ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Universidad Tecnológica de
Torreón
America Reyes Garay
7-A
Ing. Tecnologías de la Producción
Lic. Edgar Mata

2. Concepto:
Es una expresión que involucra a una función
desconocida y sus derivadas.
 Ejemplo:
Y+Y¹= 0

3. Clasificación de la ecuaciones
diferenciales
 Ordinarias
 Parciales
Orden de una ecuación diferencial
 Son como los grados y El orden de la derivada
máxima que aparece en la ecuación

4. Solución de una ecuación
diferencial
 En una función desconocida y la variable
independiente X definida en un intervalo y es una
función que satisface la ecuación diferencial para
todos los valores de X en el intervalo dado.
Y¹¹= Y biprimaría

5. 1°-Ejemplo:
 Y= sen2x + cos2x Y¹¹ + 4y =0
Y¹= 2cos2x – 4cos (2x)
Y¹¹= – 4sen2x – 4 cos (2x)
 Comprobación:
– 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0
– 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0
esto es una solución general

6. 2° ejemplo:
 Y= 5sen2x + 3cos2x Y¹¹+4y= 0
 5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x)
 Y¹= – 6sen2x + 10cos2x
 Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x
 Comprobación:
–20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0
– 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0
esto es una Solución
particular

7. 3° ejemplo:
 Comprobar que:
 Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1
 Y¹ = 2x
 2x + (x² – 1 ) ²= 1

8. 4° ejemplo:
 Y=
1
푥
Y¹ + Y = 0
 Y¹= –
1
푋²
 Y¹¹=
2
푋³
–
1
푋²
+ – (
1
푋
)² = 0
–
1
푋²
+ –
1
푋²
= 0

9. 5° ejemplo
Y = 푒2푥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0
Y¹=2 푒2푥
Y¹¹= 4 푒2푥
4 푒2푥 + 2 푒2푥 – 6 ( 푒2푥) = 0
6 푒2푥 – 6 푒2푥 = 0

10. 6° ejemplo
 Y= 푒−2푥 + 푒3푥 Y¹¹ + Y ¹ - 6Y = 0
 Y ¹ = - 2 푒−2푥 + 3 푒3푥
 Y¹¹ = - 4 푒−2푥 + 9푒3푥
 - 4 푒−2푥 + 9 푒3푥 - 2 푒−2푥+ 3 푒3푥 - 6 (푒−2푥 + 푒3푥) =0

11. 7° ejemplo
 Y= x² + 푒푥 + 푒−2푥 Y¹¹ + Y¹ - 6Y =0
 Y¹ = 2 x² + 푒푥 + 푒−2푥
 Y¹¹ = 2 + 푒푥 + 4 푒−2푥
 2+ 푒푥 + 4 푒−2푥 + 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥 -2 (x² + 푒푥 + 푒−2푥)=
0
 2 + 푒푥 + 4 푒−2푥 + 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥- 2 x²- 2 푒−2푥 =
 2( 1+ X - x² )
 2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )

12. 8°- ejemplo
 Y= C1 푒2푥 + C2 푒2푥 Y¹¹-4 Y¹+ 4Y =0
 Y¹= 2 C1 푒2푥 + 2C 2 푥푒2푥 + C 2 푒2푥
 Y¹¹= 4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥
 =4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 - 4(2 C1
푒2푥 + 2C 2 푥푒2푥 + C 2 푒2푥 ) + 4 (C1 푒2푥 + C2 푒2푥 ) =0
 4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 - 8C1 푒2푥 -
8C 2 푥푒2푥 - 4 C 2 푒2푥 + 4C1 푒2푥 + 4 C2 푒2푥 = 0
 8C1 푒2푥 + 8C 2 푥푒2푥 + 4 C 2 푒2푥 -12C2 푒2푥 - 8 C1 푒2푥 =
0
 Y= 0

13. 9° ejemplo:

푑푦
푑푥
=
푦
푥
 ∫
푑푦
푦
= ∫
푑푥
푥
 lny= l nx + l n C1
 l ny = l nC1x
 Aplicado antilogaritmos
 Y= C1x
 Comprobación
 Y= C1x

푑푦
푑푥
= C1

14.  Sustituyendo:

푑푦
푑푥
=
푦
푥
 C1=
퐶1푥
푥
C1= C1

푑푦
푑푥
=
푥
푦
 ∫y dy = ∫x dx
 [=
푦²
2
=
푥²
2
+
퐶¹
2
]²
 y² = x² + C1

15. Ecuaciones diferenciales exactas
 (x² + 2xy + x) dx + Y² dy =0
 X²dx + 2xy dx + x dx + Y² dy no se puede
separar
 M= x² + 2xg + x

푀
푑푦
= 2x no se puede con los exactos
 N= y²
푁
푑푋
= 0

16. 2° ejemplo:
 (X² + Y² + X ) dx + xy dy =0
 M (x,y) dx + N (x,y) dy =0 │
휕푀
휕푦
=
휕푁
휕푥
 M= X² + Y² + X *
휕푀
휕푦
= 2Y
 N= XY *
휕푁
휕푥
= Y
 No es exacta porque:
휕푀
휕푦
+
휕푁
휕푥

17. 3° ejemplo:
 (5x + 4y) dx + (4x – 8y³) dy =0
(5x + 4y) + (4x+8y)
푑푥
20푥³
−
푑푦
32푦5
5x dx – 4y dx + 4x dy - 8y³ dy =0
M= 5x + 4y
푑푚
= 4
푑푦
N= 4x – 8y³
푑푛
= 4
푑푥

18. 4° ejemplo:
 a veces es posible encontrar un factor (que
llamamos factor integrante) el cual al
multiplicarse por la ecuación diferencial la
convierte en exacta para encontrar este factor
integrante se utiliza la sig. Formula:
흏푴
흏풚
=
흏푵
흏풙
__________
N

19.  Ahora utilizamos este resultado para obtener el
factor integrante por medio de la siguiente
expresión.
M (x)= e∫
푔 푥 푑푥
= e∫
1
푥
푑푥
= e∫
푑푥
푥 = 푒푙푛푥 = x

20.  Ahora multiplicamos la ecuación diferencial
original por este integrante y el resultado de la
multiplicación será una ecuación diferencial
exacta.
 (x² + y² + x) dx + xy dy =0
 (x³ + x y² + x²) dx + x² y dy =0
 M= x³ + xy² + x²
휕푀
휕푦
= 2xy
 N= x²y
휕푛
휕푥
= 2xy

21.  A continuación simplemente aplicamos
 Integramos:
 (x³+ xy² + x² ) dx
 (x³+ xy² + x² )dx =∫ x³dx + y² ∫ x dx + ∫ x² dx

푥4
4
+ y²
푥2
2
+
푥3
3
+ g (y)

22.  Solo nos falta encontrar el valor de g (y) para
determinar el valor g (y) derivamos la función ƒ
encontrada con respecto a Y
휕푓
푥2
= 2y
+ g (y)*
휕푦
2
휕푓
휕푦
= x²y + g¹(y)
Este resultado se iguala con N (x²y)
X²y + g¹ (y) = X²y
 Simplificado:
 + g¹ (y)= X²y - X²y g¹ (y) = 0

23.  Si g¹ (y) = 0 sentonce g(y) = C1 es una constante
cualquiera
 Por lo tanto la función buscada es:
ƒ =
푥4
4
+ y²
푥2
2
+
푥3
3
+ C1
 Y la solucion se obtiene igualando esta función a una
constante (C2)

푥4
4
+ y²
푥2
2
+
푥3
3
+ C1 = C2
 Simplificando:

푥4
4
+
푥2푦2
2
+
푥3
3
= C

24.  Multiplicamos todo por 12 y obtenemos
 3푥4 + 4푥3 + 6푥2푦2 = C

12푥4
4
+
12푥2푦2
2
+
12푥3
3
= C

25. 5° ejemplo
 (3x² + y²) dx – 2xy dy =0
 [
3푥²
푥²
+
푦²
푥²
]dx
−2푥푦
푥²
dy = 0
 M=
3푥²
푥²
푑푚
푑푦
=
2푦
푥²
 N=
−2푦
푥
=
−(−2푦)(1)
(푥)²
=
2푦
푥²
Ƒ (3 +
푦²
푥²
) dx
∫(3 +
푦²
푥²
)dx = 3 ∫dx + y² ∫
푑푥
푥²
= 3xy² ∫ x-²
Ƒ= 3x+y²
푥−¹
−1
+ g (y)
Ƒ= 3x-
푦²
푥
+ g (y)

26.  Derivar función f
휕푓
2푦
=
+ g¹(y)
휕푦
푥
g¹(y) =0
 sustitución:
F= 3x
−푦²
푥
+ C1
 Reduciendo
3x
−푦²
푥
= C
Multiplicado por X
[3x
−푦²
푥
= C] 3x³- y² = cx
Solución :
3x
푥푦²
푥
+ c1= c2