Grupo 9. Traballo sobre música fractal

1. Música fractal
Matemáticas e a súa didáctica 2010
Abraham Felpeto
Raúl Campo
Iván Cabana

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Música fractal
¿Qué es una fractal?
Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o
irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el
matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa
quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
 Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos
tradicionales.
 Posee detalle a cualquier escala de observación.
 Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).
 Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su
dimensión topológica.
 (aclaración: Esta dimensión es comúnmente confundible con la entropía de
Kolmogórov o la dimensión de Minkowski Bouligand. La dimensión de
Hausdorff-Besicovitch se obtiene como un punto de inflexión del valor de la
potencia elegida en la longitud de Hausdorff cuando esta pasa de ser infinita
a ser nula. La longitud de Hausdorff es la suma del diámetro topológico
elevado a una potencia "s" de un recubrimiento entero del objeto a partir de
entornos o cubrimientos de diámetro delta o menor a este del propio objeto.)
 Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Características:
Autosimilitud:
Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen
la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente
escala y pueden estar ligeramente deformadas.
Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:
 Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige
que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la
encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).
 Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a
diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y
distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto

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de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los
fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este
tipo.
 Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que
el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el
cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este
tipo.
Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch
Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el
plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa
sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos
preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo
contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones
son:
 La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el
recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas
de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones
de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de
objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc, Con estas
medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados
por algoritmos matemáticos.
 La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja
que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar
conjuntos del mundo real.
Definición por algoritmos recursivos
Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

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 Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan
recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones:
 El conjunto de Cantor
 La alfombra de Sierpinski
 El triángulo de Sierpinski
 La curva de Peano

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 La curva del dragón
En esta imágen se muestran los 13 primeros pasos.
 El copo de nieve de Koch

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 La Esponja de Menger
 Fractales de algoritmos de Escape, definidos por una relación de recurrencia
en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo):
 El conjunto de Mandelbrot:
 Conjunto de Julia:

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 El fractal de Lyapunov.
 Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no deterministas:

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 El movimiento browniano
 El vuelo de Lévy
 Los paisajes fractales.

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 Árboles brownianos.
 Éstos últimos son producidos por procesos de agregación por difusión
limitada.
Fractales en la música

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Demostración de la fractalidad en algunas obras clásicas.
Encontrar fractales, por ejemplo en la naturaleza, resulta muy fácil. Y es que los
fractales tienen menor o mayor presencia en los diferentes entornos y objetos que
podemos encontrar en la realidad.
Posiblemente el caso más espectacular es la demostración de que la música clásica
contiene formas fractales en su interior. La música clásica de Beethoven es un
ejemplo muy representativo.
Pero también existe poesía fractal e incluso formas de escritura fractal que ponen
de manifiesto la relación que existe entre la realidad y las matemáticas.
En la música
Beethoven, junto con Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes
compositores de obras clásicas de increíble majestuosidad y belleza. Pero lo que
reveló hace años el estudio de los fractales es que también están integrados en
obras clásicas.
El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no,
para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una
dimensión fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o
pieza.
A continuación hay un completo análisis de la pieza “Primera Escossaien” de
Beethoven donde se demuestra que existe una estructura fractal interna en la obra.

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Como la imagen muestra la pieza esta formada por un total de 32 unidades o
compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una. A: de la 1 a la
16; B: de la 17 a la 32. A su vez se dividen en 2 períodos. Periodo A: 1 y 2;
periodo B: 3 y 4, que se fraccionan en 2 partes: a y a' compuestas por 4 unidades
(1, 2, 3, 4) agrupadas cada una de a 2 (1 y 2).
Presenta esta melodía un balance simétrico de 2 partes. Cada sucesiva subdivisión
de 32 unidades es una unidad binaria y una réplica más pequeña de la unidad más
larga que la contiene.
Sus divisiones forman motivos y pequeñas unidades de estructuras binarias
autosimilares.
"Períodos" y "Secciones" son construcciones de pequeñas unidades acumuladas
dentro de un gran grupo binario (A y B). La forma binaria es, probablemente la más
corriente en la música encontrándose distintas variedades de esta forma. Incluso la
forma ternaria (ABA) está constituida sobre motivos binarios y también las forma
sonata.

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Cada sección (A y B) son construcciones con unidades binarias. Desde entonces
sinfonías y conciertos usan formas sonatas teniendo el mismo tipo de estructura
jerárquica.
La forma de "Escossaien" de Beethoven no es una excepción entre las
composiciones musicales, muchas composiciones son estructuradas de manera
similar con unidades de 4 y de 2 compases.
En conjunto pues la obra se divide en 32 --> 16 --> 8 --> 4 --> 2, una sucesión
binaria que goza de autosimilitud propia de una estructura fractal.
Otro ejemplo es el Scherzo, construido sobre un compás de 3 tiempos, tiene un
motivo claramente identificable: 2 corcheas y una negra ( ) como acorde
desplegado en forma descendente.
El principal motivo consiste en 2/8 (dos corcheas) agregadas en conjunto en 1/4
(una negra) como acorde.
Este motivo ternario (porque está compuesto por 2 corcheas y una negra(2+1=3)),
es repetido en todas las partes del Scherzo. El Scherzo tiene formas ternarias y
binarias en varias escalas.
Estas combinaciones son abundantes en toda la literatura musical.
Las formas fractales fueron generadas al usar una simple fórmula repetitiva y una
"semilla" o "motivo". Esta semilla es la forma básica usada para generar un fractal.
Todas las partes de un árbol pueden ser hechas por una línea geométrica básica y
una simple regla de transformación.

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Suite para cello No.3 de Bach.
En ella, se puede encontrar un patrón fractal formado por las duraciones (el ritmo)
de los elementos. El motivo inicial consta de dos corcheas y una negra (sus
duraciones serían 1,1,2). En la primera semifrase, este motivo se repite dos veces
(AA) y varía en una tercera parte (B) que, nuevamente, dura el doble. A esta
semifrase, le contesta otra de igual duración (s1, s1), y ambas concluyen con una
especie de coda (s2) que, sí, lo habéis adivinado, dura exactamente el doble que
las semifrases. El patrón se vuelve a repetir en la “macroestructura” , aunque, esta
vez, varía ligeramente. Toda la sección descrita, con una duración de 8 compases,
se interpreta dos veces seguidas sin variación (AA) y da paso a la segunda sección
de la Bourré I (B): solo que esta no dura 16 compases como cabría esperar, sino
20. Curiosamente, aunque Bach indicó que esta segunda sección también se debía
repetir, muchos cellistas optan por no hacerlo dando lugar a un fractal casi
perfecto.

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Si os fijáis la forma que van dibujando todas estas obras es un conjunto de Cantor
pues la forma que tiene es la siguiente:
Como estos 3 ejemplos podríamos poner otros más, como por ejemplo la coral
Kunst der Fuge de Bach.

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Compositores modernos de música fractal
Cada vez son más los compositores que utilizan el caos o la geometría fractal como
apoyo en sus composiciones. Las siguientes secciones introducen a un par de
ellos, pero son muchos más. En el artículo de Tac Leung [3] se presentan algunas
historias personales relacionadas con estos compositores.
Phil Thompson y Organised Chaos
Phil Thompson es un programador y músico amateur afincado en Londres.
Comenzó a componer música fractal como un hobby, hasta que una pieza suya
emitida por la radio de Bristol atrajo la atención de un gran número de británicos.
En octubre de 1998 se publicó su primer álbum, "Organized Chaos".
Las composiciones de Thompson tienen como base el conjunto de Mandelbrot. Él
no considera su trabajo como composición, sino como "descubrimiento" y afirma
que "es algo mágico cuando encuentras una bella imagen fractal y descubres que
su fórmula esconde una bonita pieza musical en un determinado punto o puntos"
[11]. Thompson es el desarrollador del programa Gingerbread [2].
Gary Lee Nelson y la ruta fenicia
En su obra "The voyage of the Golah Iota", Gary Lee Nelson explota las
propiedades de la ecuación logística como origen de una síntesis granular.6
La síntesis se construye incrementando gradualmente el parámetro de crecimiento
r de la ecuación logística, comenzando en la zona no caótica de la ecuación,
adentrándose en la zona caótica y volviendo atrás.
La composición es una metáfora en la que se describe un hipotético viaje de una
galera fenicia, llamada Iota desde las calmadas aguas mediterráneas del norte de
áfrica a las orillas tranquilas de Brasil a través de las tormentas y los vientos del
Atlántico [1].
El proyecto Strange Attractions
"Strange attractions" es un CD recopilatorio de música fractal con contribuciones
de diez de los músicos más importantes del mundo dentro de este campo: Don
Archer, Mehmet Okonsar, Phil Jackson, Chris Sansom, Brian E. Jones, Dave
Strohbeen, José Oscar Marques, Phil Thompson, Patricia Mason y Armand Turpel.
Incluirá composiciones realizadas con varios programas entre los que se encuentra
Gingerbread. Se puede tener información sobre él en la dirección
http://www.organised-chaos.com/oc/cdclub/cdclub.html

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El sonidode las series numéricas
Una forma sencilla de crear una melodía es partir de una secuencia de números
enteros positivos e ir asignando a cada uno una determinada nota musical, por
ejemplo, do para el 1, re para el 2, etc. Para obtener un buen resultado es
necesario que los valores de la secuencia estén acotados de manera que las notas
generadas no pertenezcan a octavas muy alejadas.
La secuencia de Morse-Thue [10] es una secuencia binaria con propiedades
sorprendentes. La secuencia puede generarse recursivamente comenzando con un
0 y duplicando en cada paso la longitud de la secuencia al añadirle la secuencia
complementaria a la actual: 0, 01, 0110, 01101001, . . .
Otra forma de generar la secuencia de Morse-Thue se basa en calcular la paridad
(la suma de los dígitos módulo 2) de cada número de la secuencia 0, 1, 2, 3, 4, 5, . .
. representada en binario, 0, 1, 10, 11, 100, 101, . . . La secuencia resultante es la
secuencia de Morse-Thue, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, . . .
La primera forma explicada para construir la secuencia la hace claramente
aperiódica (nunca se repite). Con todo, la secuencia tiene una propiedad todavía
más importante: la secuencia infinita es autosemejante. Si tomamos solo la segunda
componente de cada dos (o la cuarta de cada cuatro, o la octava de cada ocho,. . . )
obtenemos la misma secuencia.
A pesar de las sorprendentes propiedades de la secuencia, el hecho de que cada
componente tome solo dos posibles valores, la hace poco interesante si lo que se
pretende es generar música a partir de ella, como se comentó al comienzo de esta
sección. Sin embargo, con un pequeño cambio, podemos obtener una secuencia con
la que poder generar fácilmente una melodía.
El cambio consiste en calcular la suma de todos los dígitos de la representación
binaria del número, en lugar de su paridad. Ahora, por tanto, a partir de la
secuencia 1, 10, 11, 100, 101, . . . obtendremos 1, 1, 2, 1, 2, 2, . . . El cuadro 2
muestra las primeras componentes de la secuencia y la melodía que resulta al
hacer corresponder cada número con una nota (comenzando con do para el valor
1). La figura muestra esta misma melodía con notación musical.

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Software musical
Durante nuestra presentación intentaremos mostrar brevemente programas para
crear música fractal por ordenador.
 Musinum
 The Well Tempered Fractal
 Gingerbread
Conclusiones
La geometría fractal y la teoría del caos han obligado a muchos científicos a
observar con otros ojos la complejidad del mundo. Algunos músicos han aplicado
esta nueva visión a sus composiciones para producir piezas que desencadenan en
los oyentes reacciones de muy diversa índole: desde la fascinación al aburrimiento.
La música fractal se mueve en la frontera entre la monotonía y la sorpresa, entre
la aleatoriedad y la predicibilidad. Su complejidad probablemente impida que llegue
al gran público, aunque quizás sea demasiado pronto para juzgar una manifestación
musical que cuenta con poco más de una década de vida. Tampoco las primeras
imágenes del conjunto de Mandelbrot permitían presagiar la belleza de sus simas
inacabables.

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Bibliografía
Juan Antonio Pérez Ortiz (2000): Música fractal, el sonido del caos. Departamento
de Lenguajes y Sistemas Informáticos Universidad de Alicante
[1] Gary Lee Nelson, Wind, sand and sea voyages: an application of granular
synthesis and chaos to musical composition,
http://www.timara.oberlin.edu/people/~gnelson/papers/Gola/gola.htm.
[2] Phil Thompson. Gingerbread: the Mandelbrot music generator, documentación
del programa, http://www.organised-chaos.com/oc/ginger/ginger.html.
[3] Tac Leung, The music makers,
http://www.discovery.com/stories/technology/fractals/musicmakers.html.
Wikipedia: http://es.wikipedia.org