Fernandes 2006 tese máq.sincrona

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Fernandes 2006 tese máq.sincrona

  1. 1. Universidade Nova de Lisboa Faculdade de Ciências e Tecnologia Secção de Electrotecnia e Máquinas Eléctricas Máquina Síncrona em Regime Transitório após Brusco Curto-Circuito no Estator por João Leal Fernandes Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores. Orientador científico: Prof. Doutor Amadeu Leão Rodrigues Lisboa, 2006
  2. 2. i Agradecimentos Quero antes de mais expressar a minha gratidão ao Prof. Doutor Amadeu Leão Rodrigues pela disponibilidade demonstrada no decorrer do trabalho e todo apoio prestado. Agradecimento à minha empresa Delphi Automotive Systems – Portugal S.A., por me ter possibilitado a inscrição no Mestrado de Engenharia Electrotécnica e de Computadores ao abrigo do protocolo existente entre as duas instituições. De destacar ainda, o facto de a Delphi ter facilitado a utilização de instrumentação de medida, através da qual foi possível extrair os elementos fundamentais para a realização deste trabalho. Agradeço ao Departamento de Engenharia Electrotécnica da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa o facto de ter tido à disposição as excelentes condições do Laboratório de Máquinas Eléctricas que foram determinantes para a realização deste trabalho. Aos professores que me sensibilizaram para área de Máquinas Eléctricas, no decorrer dos meus estudos no Instituto Politécnico de Setúbal, Doutor Manuel Gaspar e Doutor Jorge Esteves. Finalmente quero agradecer à minha mulher que me soube transmitir uma palavra de força e coragem para ultrapassar algumas dificuldades encontradas durante o tempo de elaboração deste trabalho. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  3. 3. ii Sumário Sumário em Português. A partir das equações de Park pretende-se modelar a máquina de rotor de pólos salientes com enrolamentos amortecedores e prever o seu funcionamento em regime transitório. A dissertação tem como objectivo estabelecer a teoria generalizada da máquina síncrona em regime transitório e proceder a ensaios laboratoriais a fim de obter as correntes de curto-circuito trifásico simétrico, difásico e fase-neutro. A partir destes ensaios é possível obter as constantes de tempo e reactâncias transitórias e subtransitórias do alternador, cujo conhecimento é importante para o dimensionamento dos disjuntores de protecção do alternador e toda a carga a jusante. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  4. 4. iii Abstract From Park equations is intended to create the machine model of salient pole rotor with damping windings and to foresee its running in transitory regime. The objective of the dissertation is to establish the generalized theory of the synchronous machine in transitory regime and to perform the laboratorial experiments in order to get the short circuit symmetrical currents, phase to phase and phase to neutral. From these study it is possible to get the transitory time constants and transitory reactances of the machine. The knowledge of these constants is very important for the design of the protections of the alternator. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  5. 5. iv Dedicatória Esta dissertação é dedicada à minha mulher e aos meus filhos, que ficaram privados da minha presença ao longo de muitas horas para que este trabalho pudesse ser uma realidade. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  6. 6. v Simbologia e Notações Lista contendo símbolos e notações usados ao longo da dissertação. f - frequência da rede. [Hz] ar - Resistência de dispersão do estator (armadura). [Ω] fr - Resistência de dispersão do enrolamento do campo (rotor). [Ω] fu - Tensão de alimentação do enrolamento de campo. [V] kdr - Resistência do enrolamento amortecedor eixo directo. [Ω] kqr - Resistência do enrolamento amortecedor eixo quadratura. [Ω] fX - Reactância do enrolamento de campo [Ω] X - Reactância Síncrona [Ω] dX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo directo. [Ω] dX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo directo. [Ω] qX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo quadratura. [Ω] ' dX - Reactância Transitória do enrolamento do eixo directo. [Ω] ' qX - Reactância Transitória do enrolamento do eixo quadratura. [Ω] '' dX - Reactância Subtransitória do enrolamento do eixo directo. [Ω] '' qX - Reactância Subtransitória do enrolamento do eixo quadratura. [Ω] kdX - Reactância do enrolamento amortecedor eixo directo. [Ω] kqX - Reactância do enrolamento amortecedor eixo quadratura. [Ω] md mdX L= ω - Resistência de magnetização do eixo directo. [Ω] mq mqX X= ω - Resistência de magnetização do eixo quadratura. [Ω] f fX l= ω - Reactância de dispersão do campo (rotor). [Ω] kd kdX l= ω - Reactância de dispersão do enrolamento amortecedor directo. [Ω] kq kqX l= ω - Reactância de dispersão do enrolamento amortecedor quadratura. [Ω] X2 - Reactância de sequência negativa [Ω] X0 - Reactância de sequência zero [Ω] aT - Constante de tempo na armadura [s] ' dT - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito. [s] ' d0T - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em circuito aberto. [s] ' qT - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo quadratura em curto circuito. [s] ' q0T - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo quadratura em circuito aberto. [s] '' dT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito. [s] J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  7. 7. vi '' d0T - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo em circuito aberto. [s] '' qT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo quadratura em curto circuito. [s] '' 0qT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo quadratura em circuito aberto. [s] kdT - Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo directo. [s] kqT - Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo quadratura. [s] '' dI - Corrente Subtransitória do eixo directo [A] ' dI - Corrente Transitória do eixo directo [A] dI - Corrente Síncrona do eixo directo [A] '' qI - Corrente Subtransitória do eixo quadratura [A] ' qI - Corrente Transitória do eixo quadratura [A] qI - Corrente Síncrona do eixo quadratura [A] nU - Tensão nominal de uma máquina. [V] nI - Corrente nominal de uma máquina. [A] P - Potência Activa de uma máquina. [W] excU - Tensão de excitação de uma máquina. [V] excI - Corrente de excitação de uma máquina. [A] cosϕ - Coeficiente de factor de potência. N - Velocidade de uma máquina em rotações por minuto. [rpm] f.m.m. - Força magneto-motriz [V] f.e.m. - Força electro-motriz [V] P - Permeância magnética [ -1 Ω ] ϕ - Ângulo de desfasamento entre tensão e corrente [º] δ - Ângulo de carga de uma máquina [º] qL - Indutância do enrolamento do eixo quadratura [H] mdL - Indutância de magnetização do eixo directo [H] mqL - Indutância de magnetização do eixo quadratura [H] al - Indutância da armadura do estator [H] fL - Indutância do enrolamento de campo [H] kdL - Indutância do enrolamento amortecedor do eixo directo [H] kqL - Indutância do enrolamento amortecedor do eixo quadratura [H] Rφ - Fluxo magnético do rotor [Wb] J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  8. 8. vii Índice Pag. Capítulo 1 – Breve Descrição Máquina Síncrona Trifásica ......................... 1 1.1 - Constituição da Máquina Síncrona Trifásica.................................................. 1 1.1.1 - Máquina Síncrona com Rotor Cilíndrico................................................. 2 1.1.2 - Máquina Síncrona de Pólos Salientes...................................................... 2 1.2 - Princípio de Funcionamento da Máquina Síncrona........................................ 8 1.2.1 - Equação Vectorial da Máquina Síncrona de Rotor Cilíndrico................. 8 1.2.2 - Equação vectorial da Máquina Síncrona de Rotor de Pólos Salientes..... 13 1.2.3 - Variação da Reactância em Função da Posição do Rotor........................ 14 1.2.4 - Ensaio de Escorregamento para Determinação de Xd e Xq...................... 16 Capítulo 2 – Transformação de Park.................................................................. 19 2.1 - Transformação do Sistema Trifásico em Sistema Bifásico............................. 19 Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona..................................... 23 3.1 – Modelo da Máquina Síncrona de Pólos Salientes.......................................... 23 Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona................................................ 30 4.1 – Significado Físico dos Parâmetros da Máquina Síncrona.............................. 30 4.1.1 - Período Sub-Transitório........................................................................... 30 4.1.2 - Período Transitório................................................................................... 32 4.1.3 - Regime Permanente................................................................................. 32 4.1.4 – Funcionamento do Enrolamento Amortecedor....................................... 33 4.2 – Análise do Modelo da Máquina..................................................................... 34 4.2.1 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Subtransitório..................... 34 4.2.2 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Transitório.......................... 37 4.2.3 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Permanente........................ 39 Capítulo 5 – Equações da Máquina do Curto-Circuito.................................. 40 5.1 - Equações das Reactâncias............................................................................... 40 5.1.1 – Reactância Síncrona................................................................................ 40 5.1.2 – Reactância Transitória............................................................................. 42 5.1.3 – Reactância Subtransitória........................................................................ 43 5.2 – Equações de Curto-Circuito Simétrico Trifásico em Vazio........................ 44 5.2.1 - Equações das Correntes nas Fases a, b e d.............................................. 45 5.2.2 - Equação da Corrente de Campo............................................................... 52 5.2.3 - Equação do Binário Resistente................................................................ 54 5.3 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase em Vazio............................ 57 J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  9. 9. viii 5.3.1 - Equações das Correntes nas Fases........................................................... 57 5.3.2 – Equação das Corrente de Campo............................................................. 59 5.4 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Neutro em Vazio........................ 60 5.4.1 - Equações das Correntes na Fase e no Neutro.......................................... 60 5.4.2 - Equação da Corrente de Campo............................................................... 61 5.5 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase-Neutro em Vazio............... 62 5.5.1 – Equações das Correntes nas Fases........................................................... 62 5.5.2 - Equação da Corrente de Campo............................................................... 64 Capítulo 6 – Ensaios Laboratoriais..................................................................... 65 6.1 - Equipamento para o Ensaio no Laboratório................................................... 65 6.1.1 - Bancada de Ensaios................................................................................. 65 6.1.2 - Equipamento de Medida........................................................................ 66 6.2 - Ensaio Experimental para Obtenção das Características em Vazio e Curto- Circuito.................................................................................................................... 67 6.3 - Ensaio em Curto-Circuito Simétrico entre as Três Fases............................... 70 6.3.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito........................... 72 6.4 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Duas Fases............................... 84 6.4.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito........................... 89 6.5 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Fase e Neutro ......................... 93 6.5.1 – Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito.......................... 97 Capítulo 7 – Comportamento Dinâmico do Alternador................................. 109 7.1 - Comportamento do Binário durante o Curto-Circuito..................................... 109 7.1.1 – Determinação dos Parâmetros Mecânicos............................................... 110 7.1.2 – Cálculo do Momento de Inércia do rotor................................................. 110 7.1.3 – Métodos para Determinar o Momento de Inércia.................................... 112 Capítulo 8 – Conclusões Finais............................................................................ 114 Capítulo 9 – Trabalho Futuro............................................................................... 115 Capítulo 10 – Bibliografia....................................................................................... 116 Anexos ................................................................................................................. 117 Anexo I – Tabelas de Resultados................................................................ 118 Anexo II – Instrumentação de Medida...................................................... 122 Anexo III – Fotografias da Bancada de Ensaios..................................... 124 Anexo IV – Curto-Circuito Simétrico........................................................ 127 Anexo V – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase................................. 128 J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  10. 10. ix Anexo VI – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Neutro........................... 129 Anexo VII – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase-Neutro............... 130 J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  11. 11. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 1 Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica Capítulo 1 1.1 - Constituição da máquina síncrona trifásica. A máquina síncrona trifásica é constituída por três enrolamentos, cujos eixos magnéticos estão desfasados de 120º eléctricos, que constituem o estator. No seu interior existe o rotor que produz um fluxo magnético estático criado por um corrente continua (excitação). Esta máquina como todas as máquinas eléctricas é reversível, isto é fornecendo energia mecânica ao veio do rotor, colocando-o a rodar com uma velocidade angular ω esta máquina converte a energia mecânica em energia eléctrica no estator (gerador ou alternador); alternativamente, alimentando o estator com um sistema trifásico de tensões, fornecendo- lhe energia eléctrica a máquina converte-a em energia mecânica (motor) que surge no seu veio. a) Rotor cilíndrico b) Rotor de pólos salientes Fig. 1.1 - Máquina de rotor cilíndrico e máquina de rotor de pólos salientes A máquina síncrona pode ser monofásica ou polifásica, bipolar ou tetrapolar (rotor cilíndrico) ou multipolar (rotor de pólos salientes). Este trabalho visa o estudo da máquina síncrona trifásica de pólos salientes e o seu comportamento em regime transitório. O rotor, ou indutor, é constituído por um enrolamento alimentado por uma fonte de tensão contínua exterior, equivalendo a um electromagneto. O rotor pode apresentar ainda duas formas físicas distintas – rotor cilíndrico e rotor de pólos salientes. Como exemplo a figura 1.1 a) mostra um rotor cilíndrico bipolar onde, o entreferro ao longo da periferia do estator é constante. A figura 1.1 b) mostra um rotor com quatro pólos salientes, onde o entreferro da máquina é variável ao longo da periferia do estator. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  12. 12. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 2 1.1.1 - Máquina Síncrona com Rotor Cilíndrico A forma física do rotor irá influenciar bastante as características da máquina. O rotor cilíndrico é constituído por um núcleo de forma cilíndrica, em regra geral é forjado ou maciço, onde se abriram propositadamente cavas, axialmente, para encaixar o enrolamento indutor, tendo normalmente um grande comprimento e um pequeno diâmetro, menor que um metro nas máquinas de grande potência. As cavas podem ser fechadas por talas metálicas, em geral de bronze ou outro material não magnético. Assim o enrolamento indutor resistirá muito bem à força centrífuga. Por conseguinte, a máquina de rotor cilíndrico pode rodar a altas velocidades porque o seu rotor resiste bem aos esforços centrífugos a que fica sujeito. Logo é susceptível de ser accionada por uma turbina a vapor que é uma máquina motriz que trabalha a altas velocidades. Por este motivo a máquina de rotor cilíndrico é também conhecida por turboalternador. Fig. 1.2 – Vista em corte de um turbo alternador de 700MVA 50 Hz 3000r.p.m 20KV Como se pode observar na figura 1.2 este tipo de rotor é feito de uma só peça cilíndrica ao longo da qual são abertas cavas a receber os enrolamentos do campo indutor. 1.1.2 - Máquina Síncrona de Pólos Salientes A máquina de pólos salientes deverá rodar a baixas velocidades, é em regra geral accionada por turbinas hidráulicas que apresentam baixa velocidade, porque caso contrário devido à configuração dos pólos a força centrifuga atingiria valores que poderiam comprometer a resistência mecânica da fixação dos terminais polares. Logo, o rotor de pólos salientes deverá ter um grande número de pólos para gerar f.e.m. à frequência normalizada de 50 Hz. Tendo um grande número de pólos, tem em geral um grande diâmetro e pequeno comprimento axial. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  13. 13. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 3 A figura 1.3, permite ter uma ideia dos dois tipos de máquina, com a de pólos salientes em cima e a de rotor cilíndrico em baixo. Os aspectos construtivos mais marcantes podem ser aqui observados para máquinas com a mesma potência. Terminais de saídaNúcleo do estator Permutadores de calor Base Enrolamentos do estator Excitador Brushless Rolamento de apoioVentoinha Pólos do rotor Veio Núcleo do estator Enrolamentos do estator Excitador Brushless Fig. 1.3 - Comparação entre máquina de rotor de pólos salientes e máquina de rotor cilíndrico. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  14. 14. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 4 Nas figuras 1.4 e 1.5, podem ser comparados os dois tipos de rotores de máquinas síncronas, em que na primeira está representado o rotor cilíndrico e na segunda o de pólos salientes. Tendo o mesmo volume prismático , então as duas máquinas têm potências equivalentes. 2 2 21 2 1 lDlD = Fig. 1.4 - Gerador síncrono bipolar de rotor cilíndrico (turboalternador) D1 < l1 D1 l1 l2 D2 Fig. 1.5 - Gerador síncrono hexapolar de rotor de pólos salientes (hidroalternador) D2 > l2 A frequência da f.e.m. gerada no estator está relacionada com a velocidade do rotor pela seguinte expressão, f 60 Np f = (1.1) onde N é o número de rotações por minuto e p o número de pares de pólos. Os rotores cilíndricos como estão dimensionados para altas velocidades deverão ter um pequeno número de pares de pólos, como foi salientado anteriormente. Por outro lado pode J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  15. 15. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 5 ser observada na figura 1.6, a máquina síncrona de pólos salientes, também conhecida por hidroalternador, onde a quantidade de pólos é sempre superior podendo ser cinco vezes mais. Fig. 1.6 - Hidroalterador visto em corte 1 – Cobertura 7 – Rolamento 13 - Travessa 2 - Anel colector 8 – Cruzeta Inferior 14 – Conduta em expiral 3 – Cruzeta superior 9 – Eixo 15 – Turbina 4 – Rotor de pólos Salientes 10 – Aro de regulação 16 – Conduta de Saída 5 – Estator 11 – Cobertura da turbina 17 – Tubo de sucção 6 – Pás de refrigeração 12 – Pá directriz da turbina Por ser normalmente accionada por uma turbina hidráulica a máquina com pólos salientes é também conhecida por hidroalternador. Este tipo de hidroalternador é normalmente instalado em grandes barragens como Castelo de Bode, Alqueva, etc. A figura 1.7 mostra uma máquina deste tipo vista em corte. Este tipo de máquina possui também uma excitatriz que é uma máquina de corrente continua que serve para excitar o circuito indutor do rotor através de dois anéis exterior montados no veio do rotor e obviamente isolados. A corrente de J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  16. 16. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 6 excitação é injectada através de duas escovas que assentam nos anéis do rotor. A excitatriz está também directamente acoplada ao mesmo veio do gerador e da turbina. Posto isto, pode- se passar para a representação esquemática da máquina síncrona representada na figura 1.7. Fig. 1.7 - Esquema clássico de excitação da máquina síncrona de pólos salientes A B C N Estator Rotor G Circuito de Carga Excitatriz Escova Aneis mecP fI + - A figura 1.7 representa o tipo clássico de excitação dos alternadores de forma simplificada, os sistemas de excitação que são aplicados industrialmente, são evidentemente mais complexos e sofisticados, pertencendo ao universo dos Sistemas de Controlo de um centro produtor de energia. O controlo preciso sobre a corrente de excitação fI permite criar um fluxo induzido no rotor, adaptativo às condições de carga, estes sistemas fazem parte de controlo P.I.D. Estator Rotor Fig. 1.8 – Pormenor de construção do estator e do rotor J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  17. 17. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 7 O estator da máquina síncrona de pólos salientes consiste num núcleo laminado de chapas de ferro macio empilhadas, com cavas internas, um grupo de enrolamentos trifásicos distribuídos no estator e alojados nas cavas e uma protecção exterior que o envolve, onde estão os rolamentos para o eixo do rotor. O número de voltas dos enrolamentos do estator é igualmente distribuída sobre os pares de pólos e os eixos das fases, desfasados 2π/3 radianos. A sua construção está mais vocacionada para aplicações de baixa velocidade onde o rácio do diâmetro com comprimento do rotor pode ser feito de forma a acomodar o maior número de pólos. As máquinas síncronas de pólos salientes são frequentemente usadas nos hidrogeradores para adaptarem a baixa velocidade de funcionamento dos hidrogeradores tal como se pode observar na figura 1.6. Na figura 1.9 pode-se observar um exemplo de uma secção em corte do rotor de pólos salientes com enrolamento amortecedor. Os enrolamentos amortecedores são constituídos por barras de cobre embutidas em cavas abertas nas peças polares e ligadas todas entre si por meio de um anel. Resulta assim um enrolamento em gaiola ou em curto-circuito. Enrolamento amortecedor Enrolamento de excitação Núcleo Enrolamento amortecedor Fig. 1.9 - Rotor de pólos salientes com enrolamento amortecedor Na figura 1.10 pode observar-se um rotor de pólos salientes com as respectivas barras do enrolamento amortecedor. Fig. 1.10 - Perspectiva do rotor com 24 pólos salientes e dos enrolamentos amortecedores J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  18. 18. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 8 1.2 - Princípio de Funcionamento da Máquina Síncrona Por simplicidade vai ser considerada a máquina síncrona de rotor cilíndrico por ter um entreferro constante, a distribuição da densidade de fluxo magnético ao longo da periferia do rotor, ou do entreferro é sinusoidal. Este campo com o rotor parado é estacionário, semelhante a um magneto permanente com um pólo norte e um pólo sul. Quando o rotor for animado com movimento de rotação, o que se observa num determinado ponto da periferia do estator, ou do entreferro, é um campo magnético de intensidade variável entre dois máximos de sentidos opostos. Assim estão reunidas as condições para a formação do campo girante. Este campo girante, vai induzir f.e.m.s nos enrolamentos do estator. Em vazio as tensões aos terminais têm a forma indicada na figura 1.11. Quando o rotor estiver parado em relação ao estator, não há variação de fluxo e portanto não existe f.e.m. induzida, mesmo que o rotor esteja excitado. Tensão ( )a0u t ( )b0u t aU bU cU 0 Umax 60 120 180 240 300 3600 α = ωt ωt ( )c0u t Diagrama vectorial Diagrama temporal aU cU bU Fig. 1.11 - Representação do sistema trifásico de tensões através do diagrama vectorial e temporal 1.2.1 - Equação Vectorial da Máquina Síncrona de Rotor Cilíndrico Pretende-se estabelecer uma equação que relacione a tensão U aos terminais da máquina em função da velocidade angular do rotor, da corrente de excitaçãoω fI e da corrente de carga I debitada sobre um circuito de utilização uZ . Para isso vai ser considerado o esquema de ligações simplificado representado na figura 1.12, em que o gerador alimenta uma carga simétrica uZ . Aplicando a lei geral de indução ao caminho fechado no estator.γ resulta, (1.2)( ) 1 1R 1 1 1 1, t d d d E d i r U dt dt dt Ψ Ψ Ψ⎛ ⎞ γ = + = − = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ E J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  19. 19. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 9 em que, A B C N Estator Rotor Circuito de Carga uZ uZ uZ 1r 11L + - γ 3i 2i fi α rφ ω Fig. 1.12 - Máquina síncrona simplificada 1U 1i 1 1R 1Ψ = Ψ + Ψ E é o fluxo total ligado com a fase1 do estator. 1RΨ é o fluxo ligado com a fase 1 produzido pelo rotor. 1EΨ é o fluxo ligado com a fase 1 devido às três correntes do estator. Quando a máquina está em vazio, as correntes das três fases são nulas, portanto a expressão é nula. Logo, o termo1E 0Ψ = 1Rd dt Ψ − representa a f.e.m. em vazio do gerador induzida na fase 1 devido à variação do fluxo produzido pelo movimento do rotor. O fluxo ligado com a fase 1 produzido pelo rotor vale, 1R R R1I LΨ = + em que RI é a corrente do rotor e é o coeficiente de auto indução entre o rotor e a fase 1.R1L Como o rotor está animado de rotação com uma velocidade angular , não é constante mas terá uma expressão do tipo, ω R1L R1 R1max 0cos( )L L= α t+ ω J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  20. 20. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 10 em que é o ângulo que o eixo magnético do rotor e da fase 1 do estator formam entre si no instante da origem dos tempos. 0α 1R R R1max 0cos( )I L tΨ = + α + ω (1.3) Logo a f.e.m induzida no estator devido ao fluxo do rotor é dada por, 1 R R1max 0 0 0sen( ) sen( ) d I L t E dt Ψ − = ω α + ω = α + ωt (1.4) resultando uma tensão sinusoidal e de frequência igual à velocidade angular do rotor, da seguinte forma, 0( ) j t e t E e ω = e 0 R R1maE I L x= ω (1.5) donde se conclui que a amplitude da f.e.m. é proporcional à corrente de excitação0E fI e à velocidade angularω do rotor. Para manter a frequência constante, o único processo capaz de variar a f.e.m. da máquina em amplitude é através de variação da corrente de excitação. Analisado o estator em carga têm-se que 1EΨ é o fluxo ligado com a fase 1 do estator devido às correntes que percorrem o estator, ou seja 1E 1 11 2 21 3 31i L i L i LΨ = + + (1.6) Em que e são os coeficientes de indução mútua entre a fase 1 e as fases 2 e 3 respectivamente. 21L 31L Num sistema trifásico sem neutro existe a seguinte relação de correntes, 1 2 3 0i i i+ + = donde 3 1i i= − − 2i ) Substituindo em (1.6) resulta, 1E 1 11 2 21 3 31 1 11 31 2 21 31( ) (i L i L i L i L L i L LΨ = + + = − + − Simplificando, ( )1E 1 11 31i L LΨ = − Considerando-se que o circuito magnético da máquina é simétrico e , sendo21 31L L= 11L o coeficiente de indução relativo ao fluxo principal que liga a bobina 1 com a 2 e 3 e oλ coeficiente de indução relativa ao fluxo de dispersão. Como os eixos magnéticos fazem um ângulo de 120° entre si, ( ) ( )31 M 11 11 1 cos 120º cos 120º 2 L L l= = = l− (1.7) A expressão de fica, então1EΨ J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  21. 21. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 11 1E 1 11 1 3 2 i l i L ⎛ ⎞ Ψ = + λ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Considerando-se 11 3 2 L l= + λ , coeficiente de auto-indução trifásico, a f.e.m. induzida na fase 1 então devido ao fluxo produzido pelas 3 correntes estatóricas é dado por, 1E 1d d L dt dt Ψ − = − i (1.8) Suprimindo por comodidade os índices 1 e substituindo as expressão (1.5) e (1.8) na equação(1.1) resulta, 0R j t di i U E e L dt ω + = − ou, R 0 j tdi U L i E e dt ω + + = (1.9) que é uma equação de valores instantâneos onde, U - é a tensão simples (entre fase e neutro) aos terminais do estator. di L dt - é uma queda de tensão indutiva devido às correntes que atravessam as três fases do rotor. Ri - é a queda de tensão óhmica numa fase do estator. j t Ee ω - é a f.e.m. induzida por fase em vazio devido ao rotor. Em regime alternado sinusoidal e desprezando a saturação do circuito magnético tem-se, j t U Ue ω = e j t I Ie ω = Substituindo na equação (1.9) resulta a seguinte equação vectorial, 0E U rI j L I= + + ω 0E U rI j L= + + ω I ou, ( )0E U r jX= + + I (1.10) 11 3 2 X L l ⎛ ⎞ = ω = ω + λ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ onde 11 3 2 X L l ⎛ ⎞ = ω = ω + λ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1.11) que se denomina por reactância síncrona. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  22. 22. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 12 A equação (1.10) pode traduzir-se pelo esquema da figura 1.13, onde é a amplitude da f.e.m. induzida no estator . 0 R R1maE I L= ω x X Fig. 1.13 – circuito equivalente da máquina síncrona uZ Lω r RI ω ~RΨ UcE0E I Quando a máquina está em carga, a f.e.m. existente na máquina não é 0E mas sim cE f.e.m. em carga o fluxo resultante na máquina não é RΨ mas sim, res R CΨ = Ψ + Ψ em que C l IΨ = é o fluxo de reacção do estator sobre o rotor, logo da figura 1.13, c 0E E j L= − ω I (1.12) ou ainda, pela tensão de saída, ( )0U E r jX I= − + (1.13) As equações deduzidas anteriormente permitem traçar o diagrama vectorial por fase, devido a Behn Eschenbourgh, como está representado na figura 1.14 para uma carga uZ indutiva. Fig. 1.14 – Diagrama vectorial da máquina síncrona de rotor cilíndrico ϕ resΨ CΨ I δ RΨ U rI CE 0E j Iωλ j l Iω jX I J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  23. 23. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 13 onde ϕ - desfasagem δ - ângulo de carga X - reactância síncrona 1.2.2 - Equação vectorial da Máquina Síncrona de Rotor de Pólos Salientes Uma vez que a reactância do estator de uma máquina de pólos salientes varia com a posição angular do rotor, Blondel resolveu o problema decompondo a reactância ( )X β em duas componentes dX segundo o eixo directo do rotor e segundo o eixo quadratura, de acordo com a representação da figura 1.15. O mesmo acontece em relação à corrente I do estator que se pode decompor em duas componentes qX dI e qI tal que d qI I I= + . Com esta decomposição a equação vectorial de máquina escreve-se, E d d q0 qE U r I jX I jX I= + + + (1.14) cujo diagrama de Blondel está representado na figura 1.16. Em termos comparativos pode-se observar o diagrama de Behn-Eschenbourg representado na figura 1.15 com o de Blondel onde no cilíndrico e o de pólos salientes onde .dX X= q d qX X> Como o fluxo do rotor rφ tem a direcção do eixo directo, a f.e.m. 0E , está desfasada dele de 90º em atraso e portanto situada no eixo quadratura. Desprezando a resistência do estator em face das reactâncias, o diagrama pode simplificar-se eliminando os vectores Er Er I , dEr I e qEr I . I dI dX qX qI Fig. 1.15 – Decomposição das correntes em eixo directo e quadratura e reactâncias do eixo directo e quadratura J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  24. 24. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 14 J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006 Assim a equação da máquina de pólos salientes em regime permanente, é 0 dd d q qEE U r I jX I jX I jX I= + + + − ou ainda , ( )0 d d d qEE U r I jX I j X X I= + + + − d (1.15) 1.2.3 – Variação da Reactância em Função da Posição do Rotor Numa máquina síncrona de pólos salientes como ilustra a figura 1.17 a reactância dos enrolamentos varia com a posição angular β do rotor. qqjX I ( ) dd qj X X I− ϕ I δ U ddjX I 0E (d) rφ qjX I qEr I θ dI qI dEr I Er I (q) Fig. 1.16 – Diagrama de Blondel de rotor de pólos salientes Fig. 1.17 – Rotor de pólos salientes β Eixo magnético do enrolamento Eixo directo ou quadratura
  25. 25. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 15 A figura 1.18 a) mostra o fluxo segundo o eixo directo e a figura 1.18 b) o andamento do fluxo segundo o eixo quadratura. (d) Permeância Máxima(d) Permeância Mínima (q) (q) 90º Fig. 1.18 b) - Eixo quadratura ou transversal qX , com 90ºβ = Fig. 1.18 a) – Eixo directo ou longitudinal dX , com β = 0º Como se pode observar destas figuras a permeância segundo o eixo directo é maior que a permeância segundo o eixo quadratura. Então os coeficientes de auto-indução são, 2 d d qL n L n= > =P P2 q logo, .d qX X> O andamento da reactância dos enrolamentos em função do ângulo β durante uma rotação completa do rotor está representado na figura 1.19, que apresenta dois ciclos de rotação do rotor. 0 90º 180º 270º 360º β dX Fig. 1.19 – Variação da reactância em função da posição do rotor numa máquina de pólos salientes ( )βX qX J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  26. 26. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 16 Define-se por coeficiente de saliência a seguinte relação, q d X X α = que vale para um rotor de pólos salientes. O valor de1α < α representa, o grau de saliência do rotor, para é o caso da máquina de rotor cilíndrico.1α = 1.2.4 - Ensaio de Escorregamento para Determinação de Xd e Xq No caso de uma máquina síncrona trifásica, ao aplicar um sistema trifásico de tensões ao estator cria-se um campo girante que roda à velocidade síncrona. Para determinar bastava pôr o rotor a rodar (com a excitação desligada) por meio de uma máquina de accionamento à mesma velocidade angular do campo girante e em fase com ele, como indica a figura qX ω 1.20 a). Medindo a corrente e a tensão, a reactância do eixo directo, viria (desprezando a resistência). d min U X I = Para determinar , bastava colocar o eixo directo do rotor em quadratura com o campo girante, como indica a figura 1.20 b). Desprezando a resistência a reactância quadratura viria qX q max U X I = ω Campo girante Fig. 1.20 b) – Medição de Xq Fig. 1.20 a) – Medição de dX maxIminI ω ω U U ω ω J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  27. 27. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 17 Este ensaio é difícil, senão impossível de pôr em prática porque não se consegue colocar o rotor rigorosamente em tais condições exactas. Na prática, para contornar esta dificuldade, é usual fazer o chamado Ensaio de Escorregamento. O ensaio de escorregamento consiste em aplicar ao estator, por intermédio de um autotransformador, um sistema trifásico simétrico de tensões reduzidas (na ordem de 20 a 30% da tensão nominal a fim de proteger os enrolamentos da máquina) e com o rotor em aberto colocá-lo a rodar com uma velocidade muito próxima da do campo girante do estator e no mesmo sentido. O esquema de ligações para este ensaio está representado na figura 1.21. Em seguida poder-se-ia medir a tensão aplicada e a corrente absorvida por meio de um osciloscópio de dois canais, cujos picos são modulados pela permeância do rotor. Eventualmente pode também oscilografar-se a f.e.m. induzida no rotor devido à diferença de velocidades do campo girante do estator e do rotor. O aspecto dos referidos oscilogramas pode ser observado na figura 1.22. re rω− ω Dos oscilogramas da tensão e da corrente vem, max d min U X I = min q max U X I = Máquina de accionamento Fig. 1.21 – Esquema de ligações do ensaio de escorregamento r g ±ω = ω ∆ω i u Saída da imagem da corrente para Osciloscópio Saída da tensão para o Oscilocópio Estator Rotor re J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  28. 28. Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 18 A ligeira flutuação na envolvente da tensão aplicada é devida à queda de tensão no auto- transformador motivada pela flutuação da corrente. Tensão Simples u f.e.m. induzida re Eixo Directo Quadratura Directo Quadratura 0 π 2 π dX qX minI maxI minU Umax Corrente na fase i Fig. 1.22 – Oscilogramas típicos do ensaio de escorregamento J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  29. 29. Capitulo 2 – Transformação de Park 19 Transformação de ParkCapítulo 2 2.1 - Transformação do Sistema Trifásico em Sistema Bifásico O presente capítulo tem por objectivo explicar a conversão do sistema trifásico num sistema bifásico, onde se irá basear todo o estudo de da máquina síncrona. A transformação de Park é uma transformação de coordenadas que a partir dos três enrolamentos a, b e c, desfasados de 120º e rodando com uma velocidade ω em relação ao referencial (d, q) composto por dois enrolamentos pseudo-estacionários fazendo entre si um ângulo de 90º como se pode observar na figura 2.1, Fig. 2.1 - Transformação de Park ω (a) (b) (c) (q) (p) 3 N 3 N 3 N 2 N 2 N au ai bu bi cuci pu pi qu qi ω Supondo que os três enrolamentos a, b e c, têm N/3 espiras por fase e os enrolamentos peseudo-estacionários (d, q) têm N/2 espiras por fase, então temos as condições necessárias e suficientes para relacionar os dois sistemas que permite considerá-los equivalentes. De uma forma geral podemos assumir que as correntes ,ai bi e constituem um sistema trifásico assimétrico que pode ser decomposto em três sistemas, Directo, Inverso e Homopolar. ci A componente homopolar significa que as correntes dos três enrolamentos estão em fase, sendo a sua equação, ( )0 a b c 3 i i i i 1 = + + Quando esta corrente percorre os três enrolamentos a, b e c, não produz nenhum campo no entreferro da máquina, porque está em fase nos três enrolamentos. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  30. 30. Capitulo 2 – Transformação de Park 20 A f.m.m. em cada um dos dois referenciais desta forma é dada por, ( ) ( ) ( ) d a b c q a b c 0 a b c 2 4 cos cos cos 2 3 3 3 3 3 2 sen sen sen 2 3 3 3 3 3 1 3 N N N N i i i i N N N N i i i i i i i i ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + + 4 ⎞ ⎟ π π θ θ θ π π θ θ θ (2.1) Simplificando a equação (2.1) obtém-se ainda, ( ) ( ) ( ) d a b c q a b c 0 a b c 2 2 cos cos cos 3 3 2 2 sen sen sen 3 3 1 3 i i i i i i i i i i i i ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = + + 4 3 4 3 π π θ θ θ π π θ θ θ que se pode escrever na seguinte forma matricial, (2.2) a b ci i i ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 4 cos( ) cos( ) cos( 3 3 3 2 4 sen( ) sen( ) sen( ) 3 3 1 1 1 2 2 2 ⎡ ⎤ − −⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Considerando que se trata de um sistema trifásico equilibrado, a corrente homopolar é nula e por conseguinte, ( ) 0 3 1 cba0 =++= iiii Assim, as equações relativas ao eixo directo e ao eixo quadratura podem-se representar na seguinte forma, ( )d a b c 2 2 cos cos cos 3 3 i i i i ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ = + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 4 3 ⎞ ⎟ π π θ θ θ (2.3) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ π π θ θ θ π π θ θ θ d q 0 i i i ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ di = J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  31. 31. Capitulo 2 – Transformação de Park 21 ( )q a b c 2 2 sen sen sen 3 3 i i i i ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 4 3 π π θ θ θ (2.4) Multiplicando (2.3) e (2.4) respectivamente por ( )cos θ e ( )sen θ , fica ( ) ( ) ( ) ( )2 d a b c 2 2 cos cos cos cos coscos 3 3 i i i i ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ = + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 4 3 ⎞ ⎟ π π θ θ θ θ θ θ (2.5) ( ) ( ) ( ) ( )2 q a b c 2 2 sen sen sen sen sensen 3 3 i i i i ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ = + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 4 3 ⎞ ⎟ π π θ θ θ θ θ θ (2.6) Somado (2.5) com (2.6) resulta, a d qcos( ) sen( )i i i= +θ θ (2.7) Esta relação só é válida quando a corrente homopolar é nula (caso do presente estudo) O sistema trifásico pode ser representado, pelas três fases i ,a bi e , forma,ci ( ) ( )a d q c b d q c d q cos sen 2 4 cos sen 3 3 2 4 cos sen 3 3 i i i i i i i i i i i i = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ θ θ θ π θ π θ π θ π c c + + (2.8) Do mesmo modo pela forma matricial é possível representar o sistema de equações em ordem às três fases a, b e c, 0 cos( ) sen( ) 1 2 4 cos sen 1 3 3 2 4 cos sen 1 3 3 a d b c i i i i i i ⎡ ⎤ θ θ ⎡⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ θ − θ −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥θ − θ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ q ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎥ ⋅ ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2.9) = J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  32. 32. Capitulo 2 – Transformação de Park 22 De forma semelhante para as equações das tensões, d d q q 0 0 2 42 cos( ) cos cos 3 33 2 4 sen( ) sen sen 3 3 1 1 1 2 2 2 e e e e e e ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ θ θ θ θ θ θ (2.10)⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (2.17) a d b q c 0 cos(θ) sen(θ) 1 2π 4π cos θ- sen θ- 1 3 3 2π 4π cos θ- sen θ- 1 3 3 e e e e e e ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = = Esta conversão de eixos de trifásico em bifásico, é fundamental para o estudo da máquina síncrona em regime transitório. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  33. 33. Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 23 Equações Gerais da Máquina SíncronaCapítulo 3 3.1 – Modelo da Máquina Síncrona de Pólos Salientes Com base na transformação de Park apresentada no capítulo anterior, vão ser deduzidas as equações da máquina síncrona de pólos salientes com enrolamentos amortecedores em regime transitório. A máquina síncrona generalizada é representada na figura 3.1. ω (q) (d) kdi kdu fi fu di du KD KQ Q D FdfM fkdM qi qu qkqM kqi kqu Fig. 3.1. Máquina Síncrona de pólos salientes representada em dois eixos Desta resulta que se podem extrair as figuras 3.2 e 3.3, que representam respectivamente os circuitos equivalentes do eixo directo e eixo em quadratura. Estas representações esquemáticas reflectem os modelos matemáticos da máquina síncrona, para o eixo directo e em quadratura. Fig. 3.2 - Circuito equivalente do eixo directo Fig. 3.3- Circuito equivalente do eixo em quadratura aslqi kq qi i+ mqsLqsΨ kqi kqr kqsl dsΨ asldi d kd fi i i+ + mdsL kdi fi kdsl fsl fv kdr fr fU J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  34. 34. Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 24 A partir dos esquemas equivalentes do eixo directo e quadratura respectivamente representados pelas figuras (3.2) e (3.3), passa-se à construção do modelo matemático da máquina. Tendo em consideração as indutâncias dos enrolamentos podem-se decompor em, d md a f md f kd md kd q mq kq kq mq kq L L l L L l L L l L L l L L l = + = + = + = + = + (3.1) A partir das enrolamentos da máquina síncrona pode escrever-se o seguinte sistema de equações: • Para o eixo directo ( ) ( ) ( ) ( ) f f md f f md kd md d kd md f kd md kd kd md d md f md kd md a dd 0 u r L l s i L s i L s i u L s i r L l s i L s s L i L i L l i ⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦ ⎡ ⎤= = + + + +⎣ ⎦ ψ = + + + i i (3.2) • Para o eixo quadratura ( ) ( ) ( ) kd kq mq kq kq md q mq f mq kq mq a qq 0 s u r L l s i L s L i L i L l i ⎡ ⎤= = + + + ⎣ ⎦ ψ = + + + Resolvendo o sistema de equações do eixo Directo em ordem d ( )I s , vem (3.3) f md f md f md kd md kd md md d d f md f md md md kd md kd md md md md a ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) r L l s L s u s L s r L l s L L s A i s r L l s L s L s B L s r L l s L s L L L l + + + + Ψ = = + + + + + f md f md f md kd md kd md md d ( ) ( ) ( ) 0 ( ) r L l s L s u s L s r L l s L L s + + + + Ψ O resultado do determinante A do numerador, vale J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  35. 35. Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f f md f md mdd kd d d kd d kd d kd 2 2 md md mdf f fd kd d d kd f kd f kd s s s s s s s s s s A r s l s r s l sr r L r L L r s s l s v r v r sl l lL L L = Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + +Ψ + Ψ + Ψ − − (3.4) Factorizando, obtém-se a equação do determinante A (3.4) simplificada, ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]slLrLsLsv sLslLrslLrA kdmdkdmd 2 mdf 22 mdkdmdkffmdd f s ++−+ +−++++Ψ= (3.5) Voltando a factorizar por forma que a expressão fique do tipo τ= L/R ou seja em ordem à constante de tempo do enrolamento, resulta ( ) ( ) 2md f md kd md kd md f f kd f ld d f kd f kd md kd f 1 1 kd kd L l L l L l L l l l A r r s s s r r r r l s L r u s r ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + = + + + ψ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + (3.6) Assim sob esta estrutura podem determinar-se algumas das seguintes constantes de tempo fundamentais: • Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em circuito aberto, ( fmd ff fmd' d01 1 XX rr lL TT + ω = + == ) (3.7) • Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo em quadratura em circuito aberto, ( kdmd kdkd kdmd' q02 1 XX rr lL TT + ω = + == ) (3.8) • Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo em circuito aberto, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ω =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +== fmd fmd kd kdfmd fmd kd kd '' d03 11 XX XX X rLL lL l r TT (3.9) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  36. 36. Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 26 • Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo directo, em circuito aberto, kd kd kd kd kd r X r l T ω == (3.10) Substituindo as constantes de tempo em (3.6), obtém-se, ( ) ( ) ( ) svsTrLssTTsTTrrA fkdkdmdd 2 3121ldf 11 +−Ψ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++= ( ) (3.11) ou ainda, 2 akdf 2 mdkdf 2 amdfakdfmdkdf 2 akdmdakdmdakdfmdkdfamdfakdfmdkdf slllsLllslLlslrlsLrl sllLslrLsllrsLlrslLrlrrLrrA +++++ +++++++= Relativamente ao determinante B, vem ( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]slLLrLsLsLsLslLLrLsL sLslLrslLrlLB kdmdmdkdmd 2 mdmd 2 mdfmdmdfmdmd 22 kdmdkdfmdfamd )( md +−−+−++− −− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++++= (3.12) ou ainda, 2md kd md f md f md kd f kd f kd d md a kd f f kd 2 2 2 2 2md md md f md kd kd f f kd f kd 1 L l L l L l L l l l B r r L L l s s r r r r L L L l L l s s r r r r r r ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + + = + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − a (3.13) Simplificando (3.13) com a substituição de d mdL L l= + , obtém-se, ( ) ( ) md f md a f a md kd md a kd a f kd d f md a kd md a md f md a f a md f a md f kd md a kd f a kd f kd d f md a kd md f md a f a 1 1 1 L l L l l l L l L l l l B r r L s r L l r L l L l L l l l L l l L l l L l l l l l r r L r L l r L l L l l l ⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ + +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ + + + + + + + + + + (3.14) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  37. 37. Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 27 Como X=ω.L, as constantes de tempo resumem-se às seguintes expressões, • Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ω = + =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ++ == amd amd amd amd famd afamdfmf ff ' 4 1111 XX XX Xf rflL lL rlL lllLlL rr TT d (3.15) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ω =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + ++ = amd amd k kdamd amd kd kdamd akdamdkdmf kd 5 111 XX XX X rlL lL l rlL lllLlL r T d (3.16) • Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ + ωω == afamdfmd afmd kdkd '' 6 11 XXXXXX XXX rr TT d (3.17) Logo, (3.14), escreve-se ( ) 2 f kd d 4 5 4 61B r r L T T s T T s⎡= + + +⎣ ⎤ ⎦ (3.18) Portanto atendendo a (3.11) e (3.18), a equação (3.3) escreve-se ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f ld 1 2 1 3 d md kd kd f d 2 f kd d 4 5 4 6 1 ( ) 1 1 r r T T s T T s s L r T s u sA i B r r L T T s T T s ⎡ ⎤+ + + Ψ − + ⎣ ⎦= = ⎡ ⎤+ + + ⎣ ⎦ (3.19) Resolvendo (3.19) em ordem a Ψd(s), fica ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 5 4 6 kd md f d d d 22 f1 2 1 31 2 1 3 1 1 ( 11 T T s T T s T s L u s s L i s rT T s T T sT T s T T s ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ++ + + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ) (3.20) Após simplificação, (3.20) pode ainda escrever-se ( )d d d 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s uΨ = + ω ω f s (3.21) onde, 2 4 5 4 6 d 2 1 2 1 3 1 ( ) ( ) 1 ( ) T T s T T s dX s T T s T T s + + + = + + + X (3.22) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  38. 38. Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 28 kd md 2 f1 2 1 3 1 ( ) 1 ( ) T s X G s rT T s T T s + = + + + (3.23) Resolvendo o sistema de equações do eixo Directo em ordem , vem,q ( )i s (3.24) kd ( )mq kq mq q q kd ( ) mqmq kq mq mq a 0 ( ) ( ) L l s L l s r L s C s r L s D L L l + + + + Ψ = = + kd ( )mq kq mq q 0 ( ) L l sr L s + + Ψ q ( )i s onde o determinante do numerador, ( )[ )(qkqmqkq sslLrC Ψ++= ] (3.25) Por outro lado, o determinante do denominador, kq mq kq a mq a kq mq kq aD r L r l L l s l L s l l s= + + + + (3.26) Factorizando (3.26), fica kq mq a mq a mq kq kq a( ) ( )D r L l L l L l l l s= + + + + (3.27) de modo que a corrente do eixo em quadratura i , escreve-seq ( )s ( ) kq mq kq q q kq mq a mq a mq kq kq a ( ) ( ) ( ) ( ) r L l s sC i s D r L l L l L l l l s ⎡ ⎤+ + Ψ⎣ ⎦= = + + + + (3.28) donde, ( ) ( ) ( ) kq mq a mq a mq kq kq a ( ) ( )q q kq mq kq r L l L l L l l l s s i s r L l s ⎡ ⎤+ + + + ⎣ ⎦Ψ = ⎡ ⎤+ ⎣ ⎦ que ainda se pode escrever na forma J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  39. 39. Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 29 mq a kq kq mq a q q kq mq kq 1 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) q L l l r L l s L i s l L s r ⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝Ψ = + + ⎠ (3.29) Assim será, • Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo quadratura em curto circuito, mq a mq a'' kq kq kq mq a kq mq a 1 1 q L l X X l XT r L l r X ⎛ ⎞ ⎛ = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜+ ω +⎝ ⎠ ⎝ X ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (3.30) • Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo quadratura em circuito aberto, ( ) ('' 0 kq mq kq mq kq kq 1 1 q l L X XT r r = + = + ω ) (3.31) Substituindo (3.30) e (3.31), em '' q '' 0 1 ( ) ( ) 1 q q T s L T + Ψ = + q qi s (3.32) obtém-se, q q 1 ( ) ( ) ( )s X s iΨ = ω q s (3.33) onde, '' q '' 0 1 ( ) 1 q q sT qX s sT + = + X (3.33) Foram assim calculadas as reactâncias directas e quadratura, bem como as constantes de tempo transitórias e subtransitórias. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  40. 40. Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 30 Constantes da Máquina SíncronaCapítulo 4 4.1 – Significado Físico dos Parâmetros da Máquina Síncrona. Os parâmetros das máquinas que são fornecidos pelos construtores, são em regra geral as reactâncias, resistências e constantes de tempo que normalmente derivam de medidas feitas ao enrolamento do estator. O método mais comum para extrair os parâmetros necessários da máquina, com um grau de confiança elevado é através dos oscilogramas de curto-circuito das correntes do estator. Este obtém-se quando se aplica um curto-circuito simétrico ao estator quando este está previamente em vazio e com a corrente de excitação e campo constante. Em torno da envolvente de corrente contínua, uma porção do curto-circuito tipicamente é representado por dois períodos de amortecimento distintos. Estes denominam-se por período sub-transitório e transitório. O período sub-transitório refere-se aos primeiros ciclos do curto-circuito, quando a corrente se amortece muito rapidamente, atribuído essencialmente a variações de corrente nos enrolamentos amortecedores. A taxa de amortecimento de corrente no período transitório é mais lenta e é atribuída a variações das correntes dos enrolamentos de campo do rotor. O teorema do fluxo constante é importante para determinar os valores iniciais dos fluxos transitórios induzidos nos circuitos acoplados. A ligação de fluxos de qualquer circuito indutivo com uma resistência finita e uma f.e.m. não pode variar instantaneamente. De facto, se não houver resistência ou f.e.m. no circuito, esse fluxo de ligação permaneceria constante. O teorema dos fluxos de ligação da constante pode assim ser usado para determinar as correntes imediatamente depois de uma variação nos seus termos. Através das figuras que se seguem, é possível observar as distribuições de fluxo numa máquina síncrona durante o período sub-transitório, transitório e permanente, depois de uma perturbação no estator. Assim durante o período vigência destes regimes, o comportamento da máquina passa a ser descrito em pormenor. 4.1.1 - Período Subtransitório Significado físico das reactâncias subtransitórias '' dX e '' qX Neste período o enrolamento amortecedor provoca um escudo à penetração do fluxo do estator. Então as reactâncias '' dX e do período subtransitório tornam-se mais pequenas do que as reactâncias relativas ao caso do fluxo penetrar no rotor. '' qX O comportamento do curto-circuito no estator com excitação no rotor durante o período transitório, é equivalente a fazer um curto-circuito no rotor quando se aplica uma tensão externa no estator. Esta equivalência está representada esquematicamente na figura (4.1). fi J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  41. 41. Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 31 fi EquivalenteReal ~ Fig. 4.1 – Curto-circuito equivalente Curto circuito no rotorCurto circuito no estator i Uc.c. ⇔ c.c. U O andamento do fluxo magnético no eixo directo (d) e em quadratura (q) pode ser observado na figura (4.2). dK qK Eixo Directo (d) Eixo Quadratura (q) Fig. 4.2 - Comportamento do caminho do fluxo durante o período subtransitório dK representa o enrolamento do eixo directo e o enrolamento do eixo quadratura.qK Estes enrolamentos aqui representados podem ser observados na figura (3.1). Eixo Directo Eixo Quadratura '' ' d d dX X X< < '' ' q q qX X X< ≈ Desta relação conclui-se que .'' '' q dX X> J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  42. 42. Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 32 4.1.2 - Período Transitório Significado físico das reactâncias transitórias ' dX e ' qX À medida que as correntes dos enrolamentos amortecedores se dissipam durante o período subtransitório, entra-se no período transitório onde as variações de corrente no enrolamento de excitação reagem da mesma maneira que as correntes nos enrolamentos amortecedores, mas mais lentamente. Passado algum tempo após a criação desta barreira pelos enrolamentos amortecedores o fluxo começa a penetrar no rotor, logo a reactância directa ' dX e quadratura começa a aumentar. No entanto a penetração do fluxo magnético ao longo do ferro no eixo directo, é maior do que a do eixo quadratura, logo ' qX ' d qX X> Eixo Directo (d) Eixo Quadratura (q) Fig.4.2 - Comportamento do caminho do fluxo durante o período transitório Eixo Directo Eixo Quadratura ' q qX X≈' d d<X X 4.1.3 – Regime Permanente O regime permanente é alcançado, depois da sequência de perturbação inicial subtransitória e transitória, o fluxo produzido pelo estator penetra em ambos os enrolamentos, de campo e amortecedor do rotor. A última obstrução à passagem do fluxo é a resistência de campo , este por fim acaba por penetrar totalmente no rotor, chegando-se deste modo ao regime permanente. fr J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  43. 43. Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 33 Neste caso d qX X> mas .' q qX X≈ Eixo Directo (d) Eixo Quadratura (q) Fig. 4.4 - Comportamento do caminho do fluxo em regime permanente d qX X> Analisado o comportamento físico da máquina síncrona quando sujeita ao curto circuito nos seus três regimes temporais Subtransitório, Transitório e Nominal, passa-se para a modelação em esquemas eléctricos equivalentes da máquina em vazio e em curto circuito. A partir desta modelação é possível extrair as constantes de tempo da máquina e reactâncias, a partir das quais se pode ter uma ideia do seu significado físico. 4.1.4 – Funcionamento do enrolamento amortecedor Num rotor cilíndrico as oscilações são normalmente amortecidas devido ao atrito com o ar e nas chumaceiras. Além disso sendo o rotor maciço em ferro forjado a rodar à velocidade induzem-se nele, durante as oscilações, correntes de Foucault de frequênciaω∆±ω ω∆± que dão origem a perdas por efeito de Joule na massa do rotor que resultam da variação da energia cinética. Por isso, o rotor tende a parar de oscilar, ficando a rodar à frequência síncrona do campo girante.ω Num rotor de pólos salientes, como é normalmente laminado, há necessidade de incorporar um enrolamento fechado (enrolamento em curto circuito colocado nas faces polares do rotor) chamado enrolamento amortecedor como pode ser observado na figura 1.10. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  44. 44. Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 34 O enrolamento amortecedor tem então as seguintes funções na máquina síncrona de pólos salientes, • Amortecer as oscilações do rotor durante um pedido brusco de carga, de forma à frequência do gerador síncrono variar apenas durante um curto espaço de tempo. • Eliminar as harmónicas produzidas pelo campo girante por reacção, de acordo com a lei de Lenz. As harmónicas são devidas à existência de cavas e dentes no estator e à descontinuidade da f.m.m. do enrolamento do estator. • Permitir o arranque da máquina síncrona como motor assíncrono. O enrolamento amortecedor funciona como uma gaiola de esquilo. Quando o motor fica perto do sincronismo, liga-se a corrente de excitação e o motor entra em sincronismo com a rede ficando a rodar com uma velocidade constante como motor síncrono. 4.2 – Análise do modelo da máquina O seguinte desenvolvimento, mostra como se determinam as constantes e equações fundamentais da máquina, servindo para a simulação experimental das correntes de curto circuito. 4.2.1 - Esquema Eléctrico do Regime Subtransitório No regime subtransitório as correntes , , e são diferentes de zero. Logo o esquema equivalente da máquina síncrona para este regime representa-se pela figura (4.5), di fi kdi qi '' dX aX mdX kdr kdX fr fX Fig. 4.5 - Esquema do eixo directo em regime subtransitório circuito aberto • Reactância Subtransitória do eixo directo, em circuito aberto Tendo por base o esquema equivalente do modelo da máquina síncrona passa-se a determinar a equação da reactância subtransitória do eixo directo, J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  45. 45. Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 35 md kd f'' d a a kd f md f md kd md kd f 1 1 1 1 X X X X XX X X X X X X X X X = + = + + ++ + (4.1) Do mesmo modo pode-se obter a constante de tempo subtransitória do eixo directo em circuito aberto. A reactância onde se baseia esta constante de tempo é a reactância vista do enrolamento amortecedor directo, md f'' 0 kd kd kd kd md f md f 1 1 1 3 1 1d L l T X lT r r X X ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = + = +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⎜ ⎟ ⎝ ⎠ L l ou, simplificando, md f'' 0 kd kd md f 1 3 d X X XT T r X ⎛ ⎞ = += ⎜ ω +⎝ ⎠X ⎟ (4.2) '' qX aX mqX kqr KqX Fig. 4.6 - Esquema do eixo quadratura em regime subtransitório circuito aberto Através da análise esquemática é possível determinar a, • Reactância subtransitória do eixo quadratura, em circuito aberto, mq kq'' q a a mq kq md kq 1 1 1 X X X XX X X X X = + + ++ (4.3) • Constante de tempo subtransitória do eixo quadratura, em circuito aberto, J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  46. 46. Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 36 ( )'' md kd q0 md kq kd kd 1 2 L l T T X X r r + = = = + ω (4.4) aX mdX kdr kdX fr fX Fig. 4.7 - Esquema do eixo directo em regime subtransitório em curto-circuito '' kd kd md kd f 1 1 6 1 1 1d XT T r X X X ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= += ω ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Simplificando, md f a'' kd kd md f md a f a 1 6 d X X X T XT r X X X X X ⎛ ⎞ = = +⎜ ω + +⎝ ⎠X ⎟ (4.5) aX mqX kqr KqX Fig. 4.8 - Esquema do eixo quadratura em regime subtransitório em curto-circuito • Constante de tempo subtransitória do eixo quadratura em curto-circuito, mq a'' a kq kd kd mq a a mq 1 1 1 1 1q X X X XT r r X X ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + = +⎜ ⎜⎜ ⎟ω ω ⎝ ⎠+⎜ ⎟ ⎝ ⎠ X X ⎟ ⎟+ (4.6) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  47. 47. Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 37 4.2.2 - Esquema Eléctrico do Regime Transitório No regime transitório o fluxo já penetrou no enrolamento amortecedor e está agora a fazê-lo no enrolamento de campo. Aqui o enrolamento amortecedor já não contribui para o regime transitório e portanto os esquemas reduzem-se à seguinte forma, ' dX aX mdX fr fX Fig. 4.9 - Esquema do eixo directo em regime transitório circuito aberto • Reactância transitória do enrolamento do eixo directo, em circuito aberto, md f' d a a md f md f 1 1 1 X X X XX X X X X = + = + ++ (4.7) • Constante e tempo subtransitória do eixo directo em circuito aberto, ( )'' 0 f md f 1 1 dT XT r = = + ω X (4.8) A constante e tempo em curto-circuito fica, aX mdX fr fX Fig. 4.10 - Esquema do eixo directo em regime transitório curto-circuito J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  48. 48. Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 38 • Constante de tempo subtransitória em curto-circuito, md a'' f f f f a md 1 1 1 1 1d X X X XT r r X X ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + = +⎜ ω ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⎜ ⎟ ⎝ ⎠ md aX X ⎟ + q (4.9) ' qX aX mqX Fig. 4.11 - Esquema do eixo quadratura em regime transitório circuito aberto • Reactância transitória do eixo quadratura, em curto-circuito ' q a mX XX = + (4.10) • Constante de tempo transitória do eixo quadratura em circuito aberto, ' 0 0qT = Fig. 4.12 - Esquema do eixo quadratura em regime transitório curto-circuito mqX aX • Constante de tempo transitória do eixo quadratura em curto-circuito, ' 0qT = J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  49. 49. Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 39 4.2.3 - Esquema Eléctrico do Regime Permanente Em regime permanente não há variação de fluxo através do enrolamento amortecedor nem pelo enrolamento de campo, logo os esquemas da máquina síncrona reduzem-se da seguinte forma, dX aX mdX Fig. 4.13 - Esquema do eixo directo em regime permanente • Reactância síncrona do enrolamento do eixo directo, em circuito aberto d a mX X X= + d mq (4.11) • Reactância síncrona do enrolamento do eixo quadratura, em circuito aberto qX aX mqX Fig. 4.14 - Esquema do eixo quadratura em regime permanente ' qq aX X XX= = + (4.12) Este capitulo demonstrou pormenorizadamente o comportamento da máquina perante um curto-circuito nos três regimes, subtransitório, transitório e permanente, realçando os enrolamentos amortecedores e o seu comportamento durante a perturbação. Para cada regime foram também desenvolvidas as equações das reactâncias e constantes de tempo, recorrendo à representação esquemática da máquina. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  50. 50. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 40 Equações do Curto-CircuitoCapítulo 5 Neste capitulo vão ser desenvolvidas as equações das correntes de curto circuito para os casos do curto-circuito trifásico simétrico, assimétrico fase-fase, assimétrico fase-neutro e assimétrico fase-fase-neutro. 5.1 - Equações das Reactâncias Tendo por base a simplificação da equação do fluxo magnético segundo o eixo directo (3.20) obtida no Capitulo 3, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 5 4 6 kd md f d d d 22 f1 2 1 31 2 1 3 1 1 ( 11 T T s T T s T s L u s s L i s rT T s T T sT T s T T s ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ++ + + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ) (3.20) 5.1.1 – Reactância Síncrona Simplificando a equação (3.22) de 3ª ordem da reactância síncrona do eixo directo obtém-se, 2' ' '' d d d d d 2' ' '' d0 d0 d0 1 ( ) 1 s sT T TX s X s sT T T + + = + + (5.1) simplificando tendo por base o critério de que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face às transitórias, com a intenção de baixar de ordem, considerou-se que ' dT T'' d ' Te T' ' 0 0d d Eliminando na equação (5.1) as constantes de tempo desprezáveis, esta equação pode ser escrita com uma grande aproximação, obtendo-se assim uma equação de 2ª ordem, mais fácil de tratar. ( )( ) ( )( ) ' '' d d d d ' ' d0 d0 1 1 ( ) 1 1 s sT T X s X s sT T + + = + + ' (5.2) ou para conveniência de cálculo a reactância d ( )X s pode ser transformada em admitância, bastando para isso invertê-la, J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  51. 51. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 41 ( )( ) ( )( ) ' ' d0 d0 ' '' d d d d 1 11 1 ( ) 1 1 s sT T X s X s sT T + + = + + ' (5.3) expandindo a equação (5.3) em fracções parciais e criando por conveniência as variáveis A e B vem, ( ) ( )' d d d d 1 1 ( ) 1 1 A B X s X s sT T = + + + '' (5.4) Calculando a variável A a partir de (5.4), ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ' '' d0 d0 ' d'' '' d dd d 1 11 1 1 1 1 s sT T Bs s As sT X Xs sT T + + = + + + + + + )' d1 T (5.5) Substituindo o denominador de A da equação (5.5) por ' d 1 s T = − vem, ' '' d0 d0 ' ' ' '' d d d dd ' ' ''' '' d d d d dd d ' ' d d 1 1 1 1 1 1 1 1 BT T AT T T TT X X T T TT T T T ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎝ ⎠ = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ simplificado mais, ' '' d0 d0 ' ' d d ''' d d dd ' d 1 1 1 0 0 1 T T ' A AT T X T TT T ⎛ ⎞⎛ ⎞ − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = − + = − ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (5.6) Assumindo que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face às transitórias então, e '' ' a aT T '' ' d0 dT T J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  52. 52. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 42 Tendo em conta esta simplificação e resolvendo (5.6) em ordem a “A” , obtém-se ' ' d0 d ' d d 1 1TA T dX XT ⎛ ⎞ = −⎜ ⎝ ⎟ ⎠ (5.7) 5.1.2 – Reactância Transitória Tendo por base e a reactância transitória do eixo directo, deduzida no capítulo o anterior, ' md f d a a md f md f 1 1 1 X X X X X X X X X = + = + ++ pode-se estabelecer também a seguinte equivalência, ' ' d d d ' d0 TX X T = (5.8) por conseguinte substituindo a equação (5.8) na (5.7) obtém-se finalmente a equação da variável A, ' d ' dd 1 1 A T XX ⎛ ⎞ = −⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ (5.9) Calculando a variável B, ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ''' d0 d0 '' '' '' d d d''''d d dd d 1 11 1 1 1 1 11 1 s T sT As T s T s T s Bs X X ss T s TT + + + = + + + ++ + Substituindo o denominador de B por '' d 1 s T = − vem, ' '' d0 d0 '' '' d d ''' d dd '' d 1 1 1 0 0 1 T T BT T X TT T ⎛ ⎞⎛ ⎞ − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = + − ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  53. 53. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 43 Assumindo novamente que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face às transitórias , , a equação pode pode-se escrever,' ' d0 dT T ' '' d '' '' d0 dT T> ' dT T '' ' ' '' d d0 d0 d0 ' ' '' d d d d T T T TB X T T T ⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Após simplificação a equação de variável B fica, ' '' '' d0 d0 d0'' d ' '' ' d dd d d 1 1T T TB T X XT T T ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (5.10) 5.1.3 – Reactância Subtransitória Tendo por base a reactância subtransitória do eixo directo, deduzida no capítulo anterior, md kd f'' d a a kd f md f md kd md kd f 1 1 1 1 X X X X XX X X X X X X X X X = + = + + ++ + (5.11) Através da equação (5.11) pode-se estabelecer também a seguinte equivalência, ' '' '' d d d d ' '' d0 d0 T TX X T T = (5.12) substituindo (5.12) em (5.11) obtém-se finalmente B, '' d '' ' d d 1 1 B T X X ⎛ ⎞ = −⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ (5.13) Revistando a equação da admitância (5.3) e substituindo as variáveis "A" representada na equação (5.9) e B representada na equação (5.13), obtém-se a admitância operacional da máquina síncrona para o eixo directo, ''' d d ' ' '' ' d d d dd d 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 T ssT X s X X s '' d dX X X TT ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s (5.14) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  54. 54. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 44 A admitância para o eixo em quadratura obtém-se directamente invertendo a equação (3.34), '' q '' 0 1 ( ) 1 q q sT qX s sT + = + X (3.34) Simplificando (3.34) sob a forma de admitância, obtém-se, ( ) ( ) '' q0 '' q qq 11 ( ) 1 sT 1 X s XsT + = + (5.15) Finalmente e através de todo este desenvolvimento matemático foram alcançadas as admitâncias d 1 ( )X s e q 1 ( )X s , que vão ser integradas nas equações das correntes de curto- circuito. 5.2 - Equações Curto-Circuito Simétrico Trifásico em Vazio A maior parte das falhas que ocorrem nos sistemas de distribuição de energia são não simétricos entre fases. No entanto, a falha simétrica é importante porque, apesar ser rara é mais grave porque desencadeia correntes mais elevadas de curto-circuito e provocaria instabilidade no funcionamento da máquina, colocando-a em situações excepcionais de risco para a sua integridade. Além disso o curto-circuito simétrico é a condição mais simples de analisar e é o ponto de partida para o estudo de qualquer tipo de falhas num sistema de potência. O ensaio de curto-circuito simétrico de um gerador em vazio permite ainda calcular as características transitórias da máquina, tais como constantes de tempo e reactâncias transitórias, que foram desenvolvidas no item anterior. Fig. 5.1 - Esquema do curto-circuito franco às três fases A B C N Estator Rotor fI ai ci bi A B C N Estator Rotor fI ai ci bi J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  55. 55. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 45 5.2.1 - Equações das correntes nas Fases a, b e d Considerando-se um alternador em vazio e que o brusco curto-circuito simétrico se dá no instante inicial t=0, sendo λ o ângulo entre o eixo da fase “a” e o eixo directo no instante de curto-circuito. Então, assumindo que a velocidade do alternador se mantém constante durante todo o curto-circuito com a velocidade angular ω, o ângulo de fase é dado por, .tθ = ω + λ Sabendo-se que a tensão instantânea da fase “a” em função das tensões do eixo directo e tensão do eixo em quadratura é dada por, a d qcos( ) ( )u u u sen= θ + θ e substituindo , vem,tθ = ω + λ a d qcos( ) ( )u u t u sen t= ω + λ + ω + λ (5.16) A partir da observação dos circuitos equivalentes do eixo directo e do eixo quadratura representados respectivamente pelas figuras (3.2) e (3.3), podem-se extrair as equações (5.17) e (5.18). Fig. 3.2 - Circuito equivalente do eixo directo dsΨ asldi d kd fi i i+ + mdsL kdi fi kdsl fsl fv kdr fr fu aslqi kq qi i+ mqsLqsΨ kqi kqr kqsl Fig. 3.3 - Circuito equivalente do eixo em quadratura J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  56. 56. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 46 Por se tratar de curto-circuito simétrico a tensão do eixo quadratura e do eixo directo no instante inicial U0=0 são dadas por, d d q d a d q d a q d q q a d q d u i r s dt d u i r dt = Ψ + ωΨ + = Ψ + ωΨ + = −ωΨ + Ψ + = −ωΨ + Ψ + q a i r s i r d (5.17) Onde, ( ) ( ) d md f md kd md a q md kq mq a q L i L i L l i L i L l i Ψ = + + + Ψ = + + (5.18) Estando o alternador em vazio, quando surge um curto-circuito, as condições iniciais antes do curto-circuito são as seguintes, d 0i = kd 0i = d0 0i = kd0 0i = q 0i = kq 0i = kq0 0i = kq0 0i = d0 0u = f Constanteu = f q0 md f0 md max0 q f u u L i X E r = −ω = − = = u (valor de pico) Desta forma o sistema trifásico de tensões iniciais aos terminais do alternador, antes do curto-circuito pode ser observada na figura 1.12 respeitando o andamento temporal das equações (5.19) ( ) ( ) ( ) a0 q b0 q c0 q sen( ) 2 sen( ) 3 4 sen( ) 3 u t u t u t u t u t u t = ω + λ π = ω − π = ω − (5.19) Usando o princípio da sobreposição, desprezando a saturação do ferro, os valores finais resultam assim da soma dos valores antes do curto-circuito, mais os valores das variações durante o curto-circuito, estas condições estão representadas pelas equações (5.20). J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  57. 57. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 47 ' d d0 ' q q0 ' d d0 d ' q q0 q u u u u u u i i i i i i = + = + = + = + d q q a s i r U s i r = Ψ + ωΨ + = −ωΨ + Ψ + (5.20) Substituindo as variáveis pelos respectivos valores iniciais, acham-se as equações que definem as condições iniciais, ' ' d d ' ' q0 q q q0 ' ' d d d d ' ' q q q q ' ' f f0 f f 0 0 0 0 0 0 0 u u u u u u i i i i i i i i u u u u = + ⇒ = = + ⇒ = − = + ⇒ = = + ⇒ = = + ⇒ = Aplicando as condições iniciais antes do curto-circuito na equação (5.17), obtém-se, ' ' ' d q d a ' ' ' q d q 0 (5.21) por conseguinte as variações dos fluxos são: • antes do curto-circuito, ( )d d d 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s u sΨ = + ω ω f (5.22) ( )q q 1 ( ) ( )s X s iΨ = ω q s = • depois do curto-circuito, ' f 0u ( )' ' ' d d f d dd 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s u X s i sΨ = + = ω ω ω ' (5.23) ( )' q q q 1 ( ) ( )s X s iΨ = ω ' s J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  58. 58. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 48 mantendo-se a tensão de excitação constante e substituindo (5.22) e (5.23) em (5.21), ' ' ' d d q d aq q ' ' ' ' ' ' d q q a d d q qq 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s X s i s X s i s i r a s s i r X s i s X s i s i r = + + ω = −ωΨ + Ψ + = − − ω U s (5.24) ou ainda factorizando (5.24), ' ' a d d q q q ' ' d d a q q 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s r X s i s X s i s U s ( ) X s i s r X s i s s ⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟ ω⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ ω⎝ ⎠ (5.25) Resolvendo o sistema de equações (5.25) em ordem a e i obtém - se,' d ( )i s q( )s 2 2 q 2 2 'a d a d2 d q d q 2 2 q q2 2 'a a q2 2 d q d q a d ( )1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U r X s s s r i s s X s X s X s X s U Xr s s r i s X s X s X s X s r s X s ⎡ ⎤⎛ ⎞ ω ⎢ ⎥= + ω + ω + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ω ⎢ ⎥= − + ω + ω + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ω + s s (5.26) Tendo em consideração que a resistência da armadura é ra << Xd, podem-se desprezar os termos . Também por aproximação reduzem-se2 ar d( )X s e às reactâncias subtransitórias q( )X s '' dX e '' qX , ficando por aproximação, '' q 2 2 'd a d'' '' 2 d q '' q q2 2 ' a q'' '' d q 1 1 ( ) 1 1 ( ) U X s s r i s X X U X s s r i s sX X ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟= + ω + ω + ⎜ ⎟⎢ ⎥ ω⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟= − + ω + ω + ⎜ ⎟ ω⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ s s (5.27) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  59. 59. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 49 Fazendo com que a constante de tempo da armadura seja, a a '' '' d q 1 1 2 r T 1 X X ⎛ ⎞ω ⎜ ⎟= = + ⎜ ⎟α ⎝ ⎠ por conseguinte (5.27) pode escrever-se sob a forma de equação de transferência de segunda ordem, ( ) ( ) '' q 2 2 'd d2 '' q q2 2 q 2 ( 2 ( U X s s i s s U X s s i s s = + α + ω ω = − + α + ω ω ' ) )s s (5.28) ou ainda, resolvendo em ordem a i e ,vemd( ) q( )i s ( ) ( ) 2 q' d d ''2 2 d q' q q ''2 2 q 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) - 2 U i s i s sXs s Us i s i s sXs s ω = = + α + ω ω = = + α + ω (5.29) Substituindo (5.14) e (5.15) que representam respectivamente as admitâncias do eixo directo e do eixo quadratura em (5.29), ' ' d '' '' ' ' '' ' '' d dd d d d d d 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 T s T s X s X ' d dX X X T s X X T ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s (5.14) ( ) ( ) '' q0 '' '''' qq qq 11 1 ( ) 1 T s X s 1 X XT s + = = + (5.15) obtém-se as equações de transferencia finais de i e .d( )s q( )i s J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  60. 60. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 50 ( )( ) ' '2 q q q q qd d d ' ' '' '2 2 d dd d d d ( ) 1 12 U U U U UT s T s i s X X ' '' dX T s X X T ss s s ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ⎢ ⎥= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥+ α + ω + β ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (5.30) ( ) ( ) '' q0 q q 2 2 '' qq 1 ( ) 2 1 T s Us i s s s XT s ⎡ ⎤+− ω ⎢= ⎢+ α + ω +⎢ ⎥⎣ ⎦ '' ⎥ ⎥ (5.31) Fazendo a transformada inversa de Laplace de (4.30) e (4.31) obtém-se, ( ) ' ''q q q q q qd d a d ' '' ' '' d dd d d q ( ) cos t t t T T TU U U U U U i t e e e t X XX X X X − − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ = + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ω (5.32) (q a q '' q ( ) sen t TU i t e t X − = − ω ) (5.33) Sabendo que a corrente em cada fase é dada por (3.14), ( ) ( )a d q c b d q c d q cos sen 2 4 cos sen 3 3 2 4 cos sen 3 3 i i i i i i i i i i i i = θ + θ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = θ − π + θ − π +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = θ − π + θ − π +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c c t (3.14) A corrente i fica,a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ''q q q q qd d a ' '' ' d dd d d q qa a '' '' q q ( ) cos cos cos sen sen t t T T t t T T U U U U U i t e e t X XX X X U U e t t e t t X X − − − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ = + − + − ω + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ − ω ω + λ − ω ω + − λ (5.34) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  61. 61. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 51 A segunda parcela de (5.34), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2a q '' '' d d 1 1 sen cos cos sen sen t T U e t t t X X − ⎡ ⎤ − ω λ − ω ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ λ pode simplificar-se recorrendo às seguintes relações trigonométricas, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 cos 1 sen sen 1 cos 1 cos sen sen 2 2 t t t t t t ω = − ω ω = − ω ω ω = ωt e escreve-se, ( ) ( ) '' '' '' '' q d q q d qa a '' '' '' '' d q d q cos cos 2 2 2 t t T TU X X U X X e e X X X X − −+ + − λ − tω + λ (5.35) donde se podem retirar as constantes Xm e Xn, ( )'' '' d q m '' '' d q 2 X X X X X + = + ( )'' '' d q n '' '' d q 2 X X X X X + = − (5.36) Logo as equações de curto-circuito para as outras duas fases, i e i , escrevem-se:b( )t tc( ) • para a fase B ' ''q q q q qd d b ' '' ' d dd d d q qa a m n 2 ( ) cos 3 2 2 cos cos 2 3 3 t t T T t t T T V V V V V i t e e t X XX X X V V e e t X X − − − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞ = + − + − ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ − λ − + ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − (5.37) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  62. 62. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 52 • para a fase C ' ''q q q q qd d c ' '' ' d dd d d q qa a m n 4 ( ) cos 3 4 4 cos cos 2 3 3 t t T T t t T T V V V V V i t e e t X XX X X V V e e t X X − − − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞ = + − + − ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ − λ − + ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − i (5.38) 5.2.2 - Equação da Corrente de Campo As equações da corrente de campo da máquina antes do curto-circuito ou seja em regime permanente, são da seguinte forma, f f f d a d q q q md f d d a q u r i u r i X i u X i X i r = = + = − + + (5.39) Antes do curto-circuito, o gerador considera-se em vazio e por conseguinte, d q 0i i= = logo, q0 q f0 md md U U i X X = − = − A corrente de campo , obtém-se impondo à corrente i antes do curto-circuito a corrente i , representando-se da seguinte forma, fi f0 ' f ' f f0i i i= + f (5.40) Durante o curto-circuito relação entre e i pode obter-se a partir do seguinte sistema de equações, ' fi ' d J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  63. 63. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 53 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' f f md f f md kd md d ' ' ' ' kd md f kd md kd md dkd 0 0 U r L l s i s L i s s L i s s U L i s s r L l s i s L i ⎡ ⎤= = + + + +⎣ ⎦ ⎡ ⎤= = + + + + ⎣ ⎦ ' s s (5.41) Visando a simplificação do sistema anterior, inicia-se o processo eliminando , entre as duas equações vem, ' kd ( )i s ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ' ' f md f kd md md f md kd dkd kd 0r L l s r L l s L s i s L s r l s i s⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤+ + + + − + + =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ (5.42) Substituindo em (3.42) o valor de já calculado anteriormente, obtém-se,( )' di s ( ) 2 q' d 2 2 d 1 ( ) ( )2 U i s X s ss s ω = + α + ω simplificando, ( )( ) ( )( ) ( ) ' '' 2d0 d0 q' d ' '' 2 2 dd d 1 1 1 ( ) ( )1 1 2 T s T s U i s X s sT s T s s s + + ω = + + + α + ω (5.43) a corrente de campo vem, ( ) ( )( ) ( )md kd' ' f d' '' f d0 d 1 ( ) 1 1 L s T s i s i s r T s T s + = + + simplificando, ( ) ( )( )( ) 2 qkd' md f ' '' 2 2 d fd0 d 1 1 ( ) 1 1 2 VT s X i s X r sT s T s s s + ω = + + + α + ω (5.44) Expandindo a equação (5.44) em fracções parciais, a transformada inversa de Laplace vem, J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  64. 64. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 54 ( ) ' ''q md' kd kdd d a f ' '' '' d f d d d ( ) 1 cos t t t T T TU X T T i t e e e t T r X T T − − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥ = − − − − ω⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ω ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (5.45) Simplificando a primeira metade de (5.45), 2 ' ' q md f0 md d0 d d d f0 f0' ' ' d f d d f d d d U X i X T T X X i i T r X T r X T X − − − = = = ω ω ' ' visto que, ( ) ( ) ' ' md a d0 d f md f f f md md a md a f md f f md a f 2 md md d a f d f d 1 1 1 1 X X T T X X X r r X X X X X X X X r X X r X X X X r X r X ⎛ ⎞ − = + − −⎜ ⎟ ω ω +⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + − − = −⎜ ⎟ ω + ω⎝ ⎠ − = ω ω a d X X = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ fConsequentemente a corrente de campo total depois do curto-circuito, é, ' f f0i i i= + ( ) ' ' '' d d kd kdd d a f f0 f0 ' '' '' d d d ( ) 1 cos t t t T T TX X T T i t i i e e e t X T T − − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− = + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (5.46) 5.2.3 - Equação do Binário Resistente O binário resistente oferecido pelo gerador durante o curto-circuito é dado por , ( ) ( )md f md kd md a d q mq kq mq a q dT L i L i L l i i L i L l i i⎡ ⎤⎡ ⎤= + + + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.47) Simplificando (5.47) obtém-se, d q q dT i= Ψ − Ψ i Sendo este binário resistente por unidade de velocidade (1 rad/s). Para a velocidade ω, obtém-se, J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  65. 65. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 55 ( )d q q dT i= ω Ψ − Ψ i d Onde o fluxo por eixo é dado por, ( ) ( ) d md f md kd md a q mq kq md a q L i L i L l i L i L l i Ψ = + + + Ψ = + + Antes do curto-circuito, existem as seguintes condições iniciais, d0 q0 0i i= = logo, q f0i md q d0 md f0 q0 0 U X U L i = − Ψ = = − ω Ψ = Depois do curto-circuito, os valores dos fluxos são, q' ' d d0 d ' ' q q0 q q U Ψ = Ψ + Ψ = − + Ψ ω Ψ = Ψ + Ψ = Ψ d Como já foi visto anteriormente, a equação de transferência de segunda ordem, é ( ) ' 'd d d 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 X s s i s ss s ω Ψ = = ω + α + ω qU Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se, ( )q' a d( ) 1 cos t TU t e −⎡ ⎤ ⎢ ⎥Ψ = − ω⎢ ⎥ω ⎢ ⎥⎣ ⎦ t J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  66. 66. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 56 Simplificando, (q a d( ) cos t TU t e − Ψ = − ω ω )t (5.48) Da mesma forma para o eixo quadratura obtém-se, ( ) q' ' q q 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 X s s i s s s ω Ψ = = ω + α + ω qU Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se, ( )q' a q( ) sen t TU t e − Ψ = − ω ω t Simplificando, ( )q a q( ) sen t TU t e − Ψ = − ω ω t i (5.49) A combinação dos fluxos Ψd e Ψq , que variam sinusoidalmente, dão origem a um fluxo girante de velocidade ω que é estacionário em relação à armadura. Mas a sua amplitude amortece-se com a constante de tempo .at Atendendo às equações (5.32) e (5.33) desenvolvidas anteriormente e substituído-as em, ( )d q q dT i= ω Ψ − Ψ Obtém-se a equação final do binário, ( ) ( ) ' 'T T2 a d q ' ' '' ' dd d d d 2 q a '' '' d q 1 1 1 1 1 ( ) sen 1 1 sen 2 4 t tt T t T T t U e t e e XX X X X U e t X X − −− − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ = ω + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ω − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ' d + (5.50) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  67. 67. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 57 5.3 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase em Vazio Fig. 5.2 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Fase A B C N Estator Rotor fI ci bi c bi i= − a 0i =A B C N Estator Rotor fI ci bi c bi i= − a 0i = 5.3.1 - Equações das Correntes nas Fases Este tipo de curto-circuito tem muitas semelhanças com o Fase-Neutro, o que os diferencia é que o curto-circuito Fase-Neutro envolve também as impedâncias de sequência de fase zero da máquina e qualquer impedância ligada entre o neutro e a terra, se o curto- circuito se der entre a fase e a terra. Para o curto-circuito entre as fases “B” e “C” têm-se as seguintes condições, (5.51) b c b c a 0 0 0 e e i i i − = + = = Se a resistência da armadura for desprezada e os fluxos de ligação das fases a e b forem mantidos constantes nos seus valores iniciais tem-se, b c b0Ψ − Ψ = Ψ − Ψc0 (5.52) Se o ângulo da máquina no qual ocorre o curto-circuito for λ então, b0 d0 q0 c0 d0 q0 cos( 120°) sen( 120°) cos( 120°) sen( 120°) Ψ = Ψ λ − − Ψ λ − Ψ = Ψ λ − − Ψ λ − J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  68. 68. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 58 ou, b0 c0 d0 q03( sen( ) cos( ))Ψ − Ψ = Ψ λ + Ψ λ (5.53) Usando as equações de transformação das correntes obtidas na matriz (2.15) e tensões obtidas em (2.17), são obtidas as seguintes relações, d q d q 0 sen( ) cos( ) 0 cos( ) sen( ) 0 0 e t e t i t i t i ω + λ + ω + λ = ω + λ + ω + λ = = (5.54) As equações obtidas em (5.54) juntamente com simplificações já desenvolvidas para o curto-circuito trifásico simétrico, deram origem à seguinte equação para o curto-circuito trifásico assimétrico para a fase B, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ' d f-f b q 'f-f d 2 d 2d 2f-f '' d f-f '' ' d 2 d 2f-f f-f aq f-f 0 12 1 1 1 ( ) 3 1 1 3 sen( ) 1 sen (2 1) cos(2 ) 2 t T t T t T n n n n i t U e X X X XX X e X X X X U b n t b n t e X − − − ∞ ∞ = = ⎡ ⎢ ⎛ ⎞ ⎢ ⎜ ⎟ = + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢ ⎣ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − ×⎜ ⎟ + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ λ ⎛ ⎞ × − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (5.55) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  69. 69. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 59 para a fase C, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' d f-f c q 'f-f d 2 d 2d 2f-f '' d f-f '' ' d 2 d 2f-f f-f aq f-f 0 12 1 1 1 ( ) 3 1 1 3 sen( ) 1 sen (2 1)( t) cos(2 t) 2 t T t T t T n n n n i t U e X X X XX X e X X X X U b n b n e X − − − ∞ ∞ = = ⎡ ⎢ ⎛ ⎞ ⎢ ⎜ ⎟ = − + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢ ⎣ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − ×⎜ ⎟ + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ λ ⎛ ⎞ × − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (5.56) 5.3.2 – Equação da Corrente de Campo Para a corrente de excitação, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' d d ''d af-f f-f f-fkd kdd f f0 f0 ' '' ''f-f d d df-f f-f f-f ( ) 1 cos t tt T T T X X T T i t i i e e e t X T T − −− ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.57) As constantes das equações (5.56) e (5.57) são dadas por, ( ) ( ) '' '' d qf-f f-f 2X X X= ( ) ( ) ( ) ( ) '' '' q df-f f-f '' '' q df-f f-f X X b X X − = + ( ) ( ) ( ) ( ) '' d 2f-f'' '' d d0 'f-f f-f d 2f-f X X T T X X + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ' d 2f-f' ' d d0f-f f-f d 2f-f X X T T X X + = + ( ) 2 a f-f a X T r = (5.58) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  70. 70. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 60 5.4 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Neutro em Vazio A B C N Estator Rotor fI ai ni c 0i = b 0i = A B C N Estator Rotor fI ai ni c 0i = b 0i = Fig.5.3 – Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Neutro 5.4.1 - Equações das Correntes na Fase e no Neutro Para o curto-circuito Fase-Neutro as condições de fronteira são, a b c 0 0 e i i = = = Considerando a resistência da armadura zero, a aΨ = Ψ 0 Tendo como base a análise do curto circuito fase-fase, o de fase-neutro partilha o mesmo princípio teórico visto serem ambos curto-circuitos assimétricos. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  71. 71. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 61 Assim a equação da corrente do curto-circuito fase neutro representa-se, entre a fase A e o neutro, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) '' d f-n a q '' 'f-n d 2 0 d 2 0f-n f-n ' d f-n ' d 2 0 d 2 0 d 2 0f-n aq 0 0 00 1 1 1 ( ) 3 1 1 1 3 cos( ) 1 cos (2 1) t cos(2 t) 1 22 2 t T t T t T n n n n i t U e X X X X X X e X X X X X X X X X U b n b n e X X − − −∞ ∞ = = ⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟⎢= −⎜ ⎟⎢ + + + +⎜ ⎟⎢⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎛ ⎞ ⎤⎜ ⎟ + − + ×⎥⎜ ⎟ + + + + + + ⎥⎜ ⎟ ⎦ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞λ ⎜ ⎟× − − ω − + − ω ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ∑ ∑ + ( )f-n (5.59) 5.4.2 - Equação da Corrente de Campo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' d d ''d af-n f-n f-nkd kdd f f0 f0 ' '' ''f-n d d df-n f-n f-n ( ) 1 cos t tt T T T X X T T i t i i e e e t X T T − −− ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.60) As constantes da equações (5.59) são dadas por, ( ) ( ) '' '' 2 d qf-n f-n X X X= ( ) ( ) ( ) ( ) '' '' q 0 df-n f-n 0 '' '' q 0 df-n f-n 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 X X X X b X X X X + − + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) '' d 2f-n'' '' d d0 'f-n f-n d 2f-n 0 0 X X X T T X X X + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ' d 2f-n' ' d d0f-n f-n d 2f-n 0 0 X X X T T X X X + + = + + ( ) 2 0 a f-n a 0 2 2 X X T r r = + + (5.61) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  72. 72. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 62 5.5 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase-Neutro em Vazio A B C N Estator Rotor fI ai ni bi b 0i = A B C N Estator Rotor fI ai ni bi b 0i = Em complemento do ensaio curto-circuito às três fases, fase com fase, fase com neutro, considerados previamente, uma máquina síncrona poderá ter dois terminais simultaneamente curto-circuitados ao neutro ou terra. Este curto-circuito é considerado também sem carga jusante. Fig.5.59 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Fase-Neutro As condições de curto-circuito das duas fase A e C sem carga, de acordo com a representação da figura 5.59 entre é, a c b 0 0 e e i = = = 5.5.1 – Equações das Correntes nas Fases Tal como foi abordado na análise do curto circuito fase-fase, fase-neutro a fase-fase- neutro há a partilha do mesmo princípio teórico visto serem todos curtos-circuitos assimétricos. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  73. 73. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 63 Assim a equação da corrente do curto-circuito fase A ou fase C e o Neutro, representa-se da seguinte forma, entre a fase A e o neutro ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q '' '' an q q 0f-f-n f-f-n f-f-n '' ' '' '' d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n '' '' '' '' d q 0 d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n ( ) 3 cos t 3 2 sen t 3 cos t cos 2 t 2 3 4 sen 2 U i t X X X C D X X X X A X X X X X ⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ = − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ω − − ω − λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ + + + λ − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ( )sen 2 t B ⎫⎡ ⎤⎞ ω − λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦ ⎭ (5.62) entre a fase C e o neutro ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q '' '' cn q q 0f-f-n f-f-n f-f-n '' '' '' '' d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n '' '' '' '' d q 0 d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n ( ) 3 cos t 3 2 sen t 3 cos t cos 2 t 2 3 4 sen 2 U i t X X X C D X X X X A X X X X X ⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ = − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ω − − ω − λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ + + + λ − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( )sen 2 t B ⎫⎡ ⎤⎞ ω − λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎭ (5.63) onde as constantes das equações (5.62) e (5.63) são dadas por, ( ) 2 0 aα f-f-n a 0 2 2 X X T r r + = + ( ) 2 a f-f-n a X T r β = ( )aα f-f-n t T A e − = ( )a f-f-n t T B e − β = 2 0 e 2 0 X X X X X = + ( ) ( ) '' ''' '' '' ''d df-f-n f-f-nd e d e d e d e ' ' d e d e d e d e 1 t t T TX X X X X X C e e X X X X X X X X − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X X + + ( ) ( ) ( )'' '' '' '' '' '' 0 d q d q 0 d q2D X X X X X X X X⎡ ⎤= + + − − ⎢ ⎥⎣ ⎦ cos 2 tω (5.63) J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  74. 74. Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 64 5.5.2 - Equação da Corrente de Campo Para a corrente de excitação, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' d d ''d af-f-n f-f-n f-f-nkd kdd f f0 f0 ' '' ''f-f-n d d df-f-n f-f-n f-f-n ( ) 1 cos t tt T T T X X T T i t i i e e e X T T − −− t ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.65) Este capítulo centrou-se no desenvolvimento das equações que irão permitir fazer a simulação matemática da máquina nos vários tipos de curto-circuitos que foram abordados. Sem estas equações não era possível quantificar os valores da corrente de curto-circuito que a máquina irá desenvolver na ocorrência durante a perturbação. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
  75. 75. Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 65 Ensaio LaboratorialCapítulo 6 Introdução Para confirmar a validade das considerações teóricas dos capítulos anteriores, foi montada uma bancada de ensaio no Laboratório de Máquinas Eléctricas da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa. Uma Máquina de Corrente Contínua a funcionar com Motor foi acoplada pelo veio a uma Máquina Síncrona a funcionar como Gerador. Por forma a salvaguardar a integridade do equipamento, foram feitos ensaios com valores muito abaixo dos nominais representados na “Chapa das Características”, sendo condição suficiente para levar à obtenção de uma imagem do comportamento do sistema em regime nominal. 6.1 - Equipamento para o Ensaio no Laboratório 6.1.1 - Bancada de Ensaios A Máquina de Corrente Contínua tem as seguintes características de especificação, n n e exc = 220 V = 2100 rpm = 6,2 A = 200 V = 1 kW = 0,24 A U N I U P I xc A Máquina Síncrona ensaiada tem as seguintes características, nY/ n exc exc = 380/220 V = 1500 rpm = 1,5 / 2,6 A cos 0,8 = 0,8 KVA / 0,8 kW f = 50 Hz = 220 V = 1,6 A max. U N I P U I ∆ ϕ = Todos os ensaios foram obtidos com a bancada de ensaios ligada conforme o esquema na figura 6.1. A velocidade de sincronismo do sistema foi possível de manter durante todos os ensaios, com base na utilização da pistola estroboscópica, tal com representa a mesma figura. O método de acerto da velocidade de sincronismo resultava assim numa coordenação entre frequência estroboscópica referenciada no acoplamento dos veios das duas máquinas e a regulação da alimentação e excitação da Máquina de Corrente Contínua, bem com a regulação da corrente de excitação de campo do alternador. J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006

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