numeros complejos

1. 1
1 NUMEROS COMPLEJOS
1.1 Definición y origen de los números complejos.
Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma donde es la
parte real y es la parte imaginaria. Tanto como son reales, e
Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo .
Despejando a se obtiene que se escribe
El origen de los números complejos se remonta al siglo XVI en que Cardano llamó raíz
ficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron
raíces falsas o raíces sordas.
En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para
resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma ., donde es cualquier número
positivo.
El brillante matemático Leonhard Euler designó por a El símbolo expresa en forma
precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multiplique
por sí mismo y de ?
Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran
matemático Gauss, quien colocó en el eje la parte , y en el eje la parte es decir, el eje
o eje real (Re) representa la parte real de un número complejo y el eje o eje imaginario (Im) la
parte imaginaria del número complejo. Otra forma de representar un número complejo es el
par real
.
Gráfica 1: Representación del número complejo .
De acuerdo a la gráfica anterior los números reales están contenidos en los números
complejos, ya que en el plano el número complejo coincide con el número real ,
donde En el caso de los números complejos de la forma son llamados imaginarios
puros.

2. 2
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar,
multiplicar, dividir (excepto la división por Antes de ver la suma de números complejos
escribiremos en función de diferentes expresiones:
COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

3. 3
Suma de un número complejo
Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la
parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parte
imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:
Por ejemplo:
La suma anterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos,
con un poco de práctica podemos realizar solo los dos últimos pasos, cuando tengamos varios
ejercicios resueltos podremos aplicar directamente el último paso.
Veamos otros ejemplos con dos pasos:
Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a
paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.
Observe que el resultado anterior está en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimales
el resultado NO es exacto. Veamos el caso de:

4. 4
En el caso anterior se puede reportar el resultado como: ó ó los cuales
no son iguales y NO son exactos. Es por esto que debemos siempre tratar de dar resultados en
fracciones (quebrados) y no en decimales. Resolvamos otro ejercicio.
RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO.
Resta de un número complejo
Para restar dos números complejos hay dos formas para hacerlo:
La primera es que se le resta a la parte real del primer número la parte real del segundo.
Luego se resta a la parte imaginaria del primer número la parte imaginaria del segundo. En
forma de ecuación queda como sigue:
Resolvamos varios ejemplos:
Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signos
Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual:

5. 5
Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo
haremos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.
RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO.
La segunda forma de restar números complejos es usar las leyes de los signos para
cambiar el signo a la parte real e imaginaria del segundo número complejo con lo que la
ecuación se transforma en una suma de números complejos, esto es muy útil, en especial
cuando hay signos negativos en el segundo número complejo.
En forma de ecuación queda así:
Resolveremos con la segunda forma algunos de los ejercicios que hicimos con la primera
forma, observe que se requiere de un paso adicional para hacer el cambio de signo en el
segundo número complejo quedando la ecuación como suma de dos números complejos en
vez de resta:
RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

6. 6
Si comparamos las dos formas de restar números complejos aunque la segunda tiene un
paso adicional (que es transformar una resta en suma a través del cambio de signo del segundo
número complejo) puede ser más útil que la primera forma, por no tener que estar al pendiente
de los signos.
Multiplicación de números complejos
Para multiplicar dos números complejos se procede a multiplicar como si se tratase del producto
de dos binomios. Uno de los términos tendrá donde es equivalente a:
.
En forma de ecuación:
Resolvamos algunos ejemplos:
Observe que se sustituyó en la ecuación por . Siempre se debe hacer así.
Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signos

7. 7
Observe que en el ejercicio anterior se inicia multiplicando los primeros dos binomios, luego
se simplificó el resultado hasta tener un binomio , enseguida se multiplicaron el
nuevo binomio por el último binomio y se simplificó. Resolvamos otros ejercicios.
Resolvamos ahora una multiplicación de fracciones de números complejos
Al aplicar ley de los signos y simplificando las fracciones queda:
Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual:
División de dos números complejos
Antes de tratar la división de dos números complejos es necesario definir:
El conjugado de un número complejo es es decir, se cambia el signo
de la parte imaginaria del número complejo. Por ejemplo y son
conjugados. También son conjugados y , observe que el signo de
la parte real no cambia.
Demuestre que son válidas las proposiciones siguientes, para los números complejos:
y

8. 8
COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
y
Para dividir dos números complejos se multiplican el numerador y el denominador por el
conjugado del denominador y se sustituye por . Recordemos que:
para nuestro caso:
Veamos varios ejemplos de división de números complejos:

9. 9
Resolveremos manualmente las fracciones anteriores

10. 10
Como hay que resolver dos divisiones se harán por separado.
COMPRUEBE LAS SIGUIENTES DIVISIONES.

11. 11
Inverso multiplicativo de un número complejo.
75. Calcule el inverso multiplicativo de
Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor
76. Calcule el inverso multiplicativo de
Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor

12. 12
79. Calcule el inverso multiplicativo de
Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor
1.3 Potencias de “i ”, módulo o valor absoluto de un número complejo.
Para calcular las potencias de se puede emplear la ecuación:
Si revisamos los valores anteriores podemos ver que:
; ; ;
De acuerdo a lo anterior los valores de las potencias de tienen valores cíclicos de 4 en 4
de acuerdo a la siguiente tabla:
Aunque la tabla anterior puede resultar práctica para potencias menores a 20, para valores
como ó ó ó resulta insuficiente. Como los valores son cíclicos de 4 en 4,
dividamos las potencias entre 4. Iniciemos con valores del primer renglón, usemos los valores
de potencias de

13. 13
Si observamos los resultados anteriores vemos que el valor después del punto decimal es
en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de que se divida
entre 4 y de decimales de tendrá un valor de:
Dividiendo entre 4 potencias de del segundo renglón como .
Ahora podemos ver que el valor después del punto decimal es en todos los casos, con lo
que podemos concluir que cualquier potencia de que se divida entre 4 y de decimales de
tendrá un valor de:
Si repetimos lo anterior con potencias de del tercer renglón como
veremos que el valor después del punto decimal es en todos los casos, con lo que
podemos concluir que cualquier potencia de que se divida entre 4 y de una fracción de
tendrá un valor de:
En el caso de potencias de del cuarto renglón como veremos que el
valor después del punto decimal es en todos los casos, con lo que podemos concluir que
cualquier potencia de que se divida entre 4 y de una fracción de tendrá un valor de:
Como síntesis podemos decir: si la división de una potencia de entre 4 tiene como fracción
el valor de En el caso de que la división de una potencia de entre 4 tenga como
fracción el valor de Cuando la división de una potencia de entre 4 tiene como
fracción el valor de Por último si la división de una potencia de entre 4 tiene
como fracción el valor de Veamos varios ejemplos:

14. 14
COMPRUEBE LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE
Como último punto es útil saber que todas y cada una de las siguientes potencias de
al ser
divididas entre 4 tienen como fracción la importancia de lo anterior es que cuando
deseamos calcular la potencia de de cualquier valor de 2, 3, 4, 5 ó más dígitos, solo ocupamos
al dividir entre 4 tener en cuenta los últimos 2 dígitos. En todas las potencias de arriba
señaladas el valor es . NOTA: Lo anterior no se cumple para un solo dígito, por ejemplo si
es al dividir entre 4 se obtiene y no
Si aplicamos lo escrito en el párrafo anterior a los ocho ejercicios anteriores veremos que la
fracción obtenida es la misma, con lo que el valor de la potencia de no cambia.
COMPRUEBE LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE DIVIDIENDO SOLO LOS ÚLTIMOS DOS DIGITOS.
Calcule:

15. 15
COMPRUEBE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES.
Con lo que tenemos visto ya estamos en condiciones de abordar ejercicios más complicados
de multiplicación y división de números complejos. Vamos a resolver binomios elevados a
potencias como por tres métodos distintos.
Primer Método: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta
, enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a
que quede .
El binomio de Newton y el triángulo de Pascal se usan para resolver binomios elevados a
cualquier potencia. Los primeros 5 renglones de cada uno de ellos son:
Triángulo de Pascal Binomio de Newton
24. Construya el triángulo de Pascal y el Binomio de Newton para las potencias 5, 6, 7 y 8.
Segundo Método: Usamos el Binomio de Newton.
pero porque
Observe que al desarrollar el binomio de Newton si sumamos las potencias de cada término se
obtiene la potencia a resolver, en este caso 3.
Tercer Método: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton.

16. 16
27. COMPRUEBE QUE USANDO EL Primer Método.
28. COMPRUEBE QUE USANDO EL Segundo Método.
29. COMPRUEBE QUE USANDO EL Tercer Método.
Resolver por los tres métodos ya vistos.
Primer Método: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta
, enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a
que quede , y así continuamos hasta terminar.
Segundo Método: Resolvamos ahora usando el método del Binomio de Newton. Podemos
observar que: , , , ,
Tercer Método: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton.
Nuevamente el resultado es el mismo por los tres métodos. En este último ejercicio es más
sencillo resolver por el método de Newton y por la ley de las potencias que multiplicando cada
binomio.
33. COMPRUEBE QUE USANDO EL Tercer Método.
Vamos a ver divisiones un poco más complicadas.

17. 17

18. 18
1.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo.
Forma polar de los Números Complejos. En la gráfica que está enseguida se tiene:
y
La forma rectangular (binómica) de un
número complejo es: , pero
x
Gráfica 1: Representación de la forma polar
de un número complejo.
Donde es la forma polar de un número complejo. En la expresión anterior
representa la longitud, la cual es siempre positiva y se conoce como módulo o valor absoluto
del número complejo.
Con el teorema de Pitágoras se obtiene
El ángulo se denomina amplitud o argumento, se puede dar su valor en forma positiva si
está en los primeros dos cuadrantes y en forma negativa si está en los cuadrantes tres y cuatro,
sin embargo podemos equivocarnos al omitir el signo. Para obtenerlo siempre con valor positivo
se usan dos ecuaciones la primera es , donde es el valor absoluto de sin el
término , es el valor absoluto de . El ángulo está entre los valores y para los cuatro
cuadrantes. El ángulo inicia en el eje x del lado positivo con el valor (está en el número 3
de un reloj), y aumenta en sentido contrario a las manecillas del reloj. Veamos las gráficas de
ángulos en los cuatro cuadrantes.
(b) (c) (d)

19. 19
Gráfica 2. Muestra los ángulos y , así como la relación entre ellos en cada cuadrante.
(a) Primer cuadrante, (b) segundo cuadrante, (c) tercer cuadrante, (d) cuarto cuadrante.
Para la segunda ecuación que relaciona a y se tiene la siguiente tabla.
Signo de Signo de Cuadrante ecuación ángulo
Primero a
Segundo a
Tercero a
Cuarto a
Demos ejemplos de argumentos en los diferentes cuadrantes en forma positiva y negativa:
Primero , Segundo , Tercero , Cuarto
. Encuentre el lector los ángulos anteriores en hoja cuadriculada con ayuda de
un transportador de preferencia de .
Los números complejos no se pueden sumar o restar en forma polar, por lo que en este caso
se deben pasar de forma polar a forma binómica.
Vamos a ver como pasar un número complejo de forma binómica a forma polar. Serán
cuatro ejemplos, uno por cada cuadrante. Luego habrá cuatro ejemplos, que coincidan con los
ejes x, o y, después veremos ejemplos de números complejos que pasan de forma polar a
forma binómica.
1. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo:
está en el primer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados
con la expresión teniendo la calculadora en DEG (D).
Como está en el primer cuadrante (ver la tabla)
El argumento en radianes se calcula con teniendo la calculadora en RAD (R).
Observe que el valor está en radianes pero no contiene a . Para introducir a
, se multiplicó y dividió por el número , pero solo se hizo la división en la
calculadora, por lo que , quedó escrito en el numerador y es exacto. Como está en el
primer cuadrante (ver la tabla) .

20. 20
Calculemos el módulo o valor absoluto:
Como se tiene que
2. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo:
3. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo:
está en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados
con la expresión teniendo la calculadora en DEG (D).
Como está en el tercer cuadrante (ver la tabla)
El argumento en radianes se calcula con teniendo la calculadora en RAD (R).
Observe que el valor está en radianes pero no contiene a . Para introducir a
, se multiplicó y dividió por el número , pero solo se hizo la división en la

21. 21
calculadora, por lo que quedó escrito en el numerador y es exacto. Como está en el tercer
cuadrante (ver la tabla) pues .
Otra forma de obtener en radianes a partir de en grados es con .
Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:
Como se tiene que:
4. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo:
5. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo.
está en el eje x (en el número 3 de un reloj), para este caso la amplitud es:
Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:
Como se tiene que:

22. 22
6. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo:
7. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo:
está en el eje x (en el número 9 de un reloj), para este caso la amplitud es:
Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:
Como se tiene que:
8. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo.
Para escribir un número complejo en forma binómica (rectangular) a partir de la forma polar,
solo es necesario calcular el coseno y el seno del argumento y multiplicarlo por el módulo .
Calculemos 8 ejercicios en grados y luego 8 ejercicios en radianes.
9. Encontremos la forma binómica del número complejo:
Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).

23. 23
Observe que no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se
elevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada al número , pero solo se desarrolló el
cuadrado con la calculadora y entonces se escribió la raíz cuadrada que es un valor
exacto.
10. Demuestre que la forma binómica del número complejo:
11. Encontremos la forma binómica del número complejo:
Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
Los valores y no son exactos, y no es posible hacerlos
exactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativas
en los cálculos y solo al último se redondean a 5 cifras significativas.
12. Demuestre que la forma binómica del número complejo:
13. Encontremos la forma binómica del número complejo:
Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
14. Demuestre que la forma binómica del número complejo:
15. Encontremos la forma binómica del número complejo:

24. 24
Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
16. Demuestre que la forma binómica del número complejo:
Los últimos 8 números estaban en grados, vamos a pasar de forma Polar a forma binómica,
cuando están en radianes.
17. Encontremos la forma binómica del número complejo:
Observe que no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se
elevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada, pero sólo se desarrolló el cuadrado con la calculadora
y entonces se escribió la raíz cuadrada que es un valor exacto.
18. Demuestre que la forma binómica del número complejo:
19. Encontremos la forma binómica del número complejo:

25. 25
Los valores y no son exactos, y no es posible hacerlos
exactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativas
en los cálculos y solo al último se redondean a 5 cifras significativas.
20. Demuestre que la forma binómica del número complejo:
21. Encontremos la forma binómica del número complejo:
Al calcular la calculadora debe estar en RAD (R).
22. Demuestre que la forma binómica del número complejo:
23. Encontremos la forma binómica del número complejo:
Al calcular la calculadora debe estar en RAD (R).
24. Demuestre que la forma binómica del número complejo:
Ya sabemos pasar de forma binómica a forma polar y viceversa. Se mencionó que los
números complejos no se pueden sumar ni restar en forma polar, en este caso se pasan de
forma polar a forma binómica, se realiza la suma y se regresan a forma polar.
Realizaremos una suma y una resta usando algunos de los números complejos con los que
ya trabajamos.

26. 26
Calcule: y
Al calcular la forma binómica de y se obtuvo
al sumar se obtiene
25. (a) Encontremos la forma polar del número complejo en grados y radianes:
está en el segundo cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados
Como está en el segundo cuadrante (ver la tabla)
Observe que el valor está en radianes pero no contiene a . Para introducir a
, se multiplicó y dividió por el número , pero solo se hizo la división en la
calculadora, por lo que quedó escrito en el numerador y es exacto. Como está en el
segundo cuadrante (ver la tabla) pues .
Otra forma de obtener en radianes a partir de en grados es con .
Calculemos el módulo o valor absoluto:

27. 27
Como se tiene que
26. Demuestre que la resta
26. (a) Demuestre que la forma polar del número complejo en grados y radianes:
es
La multiplicación de números complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los
módulos se multiplican y los argumentos se suman.
Veamos algunas multiplicaciones.
Se tiene que
Vamos a multiplicar primero en grados y luego en radianes.

28. 28
Vamos a resolver paso a paso la suma de fracciones:
29. Calcule . Se tiene que
Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes.

29. 29
La división de números complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los módulos se
dividen y los argumentos se restan.
Resolvamos algunas divisiones
Se tiene que
Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes.
En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos
.
Vamos a resolver paso a paso la resta en radianes
En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos
.

30. 30
Se tiene que
Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes.
En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos
.

31. 31
En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos .
La suma en radianes paso a paso es:
Forma Exponencial de un número complejo
Con las leyes de los exponentes tenemos que: en
particular si en lugar de tomamos el valor entonces con x, y
Se tiene que ¿Qué pasa con ?
Sabemos que como conocemos el valor de , pero con tenemos el
problema de la , ya que no sabemos cuánto vale porque ó también .
La fórmula de Euler nos dice que el desarrollo de , de acuerdo con esto
un número complejo se podrá escribir con la notación de Euler como
, donde .
La ecuación es la forma Exponencial de los números complejos.
Los números complejos no se pueden sumar o restar en forma Exponencial, por lo que en
este caso primero se pasan a forma Polar, luego se pasan a forma rectangular, se hace la suma
o resta y se regresa el resultado primero a forma Polar y luego a forma binómica.
Pasar de forma Exponencial a forma Polar es muy sencillo ya que
35. Determinemos la forma polar en grados y radianes de

32. 32
36. Determinemos la forma polar en grados y radianes de
36.
36.
Es igual de sencillo pasar de forma Polar a forma Exponencial
37. Determinemos la forma Exponencial en grados y radianes de
38. Determinemos la forma Exponencial en grados y radianes de

33. 33
Ya se mencionó que los números complejos no se pueden sumar o restar en forma
Exponencial. En este caso se pasan a forma Polar, luego a forma rectangular, se hace la
operación de suma o resta y luego se pasa el resultado a forma polar y finalmente a forma
Exponencial.
Vamos a resolver una suma y una resta de números complejos en forma Exponencial.
39. Suma en forma Exponencial . Ya se vió que:
El valor es en forma rectangular, pasemos a forma Polar y Exponencial.
está en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados con
El valor es exacto, como está en el tercer cuadrante (ver la tabla) .

34. 34
Como está en el tercer cuadrante (ver la tabla) pues .
Otra forma de obtener en radianes a partir de en grados es con .
Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:
Como se tiene que:
40. Demuestre que la resta en forma Exponencial

35. 35
La multiplicación de números complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los
módulos se multiplican y los argumentos se suman.
Multipliquemos
41.
42. Demuestre que si
La división de números complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los módulos
se dividen y los argumentos se restan

36. 36
44. Demuestre que si
1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.
El Teorema de De Moivre dice que cuando se eleva a la un número complejo en forma
Exponencial se obtiene una ecuación que recibe el nombre de Fórmula de De Moivre.
Potencias de un número complejo en forma Polar.
1. Calcule ya se vió que:
Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Fórmula de De Moivre
Con la calculadora en DEG ó D se calcula
Con la calculadora en RAD ó R se calcula

37. 37
2. Demuestre que si
3. Calcule ya se vió que
Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Fórmula de De Moivre
Con la calculadora en DEG ó D se calcula
Con la calculadora en RAD ó R se calcula
4. Demuestre que si
5. Calcule ya se vió que

38. 38
6. Demuestre que si
7. Calcule ya se vió que
Raíces de un número complejo en forma Polar.
Si es un entero con valores sucesivos ,
Luego ó
En el caso de radianes se tiene lo siguiente para
Las ecuaciones en letras negritas nos indican que un número cualquiera tanto real como
complejo, tiene raíces enésimas distintas, donde la primera raíz será para , la segunda
raíz será para , la tercera raíz será para , y así hasta llegar a la raíz que será para
.

39. 39
Aunque todas las operaciones con números complejos son importantes es necesario que la
solución de raíces con números complejos quede bien comprendida, ya que al resolver
ecuaciones polinómicas con números complejos se tendrá que resolver raíces. Es debido a esto
que antes de resolver una raíz con números complejos vamos a desarrollar las ecuaciones para
raíz cuadrada, para raíz cúbica y para raíz cuarta.
Raíz cuadrada de un número complejo.
Se resuelven dos raíces y pero ya hemos usado y como los dos primeros
números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar
de y , para las dos raíces; y .
Para raíz cuadrada , para la raíz y para la raíz
En grados las dos raíces son:
En radianes las dos raíces son:
Raíz cúbica de un número complejo.
Se resuelven tres raíces , y pero ya hemos usado , y como los tres primeros
números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar
de , y , para las tres raíces; , y .
Para raíz cúbica , para la raíz , para la raíz y para la raíz

40. 40
En grados las tres raíces son:
En radianes las tres raíces son:
Raíz cuarta de un número complejo.
Se resuelven cuatro raíces , , y pero ya hemos usado , , y como los cuatro
primeros números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos
en lugar de , , y para las cuatro raíces; , , y .
Para raíz cuarta , para la raíz , para la raíz , para la raíz y
para la raíz .
En grados las cuatro raíces son:

41. 41
En radianes las cuatro raíces son:
Todas las raíces serán resueltas paso a paso, con la práctica será posible omitir varios pasos.
8. Vamos a resolver la raíz cuadrada de:
Solo hasta el final se redondea a 5 cifras significativas.
Solo hasta el final se redondea a 5 cifras significativas.
Las dos raíces son:

42. 42
Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,
9. Demuestre que si al calcular la raíz cuadrada se obtiene:
10. Vamos a resolver la raíz cuadrada de:
donde
Resolvamos primero en grados las dos raíces y después en radianes:

43. 43
Las dos raíces son:
Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,
Resolvamos en radianes las dos raíces:

44. 44
Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,
Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.
Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces
obtenidas en grados por:
11. Demuestre que si al calcular la raíz cuadrada se obtiene:
12. Vamos a resolver la raíz cuadrada de: donde
Resolvamos primero en grados las dos raíces y después en radianes:

45. 45
Las dos raíces son:
Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,
Resolvamos en radianes las dos raíces:

46. 46
Las dos raíces son:
Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.
Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces
obtenidas en grados por:

47. 47
13. Demuestre que si al calcular la raíz cuadrada se obtiene:
Vamos a resolver la raíz cuadrada de:
Resolvamos primero en grados las dos raíces y después en radianes:
Se vió que:

48. 48
Las dos raíces son:
Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,
Resolvamos en radianes las dos raíces:

49. 49
Las dos raíces son:
Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.
Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces
obtenidas en grados por:
15. Vamos a resolver la raíz cúbica de:
Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:

50. 50
Las tres raíces son:
Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con:
entre cada raíz.
Resolvamos en radianes las tres raíces:

51. 51
Las tres raíces son:
Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con:
entre cada raíz.
Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.
Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces
obtenidas en grados por:

52. 52
17. Vamos a resolver la raíz cúbica de:
Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:

53. 53
Las tres raíces son:
Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con:
entre cada raíz.
Resolvamos en radianes las tres raíces:

54. 54
Las tres raíces son:
Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con:
entre cada raíz.
Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.
Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces
obtenidas en grados por:
19. Vamos a resolver la raíz cúbica de:

55. 55
Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:

56. 56
No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, el
Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.
No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, el
Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.
Las tres raíces son:
Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con:
entre cada raíz.
Resolvamos en radianes las tres raíces:

57. 57
Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.

58. 58
Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.
Las tres raíces son:
Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con:
entre cada raíz.
Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.
Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces
obtenidas en grados por:
20. Vamos a resolver la raíz cuarta de:
Resolvamos primero en grados las cuatro raíces y después en radianes:

59. 59

60. 60
Las cuatro raíces son:
Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en cuatro secciones iguales con:
entre cada raíz.

61. 61
Resolvamos en radianes las cuatro raíces:

62. 62
Las cuatro raíces son:
Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en cuatro secciones iguales con:
entre cada raíz.
Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.
Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces
obtenidas en grados por:

63. 63
1.6 Ecuaciones polinómicas.
Las ecuaciones polinómicas con números complejos aparecen con relativa frecuencia en
algunas áreas de la ciencia, es por ello que se hace necesario el estudiar este tema.
1. Resolvamos la siguiente ecuación polinómica.
en esta ecuación
Calculemos la raíz cuadrada de . Con la calculadora en DEG (D)

64. 64
Como está en el tercer cuadrante
Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:
Como se tiene que:
Podemos ver que al usar todas las cifras significativas fueron enteros.
Podemos ver que al usar todas las cifras significativas fueron enteros.
Lo anterior da como resultado dos valores de Z.

65. 65
y son las dos raíces de la ecuación polinómica.
Para comprobar basta con sustituir las raíces en la ecuación.
. Iniciamos con
y
Si
y
2. Demuestre que y
son las dos raíces de la ecuación polinómica
EJERCICIOS PROPUESTOS.
Resuelva las siguientes ecuaciones polinómicas.