Convergencia del metodo de bisección Metodos Numericos

1. CONVERGENCIA DEL
MÉTODO DE LA BISECCIÓN
CON MATLAB
CLASE 3
28-ENERO-2015

2. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Sean 𝑎𝑖, 𝑏𝑖, 𝑐𝑖 los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 en cada iteración 𝑖 =
1, 2, 3, … . . Respectivamente.
• El método de la bisección genera una sucesión de
intervalos 𝑎, 𝑏 , 𝑎1, 𝑏1 , … . . , 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 tales que 𝑎 ≤ 𝑎1 ≤
𝑎2 … ≤ 𝑎𝑖 constituyen una sucesión creciente y b ≤ 𝑏1 ≤
𝑏 … ≤ 𝑏𝑖 una sucesión decreciente con 𝑎𝑖 < 𝑏𝑖.

3. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Ademas por definición del método 𝑐𝑖, 𝑟𝜖 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 en cada
iteración 𝑖
𝑎𝑖 𝑏𝑖
𝑐𝑖 𝑟

4. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Sean 𝑑𝑖 = 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 longitud del intervalo 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 en la
iteración 𝑖 = 1, 2, 3, … … .
• 𝑑 = 𝑏 − 𝑎 longitud del intervalo inicial

5. RECORRIDO DE LAS ITERACIONES
Iteración Longitud del intervalo
1 𝑑1 = 𝑑/2
2
𝑑2 =
𝑑1
2
=
𝑑
22
3
𝑑3 =
𝑑2
2
=
𝑑
23
4
𝑑4 =
𝑑3
2
=
𝑑
24
… …
𝑖
𝑑𝑖 =
𝑑
2𝑖

6. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Entonces
•
𝑑
2 𝑖 ⟶ 0 ⟹
𝑑𝑖
𝑖 → ∞
⟶ 0 ⟹ 𝑎𝑖
⟶
𝑖 ⟶ ∞
𝑏𝑖 ⟹
𝑐𝑖 ⟶ 𝑟
𝑖 ⟶ ∞
⟹
• ∃ 𝑖 > 0 𝑐𝑖 − 𝑟 < 𝐸

7. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Suponer que se desea que el ultimo valor calculado 𝑐𝑖
tenga precisión 𝐸 = 0.001 , entonces si el algoritmo
termina cuando 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 < 𝐸, se cumplirá que 𝑐𝑖 − 𝑟 < 𝐸
y 𝑐𝑖 será una aproximación para 𝑟 con un error menor que
0.0001.

8. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Se puede predecir el número de iteraciones que se deben
realizar con el método de la Bisección para obtener la
respuesta con una precisión requerida E:
• En la iteración 𝑖: 𝑑𝑖 = 𝑑/2𝑖
• Se desea terminar cuando: 𝑑𝑖 < 𝐸
• Entonces se debe cumplir
𝑑
2 𝑖 < 𝐸
• De donde se obtiene: 𝑖 >
𝑙𝑜𝑔 𝑑/𝐸
log(2)

9. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Ejemplo. La ecuación 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝜋 = 0 tiene una raíz
real en el intervalo 0,2 . Determine cuantas iteraciones
deben realizarse con el método de la bisección para
obtener un resultado con precisión 𝐸 = 0.0001

10. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• El numero de iteraciones que deberán realizarse es:
• 𝑖 >
𝑙𝑜𝑔
2
0.001
log 2
⟹ 𝑖 > 14.287 ⟹ 15 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

11. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Algoritmo del método de la bisección
• Calcular una raíz 𝑟 real de la ecuación 𝑓 𝑥 = 0 con
precisión 𝐸. 𝑓 es continua en un intervalo 𝑎, 𝑏 tal que
𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏) tienen signos diferentes.
1. Defina 𝑓 , el intervalo inicial 𝑎, 𝑏 y la precisión
requerida 𝐸
2. Calcule el punto central del intervalo: 𝑐 = (𝑎 + 𝑏)/2

12. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
3. Si 𝑓 𝑐 = 0, 𝑐 es la raíz y termine.
4. Si la raíz se encuentra en el intervalo 𝑎, 𝑐 , sustituya
𝑏 𝑝𝑜𝑟 𝑐
5. Si la raíz se encuentra en el intervalo 𝑐, 𝑏 sustituya
𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐
6. Repita los pasos 2, 3, 4 y 5 hasta que la longitud del
intervalo 𝑎, 𝑏 sea menor que 𝐸.

13. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• El ultimo valor calculado 𝑐 estará al menos a una distancia
𝐸 de la raíz.

14. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Ejemplo. Calcule una raíz real de 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝜋 = 0 en
el intervalo 0,2 con precisión 0.01
• La función 𝑓 es continua y además 𝑓 0 < 0, 𝑓 2 > 0,
por lo tanto la ecuación 𝑓 𝑥 = 0 debe contener alguna
raíz en el intervalo 0,2

15. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Cantidad de iteraciones
• 𝑖 >
𝑙𝑜𝑔 𝑑/𝐸
log(2)
=
𝑙𝑜𝑔 1/0,01
log(2)
= 7,6439 ⟹ 8𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

16. • Tabulación de los cálculos para obtener la raíz con el
método de Bisección
iteración 𝒂 𝒃 𝒄 𝒔𝒊𝒈𝒏(𝒇 𝒂 ) 𝒔𝒊𝒈𝒏(𝒇 𝒄 )
inicio 0 2 1 - +
1 1 2 1.5 - +
2 1 1.5 1.25 - +
3 1 1.25 1.125 - +
4 1 1.125 1.0625 - -
5 1.0625 1.125 1.0938 - +
6 1.0625 1.0938 1.0781 - +
7 1.0625 1.0781 1.0703 - -
8 1.0703 1.0781 1.0742

17. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• En la octava iteración
• 𝑏 − 𝑎 = 1.0781 − 1.0703 = 0.0078 ⟹ 𝑟 − 𝑐 < 0.01
• 𝑟 = 1.074 con error menor que 0.01
• En la ultima iteración se observa que el intervalo que
contiene a la raíz se ha reducido a 1.0703, 1.0781 , por
lo tanto el ultimo valor calculado de 𝑐 = 1.074 debe estar
cerca de 𝑟 con una distancia menor que 0.01

18. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Eficiencia del método de la bisección
• Suponer el caso mas desfavorable, en el que 𝑟 esta muy
cerca de uno de los extremos del intervalo 𝑎, 𝑏
• Sean:
• 𝐸𝑖 = 𝑟 − 𝑐𝑖: 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖
• 𝐸𝑖+1 = 𝑟 − 𝑐𝑖+1: 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖 + 1

19. 𝐸𝑖
𝐸𝑖+1
𝑎𝑖 𝑐𝑖
𝑎𝑖+1
𝑐𝑖+1 𝑏𝑖𝑟

20. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• En cada iteración la magnitud del error se reduce en no
mas de la mitad respecto del error en la iteración anterior:
𝐸𝑖+1 ≤
1
2
𝐸𝑖 . Esta es una relación lineal. Con la notación
𝑂( )se puede escribir: 𝐸𝑖+1 = 𝑂(𝐸𝑖). Entonces, el método
de la Bisección tiene convergencia lineal o de primer
orden.

21. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Calcular una raíz 𝑟 real de la ecuación 𝑓 𝑥 = 0. 𝑓es
continua en un intervalo 𝑎, 𝑏 tal que 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏) tiene
signos diferentes.
• Para instrumentar el algoritmo de este método se
escribirá una función en MATLAB. El nombre será
bisección. Recibirá como parámetros 𝑓, 𝑎 , 𝑏 y entregara 𝑐
como aproximación a la raíz.

22. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Criterio para salir: Terminar cuando la longitud del
intervalo sea menor que un valor pequeño 𝑒 especificado
como otro parámetro para la función. Entonces el último
valor 𝑐 estará aproximadamente a una distancia 𝑒 de la
raíz.

24. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Ejemplo 2: Desde la ventana de comandos de MATLAB,
use la función bisección para calcular una raíz real de la
ecuación 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝜋 = 0. Suponer que se desea que
el error sea menor que 0.0001.

26. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Otro código para correr el ejemplo 2

28. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Ejemplo 3: Encontrar las intersecciones en el primer
cuadrante de los gráficos de las funciones:
• 𝑓 = 4 + cos 𝑥 + 1 , 𝑔 𝑥 = 𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)

29. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Primero se grafican las funciones para visualizar las
intersecciones

31. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Las intersecciones son las raíces de la ecuación
• ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0
• El calculo de las raíces se realiza con el método de la
bisección con un error menor a 0.0001