Treliças

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Treliças

  1. 1. 1 TRELIÇAS São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós. Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós. Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções. Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo Método dos Nós. Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, devemos verificar a condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro passo. Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós. Tais esforços serão denominados de N. 1º Condição de Treliça Isostática: 2 . n = b + ı Sendo n = nº de nós b = quantidade de barras ı = nº de reações (Verticais e 2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal): Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) Por convenção usaremos: no sentido horário no sentido anti-horário + - 3º Métodos dos Nós Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais. Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações. Calma, nos exercicios verá que é fácil.
  2. 2. 2 Por Convenção os sinais das forças das barras são: + TRAÇÃO - COMPRESSÃO Treliça Esquemática
  3. 3. 3 Exercícios 1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ 2.6 = 9+3 12 = 12 OK 2º Passo Reações de Apoio Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0 VA+VE = 200 KN VA = 400÷4 100+VE = 200 KN VA = 100 KN VE = 200-100 VE = 100 KN 3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NAB VA NAF NAB VA NAF
  4. 4. 4 FV = 0 FH = 0 VA+NAB = 0 NAF = 0 100+NAB = 0 NAB = -100 KN Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 50 FV = 0 FH = 0 -50-NBA-NBF.cos45° = 0 NBC+NBF.sen45° = 0 -50-(-100)-NBF.cos45° = 0 NBC+70,7.sen45° = 0 -NBF = -50÷cos45° NBC = - 50 KN NBF = 70,7 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NCB NC NC FV = 0 FH = 0 -100-NCF = 0 -NCB+NCD = 0 NCF = -100 KN -(-50)+NCD = 0 NCD = - 50 KN Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NFB NFC NFD NFB NFD FV = 0 FH = 0 NFC+NFB.sen45°+NFD.sen45° = 0 -NFB.cos45°+NFD.cos45°- NFC NFB NFA+NFE = 0 -100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0 -70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE = 0 NFD = 50÷sen45° NFE = 0 KN 50 NBA NBC NBF NBF NBA NBF NBC 10 NCF NCF 10 NCB NFD NFA NFE NFE NFA
  5. 5. 5 NEF HE HE NDF NFD = 70,7 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 NED+100 = 0 0-HE = 0 NED = -100 KN HE = 0 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 -50-NDF.sen45°-NDE = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0 -50-70,7.sen45°+100 = 0 -(-50)-70,7.cos45° = 0 -50-50+100 = 0 50-50 = 0 0 = 0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NAB -100 COMPRESSÃO NED -100 COMPRESSÃO NAF 0 - NEF 0 - NBC -50 COMPRESSÃO NDC -50 COMPRESSÃO NBF 70,7 TRAÇÃO NDF 70,7 TRAÇÃO VE VE NEF NED NED ND 50 50 ND ND NDE NDE ND
  6. 6. 6 NCF -100 COMPRESSÃO 2º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ 2.5 = 7+3 10 = 10 OK 2º Passo Reações de Apoio Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HA+HB = 40 VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 0 60+HB = 40 -HA.2+120 = 0 HB = 40-60 HA = 120÷2 HB = -20 KN HA = 60 KN 3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças
  7. 7. Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 7 VB HB NBC NBA NBC HB FV = 0 FH = 0 VB-NBA-NBC.sen26,57° = 0 -HB+NBC.cos26,57° VB NBA = 0 20-NBA-22,36.sen26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° = 0 NBA = 10 KN NBC = 20÷cos26,57° NBC = 22,36 KN NBC Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NAE NA FV = 0 FH = 0 NAB+NAC.sen26,57° = 0 NA HA+NAC.cos26,57°+NAE = 0 10+NAC.sen26,57° = 0 60+(- NAB 22,36).cos26,57°+NAE = 0 NAC = -10÷sen26,57° NAE+60-20 = 0 NAC = -22,36 KN NAE = -40 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 NEC = 0 -NEA+NED = 0 -(-40)+NED = 0 NED = -40 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) HA NAB NA NAE HA NEC NEA NEC NED NEA NED NCB NC NC 40 NCB NC 40 NC NCB
  8. 8. 8 NCE NC NCE NC FV = 0 FH = 0 NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0 -40-NCB.cos26,57°- NCA.cos26,57°+NCD.cos26,57° = 0 22,36.sen26,57°-(-22,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0 -40-22,36.cos26,57°-(- 22,36).cos26,57°+44,7.cos26,57°=0 10+10-NCD.sen26,57°=0 -40- 20+20+40 = 0 NCD = 20÷sen26,57° 0 = 0 NCD = 44,7 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 -20+NDC.sen26,57° = 0 -NDC.cos26,57°-NDE = 0 -20+44,7.sen26,57° = 0 -44,7.cos26,57°-(-40) = 0 -20+20 = 0 -40+40 = 0 0 = 0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NAB 10 TRAÇÃO NBC 22,36 TRAÇÃO NAC -22,36 COMPRESSÃO NAE -40 COMPRESSÃO NEC 0 - NED -40 COMPRESSÃO NCD 44,7 TRAÇÃO 20 NDE ND ND ND NDE 20
  9. 9. 9 3º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ 2.8 = 13+3 16 = 16 OK 2º Passo Reações de Apoio
  10. 10. Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0 10 VA = 6-3 VB = 48÷16 VA = 3 t VB = 3 t 3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) VA FV = 0 FH = 0 N13.sen36,87°+VA = 0 HA+N13.cos36,87°+N12 = 0 N13.sen36,87°+3 = 0 0+(- N13 VA N12 5).cos36,87°+N12 = 0 N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t N13 = -5 t Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 N23 = 0 -N21+N24 = 0 -4+N24 = 0 N24 = 4 t Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 -2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°- N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0 N12 HA N13 HA N13 N23 N21 N24 N23 N21 N24 N32 N34 N34 N31 N35 N31 N35 2 N35 2 N31 N32 N34
  11. 11. 11 -2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-(- 5).cos36,87°+N35.cos36,87° = 0 -N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0 +N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4 = 0 (-N34+N35).sen36,87° = -1 (+N34+N35).cos36,87° = -4 N34-N35 = 1÷sen36,87° N34+N35 = -4÷cos36,87° N34-N35 = 1,67 ”1” N34+N35 = -5 ”2” Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2” “1” N34-N35 = 1,67 N34+N35 = -5 “2” N34+N35 = -5 -1,67+N35 = -5 2N34 = -3,33 N35 = -5+1,67 N34 = -3,33÷2 N35 = -3,33 t N34 = -1,67 t Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 -2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0 - N53 N57 N53.cos36,87°+N57.cos36,87° = 0 -2- (-3,33).sen36,87°-(-3,33).sen36,87°-N54 = 0 -(- 3,33).cos36,87°+N57.cos36,87° = 0 -2+2+2-N54 = 0 2,66+N57.cos36,87° = 0 + N54 N53 N57 2 2 N53 N54 N57
  12. 12. 12 N54 = 2 t N57 = - 2,66÷cos36,87° N57 = -3,33 t Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) N43 N47 FV = 0 FH = 0 N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0 -N42+N46- N45 N43 N43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0 +(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0 -(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(- 1,67).cos36,87° = 0 -1+2+N47.sen36,87° = 0 N46-4+1,34-1,34 = 0 N47 = -1÷sen36,87° N46 = 4 t N47 = 1,67 t Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme tabela. BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO N13 = N87 -5 COMPRESSÃO N12 = N86 4 TRAÇÃO N47 N42 N46 N43 N45 N47 N42 N46
  13. 13. 13 N24 = N64 4 TRAÇÃO N23 = N67 0 - N34 = N74 -1,67 COMPRESSÃO N35 = N75 -3,33 COMPRESSÃO N54 2 TRAÇÃO 4º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
  14. 14. 14 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ 2.7 = 11+3 14 = 14 OK 2º Passo Reações de Apoio Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HA+HB =0 VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2=0 HA = -HB HA = 24÷3 HB = -8 t HA = 8 t 3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 VB-N51-N56.sen26,57° = 0 -HB+N56.cos26,57° = 0 6-N51-8,94.sen26,57° = 0 -8+N56.cos26,57° = 0 -N51+6-4 = 0 N56 = 8÷cos26,57° N51 = 2 t N56 = 8,94 t VB N56 HB VB HB N56 N51 N51 N56
  15. 15. Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 15 HA N12 HA FV = 0 FH = 0 N15+N16.sen45° = 0 N15 N16 HA+N12+N16.cos45° = 0 2+N16.sen45° = 0 8+N12+(- 2,83).cos45° = 0 N16 = -2÷sen45° N12+8-2 = 0 N16 = -2,83 t N12 = - 6 t Nó “6” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 N61 N67 -2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°=0 -N65.cos26,57°- N61.cos45°+N67.cos26,57°=0 -2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(- 2,83).cos45°+N67.cos26,57°=0 -2+4+2-3-N62 = 0 -8+2+N67.cos26,57° = 0 N62 = 1 t N67 = 6÷cos26,57° N67 = 6,7 t Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) N26 N27 FV = 0 FH = 0 N26+N27.sen26,57° = 0 -N21+N23+N27.cos26,57° = 0 1+N27.sen26,57° = 0 -(-6)+N23+(- 2,23).cos26,57° = 0 N15 N16 N16 N12 N62 N65 N67 2 2 N61 N62 N67 N65 N65 N61 N26 N27 N21 N23 N21 N27 N23
  16. 16. 16 N27 = -1÷sen26,57° N23+6-2 = 0 N27 = -2,23 t N23 = -4 t Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) N37 FV = 0 FH = 0 N37 = 0 -N32+N34 = 0 -(-4)+N34 = 0 N34 = -4 t Nó “7” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 N72 N74 -2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0 -N76.cos26,57°- N72.cos26,57°+N74.cos26,57°=0 -2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0 -6,7.cos26,57°-(- 2,23).cos26,57°+4,47.cos26,57°=0 -2+3+1-N74.sen26,57° = 0 -6+2+4 = 0 N74 = 2÷sen26,57° 0 = 0 N74 = 4,47 t Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 N37 N32 N34 N32 N34 N73 N76 N74 2 2 N72 N73 N74 N76 N76 N72 N43 N47 2 2 N47 N47 N43
  17. 17. -2+N47.sen26,57° = 0 -N43-N47.cos26,57° = 17 0 -2+4,47.sen26,57° = 0 -(-4)-4,47.cos26,57° = 0 -2+2 = 0 +4-4 = 0 0 = 0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO N51 2 TRAÇÃO N56 8,94 TRAÇÃO N16 -2,83 COMPRESSÃO N12 -6 COMPRESSÃO N62 1 TRAÇÃO N67 6,7 TRAÇÃO N27 -2,23 COMPRESSÃO N23 -4 COMPRESSÃO N37 0 - N34 -4 COMPRESSÃO N74 4,47 TRAÇÃO
  18. 18. 5º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 18 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ 2.5 = 7+3 10 = 10 OK 2º Passo Reações de Apoio Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HA = 0 VA+VB = 10+20 - VB.2,4+20.1,8+10.0,6=0 VA+17,5 = 30 VB = 42÷2,4 VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN VA = 12,5 KN
  19. 19. 3º Passo Método dos Nós Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 19 HA NAE HA FV = 0 FH = 0 VA+NAC.sen53,13° = 0 VA NA HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0 12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(- 15,63).cos53,13° = 0 NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN NAC = -15,63 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NC NC FV = 0 FH = 0 -10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 - NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°=0 -10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(- 15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0 -10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,88 = 0 NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -11,26 KN NCE = 3,13 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NEC NED FV = 0 FH = 0 NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°- NEC NEC.cos53,13° = 0 NA NA NAE VA NC NCE NC 10 10 NC NCE NCE NED NEA NEB NEA NEB NEC NED
  20. 20. 20 3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°- (+3,13).cos53,13° = 0 NED = -2,5÷sen53,13° NEB-9,38-1,88-1,88 = 0 NED = -3,13 KN NEB = 13,14 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 20 20 ND ND FV = 0 FH = 0 -20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -NDE.cos53,13°- NDC+NDB.cos53,13°=0 -20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-11,26)+(- 21,88).cos53,13°=0 -20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 1,88+12,26-13,13 = 0 NDB = -17,50÷sen53,13° 0 = 0 NDB = -21,88 KN Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 VB+NBD.sen53,13° = 0 -NBD.cos53,13°-NBE = 0 17,5+(-21,88).sen53,13° = 0 -(-21,88).cos53,13°- 13,14 = 0 0 = 0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NDE NDB NDE NDB NDB NDE VB NBE NBD NBD NBD NBE VB
  21. 21. 21 NAC -15,63 COMPRESSÃO NAE 9,38 TRAÇÃO NCE 3,13 TRAÇÃO NCD -11,26 COMPRESSÃO NED -3,13 COMPRESSÃO NEB 13,14 TRAÇÃO NDB -21,88 COMPRESSÃO 6º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática
  22. 22. 22 2.n = b+ 2.5 = 7+3 10 = 10 OK 2º Passo Reações de Apoio Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HA+HB = 0 VA = 225 -HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0 HB = -HA HB = 360÷0,9 HA = - 400 KN HB = 400 KN 3º Passo Método dos Nós Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NBA FV = 0 FH = 0 NBA = 0 HB+NBD = 0 400+NBD = 0 NBD = -400 KN Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) HA NA HA FV = 0 FH = 0 VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 - NAB NA HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0 225-0-NAD.sen36,87° = 0 - 400+NAC+375.cos36,87 = 0 VA NA NA NAB NBA HB NBD HB NBD VA NA
  23. 23. NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN 23 NAC = 375 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) ND FV = 0 FH = 0 NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0 375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0 NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0 NDE = -100 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 15 15 FV = 0 FH = 0 -150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°=0 -150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0 -150+225-NCE.sen36,87° = 0 - 100+100 = 0 NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0 NCE = 125 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 ND ND NDB NDE NDB NDE ND ND NCE NC NC NCE NC NC NCE NED NEC 75 75 NEC NEC NED
  24. 24. 24 -75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0 -75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0 -75+75 = 0 -100+100 = 0 0 = 0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NBA 0 - NBD -400 COMPRESSÃO NAD 375 TRAÇÃO NAC 100 TRAÇÃO NDC -225 COMPRESSÃO NDE -100 COMPRESSÃO NCE 125 TRAÇÃO 7º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
  25. 25. 25 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ 2.8 = 13+3 16 = 16 OK 2º Passo Reações de Apoio Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HE = 0 VA+VE = 8 VA.4a-4.3a-4.1a = 0 4+VE = 8 VA.4a-12a-4a = 0 VE = 8-4 VA = 16a÷4a VE = 4 KN VA = 4 KN 3º Passo Método dos Nós Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 VA+NAB.sen30° = 0 NAB.cos30°+NAF = 0 4+NAB.sen30° = 0 +(-8)cos30°+NAF = 0 NAB = -4÷sen30° NAF = 6,9 KN NAB = -8 KN VA NAB NAF NAB NAB NAF VA
  26. 26. Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 26 NFA NFG NFA FV = 0 FH = 0 NFB-4 = 0 -NFA+NFG = 0 NFB = 4 KN -6,9+NFG = 0 NFG = 6,9 KN 4 Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 NBC.sen30°-NBA.sen30°-NBF-NBG.sen30° = 0 - NBA.cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0 NBC.sen30°-(-8).sen30°-4-NBG.sen30° = 0 -(- 8).cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0 NBC.sen30°-NBG.sen30°+4-4 = 0 6,9+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0 NBC.sen30°-NBG.sen30° = 0 NBC.cos30°+NBG.cos30° = -6,9 (NBC-NBG).sen30° = 0 (NBC+NBG).cos30° = -6,9 NBC-NBG = 0÷sen30° NBC+NBG = - 6,9÷cos30° NBC-NBG = 0 ”1” NBC+NBG = -8 ”2” Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2” NFB NFG 4 NFB NBF NB NB NBA NBC NBA NBC NBC NBA NBF NB
  27. 27. 27 “1” NBC-NBG = 0 NBC-NBG = 0 “2” NBC+NBG= -8 -4 - NBG = 0 2NBC = -8 NBG = -4 KN NBC = -8÷2 NBC = -4 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 -NCB.sen30°-NCD.sen30°-NCG = 0 - NC NCB NCB.cos30°+NCD.cos30° = 0 -(-4).sen30°-(-4).sen30°-NCG = 0 -(-4).cos30°+NCD.cos30° = 0 2 + 2- NCG = 0 3,5+NCD.cos30° = 0 NCG = 4 KN NCD = - 3,5÷cos30° NCD = -4 KN Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NG NG FV = 0 FH = 0 NGB.sen30°+NGC+NGD.sen30° = 0 -NGB.cos30°+NGD.cos30°- NG NG NGF+NGH = 0 -4.sen30°+4+NGD.sen30° = 0 -(-4).cos30°+(-4).cos30°- 6,9+NGH = 0 NGD = -2÷sen30 +3,5-3,5- 6,9+NGH = 0 NGD = -4 KN NGH = 6,9 KN + NC NCB NC NCB NC NC NG NGF NG NG NG NG NGF NG
  28. 28. Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, 28 ângulos), as barras dos nós H, D e E não precisam ser calculadas. BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NAB = NED -8 COMPRESSÃO NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO NFB = NHD 4 TRAÇÃO NBC = NDC -4 COMPRESSÃO NBG = NDG -4 COMPRESSÃO NCG 4 TRAÇÃO
  29. 29. 8º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 29 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ 2.10 = 17+3 20 = 20 OK 2º Passo Reações de Apoio Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HJ = 0 VF+VJ = 2000 VF.4a-400.4a-400.3a- 400.2a-400.1a = 0
  30. 30. 30 1000+VJ = 2000 VF = 4000a÷4a VJ = 2000-1000 VF = 1000 N VJ = 1000 N 3º Passo Método dos Nós Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 -400-NAF = 0 NAB = 0 NAF = -400 N 40 Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 NFB.sen45°+NFA+VF = 0 NFB.cos45° + NFG = 0 NFB.sen45°+(-400)+1000 = 0 - 848,5.cos45°+NFG = 0 NFB = -600÷sen45° NFG = 600 N NFB = -848,5 N Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NG NG FV = 0 FH = 0 NGB = 0 -NGF+NGH = 0 -600+NGH = 0 NAF NAB 40 NAB NAF NFA NFB NFG NFA NFB NFB NFG VF VF NGF NG NGF NG
  31. 31. 31 NGH = 600 N Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 40 FV = 0 FH = 0 -400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0 -NBA+NBC-NBF.cos45°+NBH.cos45° = 0 -400-(-848,5).sen45°-0-NBH.sen45°=0 -0+NBC-(- 848,5).cos45°+282,8.cos45°=0 -400+600-NBH.sen45°=0 NBC+600+200 = 0 NBH = 200÷sen45° NBC = -800 N NBH = 282,8 N Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 40 -400-NCH=0 -NCB+NCD = 0 NCH = -400 N -(-800)+NCD=0 NCD = -800 N 40 Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, D, I, E e J não precisam ser calculadas. BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (N) ESFORÇO NAB = NED 0 - NBA NBH NBF NBC NBF NBC NB NBH NBF NB NBH NBA 40 NCB NC NCB NC NC NB
  32. 32. 32 NAF = NEJ -400 COMPRESSÃO NFB = NJD -848,5 COMPRESSÃO NFG = NJI 600 TRAÇÃO NGB = NID 0 - NGH = NIH 600 TRAÇÃO NBH = NDH 282,8 TRAÇÃO NBC = NDC -800 COMPRESSÃO NCH -400 COMPRESSÃO 9º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.
  33. 33. 33 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ 2.6 = 8+4 12 = 12 OK 2º Passo Reações de Apoio Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HE = 18 KN VE+VF = 0 VE.3,6-9.5,4-9.2,7 = 0 HF = 0 VE = -VF VE.3,6-48,6-24,3 = 0 VF = -20,25 KN VE = 72,9÷3,6 VE = 20,25 KN Por se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de ação, bem como as forças externas de 9 KN serem aplicadas no segmento AE, a reação horizontal HE sofre sozinha a ação dos 18 KN enquanto a HF não é solicitada. Os cálculos mostrarão essa teoria.
  34. 34. 3º Passo Método dos Nós Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 34 9 NAB NAB FV = 0 FH = 0 NAC = 0 -9+NAB = 0 NAB = 9 KN Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 -NBD-NBC.sen36,87°=0 -NBA-NBC = 0 -NBD-(-11,25).sen36,87°=0 -NBA-NBC.cos36,87°=0 -NBD+6,75=0 -9-NBC.cos36,87° = 0 NBD = 6,75 KN NBC = -9÷cos36,87° NBC = -11,25 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 9 9 FV = 0 FH = 0 NCA-NCE+NCB.sen36,87° = 0 - 9+NCB.cos36,87°+NCD = 0 0-NCE+(-11,25).sen36,87° = 0 -9+(- 11,25).cos36,87°+NCD = 0 NCE = -6,75 KN -9-9+NCD = 0 NCD = 18 KN NA NA 9 NBA NBC NBC NBD NBC NBD NBA NC NCB NC NC NCB NCB NC NCE NCE
  35. 35. Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 NDB-NDE.sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-NDC = 0 6,75-(-22,5).sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-18 =0 6,75+13,5-NDF=0 NDE = -18÷cos36,87° NDF = 20,25 KN NDE = -22,5 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 35 HE H FV = 0 FH = 0 VE+NEC+NED.sen36,87° = 0 HE+NED.cos36,87° = 0 20,25+(-6,75)+(-22,5).sen36,87° = 0 HE+(- 22,5).cos36,87° = 0 20,25-6,75-13,5 = 0 HE = 18 KN Ok 0 = 0 Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 NFD-VF = 0 -HF = 0 20,25-20,25 = 0 HF = 0 Ok ND NDE NDE NDB NDF NDE NDF ND NDB NEC NED NEC NED NED VE VE HE confirmada NFD NFD HF VF VF HF
  36. 36. 36 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS HF confirmada AXIAIS (KN) ESFORÇO NAB 9 TRAÇÃO NAC 0 - NCE -6,75 COMPRESSÃO NCD 18 TRAÇÃO NBD 6,75 TRAÇÃO NBC -11,25 COMPRESSÃO NDF 20,25 TRAÇÃO NDE -22,5 COMPRESSÃO
  37. 37. 10º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 37 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ 2.6 = 9+3 12 = 12 OK 2º Passo Reações de Apoio Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HC+HF = 0 VC = 100 KN HF.4,5-100.7,2 = 0 HF = -HC HF = 720÷4,5 HC = -160 KN HF = 160 KN 3º Passo Método dos Nós Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NDA NDE NDA
  38. 38. 38 10 FV = 0 FH = 0 NDA-100 = 0 NDE = 0 NDA = 100 KN 10 NDE Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NAB NAB NAE NA NA NAE FV = 0 FH = 0 NAB.sen22,62°-NAD-NAE.sen22,62° = 0 NAB NAE NAB.cos22,62°+NAE.cos22,62° = 0 NAB.sen22,62°-100-NAE.sen22,62° = 0 (NAB+NAE).cos22,62° = 0 (NAB-NAE).sen22,62° = 100 NAB+NAE = 0÷cos22,62° NAB-NAE = 100÷sen22,62° NAB-NAE = 260 ”1” NAB+NAE = 0 ”2” Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2” “1” NAB-NAE = 260 NAB+NAE = 0 + “2” NAB+NAE= 0 130+NAE = 0 2NAB = 260 NAE = -130 KN NAB = 260÷2 NAB = 130 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NEB NEA NEA NEB NEF NEA
  39. 39. 39 NED NEF NED FV = 0 FH = 0 NEB+NEA.sen22,62° = 0 NEF-NED-NEA. cos22,62° = 0 NEB+(-130).sen22,62° = 0 NEF-0-(- 130).cos22,62° = 0 NEB = 50 KN NEF = -120 KN Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) NFB NFC NFE HF NFB FV = 0 FH = 0 NFC+NFB.sen39,81° = 0 -NFE-HF-NFB. HF cos39,81° = 0 NFC+(-52).sen39,81° = 0 -(-120)-160- NFC NFB NFB.cos39,81° = 0 NFC = 33,3 KN NFB = -40÷cos39,81° NFB = -52 KN Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 +NBC.sen22,62°-NBA.sen22,62°-NBE-NBF.sen39,81°=0 - NBA.cos22,62°+NBC.cos22,62°+NBF.cos39,81° = 0 NFE NBF NBA NBC NBC NBC NBE NBF NBA NBE NBF NBA
  40. 40. 173.sen22,62°-130.sen22,62°-50-(-52).sen39,81°=0 -130.cos22,62°+NBC.cos22,62°+(- 40 52).cos39,81°=0 66,5-50-50+33,5=0 NBC.cos22,62°-120-40 = 0 0=0 NBC = 160÷cos22,62° NBC = 173 KN Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) VC FV= 0 FH = 0 VC-NCF-NCB.sen22,62°=0 -NCB.cos22,62°+HC = 0 100-(+33,3)-(+173).sen22,62°=0 -(+173).c os22,62°+160 = 0 100-33,3-66,7=0 -160+160 = 0 0=0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO NDA 100 TRAÇÃO NDE 0 - NAE -130 COMPRESSÃO NAB 130 TRAÇÃO NEB 50 TRAÇÃO NEF -120 COMPRESSÃO NFC 33,3 TRAÇÃO NFB -52 COMPRESSÃO NBC 173 TRAÇÃO NCB HC HC NCF NCB NCF NCB VC
  41. 41. 11º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 41
  42. 42. 42 1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ 2.10 = 17+3 20 = 20 OK 2º Passo Reações de Apoio Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor) HA = 0 VA+VB = 30 KN -VB.10+15.6+15.3 = 0 VA+13,5 = 30 VB = 135÷10 VA = 30-13,5 VB = 13,5 KN VA = 16,5 KN 3º Passo Método dos Nós Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) HA HA FV = 0 FH = 0 VA+N12.sen45° = 0 HA+N13+N12.cos45° = 0 16,5+N12.sen45° = 0 0+N13+(- 23).cos45° = 0 N12 = -16,5÷sen45° N13 = 16,3 kN N12 = -23 KN N12 N13 N12 N12 N13 VA VA
  43. 43. Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 43 FV = 0 FH = 0 N32 = 0 - N31+N32.cos71,57°+N34 = 0 -16,3+0.cos.71,57°+N34 = 0 N34 = 16,3 kN Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) N31 FV = 0 FH = 0 N42 = 0 - N43+N42.cos71,57°+N45 = 0 -16,3+0.cos.71,57°+N45 = 0 N45 = 16,3 kN Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 -15-N21.sen45°-N23.sen71,57°-N24.sen71,57°-N25.sen45°=0 -N21.cos45°- N23.cos71,57°+N26+N25.cos45°+N24.cos71,57° = 0 -15-(-23).sen45°-0-0-N25.sen45°=0 -(-23).cos45°- 0+N26+2,29.cos45°+0=0 N25 = 1,62÷sen45° N26+16,26+1,62 = 0 N25 = 2,29 KN N26 = -17,88 KN N32 N34 N32 N32 N34 N31 N31 N42 N45 N42 N32 N43 N34 N25 N21 N26 N26 15 N23 N25 N21 N23 N24 N21 15 N24 N25 N24 N23
  44. 44. Nó “6” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) 44 N62 N62 FV = 0 FH = 0 -15-N65 = 0 -N62+N67 = 0 N65 = -15 KN -(-17,88)+N67 = 0 N67 = -17,88 KN 15 N67 Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) N52 N57 FV = 0 FH = 0 N52.sen45°+N56+N57.sen45° = 0 -N52.cos45°- N56 N52 N54+N57.cos45°+N58 = 0 2,29.sen45°+(-15)+N57.sen45° = 0 -2,29.cos45°- 16,3+18,9.cos45°+N58 = 0 N57.sen45°+1,62-15 = 0 N58-1,62-16,3+13,36 = 0 N57 = 13,38÷sen45° N58 = 4,5 KN N57 = 18,9 KN Nó “8” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 N87 = 0 - N85+N87.cos71,57°+N89 = 0 15 N67 N65 N65 N57 N54 N58 N52 N56 N57 N54 N58 N87 N89 N87 N87 N89 N85 N85
  45. 45. -4,5+0.cos.71,57°+N89 = 45 0 N89 = 4,5 KN Nó “9” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 N97.sen71,57°+VB = 0 -N97.cos71,57°-N98+N910 = 0 N97.sen71,57°+13,5 = 0 -(-14,23).cos71,57°- 4,5+N910 = 0 N97 = -13,5÷sen71,57° N910 = 0 N97 = -14,23 KN Nó “10” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) FV = 0 FH = 0 N107 = 0 -N107-N109 = 0 -0-N109 = 0 N109 = 0 Nó “7” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H) N97 N910 N97 N910 N98 N97 VB VB N98 N10 N10 N10 N10 N10 N71 N76 N71 N75 N76
  46. 46. 46 N75 N79 N71 N78 N79 N78 N75 N78 N79 FV = 0 FH = 0 -N75.sen45°-N78.sen71,57°-N79.sen71,57°-N710.sen45° = 0 -N76-N75.cos45°- N78.cos71,57°+N79.cos71,57°+N710.cos45° = 0 -18,9.sen45°-0-(-14,23).sen71,57°-0=0 -(-17,88)-(+18,9).cos45°-0+(- 14,23).cos71,57°+0=0 -13,5+13,5 = 0 17,88-13,36-4,5 = 0 0 = 0 0 = 0 BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO N12 -23 COMPRESSÃO N13 16,3 TRAÇÃO N34 16,3 TRAÇÃO N42 0 - N32 0 - N45 16,3 TRAÇÃO N52 2,29 TRAÇÃO N26 -17,88 COMPRESSÃO N67 -17,88 COMPRESSÃO N65 -15 COMPRESSÃO N58 4,5 TRAÇÃO N57 18,9 TRAÇÃO N87 0 - N89 4,5 TRAÇÃO N97 -14,23 COMPRESSÃO N910 0 - N107 0 -
  47. 47. 47 Bibliografia INTRODUÇÃO À ISOSTÁTICA, autor Eloy Ferraz Machado Junior, 2007 Apostila “MECÂNICA DOS MATERIAIS”, autor Ricardo Gaspar, 2005

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