Clase 5a problemas complementarios AC

1. Clase 6
17-Octubre-2014

2.  El método de análisis de mallas simplemente elimina la necesidad de sustituir
los resultados de la ley de corriente de Kirchhoff en las ecuaciones derivadas
a partir de la ley de voltaje de Kirchhoff. Esto se cumple ahora en la escritura
inicial de las ecuaciones. El enfoque sistemático descrito a continuación
deberá seguirse al aplicar este método.

3.  1.- Asigne una corriente diferente en el sentido de las manecillas del reloj a
cada lazo cerrado e independiente de la red. No es absolutamente necesario
elegir el sentido de las manecillas del reloj para cada corriente de lazo. De
hecho es posible elegir cualquier orientación para cada corriente de lazo sin
perdida de precisión; siempre y cuando los pasos restantes se sigan de forma
adecuada. Sin embargo al elegir el sentido de las manecillas del reloj como un
estándar, es posible desarrollar un método abreviado para escribir las
ecuaciones requeridas que ahorrar el tiempo y posiblemente contribuirá a
evitar algunos errores.

4.  2.- Indique las polaridades dentro de cada lazo para cada resistor según lo
determine la dirección asumida para la corriente de lazo en ese lazo. Advierta
el requisito de que las polaridades se coloquen dentro de cada lazo.
 3.- Aplíquela ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de cada lazo cerrado en el
sentido de las manecillas del reloj para establecer uniformidad y como
preparación para el método que se esta trabajando ahora.

5.  3a.- Si un resistor cuenta con dos o mas corrientes asumidas a través de el la
corriente total por el será la corriente asumida del lazo en el que se este
aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff, mas las corrientes asumidas de los
otros lazos que lo cruzan en la misma dirección, menos las corrientes
asumidas que van en dirección opuesta.
 3b.- La polaridad de la fuente de voltaje no se ve afectada por la dirección
asignada a las corrientes de lazo.

6.  4.- Resuelva las ecuaciones lineales simultaneas resultantes para las
corrientes de lazo asumidas.

7.  Problema 1
 Encuentre la corriente a través de cada rama de la red de la siguiente figura:

8.  Solución
 Paso 1
 Las polaridades de las corrientes ya están asignadas, así como las caídas de tensión en cada
elemento.
 Paso 2
 La ley de voltaje de Kirchhoff se aplica alrededor de cada lazo cerrado en el sentido de las
manecillas del reloj.
 Lazo 1 : +퐸1 − 푉1 − 푉2 − 퐸2 = 0 (en el sentido de las manecillas del reloj comenzando en el punto
a)
 +5푉 − 1Ω 퐼1 − 6Ω
퐼1 − 퐼2
퐼2 푓푙푢푦푒 푎 푡푟푎푣푒푠 푑푒푙 푟푒푠푖푠푡표푟 푑푒 6Ω
푒푛 푑푖푟푒푐푐푖ó푛 표푝푢푒푠푡푎 푎 퐼1
− 10푉 = 0

9.  Solución
 Lazo 2 : 퐸2 − 푉2 − 푉3 = 0 (en el sentido de las manecillas del reloj comenzando en el punto b)
 +10푉 − 6Ω 퐼2 − 퐼1 − 2Ω 퐼2 = 0
 Las ecuaciones se vuelven a escribir como:

5 − 퐼1 − 6퐼1 + 6퐼2 − 10 = 0
10 − 6퐼2 + 6퐼1 − 2퐼2 = 0
−7퐼1 + 6퐼2 = 5
+6퐼1 − 8퐼2 = −10

10. Solución
Paso 4
 퐼1 =
5 6
−10 −8
−7 6
6 −8
=
−40+60
56−36
=
20
20
= 1퐴
 퐼2 =
−7 5
6 −10
−7 6
6 −8
=
70−30
56−36
=
40
20
= 2퐴

11. Solución
 Debido a que 퐼1 푒 퐼2 son positivas y fluyen en direcciones opuestas
a través del resistor de 6Ω y la fuente de 10V, la corriente total en
esta rama es igual a la diferencia de las dos corrientes en la
dirección de la mas grande.
 퐼2 > 퐼1 2퐴 > 1퐴

12. Solución
Por tanto
 퐼푅2 = 퐼2 − 퐼1 = 2퐴 − 1퐴 = 1퐴 푒푛 푙푎 푑푖푟푒푐푐푖표푛 푑푒 퐼2

13.  Problema 2
 Encuentre la corriente a través de cada rama de la red de la siguiente figura:

14.  Solución
 Las polaridades ya esta indicadas .
 Paso 1 La ley de voltaje de Kirchhoff se aplica alrededor de cada lazo cerrado
 Lazo 1:
 −퐸1 − 퐼1푅1 − 퐸2 − 푉2 = 0 (푒푛 푒푙 푠푒푛푡푖푑표 푑푒 푙푎푠 푚푎푛푒푐푖푙푙푎푠 푑푒푙 푟푒푙표푗 푑푒푠푑푒 푒푙 푝푢푛푡표 푎)
 −6푉 − 2Ω 퐼1 − 4푉 − 4Ω 퐼1 − 퐼2 = 0
 Lazo 2:
 −푉2 − 퐸2 − 푉3 − 퐸3 = 0 (푒푛 푒푙 푠푒푛푡푖푑표 푑푒 푙푎푠 푚푎푛푒푐푖푙푙푎푠 푑푒푙 푟푒푙표푗 푑푒푠푑푒 푒푙 푝푢푛푡표 푏)
 − 4Ω 퐼1 − 퐼2 + 4푉 − 6Ω 퐼2 − 3푉 = 0

15.  Solución
 Lo cual se puede escribir como

−10 − 4퐼1 − 2퐼1 + 4퐼2 = 0
−1 + 4퐼1 − 4퐼2 − 6퐼2 = 0
−6퐼1 + 4퐼2 = +10
+4퐼1 − 10퐼2 = −1
 O mediante la multiplicación superior por -1, se obtiene

6퐼1 − 4퐼2 = −10
4퐼1 − 10퐼2 = −1

16. Solución
Paso 2
 퐼1 =
−10 −4
−1 −10
6 −4
4 −10
=
100−4
−60+16
=
96
−44
= −2.182퐴
 퐼2 =
6 −10
4 −1
6 −4
4 −10
=
−6+40
−60+16
=
34
−44
= −0.733퐴

17.  Solución
 La corriente en el resistor de 4Ω y en la fuente de 4V para el lazo 1 es:
 퐼1 − 퐼2 = −2.182퐴 − −0.773퐴 = −2.182퐴 + 0.773퐴
 퐼1 − 퐼2 = −1.409퐴
 Mostrando que son 1.409A en dirección opuesta (debido al signo menos) a 퐼1
en el lazo 1.

18.  Solucion
 Primero se definen las corrientes de malla para la red, como se muestra en la figura A . Luego
la fuente de corriente se elimina mentalmente como se muestra en la figura B, y se aplica la
ley de voltaje de Kirchhoff a la red resultante. La trayectoria sencilla que ahora incluye los
efectos de las dos corrientes de malla se denomina trayectoria de una corriente de
supermalla.

19.  En ocasiones existirán fuentes de corriente dentro de la red a la cual se aplicara el análisis de
mallas. En tales casos es posible convertir la fuente de corriente a fuente de voltaje (si se
encuentra presente un resistor en paralelo) y continuar como antes o utilizar una corriente
de supermalla y proceder de la siguiente forma.

20.  Se empieza como antes y se asigna una corriente de malla a cada trayectoria (lazo)
independiente, incluyendo las fuentes de corriente, como si fueran resistores o fuentes de
voltaje. Luego mentalmente (se vuelve a trazar la red si es necesario) se eliminan las fuentes
de corriente (reemplazandolas con equivalentes de circuito abierto), y se aplica la ley de
voltaje de Kirchhoff a todas las trayectorias independientes restantes de la red utilizando a
las corrientes de malla que se acaban de definir.

21.  Cualquier trayectoria resultante, que incluya dos o mas corrientes de malla, se dice ser la
trayectoria de una corriente de supermalla. Luego se relacionan las corrientes de malla
elegidas de la red con las fuentes de corriente independientes de la red, y se resuelve para las
corrientes de malla.

22.  Problema 3
 Utilizando el análisis de mallas, determine las corrientes de la red de la siguiente figura

23.  Solucion
 Figura A

24.  Solucion
 Figura B

25.  Solucion
 Al aplicar la ley de Kirchhoff
 20푉 − 퐼1 6Ω − 퐼1 4Ω − 퐼2 2Ω + 12푉 = 0
 O bien
 10퐼2 + 2퐼2 = 32

26.  Solucion
 El nodo a se utiliza entonces para relacionar las corrientes de malla y la fuente de corriente
por medio de la ley de corriente de Kirchhoff
 퐼1 = 퐼 + 퐼2
 El resultado son dos ecuaciones y dos incógnitas

10퐼2 + 2퐼2 = 32
퐼1 − 퐼2 = 4

27.  Solucion
 Al aplicar los determinantes
 퐼1 =
32 2
4 −1
10 2
1 −1
=
32 −1 − 2 4
10 −1 − 2 1
=
40
12
= 3.33퐴
E 퐼2 = 퐼1 − 퐼 = 3.33퐴 − 4퐴 = −0.67퐴

28. Solucion
En el análisis anterior, podría parecer que 퐼1 = 퐼2 cuando la fuente
de corriente fue eliminada. Sin embargo, el método de supermalla
requiere que se siga la definición original de cada corriente de
malla y no se alteren esas definiciones cuando se elimina las
fuentes de corriente.

29.  Problema 4
 Utilizando el análisis de mallas, determine las corrientes de la red de la siguiente figura

30.  Solucion
 Las corrientes de malla se definen en la figura A. Las fuentes de corriente se eliminan, y la
trayectoria simple de supermalla se define en la figura B.

31.  Solucion
 Las corrientes de malla se definen en la figura A. Las fuentes de corriente se eliminan, y la
trayectoria simple de supermalla se define en la figura B.

32.  Solucion Figura A

33.  Solucion Figura B

34.  Solucion
 Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de la trayectoria de la supermalla:
 −푉2Ω − 푉6Ω − 푉8Ω = 0
 − 퐼2 − 퐼1 2Ω − 퐼2 6Ω − 퐼2 − 퐼3 8Ω = 0
 −2퐼2 + 2퐼1 − 6퐼2 − 8퐼2 + 8퐼3 = 0
 2퐼1 − 16퐼2 + 8퐼3 = 0

35.  Solucion
 Al introducir la relación entre las corrientes de malla y las fuentes de corriente:
 퐼1 = 6퐴
 퐼3 = 8퐴
 Da por resultado las siguientes soluciones
 2퐼1 − 16퐼2 + 8퐼3 = 0
 2 6퐴 − 16퐼2 + 8 8퐴 = 0

36. Solucion
E 퐼2 =
76퐴
16
= 4.75퐴
 Entonces:
 퐼2Ω ↓= 퐼1 − 퐼2 = 6퐴 − 4.75퐴 = 1.25퐴
 퐼8Ω ↓= 퐼3 − 퐼2 = 8퐴 − 4.75퐴 = 3.25퐴

37. Solucion
Nuevamente, observe que debe seguir con las definiciones
originales de las distintas corrientes de malla al aplicar la ley de
voltaje de Kirchhoff alrededor de las trayectorias de supermalla
resultantes.