Notas de Aula de Física Experimental 1
Paulo Quintairos
2013
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1. Medidas de Tendência Central e Medidas de
Dispersão
1.1.Introdução: Por que usar Estatística?
Medidas experimentais, ...
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obter a média de um conjunto de dados temos de
somar todos os valores obtidos e dividir pelo número
de valores. Para a t...
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adotaremos é o desvio padrão (símbolo σ), que pode
ser calculado da seguinte forma:
ℓ(mm) ℓ - ̅ (mm) (ℓ - ̅)
2
(mm
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)
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2. Incertezas do Tipo A e do Tipo B
2.1.Tipos de Incerteza
Conforme vimos anteriormente, para obter o valor de
uma grand...
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valores de σA e de σB a partir da seguinte definição,
que é a soma de módulo de dois vetores:
√
2.5.Exemplo: medida do c...
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2.7.Algarismos Significativos e arredondamento
Uma dúvida bastante comum dentre os iniciantes
da Física Experimental se ...
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são expressos na tabela abaixo, a partir deles calcule
o valor do pé direito da casa e apresente-o da forma
tecnicamente...
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3. Medições de Tempo
Neste capítulo todas as técnicas anteriormente
apresentadas serão utilizadas para obtermos o valor ...
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 quando o ângulo de deslocamento inicial do pêndulo
for de até 100
, a redução da amplitude do pêndulo ao
longo de dez...
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3.5.Procedimento Experimental
O procedimento experimental para uma boa tomada
de dados pode ser feito seguindo os segui...
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Para estabelecer o valor do período (T) de oscilação
do pêndulo, temos de calcular o valor médio das
cinqüenta medidas ...
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4. Leitura de uma escala milimetrada
4.1.Objetivo da Experiência
O objetivo desta prática é analisar a precisão de
medi...
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4.3.Procedimento Experimental
Com o intuito de comparar a leitura feita com uma
régua de boa qualidade com a leitura fe...
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Intervalo (mm) Freqüência (%)
1   68.3%
2  22  95.5%
3  33  99.7%
4.5.Interpretação dos dado...
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4.6.Tabelas
CONJUNTO A
Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm)
1 125,750 10 125,460 19 144,955 28 144,790
2 125,630...
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5. Medidas com paquímetro
Nesta aula iniciaremos o uso do paquímetro como
instrumento de medida. Paquímetros são instru...
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5.4.Parte prática
O objetivo da prática deste capítulo é, usando um
paquímetro, medir o diâmetro de um prego e avaliar
...
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6. Incerteza em medidas indiretas (Propagação de
Incertezas)
Todas as medidas obtidas até este ponto de nosso
curso for...
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a. Usando um paquímetro, meça L em dez pontos
diferentes da placa;
b. Usando um paquímetro, meça C em dez pontos
difere...
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7. Incerteza em medidas indiretas: Volume
Nesta aula faremos mais um exercício de aplicação
relativo às medidas obtidas...
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e. Calcule as incertezas das medidas de H e de D da
seguinte forma:
Calcule o
valor de <V>
da seguinte
forma:
HDV  2...
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8. Escalas Lineares
Uma das ferramentas mais importantes nos processos
de análises de dados é a análise de gráficos, os...
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8.1.1. Significado dos Coeficientes
O coeficiente angular de uma reta fornece a
inclinação da reta, na verdade ele é a ...
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8.2.2. Representação das Incertezas
É bem sabido que toda medida experimental tem uma
incerteza (erro) a ela associado;...
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9. Lei de Hooke
Na aula de hoje será analisado o comportamento de
uma mola, fixa em uma extremidade, sujeita à ação de
...
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9.2.Aplicações da lei de Hooke
A lei de Hooke tem diversas aplicações na vida
cotidiana. Uma das mais comuns é a balanç...
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82 84 86 88 90 92 94
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Peso(N)
X (mm)
ΔX
ΔY
mmN
M
X
M
Y
k
X
Y
/















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Correlação e Regressão Linear
Como é possível saber se a relação entre duas
variáveis, x e y, é linear? A partir de um ...
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Note que o cálculo de r nos leva à mesma
conclusão que a análise gráfica, ou seja, há uma forte
correlação positiva ent...
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10.Princípio de Arquimedes
Arquimedes foi um sábio que viveu entre os anos 287
a.C. e 212 a.C., em Siracusa, na Grécia....
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10.2. Parte Prática
O objetivo da presente experiência é verificar a
veracidade do princípio de Arquimedes, através da
...
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10.2.4. Comparação dos resultados
%100
2








 


ArquimedesEmpírico
ArquimedesEmpírico
EE
EE
e
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11.Primeira Lei de Newton
11.1. Primeira Lei de Newton
A primeira lei de Newton, também chamada de Lei da
Inércia, esta...
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11.4. Parte Prática
1. Obtenha as intensidades de F1, F2 e F3, a partir da
leitura dos dinamômetros.
2. Usando um trans...
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12.Movimento Unidimensional: Tubo de Óleo
O movimento unidimensional de uma partícula é
caracterizado pela existência d...
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 Repita todo o procedimento acima para cada um dos
pontos demarcados, ou seja, de s2 até s9.
 Verifique se as posiçõe...
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 Para analisar o movimento é necessário construir o
gráfico de x = x(t), conforme o exemplo a seguir:
t (s) σ(s) S (cm...
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13.Escalas Logarítmicas
Antes de prosseguir com a abordagem da Física
Experimental para o estudo do movimento
uniformem...
40
13.4. Propriedades Básicas
A partir da definição dos logaritmos, é possível
obter uma série de propriedades interessant...
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No quadro abaixo são apresentados valores
numéricos para a função y = log(x).
X y = log(x) X y = log(x)
1 0 10 1
2 0.30...
42
14.Aplicação ao Movimento de Queda Livre
Consideremos o exemplo de uma partícula em
queda livre, próxima a superfície d...
43
 Anote o tempo de queda medido pelo cronômetro
acoplado ao sistema;
 Repita o procedimento 10 vezes;
 Altere a distâ...
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15.Conservação da Energia: Lançamento Horizontal
No âmbito da Mecânica são definidos basicamente
dois tipos de energia:...
45
o primeiro termo do lado direito da igualdade é a energia
cinética de translação, onde m é a massa da esfera e v
sua ve...
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velocidade de lançamento de um projétil e seu
alcance (horizontal). Dos estudos de cinemática,
sabe-se que a distância ...
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15.4. Experiência: Lançamento Horizontal

 Usando uma folha de papel em branco, uma folha
de “papel carbono” e uma tr...
48
F
Pθ
θ
16.Movimento Periódico: Pêndulo Simples
16.1. Movimento Periódico
Um movimento é dito periódico quando se repete...
49
16.3. Procedimento experimental
o Usando a trena, meça o comprimento L5 (em cm e
com duas casas decimais!)
o Obtenha (1...
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17.Lei de Newton do Resfriamento
Uma xícara contendo café quente, quando é deixada
sobre uma mesa, irá se resfriar lent...
51
(calor) entre o corpo e o ambiente, mas a temperatura de
equilíbrio será a temperatura ambiente devido a enorme
diferen...
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   
t
C
Ah
AIA e



 
Definindo
C
Ah 
 , a equação acima pode ser
reescrita como:
    t
AIA et 
...
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 Coloque o termômetro em contato com a água
quente e obtenha o valor da temperatura inicial
(θI);
 Monitore a tempera...
54
18.Calorímetro
No capítulo anterior foi visto que a temperatura de um
corpo é uma medida do estado de agitação das
molé...
55
Assim, o calor recebido QR é positivo, ao passo que o
calor cedido Qc é negativo.
18.3. Parte Prática
O objetivo da pre...
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COMO FAZER UM RELATÓRIO
1. O que é um relatório de Física Experimental 1?
O relatório da disciplina Física Experimental...
57
cálculos e resultados, fruto do tratamento
estatístico dos dados experimentais.
2.8.Conclusão: relato sucinto e claro d...
58
MEDIÇÕES DE TEMPO
CURSO: Engenharia
_________
Prof.Dr. Paulo Quintairos
ENTREGA: 12/03/2009
ALUNOS:
1. Enrico Fermi
2. ...
59
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
4.1.Visando reduzir a influência das forças de atrito
no experimento, o ângulo máximo de a...
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  1. 1. Notas de Aula de Física Experimental 1 Paulo Quintairos 2013
  2. 2. 2 1. Medidas de Tendência Central e Medidas de Dispersão 1.1.Introdução: Por que usar Estatística? Medidas experimentais, mesmo quando efetuadas com esmero e cuidado, implicam erros e variação. Segundo Oguri (2006), “Todo experimento em Física envolve a medição duma ou várias grandezas. Mesmo que as medições tenham sido realizadas com todo esmero, os valores encontrados (medidas) estão sujeitos, inevitavelmente, a incertezas. A análise de erros é o estudo que nos permite estimar essas incertezas e, em muitos casos, pode nos ajudar a reduzi-las ou controlá-las”. Para elucidar a relevância do processo de Análise de Dados, tomemos como exemplo, um experimento feito para comprovar um resultado bastante conhecido da Geometria plana. Sabe-se que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 1800 . Entretanto, ao medirmos os ângulos internos de alguns triângulos e somarmos os valores obtidos para cada um deles, não obteremos 1800 para todos. É bastante provável que o valor correto, conhecido a priori, não seja encontrado para nenhum dos objetos medidos. Isso quer dizer que as medidas estão erradas ou que o valor teórico de 1800 está errado? Considerando que as medidas foram feitas corretamente e que os triângulos são bem feitos, a resposta é que tal variação é inerente ao processo de medição. Assim sendo, o uso da Estatística é imprescindível para estabelecermos resultados experimentais. Podemos resumidamente concluir que é impossível eliminar o erro nos processos de medida, porém é possível controlar tais erros usando Estatística e a Teoria dos Erros, que será objeto de estudo da disciplina Física Experimental 1. 1.2.Medidas de Tendência Central Consideremos a seguinte situação problema: temos a tarefa de medir o comprimento de uma barra metálica usando uma trena milimetrada. Para reduzir o erro envolvido no processo, o comprimento da barra foi aferido cinco vezes por uma mesma pessoa. Os resultados obtidos foram: ℓ(mm) 125,4 124,4 125,3 124,8 124,6 Como os cinco valores encontrados foram obtidos pela mesma pessoa, com a mesma trena e a intervalos de tempo próximos, não é possível admitir que uma das medidas seja melhor que as demais. Cabe então a pergunta: qual o comprimento da barra? Usualmente considera-se que a média aritmética simples (doravante média) dos valores obtidos é o melhor resultado, ainda que não corresponda a nenhum dos valores do conjunto. Para
  3. 3. 3 obter a média de um conjunto de dados temos de somar todos os valores obtidos e dividir pelo número de valores. Para a tabela acima teremos: MÉDIA ARITMÉTICA: N N i i  1   ̅ = (125,4 + 124,4 + 125,3 + 124,8 + 124,6)÷ 5 ̅ = 124,9 mm Devido a variação encontrada para os valores da mesma medida (o comprimento da barra), foi solicitado a uma outra pessoa que efetuasse também cinco medidas do comprimento da mesma barra, utilizando a mesma trena. A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos pelos dois medidores, com as respectivas médias. ℓ(mm) ℓ´(mm) 125,4 126 124,4 124,8 125,3 125,3 124,8 124,1 124,6 123,8 Média = 124,9 124,8 Os dois conjuntos de medidas apresentam médias diferentes, apesar de terem sido obtidos com o mesmo cuidado e utilizando o mesmo instrumento de medida. Qual das duas médias pode ser considerada como o resultado mais confiável? 1.3.Medidas de Dispersão Para estabelecermos qual das duas médias é a mais confiável, é preciso introduzir algumas definições de medidas que mostrem a dispersão dos dados. Partiremos do princípio que quanto menos dispersos forem os dados, mais confiáveis são as medidas. Podemos calcular quanto que cada um dos valores obtidos difere da média e depois calcular a média dos desvios. Os valores obtidos para os dois conjuntos de dados são apresentados na tabela abaixo. ℓ(mm) ℓ -̅ (mm) ℓ´(mm) ℓ´ - ̅ ´ (mm) 125,4 0,5 126 1,2 124,4 -0,5 124,8 0,0 125,3 0,4 125,3 0,5 124,8 -0,1 124,1 -0,7 124,6 -0,3 123,8 -1,0 Média = 124,9 0,0 124,8 0,0 Na tabela é possível notar que a soma dos desvios para ambos os conjuntos de medidas é zero. Isso não é uma coincidência, mas sim uma conseqüência da definição de média aritmética simples. Para estabelecer uma medida de dispersão, utiliza-se então os quadrados dos desvios dos valores com relação à média. A medida de dispersão que
  4. 4. 4 adotaremos é o desvio padrão (símbolo σ), que pode ser calculado da seguinte forma: ℓ(mm) ℓ - ̅ (mm) (ℓ - ̅) 2 (mm 2 ) 125,4 0,5 0,3 124,4 -0,5 0,3 125,3 0,4 0,2 124,8 -0,1 0,0 124,6 -0,3 0,1 Média = 124,9 0,0 0,9 ℓ´(mm) ℓ´ - ̅ ´ (mm) (ℓ´ - ̅ ´) 2 (mm 2 ) 126,0 1,2 1,4 124,8 0,0 0,0 125,3 0,5 0,3 124,1 -0,7 0,5 123,8 -1,0 1,0 Média = 124,8 0,0 3,2 O desvio padrão é calculado pela raiz quadrada da soma dos valores quadráticos dividida pelo número de medidas menos um, ou seja, DESVIO PADRÃO:   1 1 2     N N i i   mm4,0 15 9,0    e mm9,0 15 2,3 ´    A partir dos resultados obtidos para o desvio padrão, podemos finalmente dizer que o primeiro conjunto de medidas é o mais confiável, pois apresenta dispersão mais baixa. 1.4.Exercício A área de uma superfície retangular é calculada como sendo o produto da largura pelo comprimento. Na tabela abaixo são apresentadas seis medidas (todas confiáveis) obtidas a partir de um tampo de uma mesa retangular. (a) Calcule o valor da largura e do comprimento do tampo e o desvio padrão para as medidas de largura e comprimento. (b) Qual das duas medidas (comprimento e largura) é a mais confiável? Comprimento (cm) Largura (cm) 180,55 130,10 179,58 129,55 180,70 130,43 189,80 130,00 180,10 129,95 Resposta: Comprimento (cm) Largura (cm) Média 182.15 130.01 Desvio Padrão 4.30 0.32
  5. 5. 5 2. Incertezas do Tipo A e do Tipo B 2.1.Tipos de Incerteza Conforme vimos anteriormente, para obter o valor de uma grandeza temos de repetir o processo de medição algumas vezes para, posteriormente, adotar o valor médio do conjunto de medidas como sendo o valor medido. Vimos também que o cálculo do desvio padrão nos dá uma estimativa do erro atrelado à medida obtida. Neste capítulo, veremos que o desvio padrão é somente uma das incertezas associadas a uma medida experimental. As incertezas associadas a uma medida são de dois tipos:  Tipo A: é a incerteza de natureza Estatística; mede a dispersão dos valores encontrados nas repetições das medições feitas. Estima, portanto, o erro devido a fatores aleatórios e espúrios como, por exemplo, a habilidade de quem coleta os dados. Adotaremos, como usual, o desvio padrão como sendo a incerteza do tipo A.  Tipo B: é a incerteza devido a fatores sistemáticos, não-estatísticos, como as incertezas inerentes ao instrumento de medição e ao arranjo experimental utilizado. Adotaremos apenas a incerteza instrumental como sendo a incerteza do tipo B. A definição operacional de σB depende se o instrumento usado na medição for analógico ou digital. 2.2.Incerteza Tipo B: instrumentos analógicos Adotaremos, ao longo de nosso curso, que a incerteza σB para instrumentos analógicos é igual a metade da menor graduação da escala do instrumento (com exceção do paquímetro). Por exemplo, para uma régua milimetrada, cuja menor escala é 1 mm, teremos que σB = 0,5 mm. Já para um paquímetro analógico, como o que será usado em nosso laboratório, a menor escala é 0,05mm e, neste caso, está já será a sua incerteza. 2.3.Incerteza Tipo B: instrumentos digitais A incerteza do tipo B para instrumentos digitais é um pouco mais complexa de ser calculada. O valor de σB é obtido a partir da variação do último dígito do instrumento e de um valor informado pelo fabricante. Como, em laboratórios didáticos, a incerteza do tipo A costuma ser maior que a do tipo B, quando são usados instrumentos digitais de boa qualidade e, ainda, devido a complexidade de calcular o valor do erro para estes casos, não utilizaremos a incerteza do tipo B nos experimentos em que o instrumento de medida seja digital. 2.4.Combinação das incertezas A e B Conforme foi dito anteriormente, a incerteza associada a uma medida experimental é composta da incerteza de natureza estatística (σA) e a incerteza sistemática, ou não estatística, (σB). O valor da incerteza de uma medição é calculado a partir dos
  6. 6. 6 valores de σA e de σB a partir da seguinte definição, que é a soma de módulo de dois vetores: √ 2.5.Exemplo: medida do comprimento de uma barra Vamos agora retomar o exemplo usado no capítulo anterior para a medida do comprimento de uma barra, utilizando uma régua milimetrada. Vimos que duas pessoas efetuaram cinco medidas da barra, cada uma. Os resultados obtidos a partir dos dois conjuntos de dados foram: a) ̅ = 124,9 mm σA = 0,4 mm b) ̅ ´ = 124,8 mm σA ´ = 0,9 mm Lembrando que os dois conjuntos de medidas foram obtidos a partir de uma mesma régua milimetrada, temos que a incerteza do tipo B será igual a 0,5mm para ambos os conjuntos de medidas. Assim, σB = 0,5mm. Portanto, podemos agora calcular a incerteza contida em cada uma das medidas, l e l´, combinando os dois tipos de incertezas. Para o primeiro conjunto de medidas temos: a) σA = 0,4mm e σB = 0,5mm √ b) σA = 0,9mm e σB = 0,5mm √ Podemos finalmente apresentar as medidas obtidas para a barra de forma tecnicamente correta: a) ℓ = (124,9  0,6) mm b) ℓ´= (125  1) mm 2.6.Exercício A área de uma superfície retangular é calculada como sendo o produto da largura pelo comprimento. Na tabela abaixo são apresentadas cinco medidas (todas confiáveis) obtidas a partir de uma barra metálica retangular. (a) Calcule o valor da largura e do comprimento da barra, o desvio padrão e a incerteza final para as medidas de largura e comprimento. (b) Qual das duas medidas (comprimento e largura) é a mais confiável? Comprimento (mm) Largura (mm) 180,5 130,1 179,5 129,5 180,7 130,3 189,8 130,0 180,1 129,5 Resposta: Comprimento (mm) Largura (mm) Média 182,1 129,9 Desvio Padrão 4,3 0,4 Incerteza 4,3 0,6
  7. 7. 7 2.7.Algarismos Significativos e arredondamento Uma dúvida bastante comum dentre os iniciantes da Física Experimental se a refere ao número de algarismos (casas decimais) que devem ser considerados em uma medida. A resposta é que se deve sempre considerar o número de “algarismos significativos”. Segundo Oguri (2006), “Algarismos significativos de uma medida ou estimativa indicam a sua precisão e, portanto, são determinados pelo erro a ela associado. Desse modo, somente após o cálculo do erro é possível estimar o número de algarismos com que um resultado deve ser expresso”. A partir da definição de algarismos significativos, podemos distinguir duas formas diferentes para obtê- los, cada uma delas aplicável a uma situação diferente. 2.8.Algarismo significativos em medições diretas Ao realizarmos uma medição direta, como por exemplo uma medição do comprimento de uma barra, a única incerteza envolvida é o erro sistemático do próprio instrumento de medida usado, ou seja, a incerteza do tipo B. Voltemos novamente ao exemplo das medições do comprimento de uma barra. Em cada uma das dez medidas apresentadas (cinco de cada operador) a incerteza do instrumento de medida — a régua milimetrada — é igual a 0,5mm. Portanto, observe que todos os valores apresentados continham algarismos até os décimos de milímetro, isto é, uma casa decimal em milímetros. 2.9.Algarismos significativos Quando o valor de uma grandeza é determinado pela média de diversas repetições de uma mesma medida, o número de algarismos significativos será determinado pelo erro experimental, sendo que o erro experimental (incerteza) deve ser apresentado com apenas um dígito diferente de zero. Novamente voltando ao exemplo das medidas do comprimento da barra, temos que a primeira medida é ℓ = (124,9  0,6) mm ; note que a medida contém até décimos de milímetros, pois a incerteza da medida é igual a quatro décimos de milímetros. O valor obtido a partir do segundo conjunto de medidas foi apresentado como ℓ´= (125  1) mm ; note que agora a medida contém apenas até as unidades de milímetros, pois a incerteza da medida calculada foi 1,0 mm e, como a incerteza deve ser expressa com apenas um dígito diferente de zero, tem-se σ´ = 1 mm. 2.10. Exercício: Joãozinho mediu a altura do “pé direito” da casa onde mora; fez seis medidas em pontos diferentes de uma mesma sala, usando uma trena cuja menor marcação era um milímetro. Os valores obtidos por Joãozinho
  8. 8. 8 são expressos na tabela abaixo, a partir deles calcule o valor do pé direito da casa e apresente-o da forma tecnicamente mais correta. Neste caso, apesar da precisão da trena ser de 5,0i mm devemos também considerar o “arranjo” experimental, ou seja, as condições em que a medida é feita. Quem já usou uma trena (milimetrada) para obter medidas em uma construção sabe que seria absurdo afirmar que o erro sistemático (erro tipo B) é de apenas 0,5 mm (existem também outros erros como paralelismo, etc que serão discutidos mais adiante no curso). Considere, portanto, um erro tipo B dez vezes maior  5,0B cm. 295,0 298,5 294,7 296,2 297,0 295,5 Tab. 2.10: Medidas para o “pé direito” da casa de Joãozinho. Valores em cm. Resposta: cmh )2296( 
  9. 9. 9 3. Medições de Tempo Neste capítulo todas as técnicas anteriormente apresentadas serão utilizadas para obtermos o valor do período de oscilação de um pêndulo simples. Iniciaremos o capítulo com as definições básicas do que é um pêndulo simples e posteriormente será apresentado um exemplo de todo o processo de tomada das medidas e do tratamento dos dados experimentais. 3.1.O pêndulo simples Podemos definir um pêndulo simples como um pequeno corpo, cujas dimensões são desprezíveis, suspenso por um fio inextensível e de massa desprezível. Uma das extremidades do fio é fixa e a outra está presa à partícula. Desprezando os efeitos da resistência do ar e possíveis efeitos do atrito na extremidade fixa do fio, a partícula oscila, para frente e para trás, em um plano vertical, quando a partícula for deslocada da posição de equilíbrio e abandonada. 3.2.O pêndulo real Uma simples análise de um pêndulo real evidencia que ele é bastante diferente de um pêndulo simples (ideal). Entretanto, na prática científica, é muito comum introduzir aproximações dos objetos reais com relação aos objetos e situações ideais. Analisando um pêndulo, é fácil notar que há muitas discrepâncias entre o modelo e o real: a massa presa na extremidade do fio não tem dimensão desprezível, o fio tem massa e não é totalmente rígido, existe atrito entre o fio e o sistema de fixação do mesmo e, ainda, existe atrito entre o pêndulo e o ar durante o movimento de oscilação. Uma prova cabal da existência de todos esses atritos é que a amplitude de oscilação do pêndulo vai sendo reduzida com o passar do tempo, até que o pêndulo finalmente pare de oscilar. Como sabemos que a energia é sempre conservada, tem-se que a energia mecânica de oscilação foi convertida em energia térmica (note o aumento da temperatura das partes atritadas). Apesar de tantas discrepâncias entre o pêndulo ideal e o real, podemos observar que:  o tamanho da massa presa na extremidade do fio é pequena em relação ao comprimento total do pêndulo;  a massa do fio é pequena em relação a massa da esfera;  para a massa presa na extremidade do fio, a deformação sofrida pelo mesmo é imperceptível;
  10. 10. 10  quando o ângulo de deslocamento inicial do pêndulo for de até 100 , a redução da amplitude do pêndulo ao longo de dez oscilações será quase imperceptível. Podemos então dizer que o pêndulo real que será utilizado em nossa atividade prática é uma boa aproximação de um pêndulo simples ideal. 3.3.Período O período de um movimento periódico qualquer é definido como o tempo necessário para completar uma oscilação completa. A partir dessa definição, podemos então dizer que o período do pêndulo simples é o tempo gasto pelo pêndulo para realizar um movimento de ida e vinda do objeto. 3.4.Como medir o período de um pêndulo simples? A primeira idéia que um estudante pode ter de como medir o período de um pêndulo simples é simplesmente cronometrar o tempo que pêndulo demora para executar um oscilação (ida e volta). Entretanto tal procedimento conduz a uma medida pouco confiável. É bem sabido que todos os seres humanos têm um tempo de reação entre ver um fenômeno e acionar o cronômetro, seja para iniciar ou para terminar a contagem do tempo. Isso quer dizer que ao cronometrar diretamente um período esse erro será cometido duas vezes, e obviamente fará parte da medida. Usando a cronometragem manual não podemos, obviamente, eliminar o tempo de reação das nossas medidas. Entretanto, podemos adotar uma sistemática de tomada de tempos capaz de reduzir o erro contido nas medidas. Se ao invés de cronometrar um período de oscilação, cronometrarmos dez períodos de oscilações e, depois, dividirmos o resultado por dez, o erro de reação contido na medida será dez vezes menor. Como foi visto nos capítulos anteriores, uma medida deve ser repetida diversas vezes para, a partir do cálculo da média e do desvio padrão, estabelecer o valor da medida e a confiabilidade da mesma. Por esse motivo, para medirmos o período do pêndulo simples, adotaremos o procedimento de repetir a medida (de dez oscilações) cinqüenta vezes. A partir dos cinqüenta valores medidos será possível obter um valor para o período e estabelecer a precisão do mesmo; através do cálculo da incerteza da medida.
  11. 11. 11 3.5.Procedimento Experimental O procedimento experimental para uma boa tomada de dados pode ser feito seguindo os seguintes passos:  Desloque o pêndulo em relação a posição de equilíbrio de um ângulo de até 100 ;  Cronometre o tempo que o pêndulo gasta para completar dez oscilações (dez idas e vindas);  Anote o resultado, com as duas casas decimais (em segundos), obtido com o cronômetro.  Repita os procedimentos acima 50 vezes;  Ordene todas as medidas obtidas em ordem crescente;  Divida cada uma das cinqüenta medidas por 10 e mantenha duas casas decimais;  Calcule a média e o desvio padrão para o conjunto das cinqüenta medidas. 3.6.Exemplo Seguindo o procedimento experimental descrito na secção anterior, cada bancada irá obter uma tabela como a apresentada a seguir: TEMPO PARA 10 OSCILAÇÕES(s) 18.54 18.71 18.76 18.83 18.89 18.55 18.74 18.77 18.85 18.90 18.56 18.74 18.77 18.85 18.91 18.57 18.75 18.78 18.87 18.93 18.65 18.75 18.78 18.87 18.93 18.65 18.75 18.79 18.88 18.95 18.67 18.75 18.81 18.88 18.97 18.69 18.76 18.82 18.89 19.03 18.69 18.76 18.83 18.89 19.06 18.69 18.76 18.83 18.89 19.09 Período(s) 1.85 1.87 1.88 1.88 1.89 1.86 1.87 1.88 1.89 1.89 1.86 1.87 1.88 1.89 1.89 1.86 1.88 1.88 1.89 1.89 1.87 1.88 1.88 1.89 1.89 1.87 1.88 1.88 1.89 1.90 1.87 1.88 1.88 1.89 1.90 1.87 1.88 1.88 1.89 1.90 1.87 1.88 1.88 1.89 1.91 1.87 1.88 1.88 1.89 1.91
  12. 12. 12 Para estabelecer o valor do período (T) de oscilação do pêndulo, temos de calcular o valor médio das cinqüenta medidas e o respectivo desvio padrão. Fazendo os cálculos, para a tabela exemplo os valores encontrados foram: sT 88,1 e s01,0 ou, ainda,   sT 01,088,1  3.7.Comparação dos dados com o padrão da gaussiana Para um conjunto de medidas estar de acordo com os padrões da distribuição de Gauss (curva de Gauss), é necessário que as medidas estejam concentradas em torno da média da seguinte forma: Intervalo (s) Freqüência (%) 1   TTT 68.3% 2  22  TTT 95.5% 3  33  TTT 99.7% A coluna intitulada freqüência indica o percentual mínimo de medidas que tem de estar no intervalo especificado. Especificamente para o exemplo do qual estamos tratando, vejamos como fica a análise: Intervalo (s) Medido Mínimo 1.87 a 1.89 82% 68.30% 1.86 a 1.90 94% 95.50% 1.85 a 1.91 100% 99.70% Como todos os percentuais medidos ficaram acima dos percentuais mínimos, podemos concluir que as medidas estão boas.
  13. 13. 13 4. Leitura de uma escala milimetrada 4.1.Objetivo da Experiência O objetivo desta prática é analisar a precisão de medidas de comprimentos feitas com uma régua milimetrada. Para atingirmos esse objetivo, vamos comparar as medidas de comprimentos obtidas com uma régua milimetrada de boa qualidade e as medidas de referência, para os mesmos comprimentos, apresentadas em uma tabela em anexo. 4.2.Medindo comprimentos com uma régua Ao usarmos uma régua milimetrada para medir um comprimento, a melhor leitura é feita computando todos os algarismos de leitura direta mais o primeiro algarismo avaliado. A figura abaixo exemplifica uma típica leitura feita com uma régua milimetrada. A melhor leitura do comprimento da barra é:  mm5,06,128 , onde a incerteza é somente a tipo B, isto é, proveniente somente do erro sistemático. Como somente uma leitura foi realizada, a incerteza do Tipo A (estatística) é igual a zero e a incerteza da medida é igual a σB. Observe que a presença dos décimos de milímetros é obrigatória na leitura do comprimento. No exemplo da figura abaixo a baixo, a melhor leitura é  mm5,00,125 , onde o zero na casa dos décimos de milímetros indica que o final da barra coincide com o traço 125 da régua.
  14. 14. 14 4.3.Procedimento Experimental Com o intuito de comparar a leitura feita com uma régua de boa qualidade com a leitura feita por um instrumento mais preciso, cada aluno deverá medir a distância entre as marcas (traços) de todas as barras da caixa de barras. Além de anotar o valor medido, o aluno deve também anotar o número impresso na barra, pois é com este código que será possível saber a medida de referência da barra. Sendo assim, é aconselhável preencher a seguinte tabela: Número da Barra Distância entre as marcas Diferença Medida (mm) Referência (mm) (Med - Ref)(mm) 4.4.Análise dos dados Após preencher a tabela, podemos iniciar a análise dos dados. Note que como o objetivo da prática é avaliar a precisão da leitura feita com a régua milimetrada, a variável que iremos analisar é a diferença entre as medidas, ou seja, os valores contidos na última coluna à direita da tabela acima. Os valores lá contidos expressam as diferenças, positivas e negativas, entre as leitura feitas com a régua e os chamados valores de referência. Assim sendo, os  ´s expressam os erros cometidos na leitura direta feita com a régua. O primeiro passo é calcular a média dos deltas,  , e o desvio padrão σ. Teremos então que o erro médio cometido ao medir comprimentos com uma régua será:   . O passo seguinte na análise da precisão de leitura é verificar se as medidas obtidas satisfazem as condições estabelecidas a partir da gaussiana. Isto quer dizer que devemos fazer verificar se as medidas estão de acordo com o seguinte padrão:
  15. 15. 15 Intervalo (mm) Freqüência (%) 1   68.3% 2  22  95.5% 3  33  99.7% 4.5.Interpretação dos dados Se os dados obtidos para os  ´s estiverem de acordo com a tabela acima, isso significa que o erro cometido ao medir comprimentos usando uma régua é aproximadamente “constante”. Contrariamente, se os  s não satisfizerem os três sigmas, isso mostra que o erro cometido ao medir comprimentos com a régua é aleatório e, portanto, que o aluno deve ser mais atento ao fazer tais leituras.
  16. 16. 16 4.6.Tabelas CONJUNTO A Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) 1 125,750 10 125,460 19 144,955 28 144,790 2 125,630 11 125,210 20 144,915 29 144,565 3 125,600 12 125,130 21 144,890 30 145,160 4 125,325 13 125,425 22 144,800 31 144,780 5 125,420 14 125,420 23 145,150 32 144,835 6 125,445 15 125,500 24 145,000 33 144,955 7 125,485 16 125,065 25 145,140 34 145,190 8 125,310 17 125,380 26 144,770 35 144,980 9 125,285 18 125,250 27 144,650 36 144,820 CONJUNTO B Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) 1 117,240 10 113,810 19 126,535 28 2 114,685 11 113,870 20 128,865 29 3 117,250 12 117,780 21 118,910 30 4 122,980 13 122,000 22 119,270 31 144,780 5 115,475 14 114,500 23 116,690 32 144,835 6 121,110 15 116,660 24 33 144,955 7 125,250 16 123,375 25 34 145,190 8 120,580 17 120,790 26 35 144,980 9 119,360 18 121,215 27 36 144,480
  17. 17. 17 5. Medidas com paquímetro Nesta aula iniciaremos o uso do paquímetro como instrumento de medida. Paquímetros são instrumentos de precisão de grande utilidade; podem ser usados para medir diâmetros externos e internos de objetos, comprimento e também profundidade. A precisão das medidas realizadas com paquímetros é consideravelmente maior do que a conseguida com réguas. 5.1.Por que o paquímetro é mais preciso que a régua? Réguas contem apenas uma escala milimetrada fixa, ao passo que um paquímetro possui duas escalas: uma fixa e uma móvel (nônio). A escala móvel funciona como uma ampliação do espaçamento entre dois traços (milímetros) consecutivos da escala fixa. 5.2.Incerteza do Tipo B O paquímetro que será utilizado em nosso laboratório é do tipo analógico. Sua incerteza, incerteza do instrumento (erro sistemático), será dada pela menor escala de medida do instrumento. Em particular, a menor escala do nônio (ou vernier) do paquímetro que utilizaremos é 0,05mm, pois o nônio possui 20 divisões, dividindo a escala principal (milimetrada) em 20 partes iguais: mm mm B 05,0 20 1  5.3.Incerteza A incerteza de uma medida experimental, feita repetidas vezes, é uma combinação da incerteza do Tipo A (estatística) e a incerteza do Tipo B (não estatística). A composição dos dois tipos de incertezas é feita da seguinte forma: 22 BA   . Para a incerteza do tipo A será usada em nosso curso o próprio desvio padrão.
  18. 18. 18 5.4.Parte prática O objetivo da prática deste capítulo é, usando um paquímetro, medir o diâmetro de um prego e avaliar se esse diâmetro é constante ao longo do objeto. Para realizarmos o experimento, cada um dos grupos deve seguir o seguinte procedimento:  Use o paquímetro e meça o diâmetro do prego em 20 pontos diferentes;  Calcule a média d e o desvio padrão σA do conjunto de valores;  Escreva o diâmetro do prego da seguinte forma: mmdd BA )(   ;  Calcule a incerteza σ da medida a partir das incertezas σA e σB usando a equação 22 BA   ;  A partir dos valores obtidos, avalie o número de algarismos significativos que a medida deve conter;  Escreva corretamente o valor final da medida, ou seja, mmdd )(   Usando os valores de d e σ, avalie o conjunto de medidas de acordo com os níveis de segurança da gaussiana (três sigmas). 5.5.Conclusões Caso as medidas não satisfaçam os níveis de segurança, será possível concluir que o diâmetro do prego não é constante. Ao contrário, caso as medidas satisfaçam os níveis de segurança, será possível concluir que o diâmetro do prego é constante.
  19. 19. 19 6. Incerteza em medidas indiretas (Propagação de Incertezas) Todas as medidas obtidas até este ponto de nosso curso foram relacionadas à medidas diretas. O comprimento das distâncias entre as marcas das barras e o diâmetro dos pregos são grandezas medidas diretamente, com um instrumento apropriado. Vimos também que a incerteza nessas medidas diretas é composta da incerteza estatística (σA), adotada neste curso como o desvio padrão, e da incerteza não estatística (σB). A partir desta aula, iniciaremos o estudo das medidas obtidas de forma indireta, i.e., de uma composição de medidas diretas. Especificamente analisaremos o problema de como medir a área de uma placa, a partir das medidas diretas dos lados da placa. 6.1.Como medir a área de uma placa Da geometria plana sabemos que a área de uma placa, como a da figura ao lado, é calculada a partir do produto dos lados da placa. Observemos, entretanto, que para medir a área da placa usando um paquímetro, temos de medir o comprimento dos lados L e C para, de forma indireta (através de cálculos), obter o valor de S. Vimos nas aulas anteriores, que para medir comprimentos, temos de fazer uma série de medidas e, posteriormente, calcular o valor médio e a incerteza relacionados às medidas. Assim sendo, os valores de L e de C deverão ser expressos como: mmLL L )(  e mmCC C )(  . Seguindo este mesmo tipo de tratamento, devemos esperar que a área da placa seja expressa como: Como σS pode ser obtido? É intuitivo que o valor de σS depende dos valores de σL, σC, L e <C>. A tabela em apêndice mostra detalhadamente como as incertezas de medidas indiretas podem ser obtidas. Especificamente para a área de uma placa, a incerteza da área é dada da seguinte forma: 6.2.Parte prática Para medir a área da placa, siga o seguinte roteiro: CLS    2 mmSS S 22              CL CL CL S  
  20. 20. 20 a. Usando um paquímetro, meça L em dez pontos diferentes da placa; b. Usando um paquímetro, meça C em dez pontos diferentes da placa; c. Calcule o valore médio L e o desvio padrão (σA)L; d. Calcule o valore médio C e o desvio padrão (σA)C; e. Calcule as incertezas das medidas de L e de C da seguinte forma:    22 PaquímetroBLAL      22 PaquímetroBCAC   f. Calcule o valor de <S> da seguinte forma: CLS  g. Calcule a incerteza de S da seguinte forma: 22              CL CL CL S   h. Expresse a área da placa, utilizando o número correto de algarismos significativos: 2 )( mmSS S
  21. 21. 21 7. Incerteza em medidas indiretas: Volume Nesta aula faremos mais um exercício de aplicação relativo às medidas obtidas de forma indireta. Conforme foi mostrado na aula anterior, o cálculo da incerteza de uma medida indireta envolve as médias e as incertezas das medições diretas. O objeto de estudo desta vez será o volume de um cilindro. 7.1.Volume do Cilindro O volume de um cilindro, como o da figura abaixo, é dado pelo produto da área da base pela altura do cilindro. Por sua vez, a área da base é calculada a partir da medida do raio da base como: 2 RSBASE  . É fácil de ver que, usando um paquímetro, o que podemos medir diretamente não é o raio do cilindro, mas sim o diâmetro. Assim, 2 2 42 DS D S BASEBASE          . O volume do cilindro é então: HDHSV BASE 2 4   7.2.Incerteza do Volume do Cilindro Para medir o volume de um cilindro, as grandezas que são diretamente medidas são o diâmetro e a altura do cilindro. Assim o volume é dado por: HDV  2 4  e a incerteza da medida do volume é dada por:                       22 2 HD V HD V   7.3.Prática 1 Para medir o volume do cilindro, siga o seguinte roteiro: a. Usando um paquímetro, meça D em dez pontos diferentes do cilindro; b. Usando um paquímetro, meça H em dez pontos diferentes do cilindro; c. Calcule o valore médio D e o desvio padrão (σA)D; d. Calcule o valore médio H e o desvio padrão (σA)H;
  22. 22. 22 e. Calcule as incertezas das medidas de H e de D da seguinte forma: Calcule o valor de <V> da seguinte forma: HDV  2 4  f. Calcule a incerteza de V da seguinte forma:                       22 2 HD V HD V   g. Expresse o volume do cilindro, utilizando o número correto de algarismos significativos: 3 )( cmVV V    22 PaquímetroBDAD      22 PaquímetroBHAH  
  23. 23. 23 8. Escalas Lineares Uma das ferramentas mais importantes nos processos de análises de dados é a análise de gráficos, os quais são obtidos a partir dos experimentais. A análise gráfica é poderosa pois permite avaliar o comportamento de uma variável em relação a outra. Por exemplo, é possível saber se o movimento de uma partícula é acelerado (ou não) pela forma do gráfico da posição da partícula em relação ao tempo de movimento. Usualmente, na Física Experimental, bem como na Ciência em geral, busca-se a relação entre grandezas que influenciam fenômenos, com o intuito de determinar as causas desses fenômenos; também é comum o uso de gráficos quando o objetivo é, simplesmente, descrever um determinado fenômeno ou movimento. Gráficos permitem uma análise visual e global dos dados obtidos Nesta aula iniciaremos o estudo da análise de dados via gráficos, pelo estudo das escalas lineares. Ao longo do curso de Física Experimental 1 serão estudadas, ainda, as escalares logarítmicas (mono-log e di-log). Antes de iniciarmos o estudo dos gráficos propriamente dito, faremos uma breve revisão das funções lineares. 8.1.Funções Lineares De forma geral, podemos definir uma função linear como sendo uma função do tipo:   abxxf  ; onde os coeficientes b e a são denominados, respectivamente, coeficiente angular e coeficiente linear. O gráfico de uma função linear tem a forma de uma reta, por isso a equação acima é também conhecida como equação da reta. Vejamos o seguinte exemplo: seja a função 23)(  xxf ; o gráfico desta função é obtido conforme a figura a seguir. x Y -3 -7 -2 -4 -1 -1 0 2 1 5 2 8 3 11
  24. 24. 24 8.1.1. Significado dos Coeficientes O coeficiente angular de uma reta fornece a inclinação da reta, na verdade ele é a tangente do ângulo de inclinação da reta. A figura a seguir mostra o gráfico de duas funções lineares cujos coeficientes lineares são iguais, 521  aa , mas os angulares são diferentes, 21 bb  . O coeficiente linear, por outro lado, indica o ponto em que a reta corta o eixo-y. A figura ao lado mostra o gráfico de duas funções lineares cujos coeficientes lineares são diferentes, 21 aa  , mas os angulares são iguais, 2 2 4 21  bb . 8.2.Construção de Gráficos de escala lineares 8.2.1. Módulos de Escala Para representar a dependência funcional entre duas variáveis físicas é necessário, primeiramente, obter os valores dos pares (x,y) a serem estudados; é necessário também criar uma escala para desenhar o gráfico. A escala fornece a relação entre a grandeza a ser representada e o comprimento que a irá representar no papel. O módulo de escala pode ser obtido da seguinte forma: Maior X X oXCompriment M  e Maior Y Y oYCompriment M  .
  25. 25. 25 8.2.2. Representação das Incertezas É bem sabido que toda medida experimental tem uma incerteza (erro) a ela associado; tal erro deve também fazer parte de uma representação gráfica da medida. Tal representação gráfica é feita com uma linha (em escala) em torno do ponto demarcado no desenho. 8.3.Prática: Exercício sobre escalas lineares I. Faça o gráfico ( ) ( )y m x s para a função ( ) 2 3y x x  para os valores de x da tabela; coloque na tabela, explicitamente, os fatores de escala adotados. Utilizando o gráfico calcule os coeficientes a e b. X(s) Y(m) X(s) Y(m) 0 3 4 15 1 5 5 17 2 8 6 20 3 11 7 23 II. A tabela abaixo apresenta dados experimentais para um movimento retilíneo uniforme, medido no CGS. Os dados obedecem a função tvsts  0)( . Trace melhor a reta ( ) ( )s cm t s e escreva na tabela, explicitamente, os fatores de escala adotados. A partir do gráfico, calcule os valores de s0 e de v. ( )t s ( )( )s cm 1,0 1,3 2,5 3,7 3,6 5,4 5,0 7,3 6,4 9,5 8,0 11,8 10,0 14,5 12,0 17,7 14,5 21,3 17,0 25,2 y σx σy x
  26. 26. 26 9. Lei de Hooke Na aula de hoje será analisado o comportamento de uma mola, fixa em uma extremidade, sujeita à ação de uma força (peso). Será visto que, nesse sistema, a aplicação da força (causa) implica um efeito, que é a deformação da mola. Parte das ferramentas de análise experimental que foram vistas até aqui serão utilizadas para descobrir as regularidades que existem na resposta da mola (efeito) à força (causa) sobre ela aplicada. Os conhecimentos necessários para a atividade prática desta aula são: medidas de comprimento usando escala milimetrada e confecção de um gráfico linear, em papel milimetrado. 9.1.A lei de Hooke O cientista inglês Robert Hooke (1635 - 1703) estudou assuntos como Instrumentos Científicos, Arquitetura, Navegação, Cartografia e Aparelhos Mecânicos. Em 1676 ele sintetizou partes dos conhecimentos que adquiriu sobre o comportamento de corpos sujeitos a tensões da seguinte forma: "a tensão resultante da aplicação de uma força em um material é diretamente proporcional à sua deformação". Esta expressão ficou conhecida como Lei de Hooke. Para um sistema massa-mola, como o da figura ao lado, a lei de Hooke implica que a deformação do comprimento da mola é diretamente proporcional à foca aplicada. Matematicamente, temos que: xkF   ; onde k é a constante elástica da mola. Cada mola tem uma constante k que a caracteriza.
  27. 27. 27 9.2.Aplicações da lei de Hooke A lei de Hooke tem diversas aplicações na vida cotidiana. Uma das mais comuns é a balança de molas, cujo princípio de funcionamento é basicamente a lei de Hooke. Para construir uma balança de molas é preciso de uma mola e um conjunto de massas conhecidas. Medindo o comprimento que a mola assume em resposta a aplicação dos pesos conhecidos é possível obter a constante k da mola. A partir daí, quando uma massa desconhecida é pendurada na extremidade da mola, é possível medir o novo comprimento (deformado) da mola e obter o valor do peso a partir da lei de Hooke, ou seja, P = kx. É basicamente isso que a escala (linear) de uma balança de molas faz. 9.3.Roteiro da Experiência a. Usando uma escala milimetrada, obtenha o comprimento da mola quando sujeita às forças 0,0N, 1,0N, 1,5N, 2,0N, 2,5N e 3,0N. b. Repita o procedimento acima cinco vezes. c. Calcule a média das medidas obtidas para cada um dos pesos aplicados. d. Calcule o desvio padrão das medidas obtidas para cada um dos pesos aplicados. e. Sabendo que a incerteza tipo B de uma escala milimetrada é 0,5mm, calcule a incerteza combinada das medidas obtidas para cada um dos pesos aplicados. f. Usando os valores obtidos e uma folha de papel milimetrado, construa um gráfico comprimento X peso. g. Obtenha a inclinação da reta experimental. 9.4.Exemplo Comprimento da Mola (mm) Peso (N)M1 M2 M3 M4 M5 X D.P. σ 83.0 83.8 83.4 83.6 83.5 83.5 0.3 0.6 0.0 88.0 85.0 87.0 86.0 86.3 86.5 1.1 1.2 1.0 90.0 87.0 86.0 89.5 90.0 88.5 1.9 1.9 1.5 91.0 89.0 89.5 89.0 90.0 89.7 0.8 1.0 2.0 90.0 92.0 90.0 90.5 91.0 90.7 0.8 1.0 2.5 93.0 92.5 92.0 92.0 92.0 92.3 0.4 0.7 3.0
  28. 28. 28 82 84 86 88 90 92 94 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Peso(N) X (mm) ΔX ΔY mmN M X M Y k X Y /               
  29. 29. 29 Correlação e Regressão Linear Como é possível saber se a relação entre duas variáveis, x e y, é linear? A partir de um conjunto de dados experimentais para as variáveis, é possível obter um diagrama de dispersão e, a partir deste, observar se os pontos do diagrama indicam que a relação é linear, ou seja, se o gráfico x X y é uma reta. Esse método gráfico foi utilizado no capítulo anterior. A partir do método gráfico é também possível obter os coeficientes angular e linear da reta, conforme feito na análise de dados da experiência sobre a lei de Hooke. Um outro método usado para identificar o tipo de relação existente entre duas variáveis é o estudo da correlação. Se a análise da correlação entre as variáveis x e y indicar que há uma relação linear entre elas, é então possível determinar a melhor reta que se ajusta aos valores experimentais usando o Método dos Mínimos Quadrados. Neste capítulo serão apresentados estes métodos numéricos de análise de dados. 9.5.Coeficiente de Correlação A partir de um conjunto (tábua) de valores experimentais de duas variáveis (x e y), é possível calcular o nível de correlação entre os valores. O coeficiente r, que é definido como: A definição de r implica que seu valor varia entre - 1 e +1. Tal coeficiente indica que quanto mais próximo de +1 mais perfeita será a correlação positiva. Quanto mais próxima de -1, mais perfeita será a correlação negativa. Um coeficiente r próximo de 0 indica que não há correlação entre as variáveis, ou seja, os valores de y não são influenciados pelos de x, indicando que não há uma relação causal entre as variáveis. 9.6.Cálculo de r: exemplo numérico Utilizando os dados obtidos para o experimento da lei de Hooke, vamos mostrar como é possível obter o valor de r. Os dados são: Peso (N)X(mm) XxPeso X^2 Peso^2 83.5 0.0 0.0 6965.6 0.0 86.5 1.0 86.5 7475.3 1.0 88.5 1.5 132.8 7832.3 2.3 89.7 2.0 179.4 8046.1 4.0 90.7 2.5 226.8 8226.5 6.3 92.3 3.0 276.9 8519.3 9.0 TOTAL 531.1 10.0 902.3 47065.0 22.5 As últimas três colunas da tabela acima, bem como a última linha, serão usadas para o cálculo de r. O valor de r para os dados acima será, então:  ))610(5,22())61,531(0,47065( )6101,5313,902( 22   r 1~996,0 rr                                  n y y n x x n yx xy r 2 2 2 2
  30. 30. 30 Note que o cálculo de r nos leva à mesma conclusão que a análise gráfica, ou seja, há uma forte correlação positiva entre as variáveis comprimento da mola e peso a ela aplicado. 9.7.Cálculo dos coeficientes angular e linear Quando o valor do coeficiente r for próximo dos seus extremos, -1 ou +1, há uma clara indicação de que a relação entre as variáveis x e y é linear. Isso implica a existência de dois coeficientes a e b tais que abxxy )( . O método dos mínimos quadrados (MMQ) permite calcular os valores de a e b, a partir da imposição da minimização da função S(a,b), a qual é definida como:       N i ii N i ii abxyxyybaS 1 2 1 2 )(),( A imposição da condição de mínimo à função S(a,b) leva aos seguintes resultados: Os valores de a e b para o exemplo numérico que estamos usando serão: Na mmNb 9,246)1,5313,010( /03,0 ))61,531(0,47065( )6101,5313,902( 2      Note que o coeficiente angular b, é a própria constante elástica da mola, ou seja, o k. O coeficiente linear negativo indica que a mola, quando submetida a pesos pequenos não responde linearmente com sua deformação. Esse fato foi também visto com a análise gráfica ao encontrarmos que o primeiro dos pontos do gráfico não fazia parte da reta que melhor alinhava os demais pontos experimentais. 9.8.Parte Prática Usando os dados obtidos experimentalmente, na aula anterior, calcule: 1. O coeficiente de correlação entre as variáveis X(mm) e P(N); 2. Calcule os valores dos coeficientes angular e linear entre os mesmos valores.           n x x n yx xy b 2 2 n x b n y a  
  31. 31. 31 10.Princípio de Arquimedes Arquimedes foi um sábio que viveu entre os anos 287 a.C. e 212 a.C., em Siracusa, na Grécia. Ele estudou o comportamento de corpos submersos em líquidos. Em particular, ele analisou a relação entre a diferença de peso de um objeto dentro e fora do meio líquido e a densidade do material. As conclusões de Arquimedes destes estudos são de grande importância e aplicabilidade até os dias de hoje. 10.1. O Princípio de Arquimedes Por que um navio não afunda na água, mas um pequeno prego sim? Por que é mais fácil levantar alguém quando estamos dentro de uma piscina do que quando estamos fora? Perguntas como essas podem ser facilmente respondidas a partir do estudo do Princípio de Arquimedes: Todo corpo completa ou parcialmente mergulhado em um fluido experimenta uma força de flutuação (empuxo) para cima, cujo valor é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Para compreender o princípio acima enunciado, imagine que seja possível observar isoladamente uma porção de água de um copo contendo água (ver figura). Se a porção de água observada permanece em repouso é porque uma força atua sobre ela de forma a equilibrar a ação da força peso; tal força é denominada Empuxo. Se o cubo de água fosse substituído por outro de mesmo tamanho e forma, mas constituído por outra substância que não a água, a força E continuaria a mesma a ser exercida sobre o cubo. Entretanto, a força peso P seria alterada. Se P for maior do que E, o cubo deverá afundar mais; se P for menor do que E, o cubo deverá subir mais em direção à superfície da água. A partir dessas observações, é fácil intuir que o módulo da força E é igual ao peso do volume de água deslocado, ou seja, Na equação acima, ρ é a densidade do líquido, V o volume do objeto e g o módulo da aceleração local da gravidade. Logo, se o material for mais denso que o líquido fundará, se for menos denso flutuará. P E gVE  
  32. 32. 32 10.2. Parte Prática O objetivo da presente experiência é verificar a veracidade do princípio de Arquimedes, através da medição do valor do empuxo da água sobre um cilindro via dois procedimentos diferentes. 10.2.1. Medir o volume do cilindro  Medir o diâmetro do cilindro em 10 pontos diferentes.  Medir a altura do cilindro em 10 pontos diferentes.  Calcular a média, o desvio padrão e a incerteza para D e H .  Calcular o volume do cilindro e a incerteza de tal medida. HDV  2 4                        22 2 HD V HD   10.2.2. Cálculo do empuxo de Arquimedes  O empuxo, de acordo com a teoria de Arquimedes será dado por:  Considere 10.2.3. Cálculo empírico do empuxo  Usando o dinamômetro, obtenha o peso do cilindro não mergulhado em água;  Usando o dinamômetro, obtenha o peso do cilindro mergulhado em água;  A diferença entre os dois valores obtidos é o empuxo, ou seja, gVE cilindroáguaArquimedes   33 33 3 /10110 cmkg cm g m kg água   SubmersoSecoEmpírico PPE 
  33. 33. 33 10.2.4. Comparação dos resultados %100 2             ArquimedesEmpírico ArquimedesEmpírico EE EE e
  34. 34. 34 11.Primeira Lei de Newton 11.1. Primeira Lei de Newton A primeira lei de Newton, também chamada de Lei da Inércia, estabelece as condições de equilíbrio (estático ou dinâmico) para uma partícula. Ela pode ser enunciada da seguinte forma: Todo corpo mantém seu estado de equilíbrio (repouso ou MRU) a menos que alguma força seja aplicada sobre ele. Observe que o enunciado acima prescinde da existência de um referencial onde a lei é válida, o qual é usualmente denominado referencial inercial. De acordo com a Lei de Inércia, a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula em repouso tem de ser zero; o objetivo da presente prática é verificar essa afirmação. 11.2. Decomposição de forças Forças são grandezas vetoriais e sendo assim podem ser decompostas nas chamadas componentes cartesianas Fx e Fy. 11.3. Um Sistema em equilíbrio O sistema da figura abaixo está em equilíbrio. Consideremos, em particular, o ponto P. Sobre esse ponto atuam três forças e como P está em equilíbrio, elas devem ter resultante nula. F1 + F2 + F3 = 0 Para verificar se a soma das três forças é realmente nula, temos de obter as intensidades de cada uma delas e as respectivas direções.
  35. 35. 35 11.4. Parte Prática 1. Obtenha as intensidades de F1, F2 e F3, a partir da leitura dos dinamômetros. 2. Usando um transferidor, obtenha os valores de α e β. 3. Obtenha os valores de F1x, F1y, F2x, F2y, F3 : 4. F1x = F1 cos(α) 5. F1y = F1 sen(α) 6. F2x = F2 cos(β) 7. F2y = F2 sen(β) 8. Comparação de valores para eixo-x: 9. Comparação de valores para eixo-y Eixo-x: Eixo-y: F1.cosα = F2.cosβ F1.senα + F2.senβ = F3 %100 2 21 21     xx xx x FF FF e %100 2 )( )( 321 321     FFF FFF ey yy yy
  36. 36. 36 12.Movimento Unidimensional: Tubo de Óleo O movimento unidimensional de uma partícula é caracterizado pela existência de somente um grau de liberdade. Assim sendo, para descrever tal tipo de movimento basta utilizar uma única coordenada (eixo-x). Um movimento unidimensional pode ser do tipo uniforme, cuja característica é velocidade ser constante, uniformemente acelerado e acelerado. No movimento uniforme (MRU) a partícula se desloca sob a ação de uma força resultante nula. No movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUV), a partícula se desloca sob a ação de uma força resultante constante; um dos principais exemplos deste tipo de movimento é a queda livre. Já no movimento acelerado, a partícula se desloca sob a ação de uma força variável. 12.1. Movimento no tubo de óleo O objetivo da presente prática é analisar o movimento de uma pequena esfera que se desloca ao longo de um tubo de óleo. Para estudar o movimento de uma partícula é necessário conhecer a posição dela em determinados instantes de tempo. Assim, para classificar o movimento da esfera no tubo é necessário cronometrar o tempo que a esfera gasta para alcançar cada uma das posições previamente marcadas no tubo, bem como a distância de cada uma das marcas em relação à posição inicial, a qual será adotada como marco zero da trajetória. O tubo contém dez braçadeiras; como a primeira será o ponto s0 = 0cm, há nove posições demarcadas ao longo de toda a trajetória. 12.2. Parte Prática  Usando a trena, meça (em centímetros) a distância de cada uma das nove braçadeiras em relação à braçadeira adotada como zero da trajetória.  Usando o ímã desloque a esfera até a posição inicial.  Solte a esfera e cronometre o tempo que ela gasta para alcançar a primeira posição (s1). Repita essa medida seis vezes.
  37. 37. 37  Repita todo o procedimento acima para cada um dos pontos demarcados, ou seja, de s2 até s9.  Verifique se as posições das braçadeiras não foram alteradas ao longo da tomada de dados.  Após ter feito todas as medidas, os resultados devem ser expressos em uma tabela como a abaixo: N t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) t6(s) t (s) σ(s) S(cm) S1 2.07 2.23 2.38 2.19 2.09 2.02 2.16 0.13 7.40 S2 3.94 4.05 4.23 3.86 4.03 3.75 3.98 0.17 14.70 S3 5.53 5.23 5.83 5.92 5.77 5.77 5.68 0.25 20.75 S4 7.50 7.58 7.83 7.48 7.65 7.28 7.55 0.18 28.50 S5 9.31 9.27 9.54 9.42 9.30 9.23 9.35 0.11 35.60 S6 10.91 10.96 11.17 10.76 11.06 10.75 10.94 0.17 41.50 S7 12.50 12.64 12.86 12.45 12.33 14.43 12.87 0.79 47.90 S8 13.03 14.23 14.35 14.01 14.27 13.85 13.96 0.49 54.00 S9 15.85 15.73 15.95 15.73 15.49 15.55 15.72 0.17 60.30  Note que na tabela já foram calculadas as médias dos tempos obtidos para cada uma das posições, bem como as respectivas incertezas.
  38. 38. 38  Para analisar o movimento é necessário construir o gráfico de x = x(t), conforme o exemplo a seguir: t (s) σ(s) S (cm) 2.16 0.13 7.40 3.98 0.17 14.70 5.68 0.25 20.75 7.55 0.18 28.50 9.35 0.11 35.60 10.94 0.17 41.50 12.87 0.79 47.90 13.96 0.49 54.00 15.72 0.17 60.30 2.16 3.98 5.68 7.55 9.35 10.94 12.87 13.96 15.72 0 10 20 30 40 50 60 S(cm) t (s)  O gráfico mostra que a relação entre S = S (t) é do tipo linear; portanto trata-se de um MRU.  Note que a inclinação da melhor reta obtida graficamente fornece o módulo da velocidade da esfera, pois, v t S Mx X M Y y       .  Utilizando os valores da tabela ao lado, calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis t (s) e S (cm). Para os dados tomados como exemplo, o resultado encontrado foi r = 0,996, indicando uma forte correlação positiva entre as variáveis. Este resultado confirma àquele encontrado pelo gráfico: relação linear.  O cálculo do coeficiente angular da reta (inclinação) feio via regressão linear levou a velocidade de 3,89cm/s.  O módulo da velocidade calculado via regressão linear deve ser confrontado com àquele obtido pelo método gráfico.  Responda ainda a seguinte pergunta: como o movimento da esfera é do tipo MRU se ela se movimenta sob a ação da força gravitacional?
  39. 39. 39 13.Escalas Logarítmicas Antes de prosseguir com a abordagem da Física Experimental para o estudo do movimento uniformemente acelerado, será apresentada uma revisão sobre logaritmos e uma breve introdução às escalas logarítmicas. Escalas logarítmicas são muito mais comuns, na natureza, do que as escalas lineares; sendo assim, o estudo deste tópico é de grande relevância para o curso de Física Experimental. 13.1. Por que estudar logaritmos? Há uma longa lista de excelentes argumentos para mostrar o quão importante é o estudo dos logaritmos. Alguns dos motivos diretamente ligados à Física Experimental são:  Logaritmos existem para facilitar a execução de alguns cálculos;  Usando logaritmos é possível “transformar” uma potenciação em produto, um produto em uma subtração e uma divisão em subtração.  Usando logaritmos é possível linearizar alguns gráficos, o que facilita muito a análise gráfica de dados experimentais. 13.2. Definição É possível intuir a definição de logaritmos a partir de alguns exemplos com: 225log255 38log82 5 2 2 3   A definição de logaritmo é dada por: aYYX X a  log Na equação acima, X é chamado de base do logaritmo, Y é o logaritmando e a é o logaritmo propriamente dito. 13.3. Bases de Logaritmos As bases mais usadas (padrão) para os logaritmos são o número de Neper (e ~ 2,718...) e o número 10. Quando a base adotada é o e, utiliza-se a terminologia de “logaritmo neperiano” ou “logaritmo natural”, cujo símbolo é ln. Já quando a base adotada é o número 10, a nomenclatura usada é “logaritmo decimal” e o símbolo é simplesmente log. Em resumo: 10loglog logln   e
  40. 40. 40 13.4. Propriedades Básicas A partir da definição dos logaritmos, é possível obter uma série de propriedades interessantes, as quais os tornam uma poderosa ferramenta de cálculo e de análise de dados. A seguir algumas dessas propriedades serão apresentadas: a. bbbb  1 1log b. 0;101log 0  bbb c. ana b n b loglog  Prova: n bb n b xnnx b aanaxnbaabax loglogloglog   d. xxx b bbxb log e.      caca bbb logloglog  Prova: cbcy abax y b x b   log log          cacayxcabbbca bbbb yxyx loglogloglog    f.    ca c a bbb logloglog       Prova:          cacaca c a bbbbbb loglogloglogloglog 11        13.5. A Escala Logarítmica Para compreender a escala logarítmica é necessário analisar o comportamento da função y = log (x). O figura a seguir mostra como o valor de y varia em função de x.
  41. 41. 41 No quadro abaixo são apresentados valores numéricos para a função y = log(x). X y = log(x) X y = log(x) 1 0 10 1 2 0.30103 20 1.30103 3 0.477121 30 1.477121 4 0.60206 40 1.60206 5 0.69897 50 1.69897 6 0.778151 60 1.778151 7 0.845098 70 1.845098 8 0.90309 80 1.90309 9 0.954243 90 1.954243 10 1 100 2 Observe como o crescimento de y é cada vez mais lento, à medida que aumenta x. X y = log(x) X y = log(x) 100 2 1000 3 200 2.30103 2000 3.30103 300 2.477121 3000 3.477121 400 2.60206 4000 3.60206 500 2.69897 5000 3.69897 600 2.778151 6000 3.778151 700 2.845098 7000 3.845098 800 2.90309 8000 3.90309 900 2.954243 9000 3.954243 1000 3 10000 4 13.6. Exercício Usando os dados da tabela abaixo, referentes a um movimento de queda livre, construa o gráfico da posição em função do tempo, usando papel di-log. t(s) y(cm) 1 4.9 4 78.5 6 176.6 8 313.9 10 490.5 20 1962.0 30 4414.5 40 7848.0 50 12262.5 60 17658.0
  42. 42. 42 14.Aplicação ao Movimento de Queda Livre Consideremos o exemplo de uma partícula em queda livre, próxima a superfície da Terra. Considerando um movimento como o mostrado na figura, a equação cinemática que descreve tal movimento é: 2 2 1 )( tgty  . Observe que o gráfico da função y = y(t) é uma parábola; portanto um gráfico bastante difícil de construir, e de analisar, a partir de dados experimentais de t e y. Entretanto, a partir da equação anterior, aplicando logaritmo aos dois lados da igualdade, obtém-se que: )log(2) 2 log()log( t g y  . Fazendo log(y) = Y, log(t) = T e log(g/2) = A, a equação acima será escrita como: TATY 2)(  , que é a equação de uma reta, cujo coeficiente linear é A e o angular é 2. 14.1. Aplicação ao Movimento de Queda Livre  Obtenha a medida da distância entre a parte inferior da esfera e os sensores;  Dispare o sensor desligando o campo magnético que mantém a esfera presa ao sistema; 0m g
  43. 43. 43  Anote o tempo de queda medido pelo cronômetro acoplado ao sistema;  Repita o procedimento 10 vezes;  Altere a distância entre a parte inferior da esfera e o sensor;  Repita o procedimento de dez medidas de tempo de queda;  Faça as medidas para 5 distâncias diferentes;  Utilizando uma folha de papel di-log, construa um gráfico da distância percorrida na queda-livre em função do tempo de queda;  Calcule a inclinação da reta obtida.
  44. 44. 44 15.Conservação da Energia: Lançamento Horizontal No âmbito da Mecânica são definidos basicamente dois tipos de energia: a de repouso, chamada de potencial, e a de movimento, que é usualmente denominada cinética. Quando consideramos um sistema isolado e no qual seja possível desprezar as forças de atrito, a energia mecânica é conservada ao longo de um movimento. A prática proposta neste capítulo tem por objetivo verificar conservação da energia mecânica de um sistema aproximadamente isolado. 15.1. Energia Mecânica A energia mecânica é usada para descrever o comportamento de sistemas mecânicos em movimento. Ela é obtida pela soma das energias potencial e cinética de um mesmo sistema, ou corpo. A energia potencial é àquela que pode vir a ser transformada em cinética. Por exemplo, um objeto suspenso a uma altura h em relação ao solo tem uma energia potencial associada à possibilidade dele entrar em movimento de queda livre, quando for solto. Um corpo qualquer (não pontual) pode ter seu movimento decomposto em translação e rotação. Como conseqüência, a energia cinética de um corpo pode também ser dividida em energia cinética de rotação e energia cinética de rotação. Para melhor introduzir as definições de energia, vamos analisar o movimento de uma esfera em uma rampa de lançamento como a da figura a seguir. Inicialmente a esfera é colocada, em repouso, no ponto A. A energia em A é somente potencial, pois a esfera entrará em movimento assim que for solta. É intuitivo que quanto maior for a altura h, maior será a velocidade que a esfera atingirá ao chegar em B; portanto a energia potencial depende da altura do objeto. Também é intuitivo que a energia do movimento em B será tanto maior quanto maior for a massa da esfera. Basta lembrar que quanto mais massivo for um corpo, mais difícil será parar seu movimento. Assim sendo, a energia potencial pode ser definida como: hgmEP  , onde h é o módulo da aceleração gravitacional. À medida que a esfera se deslocar entre os pontos A e B, ela perderá energia potencial, haja vista que sua altura em relação ao solo (zero potencial) decrescerá à medida que o objeto se aproxima de B. Por outro lado, quanto mais próxima estiver a esfera da posição B, maior será sua velocidade. Isso mostra que a energia potencial vai sendo transforma em energia de movimento. A energia cinética de uma partícula pontual pode ser definida como: 2 2 1 mvEC  ; A Bh
  45. 45. 45 o primeiro termo do lado direito da igualdade é a energia cinética de translação, onde m é a massa da esfera e v sua velocidade de translação. A energia mecânica da esfera ao longo da trajetória AB será obtida pela soma das energias potencial e mecânica. Assim, para o exemplo em questão: mghmvE  2 2 1 . 15.2. Conservação da Energia Um dos resultados mais importantes da Mecânica, e da Física como um todo, é o chamado teorema da conservação da energia. Segundo ele, a energia de um sistema sempre é conservada. Em particular, quando a energia mecânica de um sistema não é conservada, isso é conseqüência da ação de forças dissipativas, cujo efeito é transformar parte da energia mecânica (ou toda ela) em outra(s) forma(s) de energia. Voltando ao exemplo da esfera descendo a rampa de lançamento, se ao longo da trajetória AB ocorrer deslizamento da esfera. Isso terá como conseqüência que parte da energia mecânica da esfera será transformada em energia térmica, devido à ação das forças de atrito (entre a superfície da esfera e da rampa) Para o movimento da esfera na rampa, sendo possível desconsiderar a ação de forças dissipativas, a conservação da energia implica a energia (mecânica) nos pontos A e B serem iguais, ou seja, BA EE  . As energias em A e B são dadas por: 2 2 1 mvE mghE B A   . Impondo a conservação da energia, obtém-se: ghvmvmgh B 2 2 1 22  . O resultado anterior mostra que a velocidade de lançamento da esfera pode ser obtida em função, simplesmente, da altura de onde a esfera foi solta, em relação ao nível de lançamento. 15.3. Como verificar a conservação da energia? De acordo com o resultado obtido na seção anterior, é possível verificar se a energia mecânica é conservada no movimento de lançamento de uma esfera medindo a altura de lançamento (h) e a velocidade (linear) da esfera no ponto de lançamento (vB). Entretanto, há muitas dificuldades em fazer a medição da velocidade instantânea em B. Uma alternativa para o problema de verificar a conservação da energia é utilizar a relação entre a
  46. 46. 46 velocidade de lançamento de um projétil e seu alcance (horizontal). Dos estudos de cinemática, sabe-se que a distância D pode ser obtida a partir da altura H e da velocidade de lançamento (vB) da seguinte forma: 22 2 Bv g H D  . Substituindo o valor de vB 2 , obtido via conservação da energia, na equação acima, obtém-se: HhD 42  . A equação acima mostra que a conservação da energia mecânica implica uma relação linear entre o alcance horizontal da esfera e a altura h de lançamento. Portanto, uma alternativa interessante para comprovar a conservação da energia no lançamento de uma esfera é obter o gráfico da relação h X D2 e verificar se ele é do tipo linear. A B C H h D
  47. 47. 47 15.4. Experiência: Lançamento Horizontal   Usando uma folha de papel em branco, uma folha de “papel carbono” e uma trena, obtenha dez medidas de D para cada uma das alturas h, conforme a tabela abaixo. Alcance (cm) h(cm) D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 ̅ σA. σ  Calcule os valores médios de D e os respectivos valores de desvio padrão.  Calcule as incertezas das medidas de ̅, lembrando que:  22 05,0.    Utilizando uma folha di-log, a partir da tabela, construa o seguinte gráfico: D(cm) h(cm)
  48. 48. 48 F Pθ θ 16.Movimento Periódico: Pêndulo Simples 16.1. Movimento Periódico Um movimento é dito periódico quando se repete em intervalos de tempo iguais. A partir de dessa definição geral é possível encontrar vário exemplos aproximados desse tipo de movimento. Em particular, neste capítulo, estudaremos o movimento de um pêndulo simples, semelhante àquele usado no terceiro capítulo destas notas. 16.2. Período de um Pêndulo Simples Um período T corresponde ao tempo que o pêndulo leva para realizar um movimento completo (ida e volta). Considerando o movimento do pêndulo tal que sen(θ) ~ θ, o que é uma boa aproximação para ângulos até 100 , é possível mostrar que o período (T) depende do comprimento do fio (L) e da aceleração local da gravidade (g) da seguinte forma: A relação entre o período e comprimento do pêndulo, T = T(L), não é, portanto, do tipo linear. Tomando o logaritmo (decimal) de ambos os lados da igualdade, obtém-se: ) 2 log()log( 2/1 2/1 L g T   . Usando propriedades de logaritmos, é fácil mostrar que: )log(5,0) 2 log()log( 2/1 L g T   . A equação acima mostra que usando uma escala di-log é possível construir um gráfico como o da figura abaixo. T(s) L(cm)L1 L2 L3 L4 L5 T1 T2 T3 T4 T5 g L T 2
  49. 49. 49 16.3. Procedimento experimental o Usando a trena, meça o comprimento L5 (em cm e com duas casas decimais!) o Obtenha (10 vezes) o tempo gasto para o pêndulo, de comprimento L5, completar 10 oscilações. Divida cada um dos valores medidos por 10, para assim obter o valor do período. o Repita os procedimentos anteriores para L4, L3, L2 e L1 . o Calcule a média e o desvio padrão para cada um dos valores de T. o Construa uma tabela como a que aparece abaixo: L (cm) T(s) L1 ± σL <T1> ± σT L2 ± σL <T2> ± σT L3 ± σL <T3> ± σT L4 ± σL <T4> ± σT L5 ± σL <T5> ± σT o Usando uma folha de papel di-log, construa o gráfico L x T e calcule o valor da inclinação da reta. )log(5,0) 2 log()log( 2/1 L g T   T(s) L(cm)L1 L2 L3 L4 L5 T1 T2 T3 T4 T5
  50. 50. 50 17.Lei de Newton do Resfriamento Uma xícara contendo café quente, quando é deixada sobre uma mesa, irá se resfriar lentamente até que atinja a mesma temperatura dos demais objetos a sua volta, ou seja, a temperatura ambiente. É fácil observar que o mesmo comportamento se repete para uma porção de água quente e de qualquer outro líquido, sólido ou gás. É interessante observar que o resfriamento dos objetos não ocorre de forma linear com o passar do tempo. Observa-se que a queda de temperatura torna-se cada vez mais lenta à medida que o tempo passa. Em outras palavras, quanto mais próxima a temperatura do objeto estiver, mais lenta será a queda de temperatura. O comportamento acima descrito é matematicamente descrito (e quantificado) pela chama Lei de Newton do Resfriamento, a qual será objeto de estudo deste capítulo. Entretanto, antes de iniciar o estudo da lei, será necessário discutir brevemente alguns conceitos básicos. 17.1. Conceitos Básicos A noção de quente e frio dos seres humanos é tão intuitiva quanto relativa. O que é quente e o que é frio? Um habitante da região tropical de nosso planeta considera que uma temperatura de 300 C seja típica de um dia bastante agradável, ao passo que um habitante da distante Sibéria certamente consideraria um dia excessivamente quente. Assim sendo, é necessário quantificar a noção intuitiva de quente e frio; é preciso estabelecer padrões para medir àquilo que se convencionou chamar de temperatura de um corpo, para que assim seja possível medir, e comparar, as temperaturas dos corpos. 17.2. Temperatura A escala de temperatura mais usada em nosso país é a escala Celsius, também denominada centígrado. Para obter um termômetro graduado em tal escala basta atribuir o valor zero à temperatura da mistura de água e gelo, deixada ao nível do mar e a pressão atmosférica. Em seguida deve-se atribuir o valor 100 à temperatura da água fervendo, estando ela nas mesmas condições que a mistura de água e gelo. Deve-se, então, dividir o espaço (no termômetro) contido entre a marca 00 C e 1000 C em 100 intervalos iguais. Obtém se, assim, um termômetro (instrumento de medir temperaturas) graduado na escala Celsius. 17.3. Calor Quando dois objetos, cujas temperaturas sejam diferentes, são colocados em contato térmico, estando ambos isolados termicamente, nota-se que a temperatura do mais quente começa a cair, ao passo que a temperatura do mais frio começa a aumentar. Esse processo ocorre até que os dois objetos atinjam uma temperatura única, a qual é denominada temperatura de equilíbrio. A temperatura de equilíbrio de equilíbrio é atingida quando deixa de haver troca de energia entre os dois corpos. A energia trocada entre corpos em decorrência da diferença de temperatura entre eles é o que se convencionou chamar de calor. No caso em que um corpo aquecido é abando nado à temperatura ambiente, haverá troca de energia
  51. 51. 51 (calor) entre o corpo e o ambiente, mas a temperatura de equilíbrio será a temperatura ambiente devido a enorme diferença de massa entre um objeto e o meio ambiente. Imagine por exemplo uma porção de 300ml de água numa sala! É fácil perceber que a temperatura da sala será praticamente inalterada pelo calor recebido devido ao resfriamento da porção de água. 17.4. Transferência de Calor Existem alguns mecanismos de transferência de calor. Essencialmente essa forma de troca de energia se dá pelos seguintes processos: condução, convecção e radiação. Neste capítulo é de particular interesse o processo de transmissão. O fluxo de calor Φ de um corpo, no processo de transmissão, é definido da seguinte forma: dtdQ dt dQ  ; onde Q é o calor e t o tempo. É fácil intuir que o fluxo entre dois corpos dependerá do material que constitui os corpos, da área de contato entre eles e da diferença de temperatura. Matematicamente isso significa que  Ah ; onde h é uma constante que caracteriza o matéria do qual é constituído o corpo, A é a área de contato e Δθ a diferença de temperatura. 17.5. Dedução da Lei de Resfriamento O calor recebido ou absorvido por um corpo pode alterar a temperatura do mesmo. Entretanto a variação de temperatura (quando ocorre) não é a mesma para todos os corpos; isso significa que dCdQ  , onde C é a capacidade térmica de um corpo, a qual serve para caracterizar como será a variação de temperatura de um corpo, d , em decorrência de uma transferência de energia dQ . Ao considerar um objeto aquecido deixado à temperatura ambiente. Por exemplo, uma porção de água quente deixada em repouso sobre a pia de uma cozinha, a transferência de calor será basicamente devida ao fluxo  . Assim, pode-se escrever que:     dt C Ahd dCdtAh dCdt A A             é a temperatura do corpo em qualquer instante de tempo posterior ao momento em que o objeto é deixado à temperatura ambiente, A . Integrando os dois lados da equação acima entre os instantes de tempo inicial (t0 = 0) e um t qualquer, obtém-se:           t C Ah t C Ah dt C Ahd AI A AIA A                    ln lnln Utilizando as propriedades dos logaritmos, é fácil ver que a equação acima equivale a:
  52. 52. 52     t C Ah AIA e      Definindo C Ah   , a equação acima pode ser reescrita como:     t AIA et     , que é usualmente referida como a Lei de Resfriamento de Newton. A equação acima permite calcular a temperatura de um corpo que foi aquecido a temperatura θI e posteriormente foi deixado em um ambiente cuja temperatura é θA (θI > θA), para um intervalo de tempo t,. 17.6. Atividade Prática O objetivo da presente prática é verificar a veracidade da Lei de Resfriamento de Newton e medir o valor da constante α para uma porção de água. Siga os seguintes passos:  Coloque aproximadamente 300ml de água em um Becker;  Aqueça a água, já no Becker, até atingir uma temperatura próxima do ponto de ebulição;  Utilizando um termômetro, obtenha a temperatura do ambiente (θA);
  53. 53. 53  Coloque o termômetro em contato com a água quente e obtenha o valor da temperatura inicial (θI);  Monitore a temperatura da água por trinta minutos, obtendo o valor a cada cinco minutos;  Utilizando os valores obtidos complete a tabela abaixo: t(min) θ( 0 C) ( θ - θA ) ( 0 C) 0 5 10 15 20 25 30  Utilizando uma folha mono-log, contrua um gráfico de θ = θ(t);  Calcule a inclinação da reta obtida.
  54. 54. 54 18.Calorímetro No capítulo anterior foi visto que a temperatura de um corpo é uma medida do estado de agitação das moléculas que formam o corpo. Também foi visto que quando dois corpos entram em contato térmico e há diferença de temperatura entre eles, haverá um fluxo de energia (calor) daquele que está a temperatura mais alta para o que se encontra a temperatura mais baixa. O fluxo de calor somente será cessado quando os dois corpos atingirem o equilíbrio térmico, ambos a uma mesma temperatura. Neste capítulo será tratada a questão do que acontece quando um corpo recebe ou cede calor. Como resultado de um desequilíbrio térmico ocorre uma transformação, a qual pode ser uma variação de temperatura ou mesmo uma mudança de estado físico. No primeiro caso, se diz que o calor é sensível e, no segundo, calor latente. 18.1. Capacidade Térmica e Calor Específico A capacidade térmica ou capacidade calorífica C de um corpo é a quantidade de calor necessária, para variar a temperatura de um corpo de  . Assim,   Q C . Observe que a capacidade térmica C é uma característica do corpo e não da substância. Assim, diferentes blocos de chumbo têm diferentes capacidades térmicas, apesar de serem de mesma substância (chumbo). Da definição de capacidade térmica é fácil ver que as unidades da capacidade térmica são J/0 C ou J/K. Ao considerar a capacidade térmica da unidade de massa de um corpo, temos o calor específico c da substância considerada, o qual é dado por: massa C c  . Note que o calor específico c é uma característica da substância e não do corpo. Assim, cada substância tem o seu calor específico, diferentes blocos de chumbo têm o mesmo calor específico, pois são de mesma substância. As unidades mais usadas de calor específico são Cg cal 0  e Ckg J 0  . Observe, ainda, que 1 cal eqüivale a aproximadamente 4,1855 J. 18.2. Equação Fundamental da Calorimetria A quantidade de calor sensível recebida ou cedida por um corpo, em função da variação de temperatura, pode ser expressa da seguinte forma:  cmQ Quando vários corpos, no interior de um recipiente isolado termicamente, trocam calor, os de maior temperatura cedem calor aos de menor temperatura, até que se estabeleça o equilíbrio térmico. A soma algébrica dos calores trocados é igual a zero: 0321 1  N N i i QQQQQ  .
  55. 55. 55 Assim, o calor recebido QR é positivo, ao passo que o calor cedido Qc é negativo. 18.3. Parte Prática O objetivo da presente prática é medir a capacidade térmica de um calorímetro, usando a equação fundamental da calorimetria. Para obter tal medida, os seguintes passos devem ser seguidos:  Usando a balança digital, obtenha a massa do Becker vazio;  Adicione aproximadamente 100ml de água ao Becker;  Usando a balança digital e a medida da massa do Becker vazio, obtenha a medida da massa de água fria (mAF);  Adicione a água fria ao calorímetro e obtenha a temperatura do conjunto (água mais calorímetro) AF ;  Adicione 200ml de água ao Becker e obtenha a massa de água (mAQ);  Aqueça a água contida no Becker e obtenha o valor da temperatura da água (no Becker), AQ ;  Adicione a água quente ao calorímetro e obtenha o valor da temperatura final do conjunto água fria mais água quente, no calorímetro. Tal medida será F .  De acordo com a conservação da energia tem-se que:       0  AFF AFFáguaAFAQFáguaAQ C cmcm    Logo a capacidade térmica do calorímetro será dada por:      FAF AFFáguaAFAQFáguaAQ cmcm C      sendo Cg cal cÁgua 0 1   .
  56. 56. 56 COMO FAZER UM RELATÓRIO 1. O que é um relatório de Física Experimental 1? O relatório da disciplina Física Experimental 1 é um documento destinado a:  Descrever como foi realizada uma experiência;  Informar os resultados coletados na prática, devidamente tabulados;  Apresentar o tratamento dos dados da experiência;  Apresentar os resultados e conclusões alcançados com a prática realizada. Note que como o relatório destina-se a relatar a realização de um experimento que já foi realizado, tem necessariamente de ser escrito no passado. Além disso, por se tratar de um documento profissional, deve ser escrito de forma impessoal. Por exemplo: “foi realizada a medição de dez períodos do pêndulo simples”, “o objetivo da prática foi medir o período do movimento”, “foi possível concluir que...” Um relatório deve ser suficiente para informar, de forma precisa, a alguém que nunca teve contato com o experimento realizado, como a prática foi feita. 2. Itens obrigatórios dos relatórios 2.1.Capa 2.1.1. Título do Experimento 2.1.2. Professor 2.1.3. Curso e Turma 2.1.4. Nome dos integrantes 2.1.5. Data de entrega 2.2.Título: título da prática realizada, de acordo com a apostila da disciplina. 2.3.Objetivo: deve explicar de forma sucinta os objetivos do experimento realizado. 2.4.Lista de Materiais: deve conter a lista de todos os materiais utilizados para a realização do experimento relatado. 2.5.Esquema de Montagem: desenho ou fotografia da montagem necessária à realização do experimento relatado. 2.6.Procedimento Experimental: deve conter uma sucinta, porém precisa, descrição de como o experimento foi realizado. Note que o texto deve ser suficiente para alguém que nunca fez o experimento relatado ser capaz de reproduzir a prática. 2.7.Resultados: apresentação dos dados obtidos no experimento, devidamente tabulados e dos
  57. 57. 57 cálculos e resultados, fruto do tratamento estatístico dos dados experimentais. 2.8.Conclusão: relato sucinto e claro das conclusões obtidas a partir da realização do experimento. É cabível também usar este espaço para relatar possíveis dificuldades na realização do experimento, especialmente àquelas que prejudicaram os resultados. 3. Apresentação A apresentação do relatório deve ser limpa e profissional. O material pode ser entregue na forma impressa ou feito “à mão”. Não será feita distinção entre as duas formas de apresentação para efeitos da avaliação do documento. Entretanto, deve-se observar que a legibilidade do documento será considerada para efeito de nota. Um relatório ilegível é um documento inútil e, obviamente, terá nota zero a ele atribuída. Com o intuito de auxiliar os novos estudantes a aprender a confeccionar um relatório, a seguir será apresentado um exemplo de relatório da experiência Medições de Tempo.
  58. 58. 58 MEDIÇÕES DE TEMPO CURSO: Engenharia _________ Prof.Dr. Paulo Quintairos ENTREGA: 12/03/2009 ALUNOS: 1. Enrico Fermi 2. Ettore Majorana 3. Nicola Cabibbo TÍTULO: Medições de Tempo 1. OBJETIVO: Medir o período de um pêndulo simples. 2. LISTA DE MATERIAIS 2.1.Tripé universal; 2.2.Transferidor; 2.3.Linha de nylon 2.4.Esfera metálica 2.5.Cronômetro digital 3. ESQUEMA DE MONTAGEM F Pθ θ
  59. 59. 59 4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 4.1.Visando reduzir a influência das forças de atrito no experimento, o ângulo máximo de abertura inicial do pêndulo foi adotado como 100 ; 4.2.Foi cronometrado o tempo de dez oscilações completas do pêndulo, o que corresponde a 10 períodos; 4.3.Foram realizadas 50 tomadas de tempo; 4.4.Os dados obtidos foram divididos por 10 e arredondados para duas casas decimais, em segundos; 4.5.Os dados foram tabulados e a qualidade das medidas foi aferida pela comparação com os padrões da curva de Gauss 5. RESULTADOS Período(s) 1,85 1,87 1,88 1,88 1,89 1,86 1,87 1,88 1,89 1,89 1,86 1,87 1,88 1,89 1,89 1,86 1,88 1,88 1,89 1,89 1,87 1,88 1,88 1,89 1,89 1,87 1,88 1,88 1,89 1,9 1,87 1,88 1,88 1,89 1,9 1,87 1,88 1,88 1,89 1,9 1,87 1,88 1,88 1,89 1,91 1,87 1,88 1,88 1,89 1,91 Tabela 1: períodos obtidos experimentalmente. Resultados obtidos para média e desvio padrão:   sT 01,088,1  Intervalo (s) Medido Mínimo 1,87 a 1,89 82% 68,30% 1,86 a 1,90 94% 95,50% 1,85 a 1,91 100% 99,70% Tabela 2: Intervalos de segurança e comparação com a curva de Gauss. 6. CONCLUSÕES A partir dos resultados apresentados na Tabela 1, foi possível calcular o valor do período do pêndulo simples utilizado pelo grupo. O período medido foi de   sT 01,088,1  ; sendo que o desvio padrão do conjunto de dados coletados foi de σ = 0,01s. A comparação dos valores obtidos com os intervalos gaussianos é apresentada na Tabela 2. Nota-se que os resultados podem ser considerados satisfatórios, haja vista somente o intervalo 2σ apresentar concentração ligeiramente menor que o mínimo exigido. Observa-se aí que o baixo número de medições foi a causa deste resultado.

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