade por x + 7. Devemos. então, considerar dois casos: Caso]. Então, x + 7 O ou x-7 (propriedade 1.2.5 iv) x 5 (x + 7) (propriedade 1.2.5 x 5x + 35 x — 5x 5x + 35 — 5x (propriedade 1.2.5 iv) — 4 x 35 x — 35/4 (propriedade 1.2.5 iii) Portanto, {x I x —7} n {xl x —35/4} = (-7, + 00) é a solução do 4:354? 1. Caso 2. Então, x+7 O ou x —7. 5(x + 7) x 5x + 35 x —35/4 Portanto, {x I x —7} n {x 1 x —35/4} = (— 00, —35/4) é a solução do caso 2.
  11. 11. Números reais 11 A solução final é a união de (-7, + o.) e (— 00, —35/4) ou seja (— oo , —35/4) u (-7, + co) ou ainda x e [-35/4, —7]. Graficamente, -35/4 (iv) (x + 5) (x — 3) O. A desigualdade será satisfeita quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal: Caso 1. (x + 5) O e (x — 3) O ou x — 5 e x 3 ou x Caso 2. x + 5 Oex-30 ou x —5 e x 3 ou x — 5. A solução final será a união entre (3, + e (— co, —5) ou seja todos os x [-5, 3]. Geometricamente, 4 -5 2. Resolva as equações: (i) I5x — 31 = 7. Esta equação é verdadeira quando 5x — 3 = 7 ou 5x — 3 = — 7, ou seja, x = 2 ou x = — 4/5.
  12. 12. 12 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Portanto, as duas soluções da equação dada são: x = 2 e x = - 4/5. (ii) I7x - 11 = I2x + 51. Esta equação será satisfeita se: Caso 1. 7x-1 = 2x + 5 7x-2x = 5 +1 5x = 6 x = 6/5. Caso 2. 7x -1 = -(2x +5) 7x -1 -2x-5 7x +2x = -5 +1 9x -4 x = - 4/9. Portanto, a solução final é x = 6/5 e x = - 4/9. (iii) 1 9x + 71 = -7. Esta equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode ser negativo. 3. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades: (i) 17x- 214. Aplicando a propriedade 1.3.3 (i), -4 7x-24 -4+2 7x-2+24+2
  13. 13. Números reais 13 -2 7x 6 2 6 7 x . Portanto, x E (-2/7, 6/7). 7 - 2x 4 + x s 2, x o - 4. Aplicando a propriedade 1.3.3 (iv), 17 - 2x1 14 + ^ 2. 17 - 2x1 s 214 + xl. Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, vem 49-28x+4x2 s4(16+8x:Fx2) 49-28x+ 4x2 s64+32x+4x2 49 -28x + 4x2 - 64 -32x - 4x2 s 0 - 60x - 15 s O - 60x 5 15 60x - 15 - 15/60 x z - 1/4 ou x E [-1/4, + (iii) 3 - 2x s 4, x -2. 2 + x 1 3 - 2x1 s 4 12 + xl 9 - 12x + 4x2 s 16(4+ 4x+x2) 9 - 12x + 4x2 s 64 + 64x + 16x2 -12x2 - 76x -55 s O
  14. 14. 14 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 12x2 +76x+55 O 12(x + 5/6) (x + 11/2) . O (x + 5/6) (x + 11/2) O. Procedendo como no exemplo 1 (iv) concluímos que a solução final será a união de (— 00, —11/2] e [-5/6, + o.), ou seja, x (-11/2, —5/6). 4. Mostre que, se a,bEReab, então (i) (x — a) (x — b) O x [a, b]. (ii) (x — a) (x — b) O x (a, b). (iii) (x — a) (x — b) O x E (a, b). (iv) (x — a) (x — b) O x E [a, b]. Prova de (i). ((x — a) (x — b) O x [a, b]). Os dois fatores (x — a) e (x — b) devem ter o mesmo sinal. Temos dois casos: Caso 1. x — a O e x — b O ou x a e x b. A solução deste caso será x b ou (b, + 00). Caso 2. x—a O e x—b0 ou x a e x b. A solução deste caso será x a ou (— 0, a). Portanto, a solução final é a união entre (— co, a) e (b, + 00) ou seja x g [a. b]
  15. 15. Números reais 15 De maneira análoga pode-se provar as demais relações. 1.6 EXERCÍCIOS 1. Determinar todos os intervalos de números que representação gráfica. a) 3 —x 5 + 3x b) c) 2 — 3 — 3x —7 satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a 1 3x — 2x 5 1 x — — + + 3 4 3 5 3 x — 4 e) x2 _^ 9 1) x2 -3x+20 g) 1— x — 2x2 O h) x + 1 x 2 — x 3 + x i) x3 +1x2 +x (x2— 1) (x +4) 5_ O k) 2 x + 2 1) x4 x2 1 x — 2 — x — 2 x 44 n) 1/2 x —rn) x — 3 1 4 + x o) 3 p) x3 — x2 — x —202 x — 5 q) x3 -3x+ 2 50 r) 1 3 x + 1 x — 2 s) 8x3 — 4x2 — 2x + 1 O t) 12x3 — 20x2 _ — 11x + 2. 2. Resolver as equações em R. a) 15x — 3 I = 12 c) I 2x — 3 I = I 7x — 5 I b) I —4+12x1=7 d) x + 2 x — 2 =5
  16. 16. 16 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 3x + 8 e) — 4 f) 13x+2I=5—x 2x — 3 g) I9x1-11 = x h) 2x-7=Ix1+1. 3. Resolver as inequações em R. a) I x + 1217 b) 13x-41.2 c) 15-6x1 9 d) 12x-513 e) 16+2x114—xl f) lx+415.12x-61 • g) 13x115-2x1 h) 7 — 2x 5 + 3x — 2 i) lx-11+1x+214 j) _1lx+214 k) 2 +x 3 —x 4 1) 5 2x— 1 1 x — 2 m) lx1+1x n). 31x-11+1xl1 o) 12x2 +3x+3I ^ 3 p) lx-11+1x-3114x1 1 1 lx+ 111x — 31 — 5 r) x— 1/2 x + 1/2 1 s) 3 — 2x 1 +x 4
  17. 17. Números reais 17 4. Demonstrar: a) Se a Oeb O, então a2 = b2 se e somente se a = b. 1 b) Se x y, então x — 2 (x+ y) y. c) 1 xl a se e somente se x a ou x — a, onde a O. d) Se O a b, então ■,/, a ± 12 2
  18. 18. CAPÍTULO 2 EDITORA DAMAKRON Books FUNÇÕES Neste capítulo introduziremos um dos mais fundamentais conceitos da mate- mática — o de função. O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro conjunto. Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de R. As funções neles definidas são chamadas funções reais de variável real. 2.1 DEFINIÇÃO Sejam A e B subconjuntos de 1?. Uma função f: A B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de valores de f. Escrevemos: f:. A — B x — f (x) ou f A — B x — y = f (x). 18
  19. 19. Funções 19 2.2 EXEMPLOS Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. (i) f: A — B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B. (ii) g: A -- B x -- x + 1 é uma função de A em B. Podemos representar g em diagrama. 2.3 CONTRA-EXEMPLOS Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. (i) f: A — B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B, pois o elemento 4 E A tem dois correspondentes em B.
  20. 20. 20 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração (ii) g: A — B x -- x - 3 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 E A não tem correspondente em B. Podemos ver isto facilmente representando g em diagrama. 2.4 DEFINIÇÃO Seja f: A — B. i) Dado x E A, o elemento f (x) e B é chamado o valor da f-unçãof no ponto x ou imagem de x por f. ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por Im(f).
  21. 21. Funções 21 2.5 EXEMPLO Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = Z (conjunto dos inteiros) e f: A — B definida pela regra que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro. Então: — a regra que defmef é y = 2x; —a imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 etc.; —o domínio de f, D(f) = A; —a imagem de f, Im(f) = {2, 4, 6, 8, 10}. 2.6 EXEMPLO Seja f. R — R x — x2. Então, D(f) = R, Im(f) = [0, + 00). Quando trabalhamos com subconjuntos de R, é usual caracterizar a função apenas pela fórmula ou regra que a define. Neste caso, entende-se que o domínio de f é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida. 2.7 EXEMPLOS Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo: (i) f (x) = 1/x. Esta função só não é definida para x = 0. Logo, D(f) = R — { 0 }. Im(f) = 1? — {0}.
  22. 22. 22 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração (ii) f (x) = Para x O, f (x) não está definida. Então, D(f) = [o, + 00) e Im(f) = [O, + 00). (iii) f (x) = — 1. f (x) não está definida para x 1. D(f) = [1, 00) e Im(f) = (— 00, O]. (iv) f (x) = lxl. D(f) = R e Im(f) = [O, + 00). 2.8 GRÁFICOS 2.8.1 Definição. Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,f (x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f. Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe outro meio de determinar o gráfico a não ser este método rudimentar. No Capítulo 5, desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de gráficos. 2.8.2 Exemplos (i) O gráfico da função f (x) = x2 consiste em todos os pares (x, y) E R2 tais que y = x2. Em outras palavras, é a coleção de todos os pares (x, x 2) do plano xy. A Figura 2.1 nos mostra o gráfico desta função, onde salientamos alguns pontos, de acordo com a tabela.
  23. 23. Figura 2-1 Funções, 23 = x2 —2 4 —1 1 o o 1 1 2 4 (ii) Consideremos a função f (x) = x. Os pontos de seu gráfico são os pares (x, x) e E2. A Figura 2.2 mostra este gráfico. Figura 2-2 (iii) Seja f: IR— IR definida por -2, se x ^_ -2 f(x) = 2, se — 2 x .^ 2 4, se x 2. O gráfico de f pode ser visto na Figura 2.3.
  24. 24. 24 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Figura 2-3 (iv) Seja f(x) = lxl. Quando x . O, sabemos que f(x) = x. Quando x O, f (x) = —x. O gráfico de lx1 pode ser visto na Figura 2.4. Figura 2-4 (v) Seja f(x) = 1 Então, D(f) = IR — { O } . A Figura 2.5 mostra o gráfico de f (x) = 1/x. Podemos nos perguntar se, dada uma curva c no plano xy, ela sempre repre- senta o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva c só representa o gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um ponto.
  25. 25. Funções Figura 2-5 Na Figura 2.6 a curva c 1 representa o gráfico de uma função enquarito a curva c2 não representa. Figura 2-6 2.9 OPERAÇÕES Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções através de operações. Estas operações são definidas como segue:
  26. 26. 26 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 2.9.1 Definição. Dadas as funções f e g, sua soma f + g, diferença f — g. produto f • g e quociente flg, são definidas por: (i) (f + g) (x) = f (x) + g (x); (ii) (f — g) (x) f (x) — g (x); (iii) (f g) (x) =.f (x) g (x); (iv) (flg) (x) = g(x) . O domínio das funçõesf + g, f— g e f • g é a intersecção dos domínios de f e g. O domínio de flg é a intersecção dos domínios de f e g, excluindo-se os pontos x onde g (x) = O. 2.9.2 Exemplo. Sejam f (x) = — x e g (x) = — 3. Então, (f + g) (x) = — x + — 3 ; (f— g) (x) =AIS —x — 'x — 3 ; g) (x) = — x — 3 e ./5 — (fl g) (x) — Como D(f) = (— 00, 5] e D(g) = [3, + 00), então o domíniof g,f—g e f. g é [3, 5]. O domínio de flg é (3, 5]. O ponto 3 foi excluído porque g(x) = O quando x = 3. 2.9.3 Definição. Se f é uma função e k é um número real, definimos a função kf por (kf) (x) = kf (x) O domínio de kf coincide com o domínio de Vx —
  27. 27. Funções 27 2.9.4 Exemplo. Seja f (x) = I x2 — 4 e k = 3. Então, (kf) (x) = 3 'Vx2 — 4 e D(kf) = (— .0, —2] u [2, + 00). 2.9.5 Definição. Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada por g 0 f, é definida por (g o f) (x) g (f (A)• O domínio de g of é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f (x) está no domínio de g. Simbolicamente, D(g o f) = {x E D(f) / f (x) E D(g)} . Em diagrama, 2.9.6 Exemplos (i) Sejam f (x) = -Cyc e g (x) = x — 1. Encontrar g o f . Temos, (g o f) (x) = g (f(x)) = g Wc) = —1. Como D(f) = [O, + .0) e Im(f) = [O, + o.) c D(g) = Do), então, D(g o f) = D(f) = [O, + co).
  28. 28. 28 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração (ii) Sejam f (x) = 2x - 3 e g (x) = Encontrar: a) g 0 f, b) f 0 g; c) f 0 f e d) g o g- a) (g o (x) = g (f (x)) = g (2x 3) = -12,x - 3. O domínio de f é D(f) = (- Ge, + oe) e o domínio de g é D(g) = [O, + 00). Assim, o domínio de g o féo conjunto de todos os números reais x, tais que f (x) E [O, + isto é, todos os números reais tais que 2x - 3 O. Logo, D(g o f) = [3f2, + ao). b) (f o g) (x) = f(g(x)) =f(L) = 2 'F-x-- - 3 e D(f o g) = {x E D(g) [O, + ao) / g (x) E D(f) ao)} = [O, + c) (f of) (x) = f (f (x)) =f -3) = 2(2x - 3) - 3 = 4x - 9. D(f 0.f) 00, 00)• d) (g o g) (x) =- g (g (x)) = g (rx-) ‘ .Nr -c = D o g) = [O, + {O, se x O (iii) Sejam.fix) = x2, se O x 1 O, se x 1 1, se x O e g(x) = 2x, se O x 1 1, se x 1 . Determinar fo g. Sex0 , (f o g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1 2 =1 . Se O x 1, (f o g) (x) =f (g (x)) =f (2x). Para O x - 1 ' temos O 2x 5. 1. Logo, neste caso, (f 0 g) (x) = (242 = 4x2. 2
  29. 29. Funções 29 Para 2 x 1 temos 2x 1. Assim, para este caso, (f 0 g) (x) = O. Se x 1, (f0 g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1. 1, se x O Logo, To g) (x) = 4x2, O, se se O x 1/2 1/2 x 5. 1 1, se x 1 O domínio de f o g é D(f o g) = (— + ..). O gráfico de f 0 g pode ser visto na Figura 2.7. 2.10 EXERCÍCIOS —x2 1. Se f (x) — — 1 4 ' achar: (a) f (0) (c) f (11t) (e) f (1/2) (b) f (-2) (d) f (x — 2) (f) f (ê)
  30. 30. 30 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 3x — 1 2. Se f (x) —x — 7 , determine: (a) 5fl— 1) — 2f(0) + 33f(5) 7 (c) f (3x — 2) (e) f(h) — f(0) h (b) [f(-1/2)12 (d) f (t) f (t) f Lf (5)1. 3. Dada a função f (x) xl — 2x, calcular f (-1), f (12) e f (-2/3). Mostrar que f (I al) = —1 ai. 4. Se f (x) — ax d + b e d = — a, mostre que f (f (x)) x. cx + 5. Se f (x) = f(a + h) — f(a) + 2x, achar , h # O e interpretar o resultado geometricamente. h x — 1 6. Dada (x) = + , forme as expressões 4) (1/x) e 1/4) (x). 2x 7 7. Dada a função f (x) = x2 + 1, mostrar que, para a 0,f (1/a) =f (a)/a2. 8. Dada a função f (x) = 1/x, mostrar que f (1 + h) — f (1) — h / (1 + h). Calcular f (a + h) — f (a). 9. Seja f (n) a soma dos n termos de urna progressão aritmética. Demonstrar que f (n + 3) — 3f (n + 2) + 3f (n + 1) — f (n) = O. 10. Exprimir como função de x: a) A área de uma esfera de raio x. b) A área de um cubo de aresta x. c) A área total de uma caixa de volume dado V, sabendo-se que a base é um quadrado de lado x. 11. Exprimir o comprimento 1 de uma corda de um círculo de raio 4 cm, como uma função de sua distância x cm ao centro do circulo.
  31. 31. b) y =114 — x2 d) y= -■ix — 2 f) y + x + 4'N/7 x a) y = x2 1 c) y — x — 4 e) y= I x2 — 4x + 3 12. Seja f (x) = (x — 2) (8 — x) para 2 5_ x 5_ 8. a) Determine f (5), f (-1/2) e f (1/2). b) Qual o domínio da função f (x)? c) Determine f (1— 2t) e indique o domínio. d) Determine f (3)] e f (5)]. e) Trace o gráfico de f (x). 13. Determinar o domínio das seguintes funções: h) y x + a g) 3'Nix + 7 — 5ix + 8 x — a i) y=lx+21 + 4, —5 x 2 i) Y= x + 1 k) y = x — 1 1 Y —x 1 + 14. Construir o gráfico cias seguintes funções: a) f (x) = x2 + 8x + 14 c) y = (x — 2)2 e) y = x3 g) f (x) = 1 xl, —3 5 x 3 f (x) = — x2 + 4x — 1 y = — (x + 2)2 y = 4 — x3 h) f (x) — 1 x — 2
  32. 32. c) f (x) — 1 d) f (x)= Nix + 1 x 1 + x2 32 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração O, se x O f(x) = 1/2, 1, se se x = O x O i) f (x) — x + 3 — k) f(x) = x' x, — 2 5 x 5 O O x 2 1) f(x) = x3, 1, se se x 5_ O O x 2 x2, se x 2 m) f 2px . 15. Para cada uma das seguintes funções f (x) esboce primeiro o gráfico de y = f (x), depois o x)( I f (x) gráfico de y = If (x)1 e fmalmente o gráfico de y = f 2 + 2 a) f (x) (x — 2) (x + 1); b) f (x) = x2; c) f (x) = —x2; d) f (x) ,-- 4 —x2. {x 2 — 9 ' x # — 3 16. Sejam g (x) = x — 3 e f (x) = x+ 3 Calcule k tal que f (x) = g (x) para todo x. 17. Para cada item, calcule f + g, f—g, f- g, fl g, f o g, g of, Ic-f, onde k é uma constante. k, x = —3 . yk a) f (x) =- 2x b) f (x) 3x — 2 , g(x)=x2+1 g (x) I xl g (x)= 1/x g (x) x — 2
  33. 33. Funções 33 e) f (x) = 'lx — 2 g (x) = lx — 3 f(A= X3 g (x) = 1/ f-- 18. Seja h definida por h(x) = 2x — 7. Calcule h o h, h2 e h + h. 19. Sabendo que f = g o h, nos itens (a), (c) e (d) encontre a função h e no item (b) a função g. a) f (x) = x2 + 1 g(x)=x+1 b) f (x) = 'lx + 2 h(x) = x + 2. c) f (x) = a + bx g(x)=x+a. d) f(x)=1x2 -3x+51 , g(x)=Ixl. 20. Sendo f (x) = ax + b, para quais valores de a e b tem-se (f o f) (xj = 4x — 9? 21. Sejarnf (x) = 'lx — 4 e g (x) = 1/2x + 1, x 3. Calcule f o g . Dê o domínio e o conjunto imagem de f (x), g (x) e (f o g) (x). 22. Sejam f(x) = 5x, x O —x, O x 8 e g (x). x3. Calculef o g. -Cx , x 8 23. A função g é definida por g (x) = x2. Defma uma funçãof tal que (f 0 g) (x) = x, para x O e uma função h, tal que (h o g) (x) = x, para x O. 24. Se f (x) = x2, encontre duas funções g para as quais (f o g) (x) = 4x2 — 12x + 9. 25. Se f (x) = x2 — 2x + 1, encontre uma função g (x) tal que (f / g)(x) = x — 1.
  34. 34. 34 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 26. Dadas as funçõesf (x) = x2 — 1 e g (x) = 2x — 1: (a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f (x). (b) Determine o domínio e o conjunto imagem de g (x). (c) Construa os gráficos de f (x) e g (x). (d) Calcule f+ g, f— g, g• f, flg,f o g e g o f. (e) Determine o domínio das funções calculadas no item (d). 2.11 FUNÇÕES ESPECIAIS A seguir vamos relacionar algumas funções que chamaremos de funções es- peciais. 2.11.1 Função Constante. É toda função do tipo f (x) k, que associa a qualquer número real x um mesmo número real k. A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo do x, passando por y = k. O domínio da função f (x) = k é D(f) = O conjunto imagem é o conjunto unitário Im(f) = {k}. Exemplos. (i) f (x) = 2 [Figura 2.8.(a)]. (ii) f (x) = —3 [Figura 2.8 .(b)].
  35. 35. Funções 35 ♦ Y X -3 (b) 2 X (a) Figura 2-8 2.11.2 Função Identidade. É a função fl. 1? 1? definida por f (x) = x. O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes (Figura 2.9). Figura 2-9 O domínio de f (x) = x é D(f) = 1?. O conjunto imagem é Im(f) = E.
  36. 36. 36 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 2.11.3 Função do 12 Grau. Função do 1 2 grau é toda função que associa a cada número real x, o número real ax + b, a # O. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e linear. Quando a O a função f (x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f (x) também cresce. Quando a O a função f (x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f (x) decresce. O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coorde- nados. O domínio de f (x) = ax + b é D(f) = O conjunto imagem é Im(f) = 1?. Exemplos. (i) f (x) = 2x + 3 é uma função do P grau crescente porque a O (Figura 2.10). Figura 2-10 (ii) A função f (x) = — 3x + 1 é uma função do 12 grau decrescente porque a 0 (Figura 2.11).
  37. 37. Funções 37 Figura 2-11 (iii) No movimento retilíneo uniforme, o espaço percorrido é uma função do tempo, expresso pela fórmula s = so + vt, onde 3'0 e v são constantes e v O. Esta função é do P grau. 2.11.4 Função Módulo. A função definida por y = lx 1 chama-se função módulo. O seu domínio é o conjunto D(f) = R e o conjunto imagem é Im(f) = [O, + O gráfico desta função está ilustrado na Figura 2.12. Figura 2-12 2.11.5 Função Quadrática. A função f: IR — R definida por f (x) = ax2 + bx + c, a O é chamada função do r grau ou função quadrática. Seu domínio é D(f) = R. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria • paralelo ao eixo dos y. Se o coeficiente de x 2 for positivo (a O), a parábola tem a
  38. 38. Figura 2-13 s s A = b2-4ac = O a parábola inter- cepta o eixo dos x em um único ponto. A = 11-4ac O a parábola não intercepta o eixo dos x. A = tf-4ac O a parábola inter- cepta o eixo dos x em dois pontos distintos. 38 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração concavidade voltada para cima. Se a O, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice. A intersecção da parábola com o eixo dos x define os zeros da função. No quadro seguinte caracterizamos as diversas possibilidades (Figura 2.13). 2.11.6 Função Polinomial. É a funça.0- 3f: I? --1? definida porflx) agn+ aix 1 + ...+an1 x+atz onde a0' a 1 , • •' a,, a0 O, são números reais chamados coeficientes e n, inteiro não negativo, determina o grau da função.
  39. 39. Funções 39 O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos Posteriormente faremos esboços de gráficos dessas funções com auxilio das derivadas. O domínio é sempre o conjunto dos números reais. Exemplos. (i) A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero. (ii) A função f (x) = ax + b, a # O é uma função polinomial do 1 2 grau. (iii) A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, a # O é uma função polinomial do r grau. (iv) A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica. (v) A função f (x) = 5x5 — 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5. 2.11.7 Função Racional. É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é4 f(x) = p(x) , p(x) e q(x) são polinômios e q(x) # O. q(x)' O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles x tais que q(x) = O. Exemplos. x — 1 (i) A funçãoftx) — é função racional de domínio D(f) = R — (-1 } (Figura 2.14). x Figura 2-14
  40. 40. D(f) = R — {-4, —3, 3} (Figura 2.15 ►. -4 -3 Figura 2-15 2.12 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES Dizemos que uma função f (x) é par se, para todo x no domínio de f, f (—x) = f (x). Uma função f (x) é ímpar se, para todo x no domínio de f, f (—x) = — f (x). O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Exemplos. (i) A função f (x) = x2 é par, já que f (—x) = (-42 = x2 = f (x). (ii) A função f (x) = x5 + x3 é ímpar, já que f (—x) = (—x)5 + (—x)3 = — x5 — x3 = — (x5 + x3) = — f (x). (iii) A função f (x) = x3 + 4 não é par nem ímpar. 40 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração (x2 + 3x — 4)(..x= — 9) (ii) A função f(x) — (f. + x — 12)(x — 3) é racional de domínio
  41. 41. Funções 41 2.13 FUNÇÕES PERIÓDICAS Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe um número real T O tal que f (x + T) = f (x) para todo x E D(f). O número T é chamado período da função f (x). O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento ITI. Exemplos. (i) Mais adiante, mostraremos que as funções trigonométricas f(x) = sen x e f (x) = cos x são periódicas de período T = 2n. (ii) A função constante é periódica e tem como período qualquer número T O. (iii) A Figura 2.16 mostra gráficos de outras funções periódicas. Figura 2-16 2.14 FUNÇÃO INVERSA Seja y = f (x) uma função de A em B ou f: A — B. Se, para cada y E B, existir exatamente um valor x E A tal que y = f (x), então podemos definir uma função g: B — A tal que x = g (y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f -1 .
  42. 42. 42 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Exemplos. (i) A função f: R -' E definida por y = 2x - 5 tem como função inversa f -1 : 1?- R, definida por x = (y + 5). - (ii) A função f: - {3} -' 3 - 1 - {-1} definida por y - admite x a função inversa f -1 : E - {-1} -' R - {3} definida por 1 + 3y x = y + 1 Graficamente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passando uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gráfico em apenas um ponto. A Figura 2.17 ilustra a função f: E- E dada por y = x2 que não possui inversa. Fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Por exemplo, para x z O existe a inversa x1 = .6 e para x s O existe a inversa x2 = - V. Figura 2- 17 Para fazermos o gráfico da função inversa basta traçarmos a reta y = x e observarmos a simetria. Exemplos. (i) A função f: [O, + 00) - [O, + 00), definida por f (x) = x2 tem como inversa a função g: [O, + 00) -0 [O, + 00) dada por g (x) = Vi (ver Figura 2.18).
  43. 43. Funções 43 (ii) A função f: I? --- 11? dada por y = x3 admite a função inversa g: R dada por g (x)= 3'11x (ver Figura 2.19). Figura 2-18 Figura 2-19 2.15 ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES 2.15.1 Função Exponencial. Chamamos de função exponencial de base a, a fun- ção f de IR em I? que associa a cada x real o número real ax, sendo a um número real, 0 a 1, ou, f: R — R x --- y = ax. O domínio da função exponencial é D(f) = R. A imagem é Im(f) = (0, o.). Podemos também denotar Im(f) = (0, = R+*. Com relação ao gráfico da função f (x) = ax (Figura 2.20) podemos afirmar: 1) a curva que o representa está toda acima do eixo das abcissas, pois y = ax O para todo x e R; 2) corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1); 3) f (x) = a' é crescente se a 1 e decrescente se 0 a
  44. 44. 44 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração A y Y = ax (0a1) (0,1) Figura 2-20 2.15.2 Função Logarítmica. Dado um número real a (O a 1), chamamos função logarítmica de base a a função de R+* em R que associa a cada x o número logo x, isto é, f: R±* -*R x — y = loga x. As funções f de R+4, em R definida porf (x) = logo x e g de R em R4,* definida por g (x) = ax; O a 1, são inversas uma da outra. Temos D(f) = R±* e Im(f) R. Com relação ao gráfico da função f (x) = logax (O a 1) (Figura 2.21), podemos afirmar: 1) está todo à direita do eixo y; 2) corta o eixo das abscissas no ponto (1, O); 3) f (x) = logax é crescente se a 1 e decrescente se O a 1; 4) é simétrico ao gráfico da função g (x) = ax em relação a reta y = x.
  45. 45. 01= ax Y (0a1) X Y= log x /' (0a1) Funções 45 Figura 2-21 2.15.3 Funções Trigonométricas FUNÇÃO SENO Seja x um número real. Marcamos um ângulo com medida x radianos, na circunferência unitária com centro na origem (ver Figura 2.22). Seja P o ponto de intersecção do lado terminal do ângulo x, com essa circunferência. Figura 2-22 Denominamos seno de x a ordenada OP 1 do ponto P em relação ao sistema U O V.
  46. 46. 46 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Definimos a função seno como a função f de 1? em 1? que a cada x e I? faz corresponder o número real y = sen x, isto é, f: R -› R x --- y = sen x. O domínio da função seno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1]. A função y = sen x é periódica e seu período é 2n, já que sen (x + 27t) = sen x. Em alguns intervalos sen x é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo, nos intervalos [O, ic/2] e [31c/2, 2n] sen x é crescente. Já no intervalo [7c/2, 37t/2] ela é decrescente. O gráfico da função f (x) = sen x, denominado senóide, pode ser visto na Figura 2.23. Figura 2-23 FUNÇÃO COSSENO Seja x um número real. Denominamos cosseno de x a abcissa OP2 do ponto P em relação ao sistema U O V (Figura 2.22). Definimos a função cosseno como a função f de 1? em I? que a cada x E R faz corresponder o número real y = cos x, isto é, f: I? -- I? x y = cos x. O domínio da função cosseno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1]. t-
  47. 47. sen x tg x — cos x 1 sec x — cos x Funções 47 Para todo x E 1?, temos cos (x + 27c) = cos x. Portanto, a função cosseno é periódica e seu período é 27c. Em alguns intervalos a função cosseno é crescente e em outros decrescente. Por exemplo, no intervalo [O, 7c] a função f(x) = cos x é decrescente. Já no intervalo [n, 27c] ela é crescente. O gráfico da função f (x) = cos x, denominado cossenóide, pode ser visto na Figura 2.24. Figura 2-24 FUNÇÕES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE Estas funções são definidas em termos de seno e cosseno. As funções tangente e secante são, respectivamente, denotadas pelos símbolos tg e sec e definidas por: para todos os números reais x tais que cos x O.
  48. 48. cotgx = cos x sen x cosec x — 1 sen x 48 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração As funções cotangente e cossecante são, respectivamente, denotadas por cotg 1 e cosec e definidas por: 1 para todos os números reais x tais que sen x # O. O domínio das funções tg x e sec x é o conjunto de todos os números reais x —2 5E 37c —2 ± 7cpara os quais cos x # O. Como cos x = O quando x for ± —2 ± , , ..., isto é, quando x = — 2 + mc, n E Z, temos D(tg) = D(sec) = {x E R lx# ic12 + nn, n E Z}. Analogamente, o domínio das funções cotangente e cossecante é o conjunto de todos os números reais x para os quais sen x # O. Como sen x = O para x = n E Z, temos: D(cotg) = D(cosec) = {x e 1?Ix nn,neZ}. Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.25. Podemos observar que as funções tangente e cotangente são periódicas de período E e que as funções secante e cossecante são periódicas de período 27c. 2.15.4 Funções Trigonométricas Inversas. COnforme definição da seção 2.14, sabemos que é impossível definir uma função inversa para a função y sen x, porque a cada valor de y corresponde uma infinidade de valores de x. Portanto, para definirmos a função inversa de y = sen x necessitamos restringir o domínio. Este fato ocorre com todas as demais funções trigonométricas.
  49. 49. y = sec x y = cosec x y = tg x ♦Y -3n./2 -n12 n/2 3n/2o Figura 2-25 X Funções FUNÇÃO ARCO SENO Seja f: [-7t/2, n/2] — [—I, 1] a função definida por f (x) = sen x. A função inversa da f (x), será chamada arco seno, e denotada por [-1, 1] — [—n/2, 7t/2], onde f-1 (x) = arc sen x. Simbolicamente, para —2 2 y —7t ' escrevemos a equivalência: y = arc sen x = sen y = x O gráfico desta função nos mostra uma função crescente (Figura 2.26).
  50. 50. Y 7c/2 -7c/2 Figura 2-26 50 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Observamos que na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio de y = sen x a qualquer dos seguintes intervalos: [7c/2, 37t/2] , [37c/2, Sic/2] , [57E/2, 7/r/2], ..., ou [-37c/2, -7c/2] , [-57c/2, -37c/2] , [-77c/2, -57c/2], . FUNÇÃO ARCO COSSENO Seja f: [O, it] [-1, 1] a função definida por f (x) = cos x. A função inversa de f será chamada arco cosseno, e denotada por f -1 : [-1, 1] — [O, n]. onde f -1 (x) = arc cos x. Simbolicamente, para O ^. y S TC, escrevemos: y= arc cos x =x = cos y O gráfico desta função nos mostra uma função decrescente (Figura 2.27). Observação: A função y = arc cos x pode ser definida também pela equação arc cos x = 2 - arc sen x
  51. 51. Funções 51 Figura 2-27 De fato, utilizando o triângulo retângulo (Figura 2.28), temos: Figura 2-28 Os ângulos a e 13 são complementares, ou o 7c a + p = — 2 x = sen a = cos 13. Portanto, a = arc sen x e = arc cos x. Concluímos que It arc cos x = 2 — arc sen x.
  52. 52. 52 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração FUNÇÃO ARCO TANGENTE A função inversa da tangente é definida para todo número real. Seja f: it12) ---- /2 a função definida por f (x) = tg x. A função inversa de f, será chamada função arco tangente e denotada por f-1 : 1? (-n/2, +n/2), onde f-1 (x) = arc tg x. Simbolicamente, para -n/2 y n/2, escrevemos y = arc tg x = x = tg y O gráfico nos mostra que quando x se toma muito grande, arc tg x aproxima-se de n/2. Quando x se toma muito pequeno, arc tg x se aproxima de -n/2. É uma função crescente (ver Figura 2-29). Figura 2-29 OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Podemos definir a função inversa da cotangente como y = arc cotg x = — 2 - arc tg x onde O y 7C.
  53. 53. X y n/2 X y = are cotg x -1 y = are sec x Ay Tu/2 -1 1 --a/2 y = arc cosec x Figura 2-30 X Funções 53 As funções inversas da secante e da cossecante serão funções de x no domínio 1 xl z 1, desde que adotemos as definições: y = arc sec x = arc cos (1/x) y = arc cosec x = arc sen (1/x). A Figura 2.30 mostra o gráfico dessas funções trigonométricas inversas.
  54. 54. 54 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 2.15.5 Funções Hiperbólicas As expressões exponenciais e ex + 2 ocorrem freqüentemente na Matemática Aplicada. Estas expressões definem, respectivamente, as funções seno hiperbólico de x e cosseno hiperbólico de x. O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as funções trigonométricas. SENO HIPERBÓLICO E COSSENO HIPERBÓLICO A função seno hiperbólico, denotada por senh, e a função cosseno hiperbólico, denotada por cosh, são definidas, respectivamente, por: senhx - - x 2 '+ e e cosh x= 2 O domínio e imagem das funções senh e cosh são: D (senh) (- + °°), D (cosh) = (- 00, °°), Im (senh) = (- + .0) e Im (cosh) = [1, + O gráfico da função senh é dado na Figura 2.31(a). Pode ser obtido pelo método chamado adição de ordenadas. Para usar essa técnica, esboçamos os gráficos 1 das funções - 2 e' e - e' (tracejados) e somamos as respectivas ordenadas. 2 Da mesma forma obtemos o gráfico da função cosh [Figura 2.31 (b)].
  55. 55. Funções 55 (a) (b) Figura 2-31 A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura. Na Figura 2.32 desenhamos um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola. No entanto, é possível mostrar que a equação correspondente é: y = cosh (x/a), a E R. Esta curva recebe a denominação catenária. Figura 2-32 As quatro funções hiperbólicas restantes podem ser definidas em termos de senh e cosh.
  56. 56. 56 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração I TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE HIPERBÓLICAS As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas, denotadas respectivamente por tgh, cotgh, sech e cosech são definidas por: — tgh x = senh x coshx ex + e- x coshx + cotghx — — senhx ex — e- x sechx = 1 = 2 coshx ex + e cosechx = 1 2 senhx eX _ e-x Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.33. Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são válidas para as funções hiperbólicas. Por exemplo, pode-se verificar que cosh2u — senh2u = 1. Esta identidade é análoga à identidade trigonométrica cos eu + sen2u = 1 e pode ser usada para justificar o adjetivo hiperbólico nas definições. De fato, a identidade cosh 2u — senh2u = 1 mostra que o ponto P de coordenadas (cosh u, senh u) está sobre a hipérbole unitária x2 — y2 = 1. Fazendo u variar no conjunto dos reais, o ponto P descreve o ramo direito da hipérbole. Observamos que aqui a variável real u não representa um ângulo, como acontece nas funções trigonométricas. No entanto, pode-se estabelecer uma relação interessante, que fornece uma interpretação geométrica para o parâmetro u. Na Figura 2.34(a), representamos o círculo unitário, onde demarcamos um ponto P (cos t, sen t). A área Ac do setor circular QOP é dada por 1 AC = 2 t (1)2 1 = — 2 t e portanto, t = 2Ac.
  57. 57. -1 y = tgh x y = cotgh x (a) (b) X X -1 y = sech x (c) Figura 2-33 y = cosech x (d) A Y Funções 57 Uma relação análoga a esta, é válida para as funções hiperbólicas. De fato, é possível mostrar que a área Ah, do setor hiperbólico QOP da Figura 2.34(b), é dada por A =2 u e dessa forma, u = 2Ah .
  58. 58. P (cosh u, senh u) 58 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração (a) (b) Figura 2- 34 Relacionamos abaixo, outras identidades que podem facilmente ser verificadas: 1 tgh u — cotgh u 1 — tgh2 u = sech2 u e 1 — cotgh2 u = —cosech2 u. 2.15.6 Funções Hiperbólicas Inversas Nesta seção estudaremos as funções hiperbólicas inversas. Para isso, devemos nos lembrar das definições da seção 2.15.5 e observar os gráficos das Figuras 2.31(a) e (b) e 2.33. FUNÇÃO INVERSA DO SENO HIPERBÓLICO Analisando o gráfico da função y = senh x [Figura 2.31(a)], vemos que a cada valor de y na imagem corresponde um único valor de x no domínio. Assim, podemos definir a sua função inversa. A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e denotada por arg senh, é definida como segue: y = arg senh x =x = senh y
  59. 59. Funções 59 Temos D(arg senh x) = Im (arg senh x) = R. O gráfico da função arg senh pode ser visto na Figura 2.35. Ele é obtido fazendo uma reflexão do gráfico da função senh sobre a reta y x. Figura 2-35 FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO Para definirmos a inversa da função cosseno hiperbólico precisamos restringir o seu domínio, pois como podemos ver no seu gráfico, Figura 2.31(b), a cada valor de y na imagem, exceto y = 1, correspondem dois valores de x no domínio Seja f: [O, + -4 [1, + a função dada por f (x) = cosh x. A sua função inversa é chamada argumento do cosseno hiperbólico e é denotada por arg cosh. Simbolicamente, para y O, escrevemos y = arg cosh x = x = cosh y Temos D(arg cosh x) = [1, + e Im(arg cosh x) = [O, + oo). O gráfico pode ser visto na Figura 2.36.
  60. 60. 60 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração AY X Figura 2-36 INVERSAS DAS FUNÇÕES TANGENTE HIPERBÓLICA, COTANGENTE HIPERBÓLICA E COSSECANTE HIPERBÓLICA Para definirmos as inversas destas funções não necessitamos restringir os seus domínios, pois a cada valor de y na imagem corresponde um único valor de x no domínio [ver Figura 2.33,(a), (b) e (d)]. As funções inversas da tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica e cosse- cante hiperbólica, denotadas respectivamente por arg tgh, arg cotgh e arg cosech, são definidas como segue: y = arg tgh x = x = tgh y y = arg cotgh x = x = cotgh y y = arg cosech x = x = cosech y A Figura 2.37 mostra um esboço dos gráficos dessas funções.
  61. 61. y= arg cosech xy= arg cotgh x Jay Funções 61 y= arg tgh x Figura 2-37 INVERSA DA FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA Da mesma forma que ocorreu com a inversa do cosseno hiperbólico, para definirmos a inversa da função secante hiperbólica devemos restringir seu domínio Seja f: [O, + co) -- [O, 1] a função dada por f (x) = sech x. A sua função inversa é denotada por arg sech. Para y O, temos y = arg sech x =x = sech y Na Figura 2.38 podemos ver um esboço do gráfico da função arg sech.
  62. 62. arg senti x = ln (x + 11x2 + 1 ), x qualquer; arg cosh x = ln (x + 11x2 — 1), x . 1; arg tgh x = 2— ln 1 — x 1 ( 1 + x — 1 x 1 ; arg sech x = In + -‘11 - X2 , OX.^ 1; 62 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Y X Figura 2-38 Podemos exprimir as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais. Isso decorre do fato das funções hiperbólicas serem definidas em termos da função exponencial, que admite a função logaritmo natural como inversa. A seguir apresentamos essas expressões, que aparecem freqüentemente na integração. arg cotgh x = 2— ln x x + 1 r 1 , lx I 1 ; 1 [1 -1 + x2 arg cosech x = ln — x + 1 lx1 ) , x O.
  63. 63. Funções 63 EXEMPLO. Mostrar que arg senh x = ln (x + •NI x2 + 1 ), para todo valor de x. Sejam xeRey= arg senh x. Então, x = senh y — e portanto, eY — e-Y 2 - 2x — = O. Multiplicando ambos os membros da igualdade por e, temos e2Y — 2xeY — 1 = O. Resolvendo esta equação para eY pela fórmula quadrática, obtemos 2x + •Ni 4x2 + 4 _ _ x ± x2+ 1 . 2 Como e O para qualquer y, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto, ey = x + x2 + 1 . Tomando o logaritmo natural, temos y = ln (x + x2 + 1 ) , ou seja, arg senh x = ln (x + x2 + 1 ) . 2.16 EXERCÍCIOS 1. Construir os gráficos das funções de 1 9 grau. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = kx ; se k = O, 1, 2, 1/2, — 1, —2 (b) y=x+b, se b=0,1,-1 (c) y = 1,5x + 2.
  64. 64. 64 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 2. Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = ax2, se a = 1, 1/2 e -2 (b) y = x2 + c, se c = O, 1, 1/2, -3 (c) y = yo + (x- 1)2, se yo = O, 1, -1 (d) y = ax2 + bx + c, se a = 1, b = -2 e c = 5. 3. Construir os gráficos das funções polinomiais. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = 2 + (x - 1)3 (b) y = x4 (c) y = 2x2 - 4. 4. Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem. . 1 x - 1 (a) y = - 2 (b) y = (c) y - (x - 1)2 X X -I- 4 5. A função f (x) é do 12 grau. Escreva a função se f(-1)= 2 e f (2) = 3. 6. Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares (a) f (x) = 3x4 - 2x2 + 1 (b) f (x) = 5x3 - 2x (c) f (s) = s2 + 2s -I- 2 (d) f (t) = t6 - 4 3 f(y) - Y Y y2 +1 1 (h) .ft - 2 x) = (a' + a-x) (j) flx) = ln (x + 'N/ 1 + x2 ) . (e) f (x) =I xl x - 1 (g) f(x) = x + 1 (i) f(x) = ln 1 + x 1 - x
  65. 65. x + 1 (c) f(x) — x — 1 (d) f(x)=Ix1+Ix-11. Funções 65 7. Demostre que sef e g são funções ímpares, então (f + g) e (f — g) são também funções ímpares. 8. Demonstre que se f e g são funções ímpares, então f-g e flg são funções pares. 9. Mostre que a função — 1 [f(x) + f(—x)] é par e que a função — 1 ff (x) — f (—x)] é ímpar. 2 2 10. Demonstre que qualquer função f: R R pode ser expressa como a soma de urna função par com uma função ímpar. 11. Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar (a) f (x) = x2 2 (b) (x) = x3 — 1 12. Seja f (x) uma função, cujo gráfico para x O, tem o aspecto indicado na figura. Completar esse gráfico no domínio x O, se: a) f (x) é par; b) f (x) é ímpar. 13. Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função dada e de sua inversa. (a) y = 3x + 4 (b) y — 1 x — a (c) y= X + a+ (d) y = 1, x O x a
  66. 66. 66 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração (e) y = .Nrx - 1, x_1 (f) y = - - x, x5 a x2 (g) Y - 1 x O (h) y = x2 - 4 , O x- + (i) y = x2 - 4 , x O. 14. Mostrar que a função y = f(x) - x + 2 - 1 coincide com a sua inversa, isto é, x = f(y) 2x ou f (f (x)) = x. 15. Dada a função y = f(x) = 1 + definida para todo x real, demonstrar que sua inversa 1 é a função x = g (y) h. y2 definida para ly I 1. se x 1 16. Seja f(x) = x2, se 1 .^ x 5 9 27 -rx- , se x 9 . Verifique que f tem uma função inversa e encontre! 1 (x). 17. Se f (x) e g (x) são periódicas de período T, prove que: (a) h(x) = f (x) + g (x) tem período T. (b) h(x) = f (x) • g (x) é periódica de período T. (c) h(x) = g() , g (x) # O V x, é periódica de período T. 18. Se f (x) é periódica de período T, prove que 3T também é período de f 19. Sabendo que f (x) é uma função par e periódica de período T = 4, complete o seu gráfico.
  67. 67. Funções 67 20. Se f (x) = 2x, mostrar que f (x + 3) -f (x -1) = 15/2f (x). 21. Seja 4)(x) = 1/2 (ax + a-x) e 111(x) = 1/2 (a' - a-x) . Demostrar que 4T(x + y) =4)(x) 4)(Y) + Ni(x) • NI(Y) e ni(x + =4)(x) - V(Y) +4)(Y) • 111(x). 22. Construir o gráfico das seguintes funções exponenciais. (a) y = ax, se a = 2, 1/2, e (e = 2,718 ...) (b) y = 101Ix (c) y = e-x2 (d) Y = - 2x 23. Dada 4)(x) = ln 1 - x 1 + x verifique a igualdade 4)(a) + 4)(b) - 24. Sejam f (x) = log x e g (x) = x3. r a + b 1 + ab
  68. 68. 68 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Forme as expressões (a) f [g (2)] (c) g[f (a)], a O. (b) f [g (a)], a O 25. Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas. (a) y =ln (—x) (c) y=ln(x+1) (e) y=x1nx. (b) y= ln I xl (d) y = logax se a = 10, 2 e 1/2 26. Se f (x) = arc tg x prove que .f(x) + KY) — f (ir x yY ) • 27. Prove que arc tg a — arc tg b = arc cotg b — arc cotg a. 28. Sejaft0) = tg O . Verifique a igualdade f (2 O) = 2 f (0) 29. Seja f (x) = arc cos (log10 x). Calcular f (1110), f (1) e f (10). 30. Determinar o domínio das seguintes funções: x (a) y = arc cos 2 +1 x (b) y = arc sen (log10 x/10) (c) y = Nisen 2x . 31. Construir o gráfico das seguintes funções trigonométricas. Verificar se são periódicas e em caso afirmativo determinar o período. I. 1 — LAO) 1 2
  69. 69. Funções 69 (a) y = sen kx, k = 2, 3, 1/2 e 1/3 (c) y=kcos 2x, k=2,-1 e 1/2 (e) y = cos (x + n12) (g) y = cotg (x + rc/4) (i) y = 1 + sen x (b) y = k cos x, k = 2, 3, 1/2, 1/3 e —1 (d) y =- sen (x — rc/2) (I) y = tg (x — 37r/2) (h) y = tg 2x (j) y=l+Isen2x1 32. Dada a função f (x) = 2 senh x — 3 tgh x, calcule f (2),f (-1) e f (0). 33. Prove as identidades: (a) 1 — tgh2 u = sech2 u (b) 1 — cotgh2 u = cosech2 u. 34. Defina uma função inversa para y = cosh x, para x O. Esboce o gráfico. 35. Mostre a validade das expressões: (a) arg cosh x = ln (x + si x2 — 1), x 1; (b) arg tgh x = 1/21n 1 + x ) 1 — x , —1 x 1; (c) arg sech x = ln ri+ ,11 — x2 x , O x 1. 36. Sendo f (x) = cosh x, mostre que f [In ( x + Ix2 — 1)] = x 37. Mostre que as funções senh x, tgh x, cotgh x e cosech x são ímpares. 38. Mostre que as funções cosh x e sech x são pares.
  70. 70. MAKRON Books CAPÍTULO 3 EDITORA DAU LIMITE E CONTINUIDADE O objetivo deste capítulo é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos analisar propriedades e teoremas referentes a' limites de funções. Finalmente, definiremos a continuidade das funções usando limites. 3.1 NOÇÃO INTUITIVA Inicialmente faremos algumas considerações. Sabemos que, no conjunto dos números reais, podemos sempre escolher um conjunto de números segundo qualquer regra pré-estabelecida. Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas. (1) 1, 2, 3, 4, 5, ... (2) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ... (3) 1, 0, —1, —2, —3, ... (4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ... Na sucessão (1), os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um LIMITE. Dado um número real qualquer, por maior que seja, podemos sempre encon- 70
  71. 71. Limite e continuidade 71 trar na sucessão, um termo maior. Dizemos então que os termos dessa sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito. Denota-se X - 00 . Na sucessão (2) os termos crescem mas não ilimitadamente. Os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Dizemos que De maneira análoga, dizemos que na sucessão (3) x — — 00 . Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite. Ampliaremos agora, o conceito de LIMITE para os diversos casos de Limite de uma função. Observemos as seguintes funções: Exemplo 1. Seja y = 1 — 1/x (ver Figura 3.1 e Tabela 3.1). Tabela 3.1 x 1 2 3 4 5 6 500 1000 y O 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 499/500 999/1000 . . . x —1 —2 —3 —4 —5 . —100 —500 2 3/2 4/3 5/4 6/5 . . 101/100 501/500
  72. 72. X 72 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Figura 3-1 Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as tabelas e o gráfico para constatar que: y -4 1 quando x — + 00 . Denota-se lim (1 - 1/x) = 1. X Exemplo 2. A função y = x2 + 3x - 2 tende para + ao quando x -- ± Denota-se lim (x2 + 3x - 2) = + X —) ± 00 De fato, intuitivamente, basta analisar o gráfico (Figura 3.2) e as sucessões da tabela (Tabela 3.2). Tabela 3.2 x 1 2 3 4 5 6 7 100 1000 2 8 16 26 38 52 68 10298 1002998 .. x -1 -2 -3 -4 -5 -6 . . . -100 -500 - 4 - 4 - 2 2 8 16 . . . 9698 248498
  73. 73. Limite e continuidade 73 Figura 3-2 Exemplo 3. 2x 1 A função y = + tende para 2 quando x — ± co, e escrevemos x — 1 . 2x + 1 hm — 2. x— 1 Tabela 3.3 x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 y 3,5 5 8 14 32 302 3002 30002 x — 1 O 0,9 0,99 0,999 0,9999 y 0,5 —1 — 28 — 298 — 2998 — 29998
  74. 74. 74 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Figura 3-3 Observando a Figura 3.3 e a Tabela 3.3 ainda podemos dizer que y — + quando x — 1 através de valores maiores do que 1 e que y — — 00 quando x — 1 através de valores menores do que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites laterais denotados por: lim x 1+ lim x +00 e -00, respectivamente chamados limite à direita e limite à esquerda. Exemplo 4. A Figura 3.4 nos mostra o gráfico da função 1 Y — (x + 1)2 Esta função tende para o infinito quando x tende para —1, e escrevemos 1 11111 - Ce x _ (x + 1)2
  75. 75. 1 lim 1 — +00. + 1)2 lim x--1+ + 1)2 -1 Limite e continuidade 75 ou ainda, Tabela 3.4 x —3 2 —1,5 —1,25 —1,1 —1,01 —1,001 y 0,25 1 4 16 100 10000 1000000 x O — 0,5 — 0,75 — 0,9 — 0,99 — 0,999 y 0,25 1 4 16 100 10000 1000000 Figura 3-4 Exemplo 5. A Figura 3.5 mostra o gráfico da função -1 Y = (x - 2)2 Escrevemos lim x-2 — — 00 ou y — — oo quando x — 2. - 2)2
  76. 76. x y 3 2,5 2,1 2,01 2,001 —0,25 — 4 — 100 — 10000 — 1000000 76 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Tabela 3.5 2 1 1,5 1,9 1,99 1,999 —0,25 — 1 — 4 — 100 — 10000 — 1000000y x Figura 3-5 Exemplo 6. Na Figura 3.6 temos o gráfico da função y = 3x -1. De modo análogo aos exemplos anteriores, observando esse gráfico e a Tabela 3.6, podemos escrever que lim (3x - 1) = lim (3x - 1) = 2, x-41+ x-41 ou ainda, lim (3x -1) = 2. x-41
  77. 77. Limite e continuidade 77 Tabela 3.6 x 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 y — 1 — 0,25 0,5 1,25 1,7 1,97 1,997 1,9997 x 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 y 4,25 3,5 2,75 2,3 2,03 2,003 2,0003 Figura 3-6 Podemos agora analisar os exemplos dados de outro modo. No Exemplo 3.6, observa-se que é possível fazer o valor de y tão próximo de 2 quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 1, mas não necessaria- mente igual a 1. Ou ainda, o valor absoluto da diferença y — 2 tão pequeno quanto desejarmos, tomando o valor absoluto da diferença x — 1 suficientemente pequeno. (Observe a Tabela 3.6.) Estamos agora aptos a formular as definições formais.
  78. 78. 78 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 3.2 DEFINIÇÃO Seja f (x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f (x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos lim j(x) = L x a se para todo- e 0, existe um 8 0, tal que If (x) — LI e sempre que 0 lx — al 8. 3.3 EXEMPLOS Usando a definição 3.2 provar que: (i) lim (3x — 1) = 2. x--1 De acordo com a definição 3.2 devemos mostrar que, para todo E 0, existe um 5 0, tal que I (3x — 1) — 2 I E sempre que 0lx—ll 8. O exame da desigualdade envolvendo E proporciona uma chave para a escolha de 8. As seguintes desigualdades são equivalentes: 13x-1-21 E I3x — 3 I e I3(x — 1) I E 3 lx — 1 I E Ix — 1 I e/3. A última desigualdade nos sugere a escolha do 8. Fazendo 50 = E/3, vem que I (3x — 1) — 2 I e sempre que O lx — 1 I 8.
  79. 79. Limite e continuidade 79 Portanto, hm (3x — 1) = 2. —1 (i) lim x2 = 16. x—4 Vamos mostrar que dado e O, existe 3 O, tal que 1x2 — 16 1 e sempre que O Ix — 4 1 6. Da desigualdade que envolve E, temos lx2 — 16 1 E IX-41 IX+ 4 1 E Necessitamos agora substituir Ix + 41 por um valor constante. Neste caso, vamos supor O 8 1, e então, de O Ix — 4 1 8, seguem as seguintes desigualdades equivalentes: lx — 4 1 1 —1 x-4 1 3 x 5 7 x + 4 9 Portanto, Ix + 4 1 9. Escolhendo 6 = min (e / 9,1), temos que se Ix — 4 1 8 então Lx2 — 161= Ix— 411x + 41 6. 9 9 9 = e. Logo lim x2 = 16. x —4
  80. 80. 80 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 3.4 PROPOSIÇÃO (UNICIDADE DO LIMITE) Se lim f(x) = L1 e lim f(x) = L2, então L1 = L2. x — a x -) a Prova. Seja E O arbitrário. Como lim f(x) = L 1, existe 8 O tal que x- a I f (x) - L1 1 E /2 sempre que O lx - a 1 S i . Como lim f(x) = L2, existe 52 O tal que -) a I f (x) - L21 E /2 sempre que O Ix - a I 8 2. Seja 8 = min {81 , S2 }. Então, If(x) - L1 1 E/2 e If(x) - L21 E./2 sempre que 0 ix - al 8. Seja x tal que O lx - al S. Então, podemos escrever ILi - L2I = IL1 - f (x) + f (x) - L2I ^ If (x) - L1 1 + If (x) - L21 E/2 + e/2 = e. Como e é arbitrário, temos IL1 - L2I = O e portanto L 1 = L2. 3.5 PROPRIEDADES DOS LIMITES - , Na Seção 3.3, usamos a definição de limite para provar que um dado número era limite de uma função. Foi um processo relativamente simples para funções lineares, que se tornou complicado para funções mais elaboradas. A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem apelar para a pesquisa do número 8 que aparece na definição 3.2. 3.5.1 Proposição. Se a, m e n são números reais, então lim (mx + n) = ma + n. x — a
  81. 81. Limite e continuidade 81 Prova. Caso I: m O. De acordo com a definição 3.2, dado e O, devemos mostrar que existe 8 O, tal que 1 (m x + n) — (m a + n)I e sempre que O 1 x — al 8. Podemos obter a chave para a escolha de 8 examinando a desigualdade que envolve E. As seguintes desigualdades são equivalentes: 1(m x + n) — (m a + n)I E iM X — m al E Iml I x — al E 1x — al E 1m 1 A última desigualdade sugere a escolha 8 = 1m1 E 1 De fato, se 8 = 1m ' temos e 1(m x + n) — (m a + n)I = Iml lx — al Iml • — Iml sempre que O lx — al 8, e portanto, lim (mx + n) = ma + n. x — a Caso 2: m = O. Se m = O, então 1 (m x + n) — (m a + n)I = O para todos os valores de x. Logo, tomando qualquer 8 O, a definição de limite é satisfeita. Portanto, lim (mx + n) = ma + n, para quaisquer a, m e n reais. x a Da proposição 3.5.1, decorre que: (a) Se c é um número real qualquer, então lim C = C. .x -4 a
  82. 82. (d) lim x -4 a lim f(x) x--a , desde que lim g(x) O; x — a f(x) g(x) Hm g(x) x-4 aa 82 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração (b) lim x = a. x -› a 3.5.2 Proposição. Se lim f(x) e lim g(x) existem, e c é um número real qualquer, então: x -4 a x a (a) lim [f(x) ± g(x)1 = lim f(x) ± Hm g(x); —)(1 x—a x—a (b) lim cf(x) = c • lim f(x); x--a x—a (c) lim f(x) • g(x) = Hm f(x) • lim g(x); x—a x—a x--a (e) lim [Rx)]n = [lim f(x)] para qualquer inteiro positivo n; x—a x--a (t) lim V.gx) = lim f(x) , se lim f(x) O e n inteiro ou se x-4a x-4a x—a lim f(x) 5 O e n é um inteiro positivo ímpar; x -› a (g) lim ln [f(x)] = ln [ Hm f(x)], se lim f(x) O; x—a x—a x—a (h) lim cos [fix)] = cos [ lim f(x)]; x--a x—a (i) lim sen [f(x)] = sen [ lim f(x)]; x—a x—a lim f (x) (i) lim e f (x) = e x—'a x—a •
  83. 83. Limite e continuidade Provaremos o item (a) desta proposição usando o sinal positivo. Prova do item (a). Sejam lim f(x) = L, lim g (x) =M e E 0 arbitrário. Devemos pro- x a x—a var que existe S 0 tal que (f (x) + g (x)) — (L + M)1 E sempre que 0 k - ai 8. Como lim f (x) = L e E/2 0, existe Si 0 tal que [f(x) —Li E/2 x—a sempre que 0 — ai Si Como lim g (x) = M, existe 82 O tal que 1g(x) — Al E/2 sempre x—a que 0 ix—al 82. Seja S o menor dos números S i e 82. Então 8 s Si e s 82 e assim, se O — ai 8, temos 1g(x) — E/2 e [1(x) — Li E/2. Logo, (gx) + g(x)) — (L + M)1 = 1 (gx) —L) + (g(x) —M)1 s 1 f(x) — L1 + 1g(x) — M 1 612 + cI2 = E sempre que 0 x — ai S e desta forma lim (j(x) + g(x)) = L + M. x —a 3.5.3 Proposição. Se f(x) s h(x) s g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em x = a, e se lim f(x) = L = lim g(x) x—►a x—a
  84. 84. 84 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração então, lim h(x) = L. x — a Prova. Seja E O arbitrário. Como lim flx) = L, existe Si O tal que If (x) — LI x — a sempre que O Lr — al 81 . Como lim g(x) = L, existe 32 O tal que Ig (x) — LI e X a sempre que O lx — al 82. Seja 8 = min {81 , 82 }. Então, se O Lr — a! 8 temos que If (x) — LI e e Ig (x) — LI e, ou de forma equivalente, L — e g (x) L-i-eeL—Ef(x)L+ E. Assim, usando a hipótese, concluímos que se O lx — al j 8, então, L f (x) 5. h(x) g (x) L + E , isto é, L — e h(x) L + e. Logo, se O Lr — al 8, temos que Ih(x) — LI e e, portanto, lim h(x) = L . x a 3.5.4 Exemplos. (i) Encontrar lim (x2 + 3x + 5). x— 2 Temos, hm (x2 + 3x + 5) = lim x2 + lim 3x+ lim 5 x — 2 x — 2 x —+ 2 x --)22 = lim x2 + 3 lim x + lim 5 2 x-422 x 2 = 22 + 3 2 + 5 = 15.
  85. 85. Limite e continuidade 85 (ii) Encontrar lim x-93 x — 5 x3 — 7 Hm x-, 3 x — 5 lim (x — 5) x-3 3 — 5 —1 lim (x3 — 7) 27 — 7 10 x-3 — L1 e x3 — 7 L1 e (iii) Encontrar lim -‘ix4 — 4x + 1 . x-4-2 de forma Hm ix4 — 4x + 1 I Hm (X4 - 4x + 1) x - - 2 x -- 2 = -](-2)4 —4(-2) + 1 = 5. X2 (iv) Encontrar hm - 1 — 1 1(x) = im (x — 1) = O . -41 Neste caso, não podemos aplicar a propriedade do quociente pois Porém, se fatoramos o numerador obtemos x2 — 1 (x — 1)(x + 1) — x + 1 para x # 1. x — 1 x —1 Como no processo de limite os valores de x considerados são próximos de 1, ias diferentes de 1, temos lim X2 - 1- 1) (X + 1) - 11111 - Hm (x + 1) = 2 x — 1 x —x-,1 x-1 x-41 (v) Encontrar Hm x2 x sen — 1 x Vamos usar a proposição 3.5.3. Como todos os valores da função seno estão tre —1 e 1, temos
  86. 86. 0 sen 1 x 1, V x O. sen 1 x o x2 x2, V x O. =0.sen - 1 x lim x2 x-I3 .(d) lim f(x). x - 4 lim f(x). x - (e) lim f(x). x- 86 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Multiplicando a desigualdade por x2, temos Como lim 0 = O e lim x2 = O, pela proposição 3.5.3 concluímos que x-I3 x-0 3.6 EXERCÍCIOS 1. Seja f (x) a função defmida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se existir: e(a) lim flx). 6 (b) lim f(x). x-3 - e(c) lim f(x). x-1+ x - 3
  87. 87. Limite e continuidade 87 2. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se existir: ',(a) lim f(x). (b) lim f(x). x - -2+ x - -2 c (c) lim f(x). .(d) lim f(x). x - -2 X - 3. Sejafix) a função defmida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se existir: e (a) lim f(x). (b) lim f(x). x-0+0+ x - O- x O (c) lim f(x). b(d) lim f(x). x - + $(e) lim f(x). X -3 - lim f(x). x - 2
  88. 88. 88 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 4. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se existir: e (a) lim f(x). x 2+ (d) lim f(x). .(b) lim f(x). x 0(e) lim f(x). x (c) lim f(x). x -ì + 5. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se existir: ., (a) lim ,fix). x -4 1+ ((d) lim f(x). x -9 + m (b) lim f(x). x-) 1 o (e) lim f(x). x--t- oo '(c) lim f(x). 1
  89. 89. Limite e continuidade 89 u6. Mostrar que existe o limite de f(x) = 4x — 5 em x = 3 e que é igual a 7. 7. Mostrar que lim x2 = 9. x —› 3 Nos exercícios 8 a 12 é dado lim f(x) = L. Determinar um número 8 para o E dado x — a tal que If(x) — LI e sempre que O I x — al S. 8. lim (2x + 4) = 8 e = 0,01. x 2 9. lim (-3x + 7) = 10 , e = 0,5. x-*-1 e = 0,1. x — —2 X + 2 2 1 — x 3 1 limE = 0,25. —x — 5 X2 — 1 12. lim 1 x— 1 — 2 e = 0,75. X— 13. Demonstrar que lim x sen 1/x = 0. x — O 14. Mostrar que: (0 Se f é uma função polinomial, então lim f(x) = fia) para todo real a. x -4a (ii) Se g é uma função racional e a pertence ao domínio de g então lim g(x) = g(a)• x — a Calcular os limites nos exercícios 15 a 34, usando as propriedades de Limites. 45. lim (3 — 7x — 5x2). 16. lim (3x2 — 7x + 2). x — O x — 3 10. lim x2 — 4 — —4 11.
  90. 90. x --30. Hm 3x -32 x - 4 .31. lim [2 sen x - cos x + cotg x]. x -37c/2 032. lim (ex + 4x). ,21 i x-4 90 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 17. Em (-x5 + 6x4 + 2). x--1-1 19. Hm [(x + 4)3 (x + 2)-11. x- -1 18. Hm (2x. + 7). x - 1/2 20. lim [(x - 2)10 (x + 4)]. x - x + 4 t + 321. lim 22. Em 3x -x -2 t-2 t + 2. X2 23. lim -1 x -)1 x 1. +St + 6. t2 24. hm t + 2t-2 t2 25. lint - 5t + 6 26. s + 4 t-2 t - 2 s -3 1/2 2s 27. lim 3N2x + 3. x -34 28. fim (3x + 2)2/3. x -37 2x2 29. lim - x x -) .5/1 3x 33. Em (2x + 3) 1/4. senil x 34. lim 4x -2 3.7 LIMITES LATERAIS 3.7.1 Definição. Seja f urna função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um núMero L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escrevemos lim f(x) = L, x a-F
  91. 91. Limite e continuidade 91 se para todo e O, existe um 8 O, tal que f(x) - LI e sempre que a x a + 8. Se Hm f(x) = L, dizemos que f(x) tende a L quando x tende para a pela x _ a+ direita. Usamos o símbolo x a+ para indicar que os valores de x são sempre maiores do que a. De maneira análoga, definimos limite à esquerda. 3.7.2 Definição. Sejaf uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f, quando x tende para a, e escrevemos lim f(x) = L, se para todo e O, existe um 8 O, tal que If(x) - LI e sempre que a - x a. Neste caso, o símbolo x — a indica que os valores de x considerados são sempre menores do que a. Observação. As propriedades de limites, vistas nas proposições 3.5.1, 3.5.2 e 3.5.3 continuam válidas se substituirmos x — a por x -- a+ ou x — a- . 3.7.3 Exemplos (i) Dada a função f(x) = (1 + -Vx - 3 ), determinar, se possível, lim f(x) e lim f(x). x -)3+ x-)3 A função dada só é definida para x 3. Assim, não existe lim f(x). x-43 Para calcular lim f(x), podemos aplicar as propriedades. Temos, x-3+ lim f(x) lim (1 + - 3 ) x - 3 +x-)3+ OCV le4 0.‘ -1 ; 1.6 o 6 CP,
  92. 92. 92 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração • lim 1 + lim - 3 x -3+3+ x - 3+ • 1 + lim (x - 3) 3 + • 1 + 0 • (ii) Seja f(x) = x -cri Ose x 1, se x = . Determinar Hm flx) e lim f(x). Esboçar o gráfico. x-o+ x-r Se x O, então Ixl = x e f (x) = = Logo, lim f(x) = Hm -1 = - 1. x-,o+ Se x 0, então Ixl = -x e f(x) = = 1. x Portanto, Hm f(x) = Hm 1 = 1. x x O gráfico da função pode ser visto na Figura 3.7. Observamos que lim f(x) # lim f(x). x x-30
  93. 93. Limite e continuidade 93 Figura 3-7 (iii) Seja f(x) = Ixl. Determinar lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico. x-:■+ x-)o Se x O, então f(x) = x. Logo, lim f(x) = lim x = O. x-o+ x-o+ Se x O, então f(x) = -x. Logo, lim f(x) = lim (-x) = O. A Figura 3.8, mostra o esboço do gráfico da função. Neste exemplo, podemos observar que lim f(x) = lim f(x). x o+ x Figura 3-8
  94. 94. 94 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração O teorema a seguir nos dá a relação existente entre limites laterais e limite de uma função. 3.7.4 Teorema. Se fé definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivel- mente no ponto a, então Hm f(x) = L se e somente se lim f(x) L x- a x—►a+ e lim f(x) = L. x- a- Prova. Provaremos apenas a condição suficiente. A condição necessária é conseqüência imediata das definições dos limites envolvidos. Suponhamos que Hm f(x) = L e Hm f(x) L. Então, dado e 0 arbitrá- x -a+ rio, existe Si O tal que if (x) - L E' sempre que a x a + 81 e existe 82 0 tal que tf (x) - Li e sempre que a - 82 x a. Seja 8 = min {Si , 82}. Então a - 82 s a - 8 e a+Ssa+ 81 , e, portanto, se x a e a-Sxa+6, temos que If (x) - Li E. De forma equivalente, If (x) - Li E sempre que O lx - ai S e desta forma, lim f(x) = L. 3.7.5 Exemplos (i) Analisando os exemplos anteriores, podemos concluir que: kl -ó - o(a) Também não existe lim - x -z (b) Hm ixi = 0. x -o
  95. 95. Limite e continuidade 95 {x 2 + 1 , para x .2 (ii) Seja f(x) = 2 , para x = 2 9 - x2 , para x 2 . Determinar, se existirem, lim f(x), lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico x-)2+ x-2 x-2 da função. Se x 2, então, f (x) = 9 - x2. Assim, lim f(x) = Hm (9 - x2) = lim 9 - Hm x2 =9 - 4 = 2+ x-2+ x-21- x-42+ Se x 2, então, f(x) = x2 + 1. Portanto, Hm f(x) = lim (x2 + 1) = lim x2 + lim 1 = 4 + .1 = 5. x-2 x-2 x-)2 x-2 Como Hm f(x) = lim f(x) = 5, concluímos que x_)2 + lim f(x) = 5. x-2 A Figura 3.9, mostra o gráfico de f(x).
  96. 96. {x2 - 2x + 1 , x 3 .2. Seja h(x) = 7 x 3 . 96 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Figura 3-9 3.8 EXERCÍCIOS 1. Seja f(x) = Calcule: )(b) Em flx). x -› 3- x -) 3+ ‘( ,,(d) lim f(x). -(e) Hm f(x). x - 5 - x_5+ Esboçar o gráfico deflx). 3(a) lim f(x). (c) lim fiz). x -4 3 Em f(x). x-)5 •Calcule lim h(x). Esboce o gráfico de h(x). x-)33
  97. 97. Limite e continuidade 97 3. Seja F(x) = Lx — 4L Calcule os limites indicados se existirem: e(a) lim F(x). x-4+ Esboce o gráfico de F(x). sa(b) lim F(x). s(c) lim F(x). x-4 x - 4 4. Seja f (x) = 2 + 15x — 11. Calcule se existir: (a) lim f(z). (b) hm f(x). e(c) lim Rx). x — 1/5+ x — 1/5 x - 1/5 Esboce o gráfico de f(x). Seja g(x) = — 31 x — 3 x 3 (a) Esboce , x = 3 . o gráfico de g(x). '(b) Achar, se existirem lim g(x), x 3+ lim x — 3- g(x) e lim x - 3 g(x). { e6. Seja h(x) = x/lx 1 , se x O O , se x = O . Mostrar que h(x) não tem limite no ponto O. el. Determinar os limites à direita e à esquerda da função f(x) = arc tg 1/x quando x -* O. a8. Verifique se lim x 1 1 existe. —X -5.
  98. 98. - ,00 —oo,O x 3 O° ..°00 o o ' 98 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 9. Seja f(x) = 1/x , x2 , 2 , 2 — x , x 0 O X 1 x =- 1 x 1 . Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem: é (a) lim f(x). x —) —1 ,*(19) lim f(x). a(c) lim f(x). x —) x )0+ ,(d) lim f(x) . x—) '(e) lim f(x). lim f(x). x — O x -2+2+ ,(g) lim f(x). x - 2 •(h) lim f(x). x— 2 10. Seja f(x) = (x2 - 25)/(x — 5). Calcule os limites indicados se existirem: *(a) lim f(x). x O _ 1(b) lim f(x). ,(c) lim f(x). x - 5+ x - - ((d) lim f(x). s(e) lim f(x). x — 5 x -- - 5 3.9 CÁLCULO DE LIMITES Antes de apresentar exemplos de cálculo de limites, vamos falar um pouco sobre expressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões: são indeterminadas. O que significa isto?
  99. 99. Limite e continuidade 99 Vejamos, por exemplo, O - • O Sejam f e g funções tais lim f(x) = lim g(x) = O. Nada se pode afirmar, x-*a x—a a priori, sobre o limite do quociente f/g. Dependendo das funções f e g ele pode assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que 0/0 é um símbolo de indeterminação. Para comprovar o que dissemos acima, vejamos dois exemplos: (i) Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2. Temos, lim f(x) = lim g(x) = O x x 3 e lim = lim x-5 = lim x = O. g(x) x --)13 x (ii) Sejam f(x) = x2 e g(x) = 2x2. Temos, lim f(x) = lim g(x) = O e, neste caso, x-4c■ x-o lim x. f( ) x2 - lim - lim 1 = -1 - x g(x) x2x2 x-'0 2 2 Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários. São os casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num determinado ponto e o limite do numerador também é zero neste mesmo ponto. Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 0/0. lim x3 Exemplo 1. h - 3x + 2 x -4 -2 x2 - 4
  100. 100. 100 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Neste caso, fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se a seguir as simplificações possíveis. Aplicamos então a proposição 3.5.2. Temos, lim = hm - 3x + 2 (x2 - 2x + 1)(x + 2) x---2 x2 - 4 x--2-2 (x - 2)(x+ 2) = lim x2 - 2x + 1 x--2 x - 2 lim (x2 - 2x + 1) x--2 um (x - 2) x 2 - 9/4. + 2 - Exemplo 2. hm x-›0 Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. Segue então, + 2 - = lim esix + 2 - (Nix + 2 + lim x-)o x x-0 Xe■ix + 2 + = lim (Nix + 2 )2 -(Nr2-:)2 x x ( ■ix + 2 + ) = lim x + 2 - 2 x-0 X( . 1.7C 2 +')
  101. 101. Limite e continnifkrk 101 = lim , x—)o Vx + 2 + N12— 1 2*Ni2.-- Exemplo 3. lim r— x-41 Nx — 1 Neste caso faremos uma troca de variáveis para facilitar os cálculos. Por exemplo, x = t6, t O. Quando t6 —+ 1, temos que t --.1. Portanto, 3-■ lim — 1 = lim — 1 x — 1 r—› Nt6 — 1 = llim- 1 t-91 r — 1 lim (t — 1) (t + 1) rol = (t +1) (t2 + t + 1) lim t+ 1 = t -41 , + t + 1 = 2/3. 1 3fX —
  102. 102. Exemplo 4. lim (x + h)2 — x2 h-0 h Neste exemplo, simplesmente desenvolve-se o numerador para poder realizar as simplificações. Obtem-se: h x . m ( + h)2 — x2 —lim +x2 2xh + h2 — x2 h-0 h h-0 h um 2xh + h2 = h-0 h um h(2x + h) h-0 h = lim (2x + h) h-0 2x. 3.10 EXERCÍCIOS 1. Para cada uma das seguintes funções ache hm f(x) — f(2) x- 2— 2x -• 2 ?,(u) f(x) = 3x2. (b) f(x) = 1/x, x O. • (c) f(x) = 2/3 x2. e(d) f(x)= 3x2 + 5x — 1. 6 (e) f(x) = x + 1 , x —1 . a (f) f(x) = x3. 102 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
  103. 103. .■11. + x — 1 19. lim —x • Vx' — 4a 21. lim a O . x — a x — a x-0 -31 8 + — 2 h V x2 + a2 — a lim , a, b O . x ix2 + b2 — b tf 17 ( Limite e continuidade 103 Nos exercícios 2 a 25 calcule os limites. . x3 + a. hm , x x- - 1 3. lim t3 + 4ê + 4f (t + 2) (t — 3) E4. lim x2 + 3x — 10 1$. lim 2t2 — 3t — 5 • x-2 3x2 — 5x — 2 — 5/2 2t — 5 06. lim x2 + (1 — a)x — a 97. lim 3x2 — 17x + 20 3 — axx-*a x-4 4x2 — 25x + 36 Li x2-1 (m-},, y,,y--n__L x2 + 3x + 2 (/-IJ) X2 - 4 x2 — 5x + 6 410. lim D11. x — 2x -2 x-2 XL —12x + 20 42. lim (2 + h)4 — 16 3. fim (4 + 02 -16 • 01 h —tr) x2 + 6x + 5 *8. lim x--_1 x— 3x — 4 ▪ lim x '125 + 3t — 5 .N1a2 + bt — a .r.14. lim m15. lim , a O r — o t r-0 — 1 Àt, 'N/2(h2 — 8) + h . 16. t.17. 11111 h--1 h — 1 h--4 h + 4
  104. 104. 104 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração • 22. te lim x -1 — 1 23. lim x 1 -2 ï; + - 1)241; - 1 3 - -/5 + x •t; 24. Hm x -4 1 - - X FI + x — —x25. lim 3.11 Limites no Infinito No exemplo 1 da seção 3.1, analisamos o comportamento da função f(x) = 1 - 1/x para valores de x muito grandes. Intuitivamente, vimos que podemos tomar o valor de f(x) tão próximo de 1 quanto desejarmos, tomando para x valores suficientemente elevados. (Observar a Tabela 3.1.) Da mesma forma, fazendo x decrescer ilimitadamente vemos que f(x) se aproxima desse mesmo valor 1. Temos as seguintes definições: 3.11.1 Definição. Seja_ f uma função definida em um intervalo aberto (a, + oe Escrevemos, fim f(x) = L, x-,+-+- quando o número L satisfaz à seguinte condição: Para qualquer e O, existe A O tal que If (x) - LI e sempre que x A. 3.11.2 Definição. Seja f definida em (- 00, b). Escrevemos, lim f(x) = L, X -) se L satisfaz a seguinte condição: Para qualquer e O, existe B O tal que If (x) - LI e sempre que x B.
  105. 105. Limite e continuidade 105 Observação.As propriedades dos limites dadas na proposição 3.5.2 da seção 3.5, permanecem inalteradas quando substituimos x — a por x — + .0 ou x — — oo. Temos ainda o seguinte teorema, que nos ajudará muito no cálculo dos limites no infinito. / 3.11.3 Teorema. Se n é um ral ero inteiro positivo, então: (i) lim 1= 0. Xn (ii) hm — = 0. xn Prova. Vamos demonstrar o item (i). Devemos provar que, para qualquer e 0, existe A 0, tal que e sempre que x A. O exame da desigualdade que envolve c nos sugere a escolha de A. As seguintes desigualdades são equivalentes: — —0 xn E E
  106. 106. 106 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração A última desigualdade nos sugere fazer A = 1/ W. Temos que x A — -o E e desta forma limhm — = O. x—+.0 Xn A demonstração do item (ii) se faz de forma análoga. Sugerimos ao aluno que tente fazê-la. 3.11.4 Exemplos 2x (i) Determinar lim – 5 x + 8 Neste caso, temos uma indeterminação do tipo — • Vamos dividir o numerador e o denominador por x e depois aplicar as proprie- dades de limites juntamente com o teorema 3.11.3. Temos, lim 2x – 5 lim 2 – 5/x x + 8x–+– x–+. 1+ 8/x lim (2 – 5/x) lim (1 + 8/x) lim 2 – lim 5/x lim 1 + lim 8/x
  107. 107. Limite e continuidade 107 2 — 5.0 1 + 8.0 = 2. 2x3 3x + 5 (ii) Encontrar lim 4x5 — 2 Novamente temos uma indeterminação do tipo 00/co. Para usarmos o teorema 3.11.3, dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x, que neste caso (X.5-- Temos, lira x 2x3 — 3x + 5 4x5 — 2 — 3 5 x2 x4 + x5 x -÷ - 4 — 2/x5 lim lim (2/x2 — 3/x4 + 5/x5) X —) — lim (4 — 2/x5) x 2 lim 1/x2 — 3 lim 1/x4 + 5 lim 1/x5 X —) — 00 x -) -0 x -- o0 lim 4 — 2 lim 1/x5 x — X —) — cc. 2.0 — 3.0 + 5.0 4 — 2.Ó .= 2x + 5 (iii) Determinar lim J, 9 x +— LX- 5
  108. 108. 108 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Neste caso, dividimos o numerador e o denominador por x. No denominador tomamos x = , já que os valores de x podem ser considerados positivos (x -- + co). Temos, 2x + 5 hm' *V2x2 - 5 lim + 5/x - , x-+- %12x2 - 5 / yx/72 lim (2 + 5/x) x lim 2x2 - 5 x-+- x2 lim 2 + 5 lim 1/x x-+- x-+- •■12 - 5/x2 x-+- 2 + 5.0 lim (2 - 5/x2) x 2 I2 - 5.0 2x (iv) Determinar lim + 5 x--- V2x2 - 5 Como no exemplo (iii), dividimos numerador e denominador por x. Como neste caso x — - co, os valores de x podem ser considerados negativos. Então, para o denominador, tomamos x = --5172 . Temos, lim 2x + 5 = lim 2 + 5 / x , x--- N2x2 _ 5 V2x2 _ 5 / (-
  109. 109. Limite e continuidade 109 2 + 5/x 2x — 5 x2 lim (2 + 5/x) x — V lim (2 — 5/x2) 2 + 5.0 — 12 — 5.0 2 — = — 3.12 LIMITES INFINITOS No exemplo 4 da seção 3.1, analisamos o comportamento da função f(x) = 1/(x + 1)2 quando x está próximo de —1. Intuitivamente, olhando a Tabela 3.4, vemos que quando x se aproxima cada vez mais de —1, f(x) cresce ilimitadamente. Em outras palavras, podemos tornar f(x) tãó grande quanto desejarmos, tomando para x valores bastante próximos de —1. Temos a seguinte definição. 3.12.1 Definição. Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que lim .ftx) = + 00, x — a se para qualquer A 0, existe um 8 O tal que f(x) A sempre que 0Lr—aiS.
  110. 110. 110 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração De modo semelhante, observando a Figura 3.5, do exemplo 5 da seção 3.1, podemos ver o que ocorre com uma função f(x) cujos valores decrescem ilimitadamente nas proximidades de um ponto a. 3.12.2 Definição. Seja f(x) definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que lim ffx) = x -3 a se para qualquer B O, existe um 8 0, tal que f(x) B sempre que 0 lx - al 5. Além dos limites infinitos definidos em 3.12.1 e 3.12.2, podemos considerar ainda os limites laterais infinitos e os limites infinitos no infinito. Existem definições formais para cada um dos seguintes limites: lim f(x) = + ao , lim f(x) = + ao , lim f(x) = - 00 , x - a+ x - a- x - a+ lim f(x) = , lim f(x) = a° lim f(x) = - 00 , x - a- x - + x - +oo lim f(x) = + D3 e lim f(x) = Por exemplo, dizemos que lim f(x) + a° se para qualquer A 0, existe x - a+ um 8 O tal que f (x) A sempre que 0 x a + 8. A seguir apresentamos um teorema muito usado no cálculo de limites infinitos. 3.12.3 Teorema. Se n é um número inteiro positivo qualquer, então: lim(i) — = + co. x - O+ X
  111. 111. Limite e continuidade 111 se n é par se n é impar . Prova. Vamos provar o item (i). Devemos mostrar que para qualquer A O, existe 8 O, tal que A sempre que O x xn Trabalhando com a desigualdade que envolve A, obtemos uma pista para a escolha de S. Como x O, as desigualdades abaixo são equivalentes: 1 A x 1 xn — A x V1/A. Assim, escolhendo 8, = !■11/A , temos 1/x A sempre que O x 3.12.4 Propriedades dos Limites Infinitos. De certo modo, a proposição 3.5.2 permanece válida para limites infinitos, embora devamos tomar muito cuidado quando combinamos funções envolvendo esses limites. A Tabela 3.7 nos dá um resumo dos fatos principais válidos para os limites infinitos, onde podemos ter x — a, x —a+, x — a- , x — + 00 ou x -- — 00. As demonstrações não são difíceis. Provaremos o item 01 como exemplo. Na Tabela 3.7, 0+ indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero por valores positivos e 0- indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero, por valores negativos.
  112. 112. 112 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Tabela 3.7 lim f(x) lini g(x) h(x) = lim h(x) simbolicamente 01 ± ao ±00 f(x) + g(x) f00 +.+.=+. 02 + ao f(x) - g(x) ? (+ ao) - (+ oo) é indeterminação 03 + ao k f(x) + g(x) +00 +00+k=+00 04 -ao k f(x) + g(x) - 0. -00+k= - .** 05 + 00 f(x) - g(x) (+ °e) - (+ c°) = + a° 06 - ... f(x) • g(x) _ .... (+ c°) • (- °°) = - a° 07 + c. . k 0 f(x) • g(x) +00- . +00 •k=+00,k0 08 + co k 0 f(x) • g(x) -ao + oo • k = - 0*, k O 09 f(x) - g(x) ? ± oo • O é indeterminação 10 k ± 03 f(x)/g(x) O k/± 00 = O 11 ± ao ± ao f(x)/g(x) ? ± *01+ oo é indeterminação 12 k O 0+ f(x)/g(x) + ao kl0+ = + co, k O 13 + c. f(x)/g(x) +00 + 0010+ = + 00 14 k 0 0- f(x)/g(x) - oo k10- = - 09, k O 15 r f(x)1g(x) - o. + 0010- = - c. 16 O O f(x)/g(x) 010 é indeterminação Prova do item 01. Sejam f e g tais que lim f(x) = +co, lim g(x) = + co e x — a x — a h(x) = f(x) + g(x). Vamos provar que lim h(x) = + x — a Devemos mostrar que dado A 0, existe 5 0, tal que h(x) A sempre que 0 Lx — al 5.
  113. 113. Limite e continuidade 113 Seja A O qualquer. Como lim f(x) = + 00, 3 Si O tal que f(x) A/2 sempre X -9 a que O Ix — al 8 1 . Como lim g(x) = + 00, existe 82 O tal que g(x) A/2 sempre x—a que O lx — al 82. Seja 8 = min {S1 , 842 }. Temos, então h(x) = f(x) + g(x) A/2 + A/2 = A sempre que O Ix — al 8 e desta forma lim h(x) = + 00. x—a 3.12.5 Exemplos (i) Determinar lim (x3 + + 1/x2). x Temos, lim (x3 + + 1/x2) = lim x3 + lim + lim 1/x2 x—0 x—0 x—0 x—0 = O + O + 00 = oo (ii) Determinar lim (3x5 — 4x3 + 1). X — Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0.0 — °O. Para determinar o limite usamos um artifício de cálculo. Escrevemos, 4 1 lim (3x5 — 4x3 + 1) = lim X5 3 — - I- x X'
  114. 114. 114 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração +.0(3-0+0) = + o o lx (iii) Determinar lim —1x1 lim —1x1 e lim 1 I- x2 x X2 x - o x -)0 x Para x 0, temos Ixl = x. Assim, IX lim I = lim x + r2 = - 1 = °. x - 0+ x - Para x 0, temos lx1 = - x. Portanto, lim lx1 = h -x m = lim - -1 = + x - 0 X- x -- x - 0- X . I IX Como Hm i -x2 = hm = I , concluímos que lim = co x -› o x- o x- x o x2 (iv) Determinar lim 5x + 2 lx x - -1 + 11 Quando x — - 1 , Ix + 11 -- O+. Assim, lim (5x + 2) lim 5x + 2 x - _-1 -3 _ - x -i ... . lx + 11 lim lx + 11 0+-› x -)-1 x2 + 3x + 1 (v) Determinar lim x -) 2+ X2 + X - lim x - 2 x2 + 3x + 1 x2 + x - 6 e lim x - 2 x2 + 3x + 1 x2 + x - 6
  115. 115. Limite e continuidade 115 Temos, lim x2-1- 3x + 1 x2 + 3x + 1 - l x , + x - 6 x-m2+ (x 2) (x + 3) • lim (X2 + 3.X + 1) x - 2+ lim [(x - 2) (x + 3)] x - 2+ o+ = o°. Ainda, lim (X2 + 3x + 1) h x2 + 3x + 1 x 2.- m x - r , + X - 6 lim [(x - 2) (x + 3)] x - 2 11 ' = —00 Como . x2 + 3x + 1 lim + 3x + 1 x2 + 3x + 1 hm , não existe o lim • x - 2+ X- + X - 6 x + X - 6 2 X- + X - 6 Porém, muitas vezes, calculando limites de urna maneira menos formal, escrevemos que x - 2 lim x2 + 3x + 1 x2 + x - 6 00 sem nos preocuparmos com o sinal.
  116. 116. 116 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração x2 (vi) Determinar lim + 3 Dividindo o numerador e o denominador por x2, temos 3 1 + — x2 x2 + 3 lim lim Y + 2 1 2 x2) x-›+- lim [1 + x-›+- 3 1 2 x + x x2 lim + 00, - x3 (vii) Determinar lim 5 Dividindo o numerador e o denominador por x3, temos lim 5 - x3 8x + 2 - lim X -+ oo 8 2 x2 lim (5/x3 - 1) X - lim (8/x2 + 2/x3) X - - - x + 2 • 8x + 2
  117. 117. Limite e continuidade 117 — o+ (viii) Determinar lim 2x4 + 3x2 + 2x + 1 4 - x4 Dividindo o numerador e o denominador por x4, temos lim 2x + 3x2 + 2x + 1 = lim 4 - x4 x —› + 3 2 1 2 + — x 2 + — X3 + 4 , -x4 3 2 1 2+ + — x3 + x4 lim .% —4 4- c. 44 _ 1 2 -2. x2 (ix) Determinar lim + 3x - 1 .x-9+0 x3 - 2 Dividindo o numerador e o denominador por x3, temos x2 + 3x - 1 lim - x3 - 2 x-›+- 1 3 1 + x x2 x3 1-X3
  118. 118. lim lim X —) o 1 / ao ai . . . an - 1 I- n X xn - 1 xn bo + b 11 + + bm-1 + mxin-1 .„rn = lim — • x -)-4- X — 118 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração = (x) Mostrar que se P(x) = acre + aixn - 1 + + an e Q(x) = boiln + bre -1 + + bm, então P(x) a lim - ux-n lim x-±- x - boXin Temos, lim aoxn + a1xn-1 + + an b oxm + b ixm-1 + + bm • ( ai an -1 ano xn a + + + + —xn-1 vn 1‘. = lim x b b b bo + + + m- + —f-1
  119. 119. Limite e continuidade 119 ao bo X lim ` • ▪ + Xrn aoxn = lim ▪ -4± boxm 3.13 EXERCÍCIOS 1. 3x + lxl o(b) lim f(x) . x -) -- Se f(x) — 7x 5ixi , calcule: 9(a) lim f(x). — 1 • 2. Sef(x) = calcule: (x + 2)`: t(a) lim f(x) . #(b) lim f(x) . x -4 —2 x -4+ Nos exercícios 3 a 40 calcule os limites. o3. lim (3x3 + 4x2 — 1) . .9 4. lim 1 4 2 — — + x a + 00 x x2 %S. . t + 1 ,o6. • 8. limhm lim + 1 Um r + 1 lim t2, — 2t + 3 , r + 1 2x5 — 3x3 + 2 2t` + 5t — 3 —x` + 7x — 5- 99. 3x5 — x2 + 7 '10. lim ——5x3 + 2 lim 2 — X2 7x3 + 3x -4 --
  120. 120. X CO 14. lim X CO 11. Hm x2 + 3x + 1 x t2 13. lim — 1 + OD t - 4 *12. lim 'rx + 3x - 10 x3 x (2x - 7 cos x) 3x2 - 5 sen x + 1 23. lim 5x3 - x2 + x - 1 x -00 x4 + x3 - x + 1 V 25. lim 2x 2 - 7 27. lim + CO „V3s / - 4s5 2s7 + 1 120 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração V VV — 1 15. lim v + r 3v - 1 17. lim Vx2 + 1 x + 1x -.-00 19. lim x(Vx2 - 1 - x). x ► + 21. lim 10X2 - 3x + 4 x 3x2 - 1 Nix2 16. lim + 1 x + 1 18. lim ( Vx2 + 1 - 1/x2 - 1) . x + 20. lim (13x2 + 2x + 1 - Vfx ). x + co 422. x3 -2x+1+ lim X2 — 1 lim - s 24. hm + OD VS2 + 7 26. lim (116x4 + 15x3 - 2x + 1 - 2x x + O V2x2 - 7 28. lim x + 3 x - 00 X + CO 29. lim 30. lim 3 - y Y 4- c° V 5 + 4y2 Y NI 5 + 4372 31. lim 32. x 3+ X — 3 x 3— — 3 x x.- - 4x 24- X2 — 4 33. lim 34. lim x
  121. 121. Limite e continuidade 121 ,35. lim + 6 y 6+ y 2 - 36 037. lim 3 - x x -)4+ - 2x - 8 .36. lim Y + 6 y - 6 y` - 36 .38. lim 3 - x , x -)41- - 2x - 8 439. lim 1 •40. lim x 3 3 1 x -) 3+ 1 3 1 3.14 LIMITES FUNDAMENTAIS Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo 0/0, 1- e 00°. 3.14.1 Proposição. O lim x é igual a 1. x -)0 Prova. Consideremos a circunferência de raio -1 (Figura 3.10). Figura 3-10 x Seja x a medida em radianos do arco AOM . Limitamos a variação de x ao intervalo (O, n/2).
  122. 122. 122 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Observando a Figura 3.10, escrevemos as desigualdades equivalentes: área A MOA área setor MOA área A AOT OA • MM' OA • AM OA • AT 2 2 2 MM' AM AT sen x x tg x. Dividindo a última desigualdade por sen x, já que sen x O para x E (0, 2 , temos—Tc 1 1 x sen x sen x x 1 cos x cos X. (1) Por outro lado, sen x/x e cos x são funções pares. Então, sen x) sen x (-x) e cos (-x) = cos x. Portanto, a desigualdade (1) vale para qualquer x, x # 0. Como lim cos x = 1 e lim 1 = 1, pela proposição 3.5.3, segue que x x -cs enx limhm - 1. x
  123. 123. Limite e continuidade 123 3.14.2 Exemplos e. s n 2x (i) hm x x Por 3.14.1, podemos calcular limites do tipo sen u lim u onde u é uma função em x. Neste exemplo, u 2x e u - O quando x --- O. Portanto, sen 2x hm n. se u sen u-lim = 2 lim - 2 • 1 = 2. x -› o x uso u/2 u soo u sen 3x (ii) lim x sen 4x Neste caso, faremos inicialmente alguns artifícios de cálculo como segue: lim sen 3x x - o sen 4x sen 3x • 3x 3x sen 4x • 4x 4x • lim sen 3x 3 x o 3x 4 lim sen 4x 3 1 4 1 3 x 4x 4
  124. 124. 124 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração (iii) lim • x -) Temos neste caso, g. t x hm x -) o sen x 1 lim • x -13, x cos i sen x 1 • lim x O x x _,(;) cosi 1 • 1 1. 3.14.3 Proposição. lim (1 + 1/x)x = e , onde e é o número irracional neperiano x ±- cujo valor aproximado é 2,718281828459 .... Prova. A prova desta proposição envolve noções de séries, por este motivo será aqui omitida. 3.14.4 Exemplos (i) Provar que lim (1 + x)i/x = x -O Em primeiro lugar provaremos que lim (1 + x) l'x = e . x -)o+ sen x lim cos x x - O x
  125. 125. Limite e continuidade 125 De fato, fazendo x = 1/t temos que t — + oo quando x — 0+. Logo, lim (1 + x) 1 x (1 + 1 / t)t = e . x r-+- Da mesma forma, prova-se que lim (1 + x) l'x = e . x-* Portanto, lim (1 + x)lix = e . x o (ii) Determinar lim ln (1 + t)In . r - o Usando a proposição 3.5.2(g), temos lim ln (1 + t) in t ▪ in [ hm (1 + 01/1 t- O ▪ ln e 3.14.5 Proposição. lim - 1 - ln a (a O, a 1). x - O -x PrOva. Fazendo t = ax - 1, temos = t + 1. (1) Aplicando os logaritmos neperianos na igualdade (1), vem ln ln (t + 1) xlna = ln(t+1)
  126. 126. 126 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração ln (t + 1) x ln a Quando x -3 O, x O temos que t — O, t O e então podemos escrever lim lim ln (t + 1) ax - 1 x - o x t - O In a 1 lim ln + 1) t -) o lim 1 ln a liram ln t + 1) t- 0 Considerando o exemplo 3.14.4(ü), concluímos que ax - 1 lim - ln a. x-o 3.14.6 Exemplos t 17' (i) lim aX - x -) o x Temos, lira aX - tr x- o x x-›o bx -1bx ax x
  127. 127. lim x-11 X2 - 1 ex - 1 ax - 1 Limite e continuidade 127 3.14.5. lim bx • lim x x-)0 r a jx - 1 b X 1•ln a ln a/b. i) ex 1 ax - 1 U lim - 1 x2 - 1 Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a proposição lim ex - _ ax - -1 x2 - 1 = limm (ex — 1) — (ax — 1) X - 1 (x + 1)(x - 1) ex _ 1 lim ce _ _ = 1 [ lim x 1 x - 1 x _41 x - 1 I _, 1 x + 1 1 2 lim ex _1 1 x-+ 1 x - 1 lim x - 1 -1 - 11 x-1 Fazemos t = x - 1 e consideramos que, quando x — 1, x 1, temos t O, t O. Portanto, et t ]1 -[ lim - a - 1 2 t -5 0 t

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