1. CHUYEÂN ÑEÀ 8
VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
Caùc ñònh nghóa vaø pheùp toaùn cuûa vectô trong khoâng gian cuõng gioáng nhö trong maët
phaúng, ta caàn löu yù ñeán caùc vaán ñeà cô baûn thoâng duïng nhö :
. Qui taéc 3 ñieåm : ∀ A, B, C thì AB + BC = AC
. Coäng 2 vectô cuøng goác laø moät vectô cuøng goác vaø laø ñöôøng cheùo hình bình haønh coù 2
caïnh laø 2 vectô ñaõ cho.
. I laø trung ñieåm ñoaïn thaúng AB, vôùi ñieåm M baát kyø naøo ta luoân coù:
MA + MB
MI =
2
. G laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 .
Ngoaøi ra ta coøn coù :
. Ba vectô khaùc 0 goïi laø ñoàng phaúng neáu giaù cuûa chuùng cuøng song song hoaëc naèm
trong moät maët phaúng .
. Baát kyø vectô a ≠ 0 naøo ñoàng phaúng vôùi hai vectô khoâng cuøng phöông e1 , e2 trong
khoâng gian, ñeàu coù theå phaân tích theo e1 , e2 coù nghóa:
a = α e1 + β e2 ( α , β ∈ R)
vaø söï phaân tích treân laø duy nhaát .
. Baát kyø vectô a ≠ 0 naøo trong khoâng gian cuõng coù theå phaân tích ñöôïc theo 3 vectô
khoâng ñoàng phaúng e1 , e2 , e3 coù nghóa :
a = α e1 + β e2 + γ e3 ( α , β , γ ∈ R)
. G ñöôïc goïi laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCD
⇔ GA + GB + GC + GD = 0
Ghi chuù :
1) Neáu moät trong 3 vectô a , b , c laø 0 thì chuùng ñoàng phaúng.
⎡ ⎤
2) a , b , c ñoàng phaúng ⇔ ⎣ a, b ⎦ .c = 0
1

2. 3) OA , OB , OC ñoàng phaúng ⇔ O, A, B, C cuøng naèm treân moät maët phaúng.
Ví duï 1:
Cho moät hình laêng truï ABC A ′ B′ C′ . Goïi I, I′ laàn löôït laø troïng taâm cuûa Δ ABC vaø
Δ A ′ B′ C′ , O laø trung ñieåm cuûa I I′ .
a) Chöùng minh raèng
OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = 0
b) Goïi G laø troïng taâm cuûa hình töù dieän ABC C′ vaø M laø trung ñieåm cuûa A ′ B′ . Chöùng
minh raèng O, M, G thaúng haøng.
OM
c) Tính tæ soá
OG
Giaûi
a) OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = 0
I laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇒ IA + IB + IC = 0
⇒ ( IO + OA ) + ( IO + OB ) + ( IO + OC ) = 0
⇒ OA + OB + OC = 3 OI
Töông töï, I′ laø troïng taâm cuûa Δ A ′ B′ C′
⇒ OA′ + OB′ + OC′ = 3 OI′
Vaäy OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ =
= 3 OI + 3 OI′ = 3( OI + OI′ )
= 0 (vì 0 laø trung ñieåm I I′ )
b) O, M, G thaúng haøng
G laø troïng taâm cuûa töù dieän ABC C′
⇒ GA + GB + GC + GC′ = 0
⇒ ( GO + OA ) + ( GO + OB ) + ( GO + OC ) + ( GO + OC′ ) = 0
⇒ OA + OB + OC + OC′ = 4 OG
M laø trung ñieåm cuûa A ′B′
⇒ OA′ + OB′ = 2 OM
⇒ OA + OB + OC + OC′ + OA′ + OB′ = 4 OG + 2 OM
2

3. ⇒ 0 = 4 OG + 2 OM
⇒ OM = –2 OG
⇒ OM cuøng phöông vôùi OG
⇒ OM , OG cuøng giaù (vì cuøng goác O)
⇒ O, M, G thaúng haøng.
OM
c) Tæ soá
OG
OM
OM = –2 OG ⇒ = –2
OG
Ví duï 2:
Cho hình hoäp ABCD. A ′ B′ C′ D′ vôùi AA ′ = a , AB = b , AC / = c . Haõy bieåu thò caùc
vectô AD , A′C , B′D , BD′ theo caùc vectô a , b , c .
A D
Giaûi
b
Ta coù vôùi hình hoäp ABCD. A ′ B′ C′ D′ thì :
B a
C
AD = AC′ + C ′D / + D′D
c
=c– b –a
A′
D′
A′C = A ′A + AC / + C / C
B′ C′ A′C = –2 a + c
B′D = B′B + BA + AD
= – a –b + c – b – a
= – 2a – 2b + c
BD′ = BA + AD + DD′
= – b + (c – b – a) + a
= – 2b + c
***
3