1. Représentation des
nombres entiers
Eduardo Sanchez
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Représentation des nombres entiers signés
Représentation signe-magnitude:
Le bit de poids fort indique le signe (0 si positif) et les bits restants la
valeur du nombre.
Avec n bits on peut représenter des entiers entre:
-(2n-1-1) et +(2n-1-1)
Deux représentations sont possibles pour zéro
Exemple avec n=4:
5 = 0101 -5 = 1101 signe
magnitude
0 = 0000 = 1000
Eduardo Sanchez
Page 2 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

2. Exemples d'opérations arithmétiques (avec n=4):
5 0101 résultat faux (0):
+3 0011 dépassement de capacité
8 1000
la soustraction devrait pouvoir être traitée comme une addition:
5 - 3 = 5 + (-3)
5 0101
-3 1011 résultat faux (0)
2 0000
Eduardo Sanchez
Page 3 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Représentation complément à deux:
Le complément à deux d’un nombre est égal à l'inverse du
nombre plus 1. Par exemple, le complément à deux de 0101 est
(1010+1)=1011
Dans ce système, un nombre négatif est le complément à deux
du même nombre positif. Le bit de poids fort d'un nombre
négatif est égal à 1
Avec n bits on peut représenter des entiers entre:
-(2n-1) et +(2n-1-1)
n 2
n 1 i
x x
n 1 n 2
... x 0 = x n 1 2 + x 2
i
i= 0
Une seule représentation est possible pour zéro
Eduardo Sanchez
Page 4 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

3. 2n
+2n-1 2n-1 non signé
complément 0 0
à2
-2n-1
Eduardo Sanchez
Page 5 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Exemple avec n=4:
5 = 0101 -5 = 1011
3 = 0011 -3 = 1101
signe
8 = impossible -8 = 1000
0 = 0000
Si n=4:
signe-magnitude
-8 -7 0 7 8
complément à 2
-8 -7 0 7 8
Eduardo Sanchez
Page 6 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

4. non signé signe- complément à 2
magnitude
0000 0 0 0
0001 1 1 1
0010 2 2 2
0011 3 3 3
0100 4 4 4
0101 5 5 5
0110 6 6 6
0111 7 7 7
1000 8 0 -8
1001 9 -1 -7
1010 10 -2 -6
1011 11 -3 -5
1100 12 -4 -4
1101 13 -5 -3
1110 14 -6 -2
1111 15 -7 -1
Eduardo Sanchez
Page 7 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Exemples d'opérations arithmétiques (avec n=4):
5 0101 résultat faux (-8):
+3 0011 dépassement de capacité
8 1000
la soustraction peut être traitée comme une addition:
5 - 3 = 5 + (-3)
5 0101
-3 1101 résultat correct
2 0010
Eduardo Sanchez
Page 8 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

5. Les opérations d'addition et de soustraction sont simplifiées en
complément à deux:
A-B A+B
B = B+1
Z = A+B
Eduardo Sanchez
Page 9 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Traitement du dépassement de capacité pour une addition:
• si les deux opérandes sont du même signe:
dépassement si le résultat est du signe opposé
• si les deux opérandes sont de signe opposé:
il n'y a jamais de dépassement de capacité
Plus formellement, pour des nombres n bits, signés en
complément à 2:
overflow = cn cn-1
Exemple:
0111 carry
5 0101
ov = cn cn-1= 0 1=1
+3 +0011
8 1000
Eduardo Sanchez
Page 10 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

6. Si nous avons deux entiers signés, x et y, en format complément à
2 sur n bits, leur addition présente 3 cas:
• si x+y 2n-1, il y a un dépassement de capacité positif
• si -2n-1 x+y < 2n-1, le résultat est correct
• si x+y < -2n-1, il y a un dépassement de capacité négatif
Pour n=4, les résultats possibles de l'addition de deux nombres
signés sont illustrés par la figure suivante
Eduardo Sanchez
Page 11 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
résultat
dépassement correct
négatif dépassement
positif
8
6
4
2
0
6
-2 4
2
-4
0
-6
-2
-8 -4
-8
-6 -6
-4
-2
0 -8
2
4
6
Eduardo Sanchez
Page 12 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

7. Extension de signe:
Si l'on veut passer un entier signé x d'un format n bits vers un
format n+k bits, en gardant la même valeur, il suffit de faire une
extension de signe: le bit de signe est répété sur les nouveaux k
bits de poids fort
n
…
…
…
… …
k n
Eduardo Sanchez
Page 13 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne