1. Area bajo la curva
UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
´ ´
INGENIERIA INFORMATICA
Documento creado por : Manuel Cuevas y Sergio G´mez
o
Gu´ de C´lculo
ıa a
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcular el ´rea acotada por las siguientes curvas(ejemplo Item 1)
a
a) y − x − 2 = 0 b) y = 1 c) x = 2
Soluci´n del ´rea en terminos de x:
o a
1.- Obtenemos la integral
2
Ax = [(x + 2) − 1]dx
−1
2.- Resolvemos la integral
x2
Ax = + x|4
1
2
1 Temuco, June 8, 2010

2. Area bajo la curva
3.- Evaluamos
9
Ax = u2
2
Soluci´n del ´rea en terminos de y:
o a
1.- Obtenemos la integral
4
Ay = [2 − (y − 2)]dy
1
2.- Resolvemos la integral
y2
Ay = − + 4y|4
1
2
3.- Evaluamos
9
Ay = u2
2
2 Temuco, June 8, 2010

3. Area bajo la curva
2. Calcular el ´rea acotada por las siguientes curvas (ejemplo Item 2)
a
a) y = x2 b) y = −x2 + 5
Soluci´n
o
Primero debemos encontrar las intersecciones, para esto igualamos las funciones:
x2 = −x2 + 5
2x2 = 5
5
x=±
2
Ahora procedemos a encontrar el ´rea con respecto a x
a
1.- Obtenemos la integral
√
5/2
Ax = √ (−x2 + 5) − (x2 )dx
− 5/2
2.- Resolvemos la integral
√
2x3 5/2
Ax = (− ) + 5x| √
3 − 5/2
3.- Evaluamos
Ax = 10.54u2
3 Temuco, June 8, 2010

4. Area bajo la curva
Ahora con respecto a y
5
Se debe expresar mediante dos integrales debido a que en el intervalo [0, ] la funci´n de
o
√ √ 2
5
la derecha es x y la de la izquierda es − x, en cambio en el intervalo [ 2 , 5] la funci´n
o
√ √
de la derecha es 5 − y y la funci´n de la izquierda es − 5 − y
o
Area 1:
1.- Obtenemos la integral
5/2 √ √
A1 = [ y − (− y)]dy
0
2.- Por propiedad de la integral
5/2 √
A1 = 2 ydy
0
2.- Resolvemos la integral
4y 5/2 5/2
A1 = |
3 0
3.- Evaluamos
A1 = 5.27u2
4 Temuco, June 8, 2010

5. Area bajo la curva
Area 2:
1.- Obtenemos la integral
5
A2 = [ 5 − y − (− 5 − y)]dy
5/2
2.- Por propiedad de la integral
5
A2 = 2 5 − ydy
5/2
3.- Resolvemos la integral
4(5 − y)5/2 5
A2 = − |5/2
3
4.- Evaluamos
A2 = 5.27u2
Por ultimo sumamos ambas ´reas:
´ a
A1 + A2 = 10.54u2
5 Temuco, June 8, 2010

6. Area bajo la curva
3
3. Encontrar la longitud de arco de la curva y = x 2 con x ∈ [0, 5]
√
como y = 3 x
2
5 3√ 2
L= 1+( x) dx
0 2
5 9
L= 1 + xdx
0 4
9 9
Sustituyendo u = 1 + x,du = dx
4 4
5√ 4
L= u du
0 9
8 3/2 5
L= u |0
27
8 9
L= (1 + x)3/2 |5
0
27 4
L = 12, 4
6 Temuco, June 8, 2010