Este documento describe las ondas electromagnéticas y su propagación. Explica que un campo eléctrico variable con el tiempo produce un campo magnético variable y viceversa, generando ondas electromagnéticas capaces de propagarse. Estas ondas pueden viajar en medios con o sin fronteras, como el espacio libre. También resuelve las ecuaciones de Maxwell para obtener las ecuaciones de onda y analiza soluciones de ondas planas en coordenadas cartesianas.

1. Ondas Electromagnéticas
Clase 12
24-Marzo-2015

2. Ondas Electromagnéticas
 Se estableció que un campo eléctrico que varía con el tiempo 𝐸(𝑡)
produce un campo magnético que varía con el tiempo 𝐻(𝑡) y, a la
inversa, un campo magnético que varía con el tiempo produce un campo
eléctrico. Este patrón cíclico genera ondas electromagnéticas (EM)
capaces de propagarse a través del espacio libre y en medios materiales.
Cuando su propagación sigue el curso de una estructura material, como
una línea de transmisión, se dice que la onda EM viaja en un medio
guiado.

3. Ondas Electromagnéticas
 La superficie terrestre y la ionosfera constituyen límites paralelos de una
estructura natural de guía para la propagación de transmisiones de radio
de onda corta en la banda 𝐻𝐹 (3 𝑎 30 𝑀𝐻𝑧); la ionosfera es un buen
reflector a estas frecuencias, lo que permite que las ondas vayan en
zigzag entre los dos límites.

4. Ondas Electromagnéticas

5. Ondas Electromagnéticas
 Las ondas EM también pueden viajar en medios sin fronteras; las ondas
luminosas que emite el sol y las transmisiones de radio emitidas por antenas
son ejemplos típicos

6. Ondas Electromagnéticas
 La atención se enfocará en la propagación de ondas en un medio sin
fronteras. Se considerarán tanto medios con pérdidas como sin ellas. La
propagación de ondas en un medio sin pérdidas (dieléctrico perfecto,
como el aire) es similar a aquella a través de una línea de transmisión sin
pérdidas. En un medio con pérdidas caracterizado por una conductividad
diferente de cero, como el agua, una parte de la potencia transportada
por la onda electromagnética se convierte en calor, exactamente como
lo que le sucede a una onda que se propaga a través de una línea de
transmisión con pérdidas.

7. Ondas Electromagnéticas
 Cuando una fuente (como una antena) emite energía, ésta se expande
hacia fuera de la fuente en la forma de ondas esféricas, como se ilustra en
la figura.
 Aun cuando la antena puede irradiar más energía a lo largo de algunas
direcciones que a lo largo de otras, las ondas esféricas viajan con la misma
rapidez en todas las direcciones y, por lo tanto, se expanden a la misma
tasa

8. Ondas Electromagnéticas
Ondas irradiadas por una fuente EM, como una
bombilla de luz o una antena, tienen frentes de
onda esféricos

9. Ondas Electromagnéticas
 Para un observador alejado de la fuente, el frente de las ondas esféricas
aparece aproximadamente plano, como si fuera una parte de una onda
plana uniforme con propiedades uniformes en todos los puntos del plano
tangente al frente de ondas. La propagación de ondas planas puede
describirse mediante coordenadas cartesianas con las que es más fácil
trabajar matemáticamente que con las coordenadas esféricas requeridas
para describir la propagación de una onda esférica

10. Ondas Electromagnéticas
Sin embargo, para un observador distante, el frente
de onda que atraviesa la abertura del observador
parece aproximadamente plano

11. Ondas Electromagnéticas
 Campos armónicos
 En el caso de variación con el tiempo, los campos eléctricos y magnéticos
E, D, B y H, y sus fuentes, la densidad de carga 𝜌 𝑣 y la densidad de
corriente 𝐽, son (cada uno y en general) una función de las coordenadas
espaciales (𝑥, 𝑦, 𝑧) y la variable de tiempo 𝑡.
 Si su variación con el tiempo es una función sinusoidal con frecuencia
angular 𝜔, cada una de estas cantidades se representa por un fasor
independiente del tiempo que depende sólo de (𝑥, 𝑦, 𝑧).

12. Ondas Electromagnéticas
 Por lo tanto, el fasor vectorial 𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧 correspondiente al campo
instantáneo 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧; 𝑡) se define de acuerdo con
 𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧: 𝑡 = 𝑅𝑒 𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒 𝑗𝜔𝑡
 Y definiciones similares son aplicables a los demás campos y a 𝜌 𝑉 y 𝐽. Para
un medio lineal, isotrópico y homogéneo caracterizado por la permitividad
eléctrica𝜀, permeabilidad magnética 𝜇 y conductividad 𝜎, se recuerda
que la diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a multiplicar
por 𝑗𝜔 en el dominio fasorial.

13. Ondas Electromagnéticas
 Como la mayoría de las regiones de interés son libres de carga, se supone
que 𝜌 = 0. Por otro lado, hay que suponer, materiales lineales isotrópicos de
tal manera que 𝐷 = 𝜖𝐸, 𝐵 = 𝜇𝐻 𝑦 𝐽 𝐶 = 𝜎𝐸.
 Isotrópico quiere decir que no depende de la elección de los ejes. no
importa para que lado estés midiendo cierta propiedad o magnitud física
siempre va a medir lo mismo.
 Un ejemplo sencillo, se asume al espacio isotrópico, es decir, medir un
metro hacia arriba, es lo mismo que medirlo de lado, diagonal, etc. Un
ejemplo en donde no se cumple la isotropía, si tu tienes un material, y es
mas difícil estirarlo de izquierda a derecha que de arriba abajo, pues se
dice que dicha propiedad de estirarlo (rigidez) es anisotropía.

14. Ondas Electromagnéticas
 En electromagnetismo algunas de las propiedades que puedes medir son:
conductividad, susceptibilidad magnética, susceptibilidad eléctrica,
resistividad, etc. Si esas propiedades no dependen de la dirección (u
orientación de los ejes) se dice que el cuerpo es isotrópico.
 Por ejemplo si tu cuerpo tiene igual valor de conductividad cuando la
corriente lo atraviesa de arriba a abajo, que de izquierda a derecha (y en
general de todas las posibles direcciones) se dice que ese es un cuerpo
isotrópico con respecto a la conductividad.

15. Ecuaciones de Onda
 Con base en los principios anteriores y suponiendo que tanto 𝐸 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐻 son
dependientes del tiempo 𝑒 𝑗𝜔𝑡
, las ecuaciones de Maxwell se transforman
en:
 Ahora aplicamos la identidad vectorial
𝛻 × 𝐻 = 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 𝐸 1
𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇𝐻 2
𝛻 ∙ 𝐸 = 0 3
𝛻 ∙ 𝐻 = 0 (4)
𝛻 × 𝛻 × 𝐴 ≡ 𝛻 𝛻 ∙ 𝐴 − 𝛻2
𝐴

16. Ecuaciones de Onda
 Donde, tan solo en coordenadas cartesianas
 Tomando el rotacional de (1) y (2), y utilizando (3) y (4)
 Ahora sustituyendo 𝛻 × 𝐸 𝑦 𝛻 × 𝐻 de (2) y (1), se obtienen las ecuaciones
vectoriales
𝛻2
𝐴 = 𝛻2
𝐴 𝑥 𝑎 𝑥 + 𝛻2
𝐴 𝑦 𝑎 𝑦+ 𝛻2
𝐴 𝑧 𝑎 𝑧
𝛻2 𝐻 = 𝛾2 𝐻 𝛻2 𝐸 = 𝛾2 𝐸
−𝛻2
𝐻 = 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 𝛻 × 𝐸
−𝛻2
𝐸 = −𝑗𝜔𝜇 𝛻 × 𝐻

17. Ecuaciones de Onda
 Donde 𝛾2
= 𝑗𝜔𝜇 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 . La constante de propagación, 𝛾 , es la raíz
cuadrada de 𝛾2 cuyas partes real e imaginaria son positivas:
 con
γ = 𝛼 + 𝑗𝐵
𝛼 = 𝜔
𝜇𝜖
2
1 +
𝜎
𝜔𝜖
2
− 1
𝛽 = 𝜔
𝜇𝜖
2
1 +
𝜎
𝜔𝜖
2
+ 1

18. Ecuaciones de Onda
 La constante 𝛼 se llama factor de atenuación y 𝛽 se llama constante de
crecimiento de fase. 𝛾 (Gamma) tiene unidades 𝑚−1
, sin embargo, es
costumbre dar 𝛼 𝑦 𝛽 𝑒𝑛
𝑁𝑝
𝑚
𝑦
𝑟𝑎𝑑
𝑚
, respectivamente, donde el neper (Np) es
una unidad adimensional como el radián.

19. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 La familiar ecuación escalar de onda en una dimensión
 Tiene soluciones de la forma 𝐹 = 𝑓 𝑧 − 𝑈𝑡 𝑦 𝐹 = 𝑔 𝑧 + 𝑈𝑡 , donde 𝑓 𝑦 𝑔 son
funciones arbitrarias. Estas representan ondas que viajan con velocidad 𝑈
en las direcciones +𝑧 𝑦 − 𝑧, respectivamente, de acuerdo a la siguiente
figura.
𝜕2
𝐹
𝜕𝑧2
=
1
𝑈2
𝜕2
𝐹
𝜕𝑡2

20. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
𝑓 𝑧 𝑜
𝑈𝑡1
𝑓 𝑧1 − 𝑈1 𝑡1
𝑡 = 𝑡1𝑡 = 0

21. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 En particular, si se supone una variación armónica de tiempo 𝑒 𝑗𝜔𝑡 , la
ecuación de onda se convierte en
 Con soluciones (incluyendo el factor temporal) de la forma
 O en las partes real o imaginaria de estas.
𝜕2
𝐹
𝜕𝑧2
= −𝛽2 𝐹 𝛽 =
𝜔
𝑈
𝐹 = 𝐶𝑒 𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧 𝐹 = 𝐷𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧

22. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
𝐶
𝑡 = 0
𝑡 =
𝜋
2𝜔
𝑑
𝐹
𝑧
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2

23. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 La figura 2 muestra una de estas soluciones, 𝐹 = 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 , 𝑒𝑛 𝑡 = 0 𝑦 𝑒𝑛 𝑡 =
𝜋
2𝜔
;
durante este intervalo de tiempo la onda se ha movido una distancia 𝑑 =
𝑈
𝜋
2𝜔
=
𝜋/2𝛽 a la derecha. Para cualquier 𝑡 fijo, la forma de onda se repite cuando 𝑧
cambia a 2𝜋/𝛽. La distancia
 Se llama longitud de onda. De esta manera en la figura 2, la onda avanzado
un cuarto de longitud de onda a la derecha. La longitud de onda y la
frecuencia 𝑓 = 𝜔/2𝜋, guardan entre si la relación conocida
 También, 𝜆 = 𝑇𝑈 donde 𝑇 =
1
𝑓
= 2𝜋/𝜔 es el periodo
𝜆 =
2𝜋
𝛽
𝜆𝑓 = 𝑈

24. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 Las ecuaciones vectoriales de onda tienen soluciones similares a las ya
discutidas anteriormente. Como los vectores unidad 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑦 𝑦 𝑎 𝑧 en
coordenadas cartesianas tienen direcciones fijas, la ecuación de onda
para 𝐻 puede reescribirse bajo la forma
 De especial interés son las soluciones (ondas planas) que dependen solo
de una coordenada espacial, digamos 𝑧.
𝜕2
𝐻
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝐻
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝐻
𝜕𝑧2
= 𝛾2 𝐻

25. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 La ecuación se convierte entonces en
 Dando
 Las soluciones correspondientes para el campo eléctrico son
𝑑2
𝐻
𝑑𝑧2
= 𝛾2 𝐻
𝐻 = 𝐻 𝑜 𝑒±𝑦𝑧
𝑎 𝐻 ó 𝐻 𝑧, 𝑡 = 𝐻 𝑜 𝑒±𝑦𝑧
𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑎 𝐻
𝐸 = 𝐸 𝑜 𝑒±𝑦𝑧
𝑎 𝐸 ó 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸 𝑜 𝑒±𝑦𝑧
𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑎 𝐸

26. Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
 Aquí 𝑎 𝐻 𝑦 𝑎 𝐸 son vectores unitarios. La cantidad compleja 𝛾 se definió
anteriormente
 Se demuestra que
 Es decir que ningún campo tienen componente en la dirección de
propagación.
 Siendo esto así se pueden rotar siempre los ejes para colocar uno de los
campos, digamos 𝐸 a lo largo del eje 𝑥. Entonces se demuestra que 𝐻 yace a
lo largo del eje 𝑦.
 La solución de onda plana que se acaba de obtener depende, vía 𝛾, de las
propiedades del medio 𝜇, 𝜖 𝑦 𝜎
𝑎 𝐻 ∙ 𝑎 𝑧 = 𝑎 𝐸 ∙ 𝑎 𝑧 = 0

27. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 Para una región de poca conductividad (ej.: suelo húmedo, agua de
mar), la solución de la ecuación de onda E es
 La razón 𝐸/𝐻 es característica del medio (también dependen de la
frecuencia). Mas específicamente, para ondas 𝐸 = 𝐸 𝑥 𝑎 𝑥 , 𝐻 = 𝐻 𝑦 𝑎 𝑦 que se
propaga en la dirección +𝑧, la impedancia intrínseca, 𝜂, del medio se
define por:
 De esta manera
𝐸 = 𝐸 𝑜 𝑒−𝛾𝑧
𝑎 𝑥
𝜂 =
𝐸 𝑥
𝐻 𝑦
𝜂 =
𝑗𝜔𝜇
𝜎 + 𝑗𝜔𝜖

28. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 Donde la raíz cuadrada puede escribirse en forma polar 𝜂 ∠𝜃 con
 (Si la onda se propaga en la dirección −𝑧,
𝐸 𝑥
𝐻 𝑦
= −𝜂 . En efecto, 𝛾 se
reemplaza por −𝛾 y se usa la otra raíz cuadrada).
𝜂 =
𝜇/𝜖
4
1 +
𝜎
𝜔𝜖
2
𝑡𝑎𝑛2𝜃 =
𝜎
𝜔𝜖
𝑦 0 𝑜
< 𝜃 < 45 𝑜

29. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 Al introducer el factor tiempo 𝑒 𝑗𝜔𝑡
y al escribir 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 se obtiene las
siguientes ecuaciones para campos en una región parcialmente conductora:
 El factor 𝑒−𝛼𝑧 atenúa las magnitudes de 𝐸 𝑦 𝐻 cuando se propagan en
dirección +𝑧. La expresión para 𝛼,esto demuestra que existe atenuación a
menos que la conductividad 𝜎 sea cero, lo que solo es el caso de dieléctricos
perfectos o de espacio vacío.
𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸 𝑜 𝑒−𝛼𝑧
𝑒 𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧+𝜃
𝑎 𝑥 o 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸 𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎 𝑥
𝐻 𝑧, 𝑡 =
𝐸 𝑜
𝜂
𝑒−𝛼𝑧
𝑒 𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧+𝜃
𝑎 𝑦 o 𝐻 𝑧, 𝑡 =
𝐸 𝑜
𝜂
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎 𝑦

30. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 De la misma manera, la diferencia de fase temporal 𝜃, 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐸 𝑧, 𝑡 𝑦 𝐻(𝑧, 𝑡)
desaparece solo cuando 𝜎 es cero. La velocidad de propagación y la
longitud de onda están dadas por:
 Si se conoce la velocidad de propagación 𝜆𝑓 = 𝑈 puede usarse para
determinar la longitud de onda 𝜆.
𝑈 =
𝜔
𝛽
=
1
𝜇𝜖
2
1 +
𝜎
𝜔𝜖
2
+ 1
𝜆 =
2𝜋
𝛽
=
2𝜋
𝜔 1 +
𝜎
𝜔𝜖
2
+ 1

31. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 El termino 𝜎/𝜔𝜖 2
reduce tanto el valor de la velocidad como el de la
longitud de onda, de lo que serían en el espacio vacío o dieléctricos
perfectos, donde 𝜎 = 0. Obsérvese que el medio es dispersivo, es decir,
ondas con frecuencias diferentes 𝜔 tienen diferentes velocidades 𝑈.

32. Problemas
 Problema 1
 Una onda viajera está descrita por 𝑦 = 10𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑧 − 𝜔𝑡 . Dibuje en 𝑡 =
0 𝑦 𝑒𝑛 𝑡 = 𝑡1 cuando ha avanzado
𝜆
8
, si la velocidad es de 3 × 108 𝑚/𝑠 y la
frecuencia angular es 𝜔 = 106 𝑟𝑎𝑑
𝑠
, 𝑏)𝜔 = 2 × 106 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y el mismo 𝑡1

33. Problemas
 Solución Inciso a
 La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto tenemos que
 𝑡1 =
𝑇
8
=
2𝜋/𝜔
8
=
𝜋
4𝜔

𝜆
8
= 𝑐𝑡1 = 3 × 108 𝜋
4 106 = 236m
𝑡 = 0
𝑡 = 𝑡1
10
𝜔 = 106
𝑧
𝑦
𝜆/2 𝜆
236𝑚

34. Problemas
 Solución inciso b
 La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto tenemos que
 𝑡1 =
𝑇
8
=
2𝜋/𝜔
8
=
𝜋
4𝜔

𝜆
8
= 𝑐𝑡1 = 3 × 108 𝜋
4 2×106 = 118m
𝑡 = 0
𝑡 = 𝑡1
10
𝜔 = 2 × 106
𝑧
𝑦
𝜆/2 𝜆
118𝑚

35. Soluciones para dieléctricos perfectos
 Para un dieléctrico perfecto, 𝜎 = 0 y así
 Como ∝= 0 no hay atenuación de las ondas 𝐸 𝑦 𝐻. El angula cero sobre 𝜂
produce un 𝐻 que esta en fase temporal con 𝐸 en cada localización fija.
Suponiendo 𝐸 en 𝑎 𝑥 y la propagación en 𝑎 𝑧, las ecuaciones de campo
pueden obtenerse como limites, como se denota a continuación:
𝛼 = 0 𝛽 = 𝜔 𝜇𝜖 𝜂 =
𝜇
𝜖
∠00
𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸 𝑜 𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝛽𝑧) 𝑎 𝑥
𝐻 𝑧, 𝑡 =
𝐸 𝑜
𝜂
𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝛽𝑧)
𝑎 𝑦

36. Soluciones para dieléctricos perfectos
 La velocidad de la onda y la longitud de la onda son:
 Para espacio vacío
𝑈 =
𝜔
𝛽
= 4𝜋 × 10−7
𝐻
𝑚
𝜖 = 𝜖 𝑜 = 8.854 ×
10−12
𝐹
𝑚
≈
10−9
36𝜋
𝐹/𝑚
𝜂 = 𝜂 𝑜 ≈ 120𝜋 Ω 𝑦 𝑈 = 𝑐 ≈ 3 × 108 𝑚/𝑠

37. Problemas
 Problema 2
 En el espacio vacío, 𝐸 𝑧, 𝑡 = 103 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦 (𝑉/𝑚). Obtenga 𝐻(𝑧, 𝑡)

38. Problemas
 Solución
 Un examen de la fase, 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧, revela que la dirección de la propagación
es +𝑧, 𝐻 debe tener dirección −𝑎 𝑥. Por tanto
𝐸 𝑦
−𝐻𝑧
= 𝜂 𝑜 = 120𝜋 Ω ó 𝐻 𝑥 = −
103
120𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 𝐴/𝑚
𝑦 𝐻𝑧 𝑧, 𝑡 = −
103
120𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 𝐴/𝑚

39. Problemas
 Problema 3
 Sea la onda, en el espacio vacío, 𝐸 𝑧, 𝑡 = 103 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦 (𝑉/𝑚) .
Determine la constante de propagación 𝛾 sabiendo que la frecuencia es
que la frecuencia es 𝑓 = 95.5𝑀ℎ𝑧

40. Problemas
 Solucion
 En general, 𝛾 = 𝑗𝜔𝜇 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 En el espacio vacío, 𝜎 = 0, así que:
 𝛾 = 𝑗𝜔 𝜇0 𝜖0 = 𝑗 2𝜋𝑓/𝑐 = 𝑗
2𝜋 95.5×106
3×108 = −𝑗2𝑚−1
 Obsérvese que este resultado demuestra que el factor de atenuación es
𝛼 = 0 y la constante de defasaje es 𝛽 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑚

41. Problemas
 Problema 4
 El campo eléctrico de una onda plana de 1MHz que viaja en la dirección
+ 𝑧 en aire apunta en la dirección 𝑥. Si el valor pico de 𝐸 es de 1.2𝜋
𝑚𝑉
𝑚
y
𝐸 es máximo cuando 𝑡 = 0 𝑦 𝑧 = 50𝑚 , obtenga expresiones para
𝐸 𝑧, 𝑡 𝑦 𝐻 𝑧, 𝑡 y luego trace una grafica de estas variaciones en función
de 𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0.

42. Problemas
 Solución
 Con 𝑓 = 1𝑀𝐻𝑧, la longitud de onda en el aire es:
 𝜆 =
𝑐
𝑓
=
3×108
1×106 = 300 𝑚
 Y el numero de onda correspondiente es 𝛽 =
2𝜋
𝜆
=
2𝜋
300
𝑟𝑎𝑑/𝑚. La expresión
general para un campo eléctrico dirigido hacia 𝑥 que viaja en la dirección
de +𝑧 aparece en la ecuación como
 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸 𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎 𝑥 ⇒ 𝐸 𝑧, 𝑡 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106 𝑡 −
2𝜋
300
𝑧 + 𝜃 𝑎 𝑥
𝑚𝑉
𝑚
 El campo 𝐸 𝑧, 𝑡 es máximo cuando el argumento de la función coseno es
igual a cero o a múltiplos de 2𝜋. Con 𝑡 = 0 𝑦 𝑧 = 50𝑚, esta condición es

43. Problemas
 Solución
 −
2𝜋×50
300
+ 𝜃 = 0 𝑜 𝜃 =
𝜋
3
 𝐸 𝑧, 𝑡 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106 𝑡 −
2𝜋
300
𝑧 +
𝜋
3
𝑎 𝑥
𝑚𝑉
𝑚
 Y de acuerdo con
 𝐻 𝑧, 𝑡 =
𝐸 𝑜
𝜂
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎 𝑦 ⟹
 𝐻 𝑧, 𝑡 =
1.2𝜋×10−3
120𝜋
𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106
𝑡 −
2𝜋𝑧
300
−
𝜋
3
𝑎 𝑦 𝜇𝐴/𝑚
 𝐻 𝑧, 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106
𝑡 −
2𝜋𝑧
300
−
𝜋
3
𝑎 𝑦 𝜇𝐴/𝑚
 Donde se utilizo la aproximación 𝜂 𝑜 ≈ 120𝜋 Ω 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0 tenemos que

44. Problemas
 Solución
 𝐸 𝑧, 0 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑧
300
−
𝜋
3
𝑎 𝑥 𝑚𝑉/𝑚
 𝐻 𝑧, 0 = 10𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑧
300
−
𝜋
3
𝑎 𝑦 𝑚𝑉/𝑚
Variaciones espaciales de
𝐸 𝑦 𝐻 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0 para la onda
Plana del ejemplo