FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA
FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ
COLÉGIO: Estadual Drº Felix Miranda
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1ª Série do Ensino Médio.
Professora: Enize de Oliveira Pinheiro.
As Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis.
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O conteúdo será introduzido a partir da exploração do seguinte situação problema:
Na última etapa de um rali, o carro de u...
Atividade 1
Uma estimativa Experimental para as Razões Trigonométricas do Ângulo de 45°
1. Utilizando uma folha de papel A...
3. Observe o triângulo obtido.
Este triângulo é retângulo? Justifique e compare sua justificativa com a de seus colegas.
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Com o auxílio de uma régua e de uma calculadora, preencha a tabela a seguir
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Atividade 2
Uma Estimativa Experimental para as Razões Trigonométricas dos Ângulos 30º
e 60º
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Figura 4
10. Com o auxílio de uma régua e de uma calculadora, preencha as tabelas a seguir,
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ÂNGULO DE 60º
Medida do cateto oposto ao ângulo 60º (cm)
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13. Preencha a tabela a seguir e tente encontrar alguma relação entre o seno e o
cosseno e a tangente de um mesmo ângulo.
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Atividade 3
Encontrando os Valores Exatos das Razões Trigonométricas do Ângulo de 45º
Como você pode ter observado, as raz...
15. Com o valor encontrado no item anterior, determine o valor das seguintes razões
trigonométricas:
45º
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Atividade 4
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30º e 60º.
16. Considere o triângu...
17. Tomando o triângulo da direita (veja figura 7), complete a tabela com os valores
correspondentes.
Figura 7
Dica: Verif...
18. Usando os valores obtidos no item anterior, determine as razões trigonométricas
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Figura 2 Figura 3
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mostra a Figura 4.
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2. Agora, desenharemos um triângulo retângulo. Para isto, você deve procurar pelo
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4. Seguindo a linha da malha, leve o mouse até outra posição da sua escolha para
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Figura 9
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Atividade 2
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Agora temos de verificar se o triângulo desenhado é retângulo. Para isso,
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2. Com a opção “Ângulo” marcada, para medir o ângulo interno do vértice A, siga os
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3. Faça o mesmo procedimento do item 2 da Atividade 2, para medir os ângulos
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Atividade 3
Encontrando a Medida dos Lados de um Triângulo.
1. No 8º botão da barra de ferramentas, procure pela opção “Di...
Atividade 4
Encontrando as Razões Trigonométricas
Chegou o momento de coletar os nossos dados.
1. Preencha a tabela abaixo...
Para os próximos itens, precisaremos de uma calculadora científica. Você sabe
transformar a calculadora de seu computador ...
sen (63º) ≌ 0,89
cos (63º) ≌ 0,45
tg (63º) ≌ 1,96
Atividade 5
Encontrando as Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis
1...
2. Compare os resultados encontrados com os valores obtidos por seus colegas e
responda:
a) Estes valores são aproximadame...
 Acertos no simulado (1,0 ponto)
 Avaliação individual (6,0 pontos).
Totalizando: 10,0 pontos.
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  1. 1. FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: Estadual Drº Felix Miranda PROFESSOR: Enize de Oliveira Pinheiro MATRÍCULA: 02521839 SÉRIE: 1ª série do Ensino Médio TUTOR (A): Wagner. PLANO DE TRABALHO SOBRE: As Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis. Estudando as Razões Trigonométricas no GeoGebra. Enize de Oliveira Pinheiro. enize_pinheiro@yahoo.com.br 1. Introdução: Os tópicos básicos de trigonometria ensinados no ensino médio são de extrema importância para que o aluno amplie as suas possibilidades de resolução de problemas, permitindo relacionar as medidas de lados e de ângulos. Dessa forma, a trigonometria auxilia na observação, investigação e organização de fatos relevantes a construção do pensamento matemático frente a várias situações problemas que vivenciamos no nosso dia a dia. No entanto, se em sala de aula deixamos prevalecer uma abordagem “mecânica” da trigonometria, como é comum nos livros didáticos e nas práticas obsoletas de alguns professores, privamos nosso aluno de desvendarem e assimilarem conceitos chave como seno, cosseno e tangente de um ângulo. É fato a importância que a trigonometria tem no desenvolvimento e na formação matemática de nosso alunado, é papel do professor propiciar a apreensão do conteúdo focado de forma significativa. Para que isto ocorra, lançar mão de ações metodológicas que incorporem experimentos como também uso de mídias, softwares, objetos de aprendizagem dentre outras, contribuíram para a aprendizagem da trigonometria não só na perspectiva da investigação bem como na proposta diferenciada de nosso aluno ter oportunidade de utilizar as tecnologias que despontam. Sendo assim, a proposta deste plano é possibilitar aos nossos alunos, analisar e experimentar situações diversas que envolvam as razões trigonométricas no triângulo retângulo, levando-os a questionamentos que possibilitaram a apreensão da aprendizagem. Desenvolvimento: As Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis. Estudando as Razões Trigonométricas no GeoGebra. Plano de Trabalho 2. Colégio Estadual Dr. Felix Miranda.
  2. 2. 1ª Série do Ensino Médio. Professora: Enize de Oliveira Pinheiro. As Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis. Estudando as Razões Trigonométricas no GeoGebra. Duração: 6 horas aulas (1 semana) Área de conhecimento: Matemática Assunto: Razões Trigonométricas Objetivos:  Aprofundar os conceitos das razões trigonométricas em um triângulo retângulo. Calcular experimentalmente e analiticamente as razões trigonométricas dos ângulos notáveis.  Entender o conceito principal das razões trigonométricas de triângulos retângulos e as suas principais propriedades. Calcular experimentalmente as razões trigonométricas para os ângulos notáveis. Pré-requisitos:  Identificar os lados de um triângulo retângulo; saber utilizar o transferidor e a régua para efetuar medições; efetuar cálculos com números reais; reconhecer triângulos semelhantes; determinar a medida de um ângulo interno de um triângulo, a partir da medida dos outros dois; saber aplicar o Teorema de Pitágoras.  Reconhecer os lados de um triângulo retângulo; identificar ângulos complementares e triângulos semelhantes. Material:  Papel A4 branco ou colorido, transferidor, régua de 30 cm, caneta e calculadora que efetue cálculo de raízes quadradas.  Computador com software Geogebra instalado, datashow, calculadora científica, em geral disponível no computador. Organização da classe: Turma organizada em grupos de dois ou três alunos, propiciando trabalho organizado e colaborativo. Descritores Associados:  H05  Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade.  H35  Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais. O plano será dividido em duas partes: 1ª parte  As Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis. 2ª parte  Estudando as Razões Trigonométricas no GeoGebra.
  3. 3. O conteúdo será introduzido a partir da exploração do seguinte situação problema: Na última etapa de um rali, o carro de um dos participantes encontra-se na posição P, indicada na figura. Para concluir a prova, o carro terá de atingir um dos pontos, A ou B. Lembrando que os nervos estão à flor da pele e que o desgaste do veículo é evidente que alternativa o piloto deve escolher, 1 ou 2? Resposta: Nas duas hipóteses, ele deverá percorrer 50 km, o que parece tornar indiferente sua escolha. Mas o piloto é muito experiente e deve saber que a relação entre altura a ser atingida e o deslocamento horizontal é a chave do problema. Quanto maior a razão T, entre as medidas da altura e do deslocamento horizontal, mais dificuldades traz ao piloto:  Em 1 : T1= 30/40 = ¾ T2 > T1  Em 2 : T2= 40/30 = 4/3 Note que em razão disso, temos β > α: o ângulo de subida (aclive) interfere no desgaste e na velocidade do veículo. Assim, a escolha correta é buscar atingir o ponto A para completar a prova, cuja alternativa é a 1. Após analisada e resolvida à questão problema, daremos início: 1ª parte As Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis. As seguintes atividades serão propostas:
  4. 4. Atividade 1 Uma estimativa Experimental para as Razões Trigonométricas do Ângulo de 45° 1. Utilizando uma folha de papel A4, com o lado menor localizado na posição inferior, pegue a ponta superior direita e leve-a até a margem lateral esquerda do papel, deixando toda a margem superior superposta com a margem lateral esquerda, como é mostrado na figura 1. Deixe bem marcada a dobra feita Figura 1 2. Com ajuda de uma régua, faça um corte no papel seguindo a direção deixada pela dobra, no sentido de baixo para cima, separando um triângulo. Veja figura 2. Figura 2 Professor, esse é um momento que você pode aproveitar para incentivar a cooperação entre os alunos. Veja se na sua turma algum aluno é hábil para trabalhos manuais e incentive que ele ajude os colegas. É claro que essa atividade não é uma demonstração matemática, mas é bastante interessante e pode explorar de uma maneira menos formal a determinação do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de 45o. Entretanto, o seu êxito depende, também, do capricho com que os alunos realizam as dobras e cortam o papel. Não deixe, então, de verificar se seus alunos estão realizando adequadamente esses dois primeiros passos.
  5. 5. 3. Observe o triângulo obtido. Este triângulo é retângulo? Justifique e compare sua justificativa com a de seus colegas. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ 4. Você seria capaz de dizer qual é a medida dos outros ângulos desse triângulo? ______________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 5. Os ângulos agudos são iguais? Por quê? Se necessário, use um transferidor para medi-los. Não deixe de verificar com seus colegas os valores que eles obtiveram e registre suas respostas a seguir. ______________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________ 6. Podemos considerar este triângulo como sendo um triângulo isóscele? Qual argumento justifica esse fato? Discuta com seus colegas e registre. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 7. Lembrando que Deixe seus alunos livres para observarem o triângulo e chegarem à conclusão de que o triângulo é isóscele e os ângulos agudos medem 45º. Incentive-os a comparar a maneira como chegaram às conclusões. A diversidade de estratégias deve sempre ser incentivada. Uma ação simples como essa pode ser responsável por deixar seu aluno mais seguro e independente no pensamento.M ais uma vez lembramos que o ato de medir, por si só, é impreciso e seus alunos devem saber disso. Por isso, não deixe de explorar possíveis diferenças oriundas da medição.
  6. 6. Com o auxílio de uma régua e de uma calculadora, preencha a tabela a seguir   ÂNGULO DE 45º Medida do cateto oposto ao ângulo 45º (cm) Medida do cateto adjacente ao ângulo 45º (cm) Medida da hipotenusa (cm) sen(45º) ______________________ cos(45º) ______________________ tg(45º) _____________________ Professor, para fazer as medições solicitadas nesse item, não deixe de orientar seus alunos a serem cuidadosos. Além disso, chame atenção da turma para a necessidade de fazer aproximações, pelo menos para centésimos. Você pode explorar esse momento e fazer uma breve revi-são sobre os critérios de aproximação, se julgar conveniente.
  7. 7. Atividade 2 Uma Estimativa Experimental para as Razões Trigonométricas dos Ângulos 30º e 60º 8. Usando um transferidor e uma folha de papel A4, obtenha um ângulo de 30º. Como mostra a figura 3, trace uma linha transversal no papel a partir da marca feita. Figura 3 9. Dobrando o papel na linha marcada, faça um corte e separe o triângulo retângulo. Posteriormente, marque com uma caneta os ângulos de 30º e 60º, como mostra a figura 4.oteiros de Ação Figura 4
  8. 8. Figura 4 10. Com o auxílio de uma régua e de uma calculadora, preencha as tabelas a seguir, encontrando experimentalmente o valor do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos de 30º e 60º. ÂNGULO DE 30º Medida do cateto oposto ao ângulo 30º (cm) Medida do cateto adjacente ao ângulo 30º (cm) Medida da hipotenusa (cm) sen(30º) ______________________ cos(30º) ______________________ tg(30º) ______________________ 14 Professor, nesse momento, sue aluno precisa lembrar de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Esteja atento e caso eles não saibam, aproveite a folha de papel para mostrar que isso é verdade. Peça que eles desenhem um triângulo qualquer e o recortem. Em seguida, peça que marquem os ângulos e, finalmente, destaquem os ângulos colocando-os lado a lado. Eles verão que será formado um ângulo raso. Essa não é uma demonstração, mas é uma boa maneira de comprovar esse fato.
  9. 9. ÂNGULO DE 60º Medida do cateto oposto ao ângulo 60º (cm) Medida do cateto adjacente ao ângulo 60º (cm) Medida da hipotenusa (cm) sen(60º) ______________________ cos(60º) ______________________ tg(60º) ______________________ 11. Observe e compare os resultados encontrados para as razões trigonométricas dos ângulos de 30º e 60º. Você percebe alguma relação entre os valores encontrados? a) Existe alguma relação entre o valor do sen(30°) e do cos(60º)? Que relação é essa b) E entre sen(60º) e cos(30º)? Que relação é essa? 12. Discuta com os seus colegas e tente descobrir por que isso acontece. Registre suas conclusões. Caro Professor, é importante que o seu aluno tente perceber sozinho que o seno de um ângulo é o cosseno de seu complemento. Por exemplo, 30º e 60º são os ângulos agudos de um mesmo triângulo retângulo e, por isso, o cateto que é oposto a um desses ângulos é adjacente ao outro. Não se esqueça: é nosso papel também prezar por uma aprendizagem independente de nossos alunos
  10. 10. 13. Preencha a tabela a seguir e tente encontrar alguma relação entre o seno e o cosseno e a tangente de um mesmo ângulo. ÂNGULO DE 30º 30º _____________ = tg(30º) 60º _____________ = tg(60º) a) Registre a seguir as relações que conseguiu encontrar. Professor, esperamos que seu aluno perceba que , assim como, . Não deixe de questioná-lo se isso também acontece com outros ângulos. Sugira que faça a verificação para o ângulo de 45º da atividade anterior. Incentive-o a tentar entender porque isso acontece. É o que faremos na próxima atividade, mas é sempre bom explorarmos o lado investigativo e questionador de nossos alunos.
  11. 11. Atividade 3 Encontrando os Valores Exatos das Razões Trigonométricas do Ângulo de 45º Como você pode ter observado, as razões trigonométricas em um triângulo retângulo independem do tamanho que ele possui. Estas razões dependem unicamente do ângulo. Por este motivo, em triângulos retângulos semelhantes, as razões trigonométricas dos ângulos correspondentes são iguais. Usaremos este argumento para calcular de forma exata, as razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º. Nos dois próximos itens não use calculadora. Deixe as suas respostas em forma de fração, racionalizando os denominadores, caso seja necessário. Apenas no item final, você deverá usar a calculadora para verificar e confirmar as respostas experimentais obtidas. Como já sabemos, todos os triângulos retângulos que possuem seus ângulos agudos iguais a 45º, são triângulos isósceles. Portanto, eles têm dois lados com a mesma medida. Sendo assim, consideremos o seguinte triângulo isósceles: 14. Usando o Teorema de Pitágoras, determine o valor da hipotenusa x. Certamente seu aluno já estudou o Teorema de Pitágoras. Mas é sempre bom estar atento às dificuldades por eles apresentadas. Então, se necessário, relembre-os sobre esse importante teorema. Lembramos, ainda, que pode ser que seu aluno tenha estudado a aplicação do Teorema de Pitágoras que determina a diagonal de um quadrado a partir do seu lado. Nesse caso, esse item pode ser desnecessário. De qualquer maneira, é importante fazer às adaptações necessárias à sua turma.
  12. 12. 15. Com o valor encontrado no item anterior, determine o valor das seguintes razões trigonométricas: 45º Seno Cosseno Tangente Para racionalizar denominadores de frações que possuem um radical com índice 2 (raiz quadrada) no denominador, basta multiplicar o numerador e o denominador pela raiz que se encontra no denominador. Por exemplo, para racionalizar devemos multiplicar por √5. = = É natural que sua turma não se recorde de como se racionaliza denominadores, então, aproveite esse momento para retomar esse assunto. Como você deve ter percebido, estamos apresentando ao aluno aquela conhecida tabela trigonométrica dos ângulos notáveis. Mesmo que eles acabem decorando-a, é fundamental que, ao menos uma vez, eles tenham contato com um raciocínio que justifique aqueles valores. Perceba que as atividades anteriores, juntamente com o Roteiro de Ações 1 são fundamentais para que o aluno perceba que os valores de seno, cosseno e tangente, independem do triângulo. Portanto, podemos considerar um triângulo genérico para o cálculo algébrico dos valores dessas razões. Também é importante que eles resolvam problemas que envolvam as razões trigonométricas de ângulos não notáveis. Sugerimos, então, que você proponha a sua turma questões desse tipo.
  13. 13. Atividade 4 Encontrando os Valores Exatos para as Razões Trigonométricas dos Ângulos de 30º e 60º. 16. Considere o triângulo equilátero da figura 5 e trace uma altura. Lembre-se que a altura de um triângulo equilátero é eixo de simetria desse triângulo. Figura 5 Figura 6 Professor, está aí um momento para fazer uma revisão com seus alunos sobre as propriedades do triângulo equilátero. Se tiver pouco tempo, ao menos relembre com a turma o fato de altura ser bissetriz e mediana também, pois é eixo de simetria do triângulo.Como falamos no nosso texto, é interessante evitar, neste caso, o uso de frações, para que elas não tirem o foco do trabalho que estamos realizando. Por essa razão, optamos por indicar o lado por 2a, evitando assim o aparecimento da fração
  14. 14. 17. Tomando o triângulo da direita (veja figura 7), complete a tabela com os valores correspondentes. Figura 7 Dica: Verifique se é possível utilizar o Teorema de Pitágoras nesse triângulo! α β h x y Professor, sua participação deve ser ativa neste momento! A dica apresentada dá um rumo para a estratégia que o aluno deve tomar para resol-ver o item 17. Entretanto, é essencial que você os questione sobre o motivo pelo qual é possível utilizar o Teorema de Pitágoras. Ou seja, caberá a você orientar a turma a fim de que os alunos percebam que o triângulo é retângulo e que o ângulo do topo é de 30º. Esteja atento também sobre o fato de alguns alunos terem por hábito identificar ângulos retos apenas observando o desenho do triângulo. Oriente-os sobre o erro dessa postura, afinal o desenho pode ser enganador. Como falamos anteriormente, é fundamental que o aluno saiba que alturas, medianas e bissetrizes se confundem no triângulo equilátero, em função de a altura coincidir com o eixo de simetria .Após a percepção de que o triângulo é retângulo, o aluno deverá utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a altura.Seus alunos devem encontrar os seguintes valores α = 30º β = 60º h = a x = 2a y = a√3 Como optamos por indicar o lado do triângulo por 2ª, a altura é igual a a√3, ou seja, .
  15. 15. 18. Usando os valores obtidos no item anterior, determine as razões trigonométricas dos ângulos 30º e 60º e preencha a tabela seguinte: 30º 60º seno cosseno tangente Não esqueça de racionalizar os denominadores de suas respostas! 19. Usando uma calculadora, compare se os valores encontrados por você, experimentalmente, estão de acordo com os valores exatos. 2ª parte Estudando as Razões Trigonométricas no GeoGebra. As seguintes atividades serão propostas: Atividade 1 Iniciando a Construção de Triângulos Retângulos 1. Após ter iniciado o programa GeoGebra, vamos deixar a tela com o formato ideal para a execução de nosso trabalho. Para isto, faça um clique com o mouse, seguindo a sequência dada nas imagens 1, 2 e 3. Figura 1 Nesse momento, seu aluno deverá fazer aproximações e também deverá utilizar adequadamente a calculadora. Esteja atento para a forma com que seus alunos determinam as razões. Ao final deste trabalho, espera-se que os alunos tenham conseguido entender os conceitos básicos sobre o cálculo das razões trigonométricas, assim como, as técnicas utilizadas para a obtenção das razões trigonométricas dos ângulos notáveis. Consideramos esses fatos importantes para dar continuidade a nossos estudos sobre aplicações em problemas do cotidiano, que serão vistos em outros roteiros.
  16. 16. Figura 2 Figura 3 A tela que sugerimos é a de uma malha quadrangular com linhas tracejadas, como mostra a Figura 4. Figura 4
  17. 17. 2. Agora, desenharemos um triângulo retângulo. Para isto, você deve procurar pelo ícone, mostrado na Figura 5 (5º botão da barra de ferramentas) e fazer um clique com o mouse no local indicado. Posteriormente, marque a opção “Polígono”, como mostra a Figura 6. Figura 5 Figura 6 3. Na área de trabalho, escolha um ponto para ser o ponto A, fazendo apenas um clique com o mouse. Observe a Figura 7 e veja como você deve escolher o ponto A. Figura 7
  18. 18. 4. Seguindo a linha da malha, leve o mouse até outra posição da sua escolha para marcar o ponto B. Clique uma única vez e o ponto B aparecerá na sua área de trabalho. Ao fazer esse movimento, você observará uma linha, acompanhando o cursor no seu deslocamento, como indicado na Figura 7. 5. Agora, seguindo a malha na direção perpendicular a do segmento AB, escolha um ponto para ser o ponto C. Não se esqueça: apenas um clique é necessário! Ao mover o cursor, você verá o triângulo sendo formado, como indicado na Figura 8. Figura 8 6. Finalmente, leve novamente o cursor até o ponto A e faça um clique, para fechar o polígono. Você deve ter desenhado um triângulo, como indicado na Figura 9, certo?
  19. 19. Figura 9 Nesse início, pretendemos que os alunos manipulem o programa e, para isso, apresentamos uma sequência de orientações. Entretanto, é interessante que você deixe os seus alunos à vontade com relação à escolha do tamanho do triângulo. Apenas enfatize a sugestão de marcar os pontos sobre as linhas tracejadas da malha, fato que lhes ajudará a construir um ângulo reto. Caso algum aluno não tenha seguido esta sugestão, não se preocupe, pois ele poderá fazer a correção de seu triângulo na próxima atividade. Os desenhos sugerem que o triângulo tenha o formato e a disposição no plano apresentados nas imagens anteriores. Mas, ele também poderia ter sido feito de outras maneiras como, por exemplo, as apresentadas na figura abaixo.
  20. 20. Atividade 2 Medindo os Ângulos de um Triângulo Agora temos de verificar se o triângulo desenhado é retângulo. Para isso, usaremos uma ferramenta do GeoGebra. 1. No menu de ferramentas, clique no 8º botão, conforme mostra a Figura 10 e certifique-se de que a opção “Ângulos” esteja marcada. Figura 10 Não deixe de valorizar a estratégia escolhida por seus alunos, visando a um estudo autônomo e independente.
  21. 21. 2. Com a opção “Ângulo” marcada, para medir o ângulo interno do vértice A, siga os procedimentos: clique no ponto B, depois no ponto A e finalize, clicando no ponto C. Após a sequência de passos, o ângulo aparecerá marcado como na Figura 11. Figura 11 Dica sobre o Caso você tenha executado algum procedimento equivocado e queira recuperar o seu trabalho até aquele momento, basta procurar pelo ícone mostrado na Figura 12 e marcar na opção “Desfazer” ou se preferir faça Ctrl+Z. Figura 12
  22. 22. 3. Faça o mesmo procedimento do item 2 da Atividade 2, para medir os ângulos internos, dos vértices B e C. Para o vértice B, clique seguidamente em C, B e A, e para o vértice C, clique seguidamente em A, C e B. No final, você terá a seguinte figura: Figura 13 Caro aluno, caso não tenha conseguido um ângulo reto no vértice B, você deve clicar duas vezes no vértice C. Feito isto, em seguida aparecerá uma janela “Redefinir” (veja Figura 14). Logo, dê um “OK”. Posteriormente, posicione o cursor sobre o ponto C e deixe apertado o botão esquerdo do mouse, levando-o até alguma posição que gere um ângulo reto e, em seguida, solte-o. Você observará que o vértice C movimenta-se, segundo a direção do cursor (veja Figura 15). Desta forma, você poderá corrigir seu triângulo ou mudá-lo totalmente. Figura 14 Figura 15
  23. 23. Atividade 3 Encontrando a Medida dos Lados de um Triângulo. 1. No 8º botão da barra de ferramentas, procure pela opção “Distância, Comprimento ou Perímetro”, como mostra a Figura 16. Figura 16 2. Com a opção “Distância, Comprimento ou Perímetro” marcada, para medir o segmento AB, você deve clicar apenas uma vez no ponto A e depois no ponto B. Feito isso, automaticamente aparecerá a medida correspondente a este segmento. Repita o mesmo procedimento para medir os segmentos AC e BC. Veja na Figura 17, por exemplo, como deverá ficar o seu triângulo. Figura 17 Figura 17
  24. 24. Atividade 4 Encontrando as Razões Trigonométricas Chegou o momento de coletar os nossos dados. 1. Preencha a tabela abaixo com as medidas encontradas na atividade 3. Use uma calculadora para fazer as contas. Medida do cateto oposto Medida do cateto adjacente Medida da hipotenusa Nas atividades 2 e 3, seu aluno deve apenas utilizar as ferramentas do GeoGebra para determinar as medidas dos ângulos e lados do triângulo construído. Seu papel será o de orientador. Perceba se seu aluno está fazendo corretamente as sugestões das atividades e, caso tenha um aluno mais esperto, peça que ele ajude seus colegas. Coloque aqui a medida do menor ângulo agudo Coloque aqui a medida do maior ângulo agudo Professor, você deve orientar seus alunos para o preenchimento correto da tabela. Primeiro, eles devem preencher as primeiras células das duas colunas da direita de acordo com o seu triângulo. Depois disso, estarão aptos a preencher as outras linhas. Cuidado, pois essa é uma “tabela dupla”, onde os alunos deverão preencher primeiro as infor- mações relativas a um ângulo e, em seguida, as mesmas informações relativas ao outro ângulo.
  25. 25. Para os próximos itens, precisaremos de uma calculadora científica. Você sabe transformar a calculadora de seu computador numa calculadora científica? Veja como é fácil:  Abra a calculadora;  Clique em “Iniciar”, em seguida, em “Todos os Programas” e, finalmente, em “Acessórios”;  Clique no botão “Exibir” e selecione a opção “Científica”. Repare que a calculadora apresenta mais botões. Você deverá utilizar os botões “sin”, “cos” e “tan” para seno, cosseno e tangente, respectivamente. Qualquer dúvida, peça ajuda ao seu professor. 2. Com o auxílio da Calculadora Científica disponível no seu computador, preencha a tabela a seguir. Seno Cosseno Tangente Coloque aqui a medida do menor ângulo Coloque aqui a medida do menor ângulo Professor, a Tabela Trigonométrica é uma ferramenta muito útil na nossa sala de aula. Entretanto, a maioria dos ângulos obtidos, através da construção sugerida, são ângulos não inteiros. Por essa razão, optamos por indicar que os alunos utilizem a calculadora científica. Oriente seus alunos a respeito da aproximação, pelo menos para centésimos. Sabemos que, nesse tipo de atividade, é muito comum o aluno deparar-se com números com muitas casas decimais. Por isso, ele deve saber como agir nessa situação. Foi por essa razão que, nos roteiros anteriores, sugerimos que fosse feita uma breve revisão sobre os critérios de aproximação. Não se esqueça de verificar se os alunos estão usando corretamente a notação. Sugerimos, então, que você solicite a seus alunos o preenchimento da tabela não apenas com o valor, mas também com o símbolo da razão trigonométrica. Por exemplo, se um dos ângulos medir 63º, então ele deverá escrever na última coluna,
  26. 26. sen (63º) ≌ 0,89 cos (63º) ≌ 0,45 tg (63º) ≌ 1,96 Atividade 5 Encontrando as Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis 1. Seguindo as dicas dadas na atividade 2, construa a partir de seu triângulo (utilizando a opção redefinição) um outro de ângulos agudos 30º e 60º. Depois preencha as seguintes tabelas: 30º 60º Medida do cateto oposto Medida do cateto adjacente Medida da hipotenusa Como destacamos anteriormente, é importante que seus alunos utilizem corretamente a notação. Eles devem obter os seguintes valores sen (30º) = 0,5 sen (60º) ≌ 0,87 cos (30º) ≌ 0,87 cos (60º) = 0,5 tg (30º) ≌ 0,58 tg (603º) ≌ 1,73
  27. 27. 2. Compare os resultados encontrados com os valores obtidos por seus colegas e responda: a) Estes valores são aproximadamente idênticos? b) As razões trigonométricas independem do tamanho do triângulo? c) As razões trigonométricas dependem de que valor? d) Então, qual é a relação de comparação que deve existir entre dois triângulos retângulos, para que os seus ângulos correspondentes tenham as mesmas razões trigonométricas? 3. Avaliação: A turma será avaliada no decorrer de todo processo de construção e reconstrução dos saberes, a participação, cooperação e o senso de responsabilidade na resolução das atividades, serão pontuados como incentivo (1,0 ponto). Em um segundo momento a avaliação será feita da seguinte forma:  Atividades avaliativas com exercícios envolvendo as razões trigonométricas, que serão feitas em dupla (1,0 ponto);  Acertos na prova do SAERJINHO (1,0 ponto); Nesse último item, pretendemos que seu aluno reflita sobre tudo que fizemos durante os roteiros. Esperamos que eles percebam que os valores obtidos das diversas maneiras podem ser consi- derados iguais, uma vez que as razões trigonométricas dependem apenas do ângulo e não do triângulo que utilizamos para obtê-las. Ou seja, esperamos que essa sequência de atividades ajude seus alunos a compreenderem que em triângulos semelhantes os senos, cossenos e tangentes de ângulos correspondentes são iguais.
  28. 28.  Acertos no simulado (1,0 ponto)  Avaliação individual (6,0 pontos). Totalizando: 10,0 pontos. Caso o aluno não atinja a média bimestral, ele poderá recuperar sua nota refazendo as atividades de recuperação, após aulas de revisão. Bibliografia: CEDERJ, Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro. Funções Matemática: 1º Ano, 2º Bimestre, 2º Ciclo. Roteiro de ação 2: As Razões Trigonométricas dos Ângulos NotáveisCorporal. (s.d.). Nota de aula do Curso Formação Continuada Em 2012. CEDERJ, Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro. Funções Matemática: 1º Ano, 2º Bimestre, 2º Ciclo. Roteiro de ação 3: Estudando as Razões Trigonométricas no GeoGebra. (s.d.). Nota de aula do Curso Formação Continuada Em 2012. Conexões com a matemática / editora responsável Juliane Matsubara Barroso; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna. – 1. Ed. – São Paulo: Moderna. 2010. PAIVA, Manoel. Matemática: Paiva. 1.ed. São Paulo, 2009. Moderna. RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, ensino médio matemática. 1.ed. São Paulo, 2011. Editora: Scipione. SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática: Joamir Roberto de Souza. – 1.ed.- São Paulo: FTD, 2010. – ( Coleção novo olhar; v.1 )
  29. 29. .

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