ajuste de curva

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ajuste de curva

  1. 1. 5 AJUSTE DE CURVAS POR MÍNIMOS QUADRADOS 5.1 Introdução O ajuste de curvas é muito utilizado para, a partir de dados conhecidos, fazer-se extrapolações. Por exemplo, conhece-se os dados de consumo anual de carga elétrica de uma cidade. A partir destes dados conhecidos, pode-se fazer projeções para o futuro e com isso, fazer-se um planejamento para que a cidade seja suprida de forma adequada nos anos subsequentes. A idéia é ajustar uma curva que melhor se ajusta aos dados disponíveis. Conhecida a equação da curva, pode-se determinar valores fora do intervalo conhecido. Os dados conhecidos podem ser tabelados e obtidos por meio de experimentos. Como exemplo, seja os dados da tabela abaixo. x 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 )(xf 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 A partir dos dados disponíveis, pode-se desejar saber uma estimativa do valor da função )(xf em 9=x . A partir dos dados disponíveis, pode-se construir um diagrama de dispersão, que é a representação em gráfico dos dados disponíveis. O objetivo é encontrar uma função )(xϕ que seja uma boa aproximação para os valores tabelados de )(xf e que nos permita extrapolar com uma certa margem de segurança. 5.2 Formulação Matemática 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) x
  2. 2. Seja o diagrama de dispersão anterior. A partir de uma análise do diagrama de dispersão deve-se definir uma curva para ser ajustada aos dados. No caso, ajusta-se os dados por uma reta dada pela função xx 21)( ααϕ += . A questão é como definir a reta. Define-se para mk ,...,1= onde m é o número de pontos da amostra o desvio: )()( kkk xxfd ϕ−= Uma primeira maneira de definir a reta seria minimizar a soma dos desvios, ou seja, minimizar ∑= m k kd 1 . O valor de kd pode ser positivo ou negativo, assim, o somatório não seria representativo dos desvios. Uma primeira solução seria utilizar o somatório dos valores absolutos de kd , ou seja ∑= m k kd 1 , entretanto o manuseio de expressões que aparecem valor absoluto é extremamente complexo. A solução mais factível é a utilização da somo dos desvios ao quadrado, definido por: [ ] 2 11 2 )()(∑∑ == −== m k kk m k k xxfdD ϕ Para o exemplo a ajuste será feita por uma reta dada por: xx 21)( ααϕ += . Substituindo na equação acima, tem-se: 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f (x) x f i (x)=alfa1+(alfa2)x
  3. 3. [ ] ( )[ ] ( )21 2 1 21 2 11 2 ,)()()( ααααϕ FxxfxxfdD m k kk m k kk m k k =+−=−== ∑∑∑ === O valor de ( )21 ,ααF depende de 21 αα e , ou seja, da reta escolhida para aproximar a função f(x) tabelada. Como pode-se definir a reta? Uma solução é encontrar 1α e 2α , tais que ( )21 ,ααF seja mínimo. Minimizando ( )21 ,ααF , está-se minimizando os desvios quadráticos. Em função deste procedimento ,é que adota-se o nome de ajuste de curvas por mínimos quadrados. A condição necessária para que ( )21 ,ααF seja um mínimo de ( )21 ,ααF é que as derivadas parciais de ( )21 ,ααF em relação a 1α e 2α sejam zero. Como ( )21 ,ααF é descrito pela equação: ( ) ( )[ ] 2 1 2121 )(, ∑= +−= m k kk xxfF αααα [ ]∑= =−−−= ∂ ∂ m k kk xxf F 1 21 1 0)(2 αα α [ ]∑= =−−−= ∂ ∂ m k kkk xxxf F 1 21 2 0)(2 αα α Rearranjando as equações chega-se: ∑ ∑∑= == =−− m k m k k m k k xxf 1 1 2 1 1 0)( αα ∑ ∑∑= == =−− m k m k k m k kkk xxxxf 1 1 2 2 1 1 0)( αα Isolando as variávies dos termos constantes, tem-se: ∑∑ == =+ m k k m k k xfxm 1 2 1 1 )()( αα ∑∑∑ === =+ m k kk m k k m k k xfxxx 11 2 2 1 1 )()()( αα Observe que resulta num sistema de equações lineares. Essas equações são conhecidas como equações normais. Para [ ]T 2ααα = , solução das equações normais, ( )21 ,ααF apresenta seu menor valor. Solucionando para os valores numéricos do exemplo, tem-se: 3
  4. 4. 54,127)8,5()0,8()1,6()8,6()8,3()1,5()2,5()4,3()0,2()3,1()( 5,149)0,8()8,6()1,5()4,3()3,1()( 9,228,51,68,32,50,2)( 6,240,88,61,54,33,1 5 1 222 5 1 222 5 1 5 1 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= =++++= =++++= =++++= ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = k k k k k k k k k xfx x xf x Substituindo na equação normal, tem-se:       =            54,127 9,22 5,1496,24 6,245 2 1 α α A solução deste sistema linear resulta em: [ ]T 522,001,2=α . A reta que melhor aproxima f(x) pelo método dos mínimos quadrados é dada por: xx 522,001,2)( +=ϕ Com a equação da reta, pode-se fazer projeções pada valores além do intervalo dado. A curva a ser ajustada não necessariamente precisa ser uma reta. Uma maneira de se definir que tipo de função deve ser utilizada, pode ser a parti da análise do diagrama de dispersão. Seja o exemplo dado pelo diagrama de dispersão: Observe que o diagrama sugere o ajuste através de uma parábola. 4 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f (x) x
  5. 5. 5.3 Generalização do Método dos Mínimos Quadrados Seja a função generalizada )(xϕ a ser ajustada: )(...........)()()()( 332211 xgxgxgxgx nnααααϕ ++++= Sejam os pontos diponibilizados por meio de uma sequência histórica, ou obtidos através de experimentos ou medições. 1x 2x 3x ....................................... mx )( 1xf )( 2xf )( 3xf ....................................... )( mxf O objetivo é encontrar os coeficientes nαααα ..,,.........,, 321 , tais que a função )(...........)()()()( 332211 xgxgxgxgx nnααααϕ ++++= se aproxime ao máximo de )(xf . O ajuste de )(xϕ pelo método dos mínimos quadrados, consiste em escolher os ,,...,1, njj =α de tal forma que: [ ] 2 11 2 )()(∑∑ == −== m k kk m k k xxfdD ϕ seja mínimo. Os coeficientes ,,...,1, njj =α que fazem com que )(xϕ se aproxime ao máximo de f(x) são os que minimizam a função: ( ) [ ] [ ] 2 1 2211 2 1 21 )(...........)()()()()(,....., ∑∑ == −−−−=−= m k knnkkk m k kkn xgxgxgxfxxfF αααϕααα Para determinação dos coeficientes ,,...,1, njj =α acha-se as derivadas parciais e iguala-se a zero. Nos pontos de mínimo tem-se: nj F j ,...,1,0 == ∂ ∂ α Derivando a função F, tem-se: [ ][ ] njxgxgxgxgxf F m k kjknnkkk j ,...,1,)()(...........)()()(2 1 2211 =−−−−−= ∂ ∂ ∑= ααα α Impondo a condição necessária para o mínimo, tem-se: [ ][ ] njxgxgxgxgxf m k kjknnkkk ,...,1,0)()(...........)()()( 1 2211 ==−−−−∑= ααα 5
  6. 6. De forma explícita, tem-se: [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] 0)()(...........)()()( 0)()(...........)()()( 0)()(...........)()()( 1 2211 1 22211 1 12211 =−−−− =−−−− =−−−− ∑ ∑ ∑ = = = m k knknnkkk m k kknnkkk m k kknnkkk xgxgxgxgxf xgxgxgxgxf xgxgxgxgxf ααα ααα ααα  Separando os somatórios e isolando os termos com variáveis dos termos constantes, tem-se: ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ==== ==== ==== =      ++      +      =      ++      +      =      ++      +      m k knkn m k knkn m k knk m k knk m k kkn m k kkn m k kk m k kk m k kkn m k kkn m k kk m k kk xgxfxgxgxgxgxgxg xgxfxgxgxgxgxgxg xgxfxgxgxgxgxgxg 11 2 1 21 1 1 1 2 1 22 1 221 1 21 1 1 1 12 1 121 1 11 )()()()(......)()()()( )()()()(......)()()()( )()()()(.......)()()()( ααα ααα ααα As equações acima formam um sistema de equações lineares que de forma matricial pode ser representado por: bA =α Onde:             =             =             = nnnnnn n n b b b b aaa aaa aaa A      2 1 2 1 21 22221 11211 α α α α cujos valores dos elementos da matriz de coeficientes e do vetor independente são determinados por: njeniparaxgxgaa kj m k kijiij ,...,1,...,1)()( 1 ==== ∑= ; 6
  7. 7. niparaxgxfb ki m k ki ,...,1)()( 1 == ∑= ; n é o número de termos da função )(xϕ a ser ajustada; m é o número de pontos da amostra conhecida. Exemplo: Seja os valores da função apresentados na tabela abaixo. Através do Método de Mínimos Quadrados determine a equação da curva que melhor ajuste os pontos dados. x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 f(x) 2,0 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 Representando os pontos através do seu diagrama de dispersão tem-se: Pode-se observar que uma boa possibilidade é ajustar os pontos a uma parábola passando pela origem. Portanto, procura-se a função 2 )( xx αϕ = que melhor represente f(x). Para a notação utilizada, 2 )( xxg = . A partir das equações do método, tem-se: 7 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f (x) x
  8. 8. )()()]([ 11 1 11 1 2 k k k k k xgxfxg ∑∑ == =α Substituindo: k k k k k xxfx ⋅=⋅ ∑∑ == 11 1 11 1 22 )(][ α como ∑= = 11 1 22 8464,2][ k kx e 8756,5)( 11 1 =⋅∑= k k k xxf , tem-se a equação linear: 0642,28756,58464,2 =⇒= αα A equação 2 0642,2)( xx =ϕ é a parabola que melhor aproxima a função tabelada através do Método de Mínimos Quadrados. Exemplo: Aproximar a função tabelada apresentada no exemplo anterior por uma função do tipo: 2 321)( xxx αααϕ ++= x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 f(x) 2,0 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 Deve-se montar o sistema linear bA =α , onde: 3,...,13,...,1)()( 11 1 ==== ∑= jeiparaxgxgaa kj k kijiij ; 3,...,1)()( 11 1 == ∑= iparaxgxfb ki k ki . Para a função )(xϕ proposta, tem-se: 2 321 )(,)(,1)( xxgexxgxg === Chega-se portanto a: 111 11 1 2 11 == ∑=k a ∑= ⋅== 11 1 2112 1 k kxaa 8
  9. 9. ∑= ⋅== 11 1 2 3113 1 k kxaa ∑= = 11 1 2 22 k kxa ∑= ⋅== 11 1 2 3223 k kk xxaa ∑= = 11 1 22 33 k kk xxa ∑= = 11 1 1 )( k kxfb ∑= = 11 1 2 )( k kk xfxb ∑= = 11 1 2 3 )( k kk xfxb Para facilitar os cálculos, pode-se construir a tabela: Valores Tabelados ∑ x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 -0,35 f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 9,115 2 x 1,0 0,5625 0,36 0,25 0,09 0,0 0,04 0,16 0,25 0,49 1 4,2025 3 x -1,0 -0,4218 -0,216 -0,125 -0,027 0,0 0,008 0,064 0,125 0,343 1 -0,2498 4 x 1,0 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0,0 0,0016 0,0256 0,0625 0,2401 1 2,8464 kk xxf )( -2,05 -0,8647 -0,270 -0,200 -0,150 0,0 0,04 0,24 0,256 0,84 2,05 -0,1087 2 )( kk xxf 2,05 0,6486 0,162 0,100 0,045 0,0 0,008 0,096 0,128 0,588 2,05 5,8756 Com os valores calculados, chega-se ao sistema linear:           −=                     − −− − 8756,5 1087,0 115,9 8464,22498,02025,4 2498,02025,435,0 2025,435,011 3 2 1 α α α Resultando em:           = 9377,1 0970,0 0914,0 α A equação da parábola ajustada é dada por: 9
  10. 10. 2 9377,10970,00914,0)( xxx ++=ϕ Exemplo: Ajuste os dados apresentados na tabela abaixo, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados por: a) Uma reta. b) Uma parábola do tipo 2 321)( xxx αααϕ ++= . c) Como você compararia as duas curvas com relação aos dados. x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 O diagrama de dispersão é dado pela figura: Constrói-se a tabela: Valores Tabelados ∑ 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f (x) x
  11. 11. kx 1 2 3 4 5 6 7 8 36 )( kxf 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 9,2 2 kx 1 4 9 16 25 36 49 64 204 3 kx 1 8 27 64 125 216 343 512 1296 4 kx 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 8772 )( kk xfx 0,5 1,2 2,7 3,2 6,0 9,0 11,9 16,0 50,5 )( 2 kk xfx 0,5 2,4 8,1 12,8 30,0 54 83,3 128 319,1 a) xx 21)( ααϕ += ⇒ xxgxg == )(,1)( 21 81 8 1 2 11 == ∑=k a 361 8 1 2112 =⋅== ∑=k kxaa 204 8 1 2 22 == ∑=k kxa 2,9)(1 8 1 1 =⋅= ∑=k kxfb 5,50)( 8 1 2 == ∑=k kk xfxb       =            5,50 2,9 20436 368 2 1 α α       = 21667,0 175,0 α A equação da reta ajustada é dada por: xx 21667,0175,0)( +=ϕ b) 2 321)( xxx αααϕ ++= ⇒ 2 321 )(,)(,1)( xxgexxgxg === 81 8 1 2 11 == ∑=k a 11
  12. 12. 361 8 1 2112 =⋅== ∑=k kxaa 2041 8 1 2 3113 =⋅== ∑=k kxaa 204 8 1 2 22 == ∑=k kxa 1296 8 1 2 3223 =⋅== ∑=k kk xxaa 8772 8 1 22 33 == ∑=k kk xxa 2,9)( 8 1 1 == ∑=k kxfb 5,50)( 8 1 2 == ∑=k kk xfxb ∑= == 8 1 2 3 1,319)( k kk xfxb Resultando no sistema linear:           =                     1,319 5,50 2,9 87721296204 129620436 204368 3 2 1 α α α           = 01548,0 07738,0 40714,0 α A equação da parábola ajustada é dada por: 2 01548,007738,040714,0)( xxx ++=ϕ c) Para a verificação do melhor ajuste, pode-se calcular a soma dos desvios quadráticos: Para a reta - 08833,0 8 1 2 =∑=k kd Para a parábola - 04809,0 8 1 2 =∑=k kd 12
  13. 13. Portanto a parábola se ajusta melhor aos pontos tabelados. 13

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