ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia 
Cursos de Engenharia 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Professor: Álvaro Ferna...
Índice 
Limite e continuidade................................................................................................
Limite e continuidade 
Noção intuitiva de limite 
Considere a função f ( x) = x2 − 1. Esta função está definida para todo ...
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta 
função quando x está muito ...
Observação: 
Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais. 
∗ Quando x tende...
Cálculo de uma indeterminação do tipo 
0 
0 
Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo 
0 , deveremos simpl...
Exemplo 3. Determine 
lim x − 
1 x 1 2 − 
x 1 
→ 
(observe a indeterminação matemática 
0 no ponto x = 1 ). 
0 
( ) 
1 
li...
 
 Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites. 
Produtos notáveis: 
1º) Quadrado da soma:...
Exemplo 6. Calcule 
2 
lim x − 
7 
2x 4 
x → 
1 + 
usando as propriedades. 
2 
lim x − 
7 
( ) 
( ) ( ) − 
= 
6 
1 
6 
2 
...
Continuidade 
Definição: Seja 0 x um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no ponto 
0 x se: 
lim f (...
b) Calculando o limite, temos: 
( )( ) ( 1 − x )( 1 + x )( x + 
) lim 1 
lim (1 x)( x 1) 4 
x 1 
x + 
1 
x 1 
− lim 1 x 1 ...
Limites infinitos 
Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim 
infinito ( + ∞ ...
Regra (generalização) 
Se na substituição do valor de x no cálculo de um limite ocorrer 
k 
, k 
≠ 0 , então diremos que a...
  
As tabelas abaixo apresentam situações de operações com infinito que usaremos com freqüencia. 
Produto: 
 
( ) ( ) 
...
Expressões indeterminadas 
Vimos que 
0 é uma expressão de indeterminação matemática. Também são: 
0 
∞ ∞ e . 
, ∞ − ∞, 0 ...
Atividades (grupo 7). 
1. Calcule os limites abaixo: 
a) 
3 
lim 2x − 
1 3 
5x x 1 
x →+∞ 
+ + 
. 
b) 
5 2 
lim x + 
3x 
2...
Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo 0 × ∞, mas não podemos 
afirmar, a priori, o valor del...
Tabela 
x 
f  
( x ) 
1 1  
x 
x 
=  + 
 
100 2,7048.. 
1000 2,7169.. 
100.000 2,7182.. 
# # 
x → + ∞ f(x) → e 
Faça...
Conseqüências importantes do limite fundamental exponencial: 
i) lim (1 x)1 x e 
x 0 
+ = 
→ 
x 
lim a − 
1 
. ii) ln(a), ...
Visualizando o gráfico da função ( ) ( ) 
f x = sen x , podemos perceber também este resultado... 
x 
Exemplo 17. Calcule ...
Funções limitadas 
Definição: Uma função y = f (x) é chamada limitada, se existe uma constante k ∈ℜ* , tal que 
f (x) ≤ k ...
b) Calcule ( ) 
lim cos x 
x→+∞ 
x 
. 
Solução: de forma análoga... 
( ) = 
lim cos x 
x 
→+∞ x 
lim 1 
x 
⋅ cos(x) = 
0 
...
1. Problema da área sob o arco da parábola y = x 2 no intervalo [0, 1] (Figura 1). 
Método dos retângulos. 
Figura 1. 
Div...
( )( ) ( )( ) 
1 + + 
n n 1 2n 1 
n n 1 2n 1 
n 
 
= . 
=  
 + + 
2 6n3 
6n 
 
Obs.: A soma 12 + 22 + 32 + ... + n2 ...
Derivada 
A reta tangente. 
Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto...
Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu 
domínio. 
Seja y = f (x) uma curva ...
Definição: Seja y = f (x) uma curva e ( ) o o P x , y um ponto sobre o seu gráfico. O coeficiente 
angular m da reta tange...
Equação da reta normal 
Definição: Seja y = f (x) uma curva e ( ) o o P x , y um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal ...
Outras notações para a derivada da função y = f (x) num ponto x qualquer: 
• y' (x) (lê-se: y linha de x ou derivada de y ...
Definição: Seja y = f (x) uma função e o x um ponto do seu domínio. A derivada à esquerda de f 
em o x , denotada por ( ) ...
Regras de derivação 
Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer 
...
3. Derivada do produto de uma constante por uma função. 
Se f (x) é uma função derivável e c é uma constante real, então a...
Atividades (grupo 19). 
1. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo: 
a) f (x) = x−2 + 3x + ...
b) y = 5x + 3 
   
y u 
= 
u = 5x + 
3 
5 5 
y´ x y´ u u´ x y´ x 1 
Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
y´ x 5 
= ⋅ ⇒ = ⋅ = . Lo...
Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funções abaixo: 
a) y = (2 − x3 )6 . b) y (x4 2) 3 − = − . c) y = 2x − 3 . 
...
Atividades (grupo 21). 
1. Seja y = f (x) = 5x − 3. Calcule a derivada (f −1 ) ´(2) usando a regra da derivada da inversa....
2. Derivada da função logarítmica. 
f´ x = 1 . 
Proposição: Se f (x) log (x), (a 0 e a 1) a = > ≠ , então ( ) ( ) x ln a 
...
a) y = sen(x). Aplicando a definição... 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 
lim sen x cos Δ x + sen Δ x cos x − 
sen x 
y´ lim...
b) y = cos3 (x) 
Usando a regra da cadeia, obtemos: 
3 
y u 2 2 
( ) 
y´(x) y´(u) u´(x) 3u [ sen(x)] 3 sen(x)cos (x) 
  ...
4. Derivada das funções trigonométricas inversas 
Proposição: 
y´ 1 
= . 
a) y = arcsen(x) ⇒ 1 − 
x2 
y´ − 
1 
= . 
b) y =...
 
y arccos 1  
> =  . Usando o 
e) Seja y = arc sec(x). Podemos reescrever esta expressão como , x 1 
x 
 
item (b) ...
Tabela de derivadas 
Vamos fazer um resumo das derivadas das principais funções vistas até aqui. Nesta 
tabela u é uma fun...
Derivadas sucessivas 
Em algumas aplicações precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma 
função y = f (x) for de...
b) Se f (x) = e2 x , então: 
f´(x) = 2e2 x 
f´´(x) = 4e2 x 
f´´´(x) = 8e2 x 
f (4) (x) = 16e2 x 
... 
f (n) (x) = 2n e2 x ...
Derivada na forma implícita 
Até agora sabemos derivar funções que são expressas na forma y = f (x). Agora iremos 
determi...
Às vezes o processo para explicitar a variável y é bastante longo e trabalhoso, como é o caso da 
expressão 
x3 + y3 − 3xy...
Poderíamos obter a derivada y´ derivando diretamente 
y x − 
1 2 + 
= . Vejamos: 
x 2 
( )( ) ( )( ) 
2 2 
2 2x x 
x 2 2x ...
b) x2 + y2 − 1 = 0 . 
d ( 2 + 2 − ) = ( ) ⇒ + ( y 2 ) + 0 = 0 ⇒ 2x + 2yy´ = 0 ⇒ y´ = − 
x 
. 
y 
0 2x d 
dx 
x y 1 d 
dx 
...
Atividades (grupo 27). 
1. Determine a derivada y' das curvas dadas implicitamente por: 
a) x2 + y2 = 4 b) xy 2 + 2y3 = x ...
Derivada de uma função na forma paramétrica 
Função na forma paramétrica 
Sejam 
 x = 
 x ( t 
) 
y = 
y ( t 
 
) funçõ...
x2 + y 2 = [2 cos(t)]2 + [2 sen(t)]2 = 4 cos 2 (t) + 4 sen2 (t) = 4(cos 2 (t) + sen2 (t))= 4 . 
Observe neste caso que a f...
Exemplo 36. 
a) Calcule a derivada y´(x) da função y = y(x) definida na forma paramétrica por 
, ∈ℜ 
. 
   
x = 3t − 
5...
Gráfico: 
Atividades (grupo 28). 
1. Calcule a derivada y´(x) das funções definidas parametricamente nos pontos indicados....
Diferencial 
Até agora 
dy tem sido visto apenas como uma simples notação para a derivada de uma função 
dx 
dy = = . O qu...
Como Δy = f (x + dx) − f (x) e dy = f´(x)⋅ dx , obtemos que 
f (x + dx) − f (x) ≈ f´(x)⋅ dx , ou seja, f (x + dx) ≈ f´(x)⋅...
Aplicações da derivada 
A regra de L’Hospital 
Esta regra permite calcular certos tipos de limites (cujas indeterminações ...
b) 
4 
lim x + x − 
2 2 
x 1 
x → 
1 − 
. (verifique a indeterminação do tipo 
0 ) 
0 
5 
2 
3 
lim 4x + 
1 
2x 
4 
lim x ...
Interpretação cinemática da derivada 
Vamos agora interpretar a derivada do ponto de vista da cinemática, que estuda o mov...
Exemplo 39. 
a) Suponha que um corpo em movimento retilíneo tenha função horária definida por s(t) = 12t − 2t 2 
e no inst...
Atividades (grupo 31). 
1. Do solo um projétil é disparado verticalmente para cima. Sua altura (em metros) é dada em 
funç...
Taxa de variação 
Vimos na seção anterior que se s = s(t) é a função horária do movimento retilíneo de um corpo, a 
veloci...
Diretrizes para resolver problemas de taxa de variação 
1. Desenhe uma figura para auxiliar a interpretação do problema; 
...
269 apostila alvaro_lim_deriv
269 apostila alvaro_lim_deriv
269 apostila alvaro_lim_deriv
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  1. 1. ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia Cursos de Engenharia Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Álvaro Fernandes Serafim  ln lim 1 a    + Apostila de limites e derivadas “Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta” George Polya Última atualização: 26/10/2007 25 x ax x =       →+∞ . Qual o valor de a ?
  2. 2. Índice Limite e continuidade............................................................................................................. 3 Noção intuitiva de limite........................................................................................................... 3 Tabelas de aproximações........................................................................................................... 4 Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/0.............................................................................. 6 Fórmulas de simplificações e propriedades dos limites............................................................ 8 Continuidade............................................................................................................................. 10 Limites infinitos........................................................................................................................ 12 Limites no infinito..................................................................................................................... 13 Expressões indeterminadas....................................................................................................... 15 Limite fundamental exponencial............................................................................................... 17 Limite fundamental trigonométrico.......................................................................................... 19 Funções limitadas..................................................................................................................... 21 Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola..................................................... 23 Aplicação 2: Problema do circuito RL em série...................................................................... 24 Derivada................................................................................................................................... 25 A reta tangente.......................................................................................................................... 25 A reta normal............................................................................................................................ 28 A derivada de uma função num ponto...................................................................................... 28 Derivadas laterais..................................................................................................................... 29 Regras de derivação.................................................................................................................. 31 Derivada da função composta (Regra da cadeia)...................................................................... 33 Derivada da função inversa....................................................................................................... 35 Derivada das funções elementares............................................................................................ 36 Derivada da função exponencial............................................................................................... 36 Derivada da função logarítmica................................................................................................. 37 Derivada das funções trigonométricas...................................................................................... 37 Derivada das funções trigonométricas inversas........................................................................ 40 Tabela de derivadas.................................................................................................................. 42 Derivadas sucessivas................................................................................................................ 43 Derivada na forma implícita..................................................................................................... 45 Derivada de uma função na forma paramétrica........................................................................ 50 Diferencial................................................................................................................................ 54 Aplicações da derivada........................................................................................................... 56 A regra de L’Hospital............................................................................................................... 56 Interpretação cinemática da derivada....................................................................................... 58 Taxa de variação....................................................................................................................... 61 Análise gráfica das funções...................................................................................................... 64 Máximos e mínimos........................................................................................................... 64 Funções crescentes e decrescentes..................................................................................... 67 Critérios para determinar os extremos de uma função........................................................ 68 Concavidade e inflexão....................................................................................................... 70 Assíntotas horizontais e verticais........................................................................................ 72 Esboço gráfico..................................................................................................................... 75 Problemas de otimização......................................................................................................... 80 Álvaro Fernandes 2
  3. 3. Limite e continuidade Noção intuitiva de limite Considere a função f ( x) = x2 − 1. Esta função está definida para todo x ∈ℜ, isto é, qualquer que seja o número real o x , o valor ( ) o f x está bem definido. Exemplo 1. Se x 2 o = então f (x ) f (2) 22 1 3 o = = − = . Dizemos que a imagem de x 2 o = é o valor f (2) = 3 . Graficamente: Considere agora uma outra função g( x) 2 1 1 x x = − − . Esta função está definida ∀x ∈ℜ− {1} . Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. 0 2 g 1 1 − 1 ( ) ??? 0 1 1 = − = Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a. a = c ⇔ bc = a . Por exemplo, 2 3 2 6 b 6 = ⇔ ⋅ = . 3 0 = ⇔ ⋅ = , para qualquer valor de x∈ℜ, isto é, infinitos valores de x . Daí a Se fizermos x 0 x 0 0 indeterminação no valor de x... 0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas 0 serão tratados mais adiante. Álvaro Fernandes 3
  4. 4. Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte pergunta: Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos (ou numa vizinhança) de 1, porém diferentes de 1? A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer valor atribuído a x determina imagem única, sem problema algum. Mas na função g, existe o ponto x = 1 que gera a indeterminação. Estudemos os valores da função g( x) 2 1 1 x x = − − quando x assume valores próximos de 1, mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar as tabelas de aproximações. Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1: • por valores de x pela direita: • por valores de x pela esquerda: Tabelas de aproximações As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto. Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores (pela esquerda) do que 1: (tabela A) x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores (pela direita) do que 1: (tabela B) x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 Observe que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, convencionaremos: “O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”. Simbolicamente escrevemos: lim ( ) x g x → = 1 2 ou lim x x 2 1 1 → x − − = 1 2 . Álvaro Fernandes 4
  5. 5. Observação: Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais. ∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x→1− . Temos então que: lim g ( x ) x → − = 1 2 ou lim x x 2 1 1 → − x − − = 1 2 Obs: O sinal negativo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela esquerda. ∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x→1+ . Temos então que: lim g ( x ) x → + = 1 2 ou lim x x 2 1 1 → + x − − = 1 2 Definição intuitiva de limite (para um caso geral) Obs: O sinal positivo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela direita. Seja f uma função definida num intervalo I ⊂ ℜ contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L ∈ℜ , e escrevemos lim ( ) x a = , se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais f x L → à L, isto é, lim ( ) lim ( ) f x f x L → − → + = = . Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em x a x a símbolo lim ( ) x a f x → . Ainda com relação à função g( x) 2 1 1 x x = − − , podemos então concluir, pela definição, que: 2 2 lim x − 1 x 1 x 1 = − → , porque os limites lateriais 2 lim x − 1 x 1 x → 1 + − e 2 lim x − 1 x 1 x → 1 − − são iguais a 2. De forma equivalente, lim g ( x ) x → = 1 2 porque lim g ( x ) lim g ( x ) → − → + = = 1 1 x x 2 . Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função, caso ele exista? Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir. Álvaro Fernandes 5
  6. 6. Cálculo de uma indeterminação do tipo 0 0 Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo 0 , deveremos simplificar* a 0 expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na expressão já simplificada, o valor de x. * Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, conjugado de radical, dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc... Vejamos os exemplos seguintes. Exemplo 2. Determine lim ( ) x g x →1 , onde g( x) 2 1 1 x x = − − . g 1 = 0 que é uma indeterminação Observe que substituindo x por 1 na função g obtemos ( ) 0 matemática! Quando a variável x está cada vez mais próxima de 1, a função g está cada vez mais próxima de quanto? Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a substituição direta. ( ) ( x − 1 )( x + 1 ) ( ) (x 1), x 1 x 1 2 g x x − 1 = Então: x 1 = + ∀ ≠ − = − ( ) ( x − 1 )( x + ) lim 1 lim (x 1) 1 1 2 x 1 2 − lim g x lim x 1 x 1 = + = + = − x 1 x 1 = x 1 x 1 = − → → → → . Logo, lim x x 2 1 1 → x − − = 1 2 . Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma mais rápida e sistemática. Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!! Vale lembrar que a expressão lim x x 2 1 1 → x − − = 1 2 significa que a função g( x) 2 1 1 x x = − − está tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso: Gráfico da função g( x) 2 1 1 x x − − , 1. = x ∀ ≠ Álvaro Fernandes 6
  7. 7. Exemplo 3. Determine lim x − 1 x 1 2 − x 1 → (observe a indeterminação matemática 0 no ponto x = 1 ). 0 ( ) 1 lim x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 lim 1 lim x 1 = = − ( x 1 )( x 1 )( x 1 ) ( x 1 )( x 1 ) 4 x + 1 x 1 − lim x 1 x 1 − x 1 + + − + + = + ⋅ − = − → → → → . Se você construir as tabelas de aproximações, constatará que a função y x − 1 2 − = está cada vez x 1 mais próximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita. Exemplo 4. Determine 3 lim x − 8 2 3x 12 x → 2 − (observe a indeterminação matemática 0 no ponto x = 2 ). 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = 12 = 1 12 2 lim x + 2x + 4 3 x 2 2 lim x − 2 x + 2x + 4 3 x 2 x 2 3 3 lim x 2 = − 2 x 2 3 x 4 3 lim x 8 = − 2 x 2 3x 12 x 2 x 2 + = − + − − → → → → 3 y x − 8 2 Constate através das tabelas de aproximações que se x→2 então 1 = . 3x 12 → − Exemplo 5. Determine 3 lim 2x + 3x − 5 2 4x 3x 1 x → 1 − − (observe a indeterminação matemática 0 no ponto x = 1 ). 0 Vamos resolver este limite usando o dispositivo prático para dividir polinômios de Briot-Ruffini. Precisaremos antes do... Teorema de D’Alembert: Um polinômio f (x) é divisível por (x − a), a∈ℜ , se, e somente se, a é uma raiz de f (x), isto é, f (a) = 0 . f (x) (x − a) r(x) q(x) ⇒ f (x) = (x − a)⋅ q(x)+ r(x). Assim, f (a) = 0⇔r(a) = 0 . Como o ponto x = 1 anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis por x −1. Assim, 3 2x + 3x − 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 2 2 2 1 2 1 5 = + + ( ) 5 4 1 1 * lim 2x + 2x + 5 4x 1 x 1 = = − 2 x 1 4x − 3x − 1 → → → x 1 lim 3 lim 2x 3x 5 = + − 2 x 1 4x 3x 1 x 1 + = + − − + . (*) Usamos então o dispositivo de Briot- Ruffini para dividir estes polinômios... 1 2 0 3 -5 2 2 5 0 = resto ax2 + bx + c = 2x2 + 2x + 5 1 4 -3 -1 4 1 0 = resto ax + b = 4x + 1 Obs.: Faça uma revisão deste dispositivo num livro de matemática do ensino médio. Álvaro Fernandes 7
  8. 8.   Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites. Produtos notáveis: 1º) Quadrado da soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . 2º) Quadrado da diferença: (a −b)2 = a2 − 2ab + b2 . 3º) Produto da soma pela diferença: (a + b)(a − b) = a2 − b2 . 4º) Cubo da soma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 . 5º) Cubo da diferença: (a −b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 −b3 . Fatorações: 6º) Fator comum: ax ± ay = a(x ± y). 7º) Diferença de quadrados: a2 −b2 = (a + b)(a −b). 8º) Trinômio do 2º grau: ax2 + bx + c = a(x − x')(x − x'' ), onde x' e x'' são as raízes obtidas pela   fórmula de Bháskara   x − b ± Δ = , onde Δ = b 2 − 4ac . 2a 9º) Soma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ). 10º) Diferença de cubos: a3 −b3 = (a −b)(a2 + ab + b2 ). Conjugado de radicais: 11º) Conjugado de a − b é a + b , pois ( a − b )⋅ ( a + b )= a −b . 12º) Conjugado de 3 a − 3 b é 3 a2 + 3 ab + 3 b2 , pois (3 a − 3 b )⋅ (3 a2 + 3 ab + 3 b2 )= a −b . Proposição (unicidade do limite). Se lim f ( x ) = L x → a 1 e lim f ( x ) = L x → a 2 , então 1 2 L = L . Se o limite de uma função num ponto existe, então ele é único. Principais propriedades dos limites. Se lim f (x) x→a e lim g(x) x→a existem, e k é um número real qualquer, então: a) lim [f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) ± = ± . x→a x→a x→a b) lim k. f (x) k.lim f (x) = . x→a x→a c) lim [f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) ⋅ = ⋅ . x→a x→a x→a d) ( ) lim f x ( ) ( ) ( ) , lim g(x) 0 lim f x x a = → ≠ lim g x g x x a x a x a → → → . e) lim k k x a = → . Álvaro Fernandes 8
  9. 9. Exemplo 6. Calcule 2 lim x − 7 2x 4 x → 1 + usando as propriedades. 2 lim x − 7 ( ) ( ) ( ) − = 6 1 6 2 1 + − 7 1 2 1 = ⋅ 2 2 1 lim x + lim − 7 x → 1 x → 1 2 lim x lim 2 2 1 lim x − 7 x → 1 2 lim x 2 2 1 lim x − 7 2 x 2 2 x 2 2 lim x − 7 2x 4 + x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = − + = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + = + → → → → → → Ufa, quanto trabalho!!! Bastaria substituir o ponto x = 1 diretamente na expressão, obtendo logo 6 = − 1 − 6 . Atividades (grupo 1). Calcule os limites abaixo: a) lim 4 x 2 − 2 x x →− 2 + b) 2 lim x − 4x + 3 2 x x 6 x → 3 − − c) 3 lim x − 1 5x 5 x → 1 − 3 lim 8 + x d) 2 x →− 2 4 − x 4 lim x − 16 e) 3 x → 2 8 − x f) lim x − 1 x 1 − x 1 → g) lim 1 x 2 − x 2 x x →− 1 + + h) lim 2 − x − 3 x 7 2 − x 49 → i) lim 3 − 5 + x x 4 − − 1 5 x → Atividades (grupo 2). Calcule os limites indicados: a) f ( x) 2 1 , 0 1 , 0 x x x x = − ≤ + >  , calcule: lim f ( x ), lim f ( x ) lim f ( x ) e . x x x →−1 →2 →0 b) g( x) x 2 x 2 3 x 2 = ≠ =  , , , calcule: lim ( ) x g x →2 . c) h( x) 2 , , x x x x = 4 − <1 5 − 2 > 1  , calcule: lim ( ) x h x →1 . d) ( )    x 2 , x < 0 l x 2 1 x , 0 x 2 = 2x 6, x 2 − ≤ < − ≥ , calcule: lim l(x), lim l(x), lim l(x) e lim l(x) x 0 x 2 x x → → →−∞ →+∞ . Álvaro Fernandes 9
  10. 10. Continuidade Definição: Seja 0 x um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no ponto 0 x se: lim f ( x ) f ( x ) x x 0 → . 0 = Exemplo 7. A função do exemplo 1 (pág. 3) é contínua no ponto x 2 0 = , pois lim f (x) f (2) 3 x 2 = = → . Na verdade esta função é contínua em ℜ , isto é, em todos os pontos da reta (do seu domínio). Exemplo 8. Algumas funções que não são contínuas no ponto 0 x : a) b) c) Pois... a) não existe lim f (x) x→x0 , apesar de ( ) 0 f x existir, neste caso f (x ) L 0 = ; b) existe lim f (x) x→x0 , isto é lim f ( x ) L x x 1 0 = → . Existe ( ) 0 f x , neste caso ( ) 0 2 f x = L , mas lim f ( x ) f ( x ) x x 0 0 ≠ → ; c) não existe lim f (x) x→x0 , apesar de ( ) 0 f x existir, neste caso f (x ) L 0 = . Exemplo 9. Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados: , x 4 2 x − 16 8 2x    ≠ − a) ( ) , x 4 , x 1 1 x 2 − x 1 2 − 2x 2       − > = . b) ( ) , x 1 f x 0 2x 4, x 4 =      − = g x , x 1 0 = . 1 x       < − 1 5x, x 1 =  − = ( )( ) Soluções: a) Calculando o limite, temos: lim x − 4 x + 4 ( ) ( ) 4 2 lim x 4 2 4 x 2 lim x − 16 8 2x = − − x 4 x 4 x 4 = − + = − → → → . Calculando a imagem, temos: f (4) = 2(4)− 4 = 4 . Como lim f (x) f (4) x 4 ≠ → , então a função não é contínua (ou descontínua) no ponto x 4 0 = . Álvaro Fernandes 10
  11. 11. b) Calculando o limite, temos: ( )( ) ( 1 − x )( 1 + x )( x + ) lim 1 lim (1 x)( x 1) 4 x 1 x + 1 x 1 − lim 1 x 1 + x x 1 lim 1 x 2 − x 1 = − + + = − − = + ⋅ − → + → + → + → + x 1 x 1 x 1 x 1 = − ( ) ( )( 2 lim x − 1 x + 1 ) 2 lim (x 1) 2( 2) 4 1 x 2 lim 2 x − 1 1 x 2 lim 2x − 2 1 x = − + = − = − − → − → − → − → − x 1 x 1 x 1 x 1 = − = − Como os limites laterais são iguais, temos que lim g(x) 4 x 1 = − → . Calculando a imagem, temos: g(1) = 1 − 5(1) = −4 . Como lim g(x) g(1) x 1 = → , então a função é contínua no ponto x 1 0 = . Atividades (grupo 3). Determine, se possível, a constante a ∈ℜ de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto o x , sendo: 2    3ax + 2, x < 1 a) ( ) (x 1) f x o x 2, x 1 = − ≥ = 2 ax 2, x 1    + ≠ . b) ( ) (x 1) g x 2 o a , x 1 = = = . Atividades (grupo 4). Determine, se possível, as constantes a e b∈ℜ de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto o x , sendo:  3x 3, x 3   − > − c) ( ) (x 3) f x ax, x 3 o 2 = − bx 1, x 3 = − + < − = . d) ( ) ( ) (x 0) 2a.cos x 1, x 0    π + + < g x 7x − 3a, x = 0 o 2 b 2x , x 0 = − > = . Propriedades das funções contínuas. Se as funções f e g são contínuas em um ponto 0 x , então: i) f ± g é contínua em 0 x ; ii) f . g é contínua em 0 x ; iii) f / g é contínua em 0 x desde que g(x ) 0 0 ≠ . Álvaro Fernandes 11
  12. 12. Limites infinitos Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim infinito ( + ∞ ou − ∞ ), dizemos então que o limite é infinito. Exemplo 10. Calcule 2 lim x − 1 x 1 x →− 1 − . Neste caso, quando fazemos a substituição de x por − 1 na expressão 2 1 1 x x − − , encontramos 0 0 = − 2 . Esta não é uma situação especial. Sempre que na substituição de x ocorrer 0 , k ≠ 0 , o resultado k do limite será sempre zero, naturalmente. E se na substituição do valor de x ocorrer k , k ≠ 0 ? 0 Vamos analisar esta situação num caso particular e depois formalizar uma regra. Exemplo 11. Estude o seguinte limite: lim 1 . x→0 x Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer às tabelas de aproximações: Aproximação do zero pela direita (notação x→0+ ) x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 f(x)=1/x 1 10 100 1000 10.000 Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), f ( x) = 1 x cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: 1 lim = +∞ x→ 0 + x Aproximação do zero pela esquerda (notação x→0− ) x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 f(x)=1/x -1 -10 -100 -1000 -10.000 Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), f ( x) = 1 x decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: 1 lim = −∞ x→ 0 − x Conclusão: Como os limites laterais são distintos, então lim 1 . x→0 x Veja ao lado o gráfico da função f ( x) = 1 x . Álvaro Fernandes 12
  13. 13. Regra (generalização) Se na substituição do valor de x no cálculo de um limite ocorrer k , k ≠ 0 , então diremos que a 0 resposta do limite é:        , k ,k 0 , k 0 ,k 0 0 se ocorre e se ocorre +∞ > −∞ < + + , k ,k 0 , k 0 ,k 0 0 se ocorre e se ocorre −∞ > +∞ < − − . Desta regra podemos perceber que k →0 ±∞ . Se o denominador tende ao infinito com o numerador constante, a razão se aproxima de zero. Como veremos agora. Limites no infinito Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma função quando a variável x cresce indefinidamente ( x→+∞) ou quando ela decresce indefinidamente ( x→−∞). Em algumas situações, a função se aproxima de um valor numérico (figura 1), noutros pode também crescer indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3). Figura 1 Figura 2 Figura 3 Exemplo 12. lim 1 x   + Na figura 1: 1 0 1 1 x = + =   →+∞ . Na figura 2: ( + ) = +∞ lim x 1 x →+∞ . Na figura 3: ( − )= −∞ lim 4 x . →+∞ 2 x Álvaro Fernandes 13
  14. 14.   As tabelas abaixo apresentam situações de operações com infinito que usaremos com freqüencia. Produto:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( )    ∞ ⋅ ∞ = ∞ ∞ ⋅ −∞ = −∞ −∞ ⋅ ∞ = −∞ −∞ ⋅ −∞ = ∞  Soma:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ∞ + ∞ = ∞ −∞ + −∞ = −∞ ∞ − ∞ = ? Produto por constante:    ( ) ( ) ( )  ( )    k ⋅ ∞ = ∞ ,k > 0 k ⋅ −∞ = −∞ ,k > 0 k ⋅ ∞ = −∞ ,k < 0 k ⋅ −∞ = ∞ ,k < 0 indeterminação! Soma com constante: (±∞)+ k = ±∞, k ∈ℜ Quociente: = ? ±∞ ±∞ Potências: Se n é um natural não nulo, então: ( ) ( ) ∞ n n , n    se é par. −∞ e ∞ = ∞ −∞ = , n se é ímpar. indeterminação! Atividades (grupo 5). Calcule os limites: a) lim x 2 x 2 x→2 − . − lim 2x 4 b) x → 3 (x − 3)2 . − lim 2x 7 c) x → 3 (x − 3)2 . lim 5 3 x 2 d) 2x 6 3x − + →+∞ . Atividades (grupo 6). Calcule os limites: a) − lim 3 x x 5 − x 5 → + b) − lim 3 x x 2 2 + − x x 6 → − c) 2 − lim x 10 2x 10 x →− 5 − + d) − lim x 2 x 1 2 + − x x 2 → + Álvaro Fernandes 14
  15. 15. Expressões indeterminadas Vimos que 0 é uma expressão de indeterminação matemática. Também são: 0 ∞ ∞ e . , ∞ − ∞, 0 ×∞, 1 , 00 ∞0 ∞ Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros serão tratados em capítulos posteriores. A indeterminação do tipo ∞ . ∞ Exemplo 13. Calcule os limites abaixo: a) 3 + lim x 1 2 5x 3 x →+∞ + b) 2 lim x + 1 4 x x x →+∞ + c) 2 lim 6 x + 1 2 3x x x →+∞ + Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ , pois quando x→+∞ ∞ as expressões do numerador e denominador também tendem a + ∞ . Não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: a) ( 1 0 ) + ∞ ( ) = = +∞ + ∞ + = lim x 1 1 x 3 x lim 5 1 3 x 1 1 x 3 5 1 3 lim x 1 1 x 3 3 5x 1 3 lim 3 lim x 1 2 x →+∞ →+∞ →+∞ 5 1 + 0 5     +   +  =      +   +  =    +   +    = + 5x + 3 →+∞ x →+∞ 2 5x 5x 5x 2 x 2 2 x lim 1 1 1 1 x 2 1 1    +     +     +  ( ) b) 1 0 ( ) 0 1 1 0 x 2 x →+∞ lim x  1 + 1  →+∞ →+∞ →+∞ 2 x 3 x x 2 x 1 1 x lim x 2 x 1 1 x lim 2 lim x 1 = + 4 x x x 3 2 x 3 4 x = + ∞ = + + ∞ + =   =    +  =    +  + →+∞ . lim 1 1 6 1 1 6 x 2 1 1    +     +     +  ( c) 1 + 0 ) ( ) 2 1 0 6 = ⋅ 3 2 x 2 6 x →+∞ lim 1 1 3x 6 = ⋅ 3 6 x 3 1 1 3x lim 6 x 3x 1 1 2 =   + 2 x →+∞ →+∞ →+∞ 3x lim 2 lim 6 x 1 = + 2 x 3x x x x = +    +     +    + →+∞ . Observamos que nas três situações analisadas as indeterminações do tipo ∞ produziram respostas ∞ distintas (como era esperado, por isso que é indeterminação!) Você deve ter notado que para resolver indeterminações deste tipo a idéia é colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e no denominador. Álvaro Fernandes 15
  16. 16. Atividades (grupo 7). 1. Calcule os limites abaixo: a) 3 lim 2x − 1 3 5x x 1 x →+∞ + + . b) 5 2 lim x + 3x 2x 1 x →+∞ + . 2 3 lim x + 2x c) 4 x →−∞ 5x + 3 − x . 2 lim x →−∞ − d) 2 x 1 5x . A indeterminação do tipo ∞ - ∞ Exemplo 14. Calcule os limites abaixo: a) 3 2 . b) lim 5x2 x lim x − x →+∞ x x + →−∞ .  Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ - ∞, mas não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: Usando a mesma técnica da indeterminação anterior... a) lim x 2 − x = lim − x3 − 1 +  = −∞ ( + ) = −∞ ( ) = −∞ .  x 3 →+∞ →+∞ 1 0 1 1 x x  lim x + 5x + 7 = lim 5x  1 + 1 + 7 2 b) ( ) ( ) +∞ = +∞ = + + +∞ =   x 2 →−∞ →−∞ 0 1 0 1 5x 5x 2 x . Atividades (grupo 8). 1. Calcule os limites abaixo: a) lim x x3 2x x 5 − + . b) lim x 5x 6 →+∞ x 4 + − . c) lim x 2 x →−∞ x + − →∞ . A indeterminação do tipo 0 × ∞ Exemplo 15. Calcule os limites abaixo: lim 2 2 x 3 a) (x 1) x + →+∞ lim 3 x . b) (x) x →+∞ . Álvaro Fernandes 16
  17. 17. Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo 0 × ∞, mas não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: lim 2 x 1 lim 2x + 2 ... Transformamos a indeterminação 0 × ∞ em ∞ ⁄ ∞ . Daí você 2 a) ( 2 + ) = = x 3 x →+∞ →+∞ 3 x x já sabe! 2 ... ... 0 lim 2x 2 3 x x = = + = →+∞ . lim 3 x x x lim 3x x b) ( ) = = →+∞ →+∞ x ... Novamente transformamos a indeterminação para ∞ ⁄ ∞. Usando a técnica da racionalização: lim 3x lim 3x x lim 3x x x x x x ... = = ⋅ = = lim 3 x = 3 (+ ∞) = +∞ x x x x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ . Atividades (grupo 9). 1. Calcule os limites abaixo: a) (x 3) lim 1 2 x x + →+∞ . b) (x 25) lim 2  2 x 5 x-5 −    → + . Limite fundamental exponencial (a indeterminação do tipo 1∞) O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populações de bactérias, desintegração radioativa (datação por carbono), circuitos elétricos, etc. Na área de economia, é aplicado no cálculo de juros. Foi o Matemático Inglês Jonh Napier (1550-1617) o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional, ou seja, não pode ser escrito sob forma de fração, e vale aproximadamente: e ≅ 2,7182818 Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função exponencial f (x) = ex é considerada uma das funções mais importantes da matemática, merecendo atenção especial de cientistas de diferentes áreas do conhecimento humano. lim 1 1 x   + Proposição: e x x =   →±∞ . A prova desta proposição envolve noções de séries. Utilizaremos o recurso das tabelas de aproximações e gráfico para visualizar este resultado. Álvaro Fernandes 17
  18. 18. Tabela x f  ( x ) 1 1  x x =  +  100 2,7048.. 1000 2,7169.. 100.000 2,7182.. # # x → + ∞ f(x) → e Faça uma tabela para x → - ∞. Gráfico: Exemplo 16. Calcule os limites abaixo: a) 5 x lim   1 + 1  x x  →+∞ . b) 4 x lim   1 − 3  x x  →−∞ . Nestes dois casos percebemos indeterminações do tipo 1∞ . Vejamos as soluções... x 5 x 5 5 x     lim 1 1 lim 1 1  = lim  1 + 1  =   =  +  + a) 5 x x x e x x x              →+∞ →+∞ →+∞ . b) Neste caso, usaremos uma mudança de variável... Faça x = −3t . Se x → −∞ então t →+∞. Logo, ( )  − 12 . t − 12 − −   lim 1 3  lim 1 1 −  =  + t 12t lim 1 1  =  + t 4 3t lim 1 3   = − t 4 x x e t t 3t x →+∞ →+∞  →−∞ →+∞ =            − Atividades (grupo 10). 1. Calcule os limites abaixo: a) 2x lim   1 + 7  x x  →+∞ . b) 5 x lim   1 − 2  x x  →−∞ . c) 2 x  lim  x 1 + x x 1  − →+∞ . Álvaro Fernandes 18
  19. 19. Conseqüências importantes do limite fundamental exponencial: i) lim (1 x)1 x e x 0 + = → x lim a − 1 . ii) ln(a), a 0 a 1 x x 0 e . = > ≠ → Atividades (grupo 11). Resolva os dois limites acima com as sugestões a seguir: • No item (i) faça a mudança de variável x = 1 e use o limite fundamental exponencial. t • No item (ii) faça a mudança de variável a x − 1 = t e use o item (i). Atividades (grupo 12). 1. Resolva os limites abaixo: a) ( )1 x lim 1 + 2x → x 0 . b) x lim 3 − 1 x x → 0 . c) x lim e − 1 4x x → 0 . d) x x lim e − 2 x x → 0 . Limite fundamental trigonométrico O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação é do tipo 0 0 envolvendo a função trigonométrica y = sen(x). Este limite é muito importante, pois com ele resolveremos outros problemas. Proposição: ( ) 1 lim sen x x 0 x = → . A função ( ) ( ) f x = sen x é par, isto é, f (− x) = f (x), ∀x ≠ 0 , pois x ( ) ( ) ( ) ( ) f (x) f x sen x = sen x = − = . x sen x x − x − − = − Se x →0+ ou x →0− , f (x) apresenta o mesmo valor numérico. Vamos utilizar a tabela de aproximação para verificar este resultado. Tabela x ( ) ( ) f x = sen x x ±0,1 0.9983341664683.. ±0,01 0.9999833334167.. ±0,001 0,9999998333333.. ±0,0001 0,9999999983333.. ±0,00001 0,9999999999833.. ±10-10 0,9999999999999.. # # x→0 f (x)→1 Álvaro Fernandes 19
  20. 20. Visualizando o gráfico da função ( ) ( ) f x = sen x , podemos perceber também este resultado... x Exemplo 17. Calcule os limites abaixo: a) ( ) lim sen 2x x 0 x → . b) ( ) lim sen 5x x 0 sen(3x) → . c) ( ) lim cos x 1 x 0 x − → . d) ( ) lim tg x x 0 x → . Soluções: a) ( ) ( ) ( ) = ⋅ = ⋅ = lim sen 2x x 0 x 0 x 0 2 lim sen 2x lim sen 2x 2 ... → x → 2x → 2x Faça 2x = t . Se x →0 então t →0 . Logo: ( ) ... = 2 ⋅ lim sen t = 2(1) = 2 t t → 0 . De uma forma geral, ∀k ∈ℜ* , ( ) 1 lim sen kx x 0 kx = → . Vamos usar este resultado agora: b) ( ) lim sen 5x ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1 5 ( ) 3 3 → = ⋅ = ⋅ = 1 lim sen 5x x 0 5x 3 lim sen 3x 3x 5 5x 3x sen 5x 5x sen 3x 3x lim sen 3x x 0 = x 0 x 0 ⋅ ⋅ → → → . c) ( ) ( ) ( ) cos x 1 ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 2 − lim sen x [ ( ) ] = 2 lim cos x 1 lim cos x 1 lim cos x 1 → → → → x cos x + 1 = − x cos x + 1 = + cos x + 1 ⋅ − = − x x x 0 x 0 x 0 x 0 ( ) ( ) 1 0 sen x   + ( ) 0 1 1 − cos x 1 lim sen x x 0 = ⋅ x =   = + → . d) ( ) ( ) lim tg x lim sen x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = = ⋅ = ⋅ =  ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 lim 1  ( ) 1 1 cos x lim sen x x cos x lim sen x x x cos x x =   → → → → → . Atividades (grupo 13). 1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonométrico fundamental: a) ( ) 3x lim sen 4x x → 0 − ( ) . b) lim 1 cos x x → 0 x2 x . ( ) c) + lim 2e 6sen x − 2 3x x → 0 . d) ( ) − lim 6 x sen x x 0 + 2x 3sen(x) → . Álvaro Fernandes 20
  21. 21. Funções limitadas Definição: Uma função y = f (x) é chamada limitada, se existe uma constante k ∈ℜ* , tal que f (x) ≤ k , ∀x∈D( f ), isto é , − k ≤ f (x) ≤ k , ∀x∈D( f ). Em outras palavras, y = f (x) possui o conjunto imagem contido num intervalo de extremos reais. Obs.: D( f ) significa o domínio da função f. Exemplo 14. Algumas funções limitadas e seus gráficos. f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) f(x) = k f(x) = sen(2x2+3x-1) Proposição: Se lim f (x) 0 g(x) x → a ou x e = →±∞ é uma função limitada, então lim f (x).g(x) 0 x a → ou x = →±∞ . Exemplo 18. a) Calcule ( ) lim sen x x→+∞ x . Solução: ( ) = lim sen x x →+∞ x ⋅ ( ) = lim 1 x →+∞ sen x x * = 0 1 → . Como a função sen(x) é limitada, então o * Usando a proposição: Se x →+∞ então 0 x resultado é zero. Gráfico da função ( ) ( ) f x = sen x : x Observe que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando x →+∞ . O resultado do limite permanece o mesmo se x → −∞ . Álvaro Fernandes 21
  22. 22. b) Calcule ( ) lim cos x x→+∞ x . Solução: de forma análoga... ( ) = lim cos x x →+∞ x lim 1 x ⋅ cos(x) = 0 x →+∞ . Gráfico da função ( ) ( ) f x = cos x : x Observe que, da mesma forma que a função anterior, as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando x →+∞ . O resultado do limite permanece o mesmo se x → −∞ . lim x 1 x 2   + c) Calcule cos(x) x 1 ⋅   + →+∞ . 0 + lim x 1 x 2 x 1  =    + →+∞ lim x 1 x 2   + (Por quê?) e cos(x) é uma função limitada. Logo, cos(x) 0 x 1 = ⋅   + →+∞ .  f x  x + 1  ⋅ 2 Gráfico da função ( ) cos(x) = : x 1  + Atividades (grupo 14). 1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de função limitada: a) lim ex sen(x) x ⋅ →−∞ . b) ( ) lim 3cos x + 2 →+∞ x x x 2 . Álvaro Fernandes 22
  23. 23. 1. Problema da área sob o arco da parábola y = x 2 no intervalo [0, 1] (Figura 1). Método dos retângulos. Figura 1. Dividindo o intervalo [0, 1] em n subintervalos, cada subintervalo terá comprimento 1 n : 0, 1 , 2o subintervalo    1o subintervalo   n 1  ,   , 2 n n 2 , ... , no subintervalo    , 3 n 3o subintervalo   n n = . n 1  . Obs.: 1  −  , n n n n Vamos construir retângulos (Figura 2) cujas bases são ao subintervalos e cujas alturas são as imagens dos extremos direito* de cada subintervalo pela função y = x 2 : * a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremo direito. Figura 2. Figura 3. Calculando as área desses retângulo ( A = b.h ), obtemos: 2 2 A = 1 ⋅ , 2 2 1 n 1 n 2 A = 1 ⋅ , 2 2 n 2 n 2 A = 1 ⋅ , ... , 2 3 n 3 n A = 1 ⋅ . n n n n A área total desses retângulos ( tn A ) nos dá uma aproximação da área (Figura 1) que queremos calcular:  =    + + + + 2 2 2 2 2 2 2 n 2 1 1 2 3 n n n 3 2 A A 1 n 1 n " " + + + + = =Σ=2    =      t i 2 2 2 2 n i 1 n n n n Álvaro Fernandes 23
  24. 24. ( )( ) ( )( ) 1 + + n n 1 2n 1 n n 1 2n 1 n  = . =   + + 2 6n3 6n  Obs.: A soma 12 + 22 + 32 + ... + n2 é conhecida pela fórmula [n(n + 1)(2n + 1)] 6 . Vejamos alguns resultados para alguns valores crescentes de n: n 6 (Figura 3) 10 100 1.000 10.000 100.000 tn A 0,421296 0,385000 0,338350 0,333834 0,333383 0,333338 A área exata que estamos procurando (Figura 1) é calculada pelo limite: ( )( ) = 1 = 0,3 3 + + lim A lim n n 1 2n 1 n Tn n 3 6n = →+∞ →+∞ . (Calcule este limite e mostre que é igual a 1/3) 2. Problema do circuito RL em série. No circuito da figura 4, temos uma associação em série de um resistor (símbolo R) e um indutor (símbolo L). Da segunda lei de Kirchhoff (lei das voltagens) e do estudo das equações diferenciais, pode-se mostrar que a corrente i no circuito é dada por R i t E  − ( ) t L c.e = + , (1) R   onde E é uma bateria de voltagem fixa, c é uma constante real e t é o tempo. Figura 4. Unidade de resistência: ohm. Unidade de indutância: henry. Exercício 1: Se uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série (como na fig. 4) no qual o indutor é de 1/2 henry e o resistor é de 10 ohms, determine o valor da constante c e a corrente i(t). Considere a corrente inicial e o tempo inicial iguais a zero. Exercício 2: Determine lim i(t) t →+∞ , sendo i(t) da equação (1). Obs.: Quando t →+∞ o termo R  t L c.e  −  da equação (1) se aproxima de zero. Tal termo é usualmente denominado de corrente transitória. A razão E/R é chamada de corrente estacionária. Após um longo período de tempo, a corrente no circuito é governada praticamente pela lei de Ohm E = Ri . Álvaro Fernandes 24
  25. 25. Derivada A reta tangente. Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto. Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P. Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4. Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas: Fig. 8 Fig. 9. Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da circunferência (fig. 4). Elas “cortam” , “penetram” as curvas. Álvaro Fernandes 25
  26. 26. Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu domínio. Seja y = f (x) uma curva definida num intervalo aberto I. Considere ( ) o o P x , y , sendo ( ) o o y = f x , um ponto fixo e Q(x, y) um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o ângulo de inclinação de s. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t. x y y o y β α t s x P o x Q T f o y y y Δ = − o Δ = − x x x Considerando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como ( ) β = o . y y o − x x tg y x − = Δ Δ β P Q o y − y T o x − x Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta s se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg(β ) se aproximará da tg(α ). Usando a notação de limites, é fácil perceber que lim tg(β ) = tg(α ) Q → P . Mas quando Q → P temos que o x → x . Desta forma, o limite acima fica () () f ( x ) − f ( x ) β α lim tg(α ) x x − lim tg tg lim y y x x o o = − = ⇔ Q P x xo x x o o → → → o = − . Assim ( ) ( ) (α ) tg x x lim f x f x o o x xo = − − → . Álvaro Fernandes 26
  27. 27. Definição: Seja y = f (x) uma curva e ( ) o o P x , y um ponto sobre o seu gráfico. O coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dado pelo limite ( ) ( ) f x f x o o m lim − x x o x − x = → , quando este existir. ( ) ( ) o o y f x m tg = α = Equação da reta tangente Podemos agora determinar a equação da reta tangente t, pois já conhecemos o seu coeficiente angular e um ponto do seu gráfico ( ) o o P x , y . A equação da reta tangente t é: a) ( ) ( ) o o y − y = m x − x , se o limite que determina m existir; b) A reta vertical o x = x se ( ) ( ) f x f x o o lim − x → x o x − x for infinito. Exemplo 19. Determine a equação tangente a parábola f (x) = x2 no ponto de abscissa x 1 o = . Solução: Temos que determinar dois termos o y e m. y f (x ) y f (1) 12 1 o o o = ⇒ = = = . ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 lim − 1 2 → → → " . x 1 lim f x − f 1 x 1 m lim f x − f x x x = − x 1 x 1 o o x xo = = − = − = Logo a equação da reta tangente é (y − 1) = 2(x − 1) ou y = 2x − 1. Álvaro Fernandes 27
  28. 28. Equação da reta normal Definição: Seja y = f (x) uma curva e ( ) o o P x , y um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal (n) ao gráfico de f no ponto P é a reta perpendicular a reta tangente (t). − y y 1 − • A equação da reta normal é ( ) ( ) o o x x − = , sendo que m ( ) ( ) 0 f x − f x x x m lim o o x xo ≠ − = → . • Se m = 0 , então a equação da reta normal é a reta vertical x = x . o f ( x ) f ( x ) • Se o o lim − x → x o x − x for infinito, então a reta normal é horizontal e tem equação o y = y . Atividades (grupo 15). Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo nos pontos indicados. Esboce os gráficos das funções com as retas. a) f (x) = x3 no ponto de abscissa x 1 o = . b) f (x) = x no ponto de abscissa x 4 o = . A derivada de uma função num ponto O limite ( ) ( ) f x f x o o lim − x → x o x − x é muito importante, por isso receberá uma denominação especial. Definição: Seja y = f (x) uma função e o x um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f no ponto o x e denota-se ( ) o f ' x (lê-se f linha de o x ), o limite ( ) f ( x ) f ( x ) o o f ' x lim − = o x → x o x − x , quando este existir. Forma alternativa para derivada: Se fizermos o Δx = x − x , obtemos a seguinte forma para ( ) o f ' x : ( ) f ( x + Δ x ) − f ( x ) f ' x = lim o o o x 0 Δ x Δ → . Álvaro Fernandes 28
  29. 29. Outras notações para a derivada da função y = f (x) num ponto x qualquer: • y' (x) (lê-se: y linha de x ou derivada de y em relação a x); • D f x (lê-se: derivada da função f em relação à x); • dy (lê-se: derivada de y em relação à x). dx Exemplo 20. Dada a função f (x) = x2 − x + 1, determine f ' (2). Use as duas formas da definição. ( ) f ( x ) f ( x ) ⇒ Usando o o f ' x lim − = o x → x o x − x : ( ) ( ) ( ) ( )( lim x − 2 x + 1 ) lim (x 1) 3 x 2 2 lim x − x − 2 x 2 2 lim x − x + 1 − 3 x 2 f ' 2 lim f x − f 2 x 2 = + = − x 2 x 2 x 2 = − x 2 x 2 = − = − = → → → → → . ( ) f ( x + Δ x ) − f ( x ) ⇒ Usando f ' x = lim o o o x 0 Δ x Δ → : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = lim 4 + 4 Δ x + Δ x − 2 − Δ x − 2 2 lim 2 x 2 x 1 3 x f ' 2 lim f 2 x f 2 x Δ → Δ → Δ → Δ x = + Δ − + Δ + − Δ = + Δ − Δ = x 0 x 0 x 0 ( ) lim (3 x) 3 0 3 x lim x 3 x lim 3 Δ x + Δ x x = + Δ = + = Δ + Δ Δ x 0 x 0 2 x 0 = Δ = Δ → Δ → Δ → . Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto. Atividades (grupo 16). 1. Determine a equação da reta tangente à curva y = 5 − x2 , que seja perpendicular à reta y = 3 + x . 2. Determine a equação da reta normal à curva y = x3 , que seja paralela à reta 3y + x = 0 . Derivadas laterais Lembre-se que o limite de uma função num ponto somente existe se os limites laterais existem e são iguais. Como a derivada de uma função num ponto é um limite, esta derivada somente existirá em condições análogas. Definição: Seja y = f (x) uma função e o x um ponto do seu domínio. A derivada à direita de f em o x , denotada por ( ) o f ' x + é definida por ( ) = + o f ' x ( ) ( ) f x f x o o lim − x → x + o x − x . Álvaro Fernandes 29
  30. 30. Definição: Seja y = f (x) uma função e o x um ponto do seu domínio. A derivada à esquerda de f em o x , denotada por ( ) o f ' x − é definida por ( ) = − o f ' x ( ) ( ) f x f x o o lim − x → x − o x − x . Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda) existem e são iguais neste ponto. Exemplo 21. Considere a função f (x) = x + 1 . Mostre que esta função é contínua no ponto x = −1 mas não é derivável neste ponto. f é contínua neste ponto pois lim f (x) = lim x + 1 = − 1 + 1 = 0 = 0 = f ( − 1) x →− 1 x →− 1 . Sabemos que ( )    x + 1, x > − 1 x 1, x 1 − − < − 0, x = − 1 f x x 1 = + = . Vamos calcular f ' (− 1): (− ) = + f ' 1 ( ) ( ) lim (1) 1 lim f x f 1 lim x + 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 lim x + 1 − 0 x 1 − − x 1 = = + = + = + →− + →− + →− + →− + . (− ) = − f ' 1 ( ) ( ) ( ) lim ( 1) 1 − + lim f x f 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 − − − lim x 1 0 x 1 − − x 1 = − = − + = + = + →− − →− − →− − →− − . Como as derivadas laterais são distintas concluímos que não existe f ' (− 1). Veja o gráfico da função f (x) = x + 1 . Não existe reta tangente ao gráfico desta função no ponto x 1 0 = − . Obs.: Quando as derivadas laterais existem e são diferentes num ponto, dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função. Neste caso, não existe reta tangente num ponto anguloso. No exemplo acima a função f (x) = x + 1 tem um ponto anguloso em x = −1 . Atividades (grupo 17). Verifique se a função abaixo tem derivada no ponto o x . Este ponto é anguloso? Esboce o gráfico da função e constate. a) ( )    ≤ 2 1 − x , x > 0 f x x = e , x 0 no ponto x 0 o = . b) ( )    2 x + x + 1, x > 0 g x x = e , x ≤ 0 no ponto x 0 o = . Álvaro Fernandes 30
  31. 31. Regras de derivação Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer a definição. 1. Derivada de uma função constante. Se f (x) = c , c é uma constante real, então f ' (x) = 0 . ( ) ( + Δ ) − ( ) ' lim c − c = lim 0 = 0 x f x lim f x x f x x Δ = Δ x 0 x 0 x 0 = Δ → Δ → Δ → . 2. Derivada da função potência. Se n é um inteiro positivo e f (x) = xn , então f ' (x) = nxn−1 . Prova: ( ) ( ) ( ) ( ) n n lim x + Δ x − x x f x lim f x + Δ x − f x x = Δ x 0 x 0 ' Δ = Δ → Δ → Usando o Binômio de Newton para expandir (x + Δx)n , obtemos f ' (x) = ( ) ( ) ( ) ( ) = x nx x n n − 1  Δ + + Δ + Δ n n 1 n 2 2 n 1 n n + − Δ + − − x x ... nx x x x 2! lim Δ → Δ x  −   x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = x nx n n − 1  Δ + + Δ + Δ n − 1 n − 2 n − 2 n − 1 x x ... nx x x 2! lim Δ → Δ x   Δ +  = x 0 n 1 ( ) n 2 ( ) ( )n 2 ( )n 1 n 1 lim nx − n n 1 − − − − Δ → = + . x 0  −  Δ + + Δ + Δ x x ... nx x x nx 2! =   Exemplo 22. Calcule as derivadas das funções abaixo: a) f (x) = x b) f (x) = x2 c) f (x) = x5 a) f (x) = x1 ⇒ f ' (x) = 1x1−1 = 1 . Logo f ' (x) = 1. b) f (x) = x2 ⇒ f ' (x) = 2x2−1 = 2x . Logo f ' (x) = 2x . c) f (x) = x5 ⇒ f ' (x) = 5x5−1 = 5x4 . Logo f ' (x) = 5x4 . Obs.: Se n for um número inteiro negativo ou racional o resultado contínua válido. Atividades (grupo 18). 1. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função f (x) = x−1 é f ' (x) = −x−2 . f ' x = 1 . 2. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função f (x) = x é ( ) 2 x Álvaro Fernandes 31
  32. 32. 3. Derivada do produto de uma constante por uma função. Se f (x) é uma função derivável e c é uma constante real, então a função g(x) = cf (x) tem derivada dada por g' (x) = cf ' (x). Prova: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] = lim c f x + Δ x − f x lim cf x x cf x x g´ x lim g x x g x x Δ → Δ → Δ → Δ x = + Δ − Δ = + Δ − Δ = x 0 x 0 x 0 ( ) ( ) cf´(x) + Δ − c lim f x x f x x x 0 = Δ = ⋅ Δ → . Exemplo 23. Se f (x) = 5x3 então f ' (x) = 5(3x2 )= 15x2 . 4. Derivada de uma soma de funções. Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)+ g(x) tem derivada dada por h' (x) = f ' (x)+ g' (x). Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. Exemplo 24. Se f (x) = 4x3 + 3x2 − x + 5 então f ' (x) = 12x2 + 6 x − 1 . 5. Derivada de um produto de funções. Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)⋅ g(x) tem derivada dada por h' (x) = f ' (x)⋅ g(x)+ f (x)⋅ g' (x). Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. Exemplo 25. Se f (x) = (x3 − x)(2 − x) então f ' (x) = (3x2 − 1)(2 − x)+ (x3 − x)(0 − 1) = −4x3 + −6 x2 + 2x − 2 . 6. Derivada de um quociente de funções. Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função ( ) ( ) h x = f x tem derivada dada por g(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' x ⋅ h' x g x − f x ⋅ g' x = . [g(x)]2 Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 2 − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = então f x 5x 8 Exemplo 26. Se ( ) 2x f ' x 10x 2x 5x 8 2 + ... 5x 8 = . 2 2 ⋅ − − ⋅ 2 2 2x 4x = = Álvaro Fernandes 32
  33. 33. Atividades (grupo 19). 1. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo: a) f (x) = x−2 + 3x + 1. b) f (x) = (x8 ) (x + 3). c) f (x) = (3x4 + x)(6 − x). (x) (x2 5x − 3 d) f = − 3) 2x3 . e) f ( x ) = + 3 x . f) f (x) = x1 4 (2 − x). 2 f x x + 2 + f x 2x − = . i) f (x) = 4 x3 (1 − x2 ). = − . h) ( ) x 2 g) ( ) x 6 x + 1 2. Determine os valores das constantes a e b na parábola f (x) = ax2 + b de modo que a reta de equação y = 8x + 4 seja tangente a parábola no ponto x = 2 . Derivada da função composta (Regra da cadeia) Até o momento sabemos derivar a função g(x) = x3 e também a função f (x) = 2x + 1. Considere agora a função composta gof (x) = g( f (x)) = (2x + 1)3 . Como poderemos obter a derivada da função composta gof (x) sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece uma forma de obter a derivada da função composta em termos das funções elementares f e g. Regra da cadeia Se y = g(u), u = f (x) e as derivadas dy e du du existem, então a função composta dx y = gof (x) = g( f (x)) tem derivada dada por dy = ⋅ du ou y´(x) = y´(u)⋅ u´(x) ou gof´(x) = g´( f (x))⋅ f´(x). dx dy du dx As três formas acima são equivalentes, mudam apenas as notações. Exemplo 27. Calcule a derivada das funções abaixo: a) y = (2x + 1)3 b) y = 5x + 3 c) 5  y  x  1 − 3x  = Para calcular a derivada dessas funções, precisamos identificar as funções elementares y = g(u) e u = f (x) (cujas derivadas conhecemos) que formam a função composta e aplicar a regra. a) y = (2x + 1)3    y u3 = u = 2x + 1 Então y´(x) = y´(u)⋅ u´(x) ⇒ y´(x) = 3u2 ⋅ 2 = 3(2x + 1)2 ⋅ 2 = 6(2x + 1)2 . Logo y´(x) = 6(2x + 1)2 . Álvaro Fernandes 33
  34. 34. b) y = 5x + 3    y u = u = 5x + 3 5 5 y´ x y´ u u´ x y´ x 1 Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y´ x 5 = ⋅ ⇒ = ⋅ = . Logo ( ) 2 5x 3 2 u + = . 2 5x + 3 c) 5  y  x  1 − 3x  =    y u5 u x 1 − 3x = = Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )  − − − y´ x y´ u u´ x y´ x 5u 4 1 1 3x x 3 = ⋅ ⇒ = ⋅ 2 ( ) =    1 − 3x ( )( ) ( )( ) 4 5x 1 1 3x x 3  = . =  − − − ( ) 2 ( )6 4 1 3x 1 3x 5 x  − 1 3x −   −  ⋅   y´ x 5x Logo ( ) 4 = . ( )6 1 − 3x Proposição: Se f (x) é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então d n = n−1 [f (x)] n[f (x)] . f´(x) dx Prova: Fazendo y = un , onde u = f (x) e aplicando a regra da cadeia, temos y´(x) = y´(u)⋅u´(x) ⇒ y´(x) = nun 1 ⋅ f´(x) ⇒ y´(x) = n[ f (x)]n 1 ⋅ f´(x) − − . A proposição continua válida se n for um número racional não nulo. Exemplo 28. Calcule a derivada da função y = 4 ⋅ 3 1 + x − x3 . Podemos escrever y = 4(1 + x − x3 )1 3 e calcular a derivada usando a proposição acima: y´ ( x ) = 4 ⋅ 1 (1 + x − x3 ) − 2 3 ⋅ (1 − 3x2 ) . 3 Obs: Com a regra da proposição acima poderíamos calcular todos os exercícios do exemplo 27. Mas a regra da cadeia é mais completa, ela possibilitará a resolução de outros problemas mais complicados... Álvaro Fernandes 34
  35. 35. Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funções abaixo: a) y = (2 − x3 )6 . b) y (x4 2) 3 − = − . c) y = 2x − 3 . = . e) ( ) d) ( ) y 1 3x 2 − (1 + 5x) 4 y 2x = f) ( )3 1 − x y 1 + 4x x 1 3 + = Derivada da função inversa Se uma função y = f (x) admite uma função inversa x = f −1 (y), então a função inversa tem derivada dada por f −1 ´ y = 1 , f´(x) ≠ 0 . ( ) ( ) ( ) f´ x Sabemos que ( ) x x of f 1 = − . Aplicando a regra da cadeia, obtemos que ( ) ( ) ( ) ( )1 f −1 ´ f x ⋅ f´ x = , daí ( ) ( ) 1 f − 1 ´ y = , desde que f´(x) ≠ 0 . f´(x) Exemplo 29. Seja y = f (x) = 5x3 . Calcule a derivada (f −1 ) ´(40) invertendo a função e usando a regra da derivada da inversa. ⇒ Invertendo a função: y f x 5x x f y y  f ´ y 1 = ( ) = ⇒ = − ( ) = =  . Assim ( ) ( ) 1 3 3 1 3 y 5 5   1 5 y  =  − 1 ⋅ 3 5  2 3  − 2 3 − f ´ 40 1 1 1 8 1 2 3 40 3 Logo ( ) ( ) ( ) 1 =   − 1 = = = ⋅  − . ( ) 60 15 8 15 5 5 2 3  ⇒ Usando a regra da derivada da inversa: x = 3 40 = 3 = . Como f´(x) = 15x2 , obtemos Se y = 40 e y = f (x) = 5x3 , então 8 2 5 1 1 f ´ 40 1 f ´ y 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 60 −1 = ⇒ −1 = = = . 15 2 f´ 2 f´ x Álvaro Fernandes 35
  36. 36. Atividades (grupo 21). 1. Seja y = f (x) = 5x − 3. Calcule a derivada (f −1 ) ´(2) usando a regra da derivada da inversa. 2. Seja y = f (x) = x2 , x > 0 . Calcule a derivada (f −1 ) ´(3) usando a regra da derivada da inversa. Derivada das funções elementares. Vamos agora apresentar as derivadas das funções elementares do cálculo. São elas as funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas. 1. Derivada da função exponencial. Proposição: Se f (x) = ax , (a > 0 e a ≠ 1), então f´(x) = ax ln(a). x +Δ x x x ( Δ x ) ( Δ x ) Prova: f´ ( x ) lim a a lim a lim a − 1 a x ln(a) x lim a a 1 x − x x 0 x = ⋅ x 0 x 0 x 0 = Δ Δ − = Δ = Δ → Δ → Δ → Δ → . ( a Δ x lim − Lembre-se que 1 ) ln(a) x x 0 = Δ Δ → é uma conseqüência importante do limite fundamental exponencial (item ii pág. 14). Caso particular: Se f (x) = ex , então f´(x) = ex ln(e) = ex , onde e é o número neperiano. Exemplo 30. Determine a deriva da função y = 6e x . Usando a regra da cadeia, obtemos: u y 6e x y´ ( x ) y´ ( u ) u´ ( x ) 6e 1 x 3e = ⋅ = ⋅ = 2 x    = u x u = . Atividades (grupo 22). 1. Calcule a derivada das funções abaixo: a) f (x) = 2x+1 . b) f (x) = e2 x . f x 1 − x c) f (x) = 3x2 ⋅ e5 x+1 . d) ( ) x2 2 = . e 2. Calcule a área do triângulo retângulo sombreado na figura abaixo, sabendo-se que n é a reta normal a f (x) = ex no ponto de abscissa = 1 0 x . Resp.: e3 2 Álvaro Fernandes 36
  37. 37. 2. Derivada da função logarítmica. f´ x = 1 . Proposição: Se f (x) log (x), (a 0 e a 1) a = > ≠ , então ( ) ( ) x ln a Prova: A função logarítmica y = f (x) = log (x) é a inversa da função exponencial a x = f −1 (y) = a y . Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para determinar f´(x). Assim: f´ ( x ) = 1 ( ) ( ) = 1 ( ) = 1 ( ) . f − 1 ´ y a y ln a x ln a f´ x = 1 = 1 . Caso particular: Se f (x) = ln(x), então ( ) x ln ( e ) x y e 4 x+1 Exemplo 31. Determine a deriva da função ( ) ln x = .  f ´ f´ g − fg´ g =      Usando a regra da derivada do quociente g 2 e a regra da cadeia na função exponencial, obtemos: e 4 ln x e 1 ( )[ ( )] ( ) ⋅ −  4 x + 1 4 x + 1 [ ( )]2 ln x x y´    = Atividades (grupo 23). 1. Calcule a derivada das funções abaixo: a) f (x) 4 log (5x) 2 = . b) f (x) = ln(2x + 1). c) f (x) = e3x ⋅ ln( x ). d) ( ) ( ) f x ln 3x − = . e 2 x 3. Derivada das funções trigonométricas. Proposição: a) y = sen(x) ⇒ y´= cos(x). b) y = cos(x) ⇒ y´= − sen(x). c) y = tg(x) ⇒ y´= sec2 (x). d) y = cot g(x) ⇒ y´= −cos ec2 (x). e) y = sec(x) ⇒ y´= sec(x)tg(x). f) y = cos ec(x) ⇒ y´= −cos ec(x)cot g(x). Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens têm demonstrações análogas e ficam como exercício. Álvaro Fernandes 37
  38. 38. a) y = sen(x). Aplicando a definição... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = lim sen x cos Δ x + sen Δ x cos x − sen x y´ lim sen x x sen x Δ → Δ → Δ x = + Δ − x Δ = x 0 x 0 ( ) ( ) ( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( )[ ( ) ] = lim sen x cos x sen x cos x 1 x 0 x 0 x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) cos(x) (1) sen(x) (0) cos(x) lim sen x cos x 1 lim sen x cos x Δ → Δ → Δ → Δ x Δ − + Δ x Δ = Δ + Δ − x Δ = Δ sen x lim cos x − 1 x cos x lim sen Δ x x + ⋅ Δ x 0 x 0 = ⋅ + ⋅ = Δ = ⋅ Δ → Δ → . Lembre-se que ( ) 1 Δ lim sen x x 0 x = Δ Δ → é o limite trigonométrico fundamental e ( ) 0 Δ − lim cos x 1 x 0 x = Δ Δ → foi resolvido no exemplo 17 (c) da pág. 20. c) y = tg(x) Como ( ) ( ) tg x = sen x e já sabemos a derivada função sen(x), podemos aplicar a derivada do cos(x) quociente: ( ) ( ) ( )[ ( )] 2 2 y´ cos x cos x − sen x − sen x + 2 = . 2 = = ( ) ( ) ( ) 1 cos x sen x ( ) ( ) sec (x) 2 2 cos x cos x cos x = Lembre-se que cos2 (x)+ sen2 (x) = 1 é a relação trigonométrica fundamental. e) y = sec(x) sec x = 1 e sabendo-se que a derivada da função cos(x) é − sen(x), podemos aplicar Como ( ) ( ) cos x a derivada do quociente: ( ) ( ) ( )[ ( )] y´ 0 cos x − 1 − sen x = = ⋅ = 2 2 = . ( ) ( ) ( ) 1 1 sen x ( ) ( ) ( ) ( ) sec(x)tg(x) sen x cos x cos x cos x cos x Exemplo 32. Calcule a derivada das funções compostas abaixo: a) y = sen(3x2 ). b) y = cos3 (x). c) y = tg( x )⋅ e5 x . d) ( ) y tg x 1 − = . sec(x) Soluções: a) y = sen(3x2 ) Usando a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 2 y´ x y´ u u´ x cos u 6 x 6 x cos 3x y sen u    = u 3x = ⋅ = ⋅ = = . Álvaro Fernandes 38
  39. 39. b) y = cos3 (x) Usando a regra da cadeia, obtemos: 3 y u 2 2 ( ) y´(x) y´(u) u´(x) 3u [ sen(x)] 3 sen(x)cos (x)    = u cos x = ⋅ = ⋅ − = − = . c) y = tg( x )⋅ e5 x Usando a regra da derivada do produto ( f ⋅ g)´= f´ g + fg´ e a regra da cadeia, obtemos: ( ) e tg( x )e (5) y´ sec2 x 1 5 x + 5 x ⋅   = . 2 x     d) ( ) y tg x 1 − sec(x) =  f ´ f´ g − fg´ g =      Usando a regra da derivada do quociente g 2 e a regra da cadeia, obtemos: [ sec 2 ( x )] [ sec ( x )] − [ tg ( x ) − 1 ] [ sec ( x ) tg ( x )] y´ 2 = . sec (x) Mostre que esta expressão é igual a ( ) y´ tg x 1 + = . Simplifique-a utilizando a relação trigonométrica sec(x) 1 + tg 2 (x) = sec2 (x) se necessário. Atividades (grupo 24). 1. Calcule a derivada das funções abaixo: a) f (x) = 3x + sec(x2 ). d) ( ) ( ) f x sen x = . 1 + cot g(x) f x cos ec  x + 1  . b) ( ) ( ) ( ) x 2 cos x sen x f = . e) ( )   x − 1 = (     c) f x ) = tg ( 3 x ) . f) f ( x ) cos e   = x . x Álvaro Fernandes 39
  40. 40. 4. Derivada das funções trigonométricas inversas Proposição: y´ 1 = . a) y = arcsen(x) ⇒ 1 − x2 y´ − 1 = . b) y = arccos(x) ⇒ 1 − x2 y´ 1 = . c) y = arctg(x) ⇒ 1 + x2 y´ − 1 = . d) y = arc cot g(x) ⇒ 1 + x2 e) y = arc sec(x) ⇒ , x 1 y´ 1 = . 2 x x 1 > − y´ − 1 f) y = arccos ec(x) ⇒ , x 1 = . 2 x x 1 > − Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens têm demonstrações análogas e ficam como exercício. a) Seja f : [− 1, 1]→[− π 2 , π 2] definida por y = f (x) = arcsen(x). Esta função tem como inversa a função x = f −1 (y) = sen(y). Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para determinar f´(x). Assim: ( ) 1 1 1 f´ x 1 = = = = . − 1 ( ) cos ( y ) 1 sen 2 ( y ) 1 x 2 f y − − Observe que y ∈[− π 2 , π 2]. Neste caso o sinal da função cos(y) é positivo. Usando a relação trigonométrica fundamental cos2 (y)+ sen2 (y) = 1, obtemos cos(y) = 1 − sen2 (y) . c) Seja f :ℜ→(− π 2 , π 2) definida por y = f (x) = arctg(x). Esta função tem como inversa a função x = f −1 (y) = tg(y). Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para determinar f´(x). Assim: f´ ( x ) = 1 = 1 = 1 = 1 ( ) . f − 1 y sec 2 ( y ) 1 + tg 2 ( y ) 1 + x 2 Lembre-se que sec2 (y) = 1 + tg 2 (y). Álvaro Fernandes 40
  41. 41.  y arccos 1  > =  . Usando o e) Seja y = arc sec(x). Podemos reescrever esta expressão como , x 1 x  item (b) da proposiçãoe a regra da cadeia, obtemos: 1 = = = = = .  =    − ⋅   2 2 2 2 2 2 − x x 1 x x x 1 1 x x 1 x 1 2 x x 1 x 1 2 x x 1 x x 1 − y´ 1 1 1 x 2 − 2 2 − 2 2 − −   −   ´ 1 1  −  . Obs.: lembre-se que 2 x x =   Exemplo 33. Calcule a derivada das funções abaixo:   + y arctg 1 − x . 2 a) ( ) 1 x 2 arcsen y − = . b)     = 2 1 x Solução: a) y = arcsen(2x − 1). Usando a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ⋅ = 2 1 (2x 1)2 y´ x y´ u u´ x 1 1 u y arcsen u    = u 2x 1 − − − = ⋅ = = − .   + y arctg 1 − x . Novamente a regra da cadeia... 2 b)     = 2 1 x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )  2 2 2x 1 x 1 x 2x − + − − ⋅  ( ) =      1 + x  y´ x y´ u u´ x 1  +  = ⋅ =    y arctg u u 1 − x 1 + x = = 2 2 2 2 2 1 u  2x + 1 − 4x simplifique esta expressão e mostre que é igual a 1 x4 = 2 2 2 ( )      2 1 + x ⋅                   + 1 1 x   − + 2 1 x − . y´ x 2x − = . Logo ( ) 1 + x4 Atividades (grupo 25). Determine a derivada das funções: a) y = arccos(x2 − 1). b) y = 3x ⋅ arctg(ex ). Álvaro Fernandes 41
  42. 42. Tabela de derivadas Vamos fazer um resumo das derivadas das principais funções vistas até aqui. Nesta tabela u é uma função derivável na variável x. São constantes reais c, n e a. ( 1 ) y = c ⇒ y' = 0 ( 2 ) y = x n ⇒ y' = nx n − 1 ( 3 ) y = u n ⇒ y' = n.u n − 1 .u' ( ) u u ( ) 4 y = a ⇒ y' = a .ln a .u' 5 y log u , y' u' ( ) ( ) ( ) u.ln a = ⇒ = a 6 y ln u , u 0 y' u' ( ) ( )( ) u = > ⇒ = ( 7 ) y = sen ( u ) ⇒ y' = cos ( u ) .u' ( 8 ) y = cos ( u ) ⇒ y' = − sen ( u ) .u' ( 9 ) y = tg ( u ) ⇒ y' = sec 2 ( u ) .u' (10) y = cot g(u) ⇒ y' = − cos ec 2 (u).u' ( 11 ) y = sec ( u ) ⇒ y' = sec ( u ) tg ( u ) .u' ( ) ( ) ( ) ( ) 12 y = cos ec u ⇒ y' = − cos ec u cot g u .u' 13 y arc sen u y' u' ( ) ( ) 1 − u = ⇒ = 14 y arc c u y' u' ( ) ( ) os = ⇒ = − 15 y arc t u y' u' ( ) ( ) 1 u 2 1 u 2 + g = ⇒ = − 16 y arc c u y' u' ( ) ( ) 1 u 2 2 + otg = ⇒ = − 17 y arc s u , u 1 y' u' ( ) ( ) 2 u u − 1 ec = > ⇒ = 18 y arc u , u 1 y' u' ( ) ( ) 2 u u − 1 cosec = > ⇒ = − Regras operacionais Se u e v são funções deriváveis, então: = ± ⇒ ′ = ′ ± ′ y u v y u v = ⋅ ⇒ ′ = ′ ⋅ + ⋅ ′ y u v y u v u v ′ ⋅ − ⋅ ′ y u v u v v2 y u v  = ′ ⇒  =   1) 2) 3) Álvaro Fernandes 42
  43. 43. Derivadas sucessivas Em algumas aplicações precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma função y = f (x) for derivável, isto é, existe f´(x), podemos pensar na derivada de f´(x) e assim sucessivamente. Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função y = f (x) de acordo com a tabela abaixo: Como lê-se: Notação: f´ x ou dy 1a derivada ou derivada de 1a ordem ( ) dx 2 dx f´´ x ou d y 2a derivada ou derivada de 2a ordem ( ) 2 3 dx f´´´ x ou d y 3a derivada ou derivada de 3a ordem ( ) 3 4 f x ou d y 4a derivada ou derivada de 4a ordem ( 4 )( ) 4 dx # # )( ) n na derivada ou derivada de na ordem ( n f n x ou d y dx Justificativa para as notações: • f´´(x) = [f´(x)]´ , f´´´(x) = [f´´(x)]´ , a partir da quarta derivada usamos o cardinal.  d =  dy 2 d y •   dx dx dx 2   d y , e assim sucessivamente.   2 3 d y d ,   = dx 3 dx dx 2 Exemplo 34. a) Se f (x) = x 4 + 2x − 1, então: f´(x) = 4x 3 + 2 f´´(x) = 12x2 f´´´(x) = 24x f (4) (x) = 24 f (5) (x) = 0 ... f (n)(x) = 0 , para todo n ≥ 5 . Álvaro Fernandes 43
  44. 44. b) Se f (x) = e2 x , então: f´(x) = 2e2 x f´´(x) = 4e2 x f´´´(x) = 8e2 x f (4) (x) = 16e2 x ... f (n) (x) = 2n e2 x . c) Se f (x) = sen(x), então: f´(x) = cos(x) f´´(x) = − sen(x) f´´´(x) = −cos(x) f (4) (x) = sen(x) ... ( )( )    ( ) ( ) ( )  ( ) cos x , n 1,5,9,...   sen x , n 2,6,10,... =  sen x , n 4,8,12,... = − = cos x , n 3,7,11,... − = = f n x Atividades (grupo 26). 1. Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. a) y = 3x4 − 2x − 9, n = 4 . b) y = ax3 + bx2 + cx+d, n = 3 . y 1 = c) n 3 = , . 1 − x d) y = sen(− 5x), n = 5 . e) y = ln(1 − x2 ), n = 3 . (97 ) 0 f , sendo f (x) = e3x + sen(3x) é: 2. Marque a alternativa correta. O valor de ( ) a) 2⋅397 b) 3194 c) 697 d) 6194 e) 3⋅297 Álvaro Fernandes 44
  45. 45. Derivada na forma implícita Até agora sabemos derivar funções que são expressas na forma y = f (x). Agora iremos determinar uma maneira de derivar expressões que não tenham a variável y isolada (explicitada) em um dos membros. São exemplos dessas expressões x2 + y2 = 1, xy2 + ln(y) = 4 , etc. Em algumas situações é inconveniente ou até mesmo impossível de explicitar a variável y nessas expressões. O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma expressão desta forma, sem a necessidade de explicitá-la. Uma função na forma y = f (x), onde a variável y aparece isolada no primeiro membro é chamada de função explícita. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas por equações nas quais a variável y não está isolada. Por exemplo 2y + x2 y + 1 = x não está na forma explícita y = f (x). Mesmo assim, esta equação ainda define y como uma função de x, pois podemos escrevê-la como y x − 1 2 + = . x 2 Caso quiséssemos calcular y´ , poderíamos utilizar esta última expressão. Uma equação em x e y pode definir mais do que uma função. Por exemplo x2 + y 2 = 1 que representa graficamente uma circunferência de centro (0,0) e raio unitário (figura 1). Explicitando a variável y encontramos duas funções y = ± 1 − x2 . A função y = + 1 − x2 representa a semicircunferência superior (figura 2) e y = − 1 − x2 representa a semicircunferência inferior (figura 3). figura 1 figura 2 figura 3 Caso quiséssemos calcular y´ , poderíamos utilizar uma das expressões y = ± 1 − x2 . Ainda neste caso é possível explicitar a variável y, mesmo sabendo que parte do gráfico é suprimido neste processo. Álvaro Fernandes 45
  46. 46. Às vezes o processo para explicitar a variável y é bastante longo e trabalhoso, como é o caso da expressão x3 + y3 − 3xy = 0 e até mesmo impossível por qualquer método elementar, como neste caso sen(xy)− y = 0 . O método da derivação implícita permitirá encontrar a derivada y´ sem a necessidade de explicitar a função como y = f (x). Definição: Uma expressão na forma F(x, y) = 0 define implicitamente uma função y = f (x) se o gráfico de y = f (x) coincide com alguma parte do gráfico de F(x, y) = 0 . Exemplo 35. Exemplos de funções definidas implicitamente: a) 2y + x2 y + 1 − x = 0 . b) x2 + y2 − 1 = 0 . c) x3 + y3 − 3xy = 0 . d) sen(xy)− y = 0 . Vamos agora mostrar como obter a derivada y´ , nos casos do exemplo 35, sem explicitar y. Usaremos a regra da cadeia para derivar os termos da expressão F(x, y) = 0 que envolvem y. a) 2y + x2 y + 1 − x = 0 . Esta expressão define y como uma função de x implicitamente, logo: 2y x y 1 x d ( + + − ) = ( ) x y d 2 2y d 0 dx ( ) ( ) ( ) 1 x 0 + + − = dx ( ) dx 2 2xy x dy + + + − = dx d dx d dx 2 dy dx 2 2 2y´ + 2xy + x y´ − 1 = 0 ( 2 ) y´ x + 2 = 1 − 2xy . y´ 1 − 2xy 2 x 2 1 0 + = d 2 . Derivamos ambos os membros em relação a x. Derivada de uma soma de funções. Observe que usamos a derivada de um produto em (x y) dx dy = = . Apenas mudamos os símbolos: y´(x) y´ dx Álvaro Fernandes 46
  47. 47. Poderíamos obter a derivada y´ derivando diretamente y x − 1 2 + = . Vejamos: x 2 ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2x x x 2 2x 2x y´ 1 x 2 x 1 2x + − y´ 2 + 2x − x = = , logo ( 2 )2 + − + = + − − ( ) ( ) ( 2 )2 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 + + + 2 = . x + 2 Você pode estar se perguntando: y´ 2 + 2x − x Obtivemos ( 2 )2 2 = , mas anteriormente calculamos x + 2 y´ 1 − 2xy 2 + = . Estas expressões são x 2 distintas? Obviamente não, pois se fizermos − y x 1 2 + = na expressão x 2 y´ 1 − 2xy 2 + = , vamos obter x 2 y´ 2 + 2x − x = : ( 2 )2 2 x + 2 2 + 2x − x = . ( 2 )2 2 2 2 x + 2 − 2x + 2x 2 x 2 2  1 2x − 2x x 2 2 2 2 1 2x  x 1  2 2 x 2 + x 2 + x 2 − x + 2 x 2 y´ + = +       = +      − = +   − Atenção: Não é necessário verificar se as derivadas calculadas nas formas explícita e implícita coincidem, mesmo porque em alguns casos não é possível mesmo isolar a variável y. Caso queiramos calcular o valor da derivada y´ num ponto, por exemplo x 2 o = , basta encontrarmos o valor da imagem o y , substituindo o x na expressão 2y + x2 y + 1 − x = 0 . Depois calculamos y´ com estes dois valores, pois − y´ 1 2xy 2 + = depende de duas variáveis. Vejamos: x 2 2y x y 1 x 0 2y 4 y 1 2 0 y 1 o o o o o o o + + − = ⇒ + + − = ⇒ = . 6 2 1 − 2 ( 2 )  1 1 = . 18 6 − y´ 2 2    o o = 2 2 1 2x y x 2 o + = + y´ 2 + 2x − x = no ponto x 2 o = : Observe que encontramos este mesmo valor usando ( 2 )2 2 x + 2 ( ) 2 = 2 1 ( ) = 18 = . 36 y´ 2 + 2 2 − 2 2 2 2 + 2 Mas lembre-se: nem sempre é possível isolar a variável y para calcular y´ . Álvaro Fernandes 47
  48. 48. b) x2 + y2 − 1 = 0 . d ( 2 + 2 − ) = ( ) ⇒ + ( y 2 ) + 0 = 0 ⇒ 2x + 2yy´ = 0 ⇒ y´ = − x . y 0 2x d dx x y 1 d dx dx c) x3 + y3 − 3xy = 0 . d ( 3 + 3 − )= ( ) ⇒ 2 + ( y 3 )− 3 d (xy) = 0 ⇒ dx 0 3x d dx x y 3xy d dx dx 2 3x 3y y´ 3 1 y xy´ 0 y´ 3y 3x 3y 3x y´ 3y 3x 2 y´ y x 2 − − [( ) ] ( ) . y x 2 3y 3x 2 2 2 2 − ⇒ = − + − + = ⇒ − = − ⇒ = d) sen(xy)− y = 0 . d ( ( ) − ) = ( ) ⇒ ( ) − ( y ) = d (0) ⇒ cos(xy)[(1)y + xy´] − y´ = 0 dx 0 d sen xy d dx dx sen xy y d dx dx ( ) ( ) ( ) y cos xy xy´cos xy y´ 0 y´ y cos xy ( ) . x cos xy − 1 ⇒ + − = ⇒ = − Vejamos alguns exemplos que ocorrem com maior freqüência em derivação implícita: d n = n−1 ⋅ . (y ) ny y´ dx d [tg(y)] = sec 2 (y) ⋅ y´ . dx d [e y ] = e y ⋅ y´ . dx d [ ln ( y )] = 1 ⋅ y´ . y dx arctg y 1 [ ( )] y´ = . 1 y d dx 2 ⋅ + Álvaro Fernandes 48
  49. 49. Atividades (grupo 27). 1. Determine a derivada y' das curvas dadas implicitamente por: a) x2 + y2 = 4 b) xy 2 + 2y3 = x − 2y c) x2 y 2 + x sen(y) = 0 − y 3 x y = − f) tg(y) = xy − 1 d) exy = x + y − 3 e) 0 x + y 2. Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados. a) ln(y) = x + y2 no ponto P(− 1,1). b) x3 = y.2 y , no ponto em que a normal é vertical. c) 6 x2 + 13y2 = 19 (elipse), nos pontos onde a normal é paralela à reta 26 x − 12y −7 = 0 . 3. Seja C a circunferência dada implicitamente por x2 + y2 = 1 e t a reta tangente à C no ponto de abscissa x 2 2 o = , como mostra a figura abaixo. Calcule o valor da área sombreada. 4. Determine a área do triângulo AOB na figura abaixo sabendo-se que r é a reta tangente a curva C, dada implicitamente por exy + 2cos(x2 − 1)= 3x , no ponto A(1, 0). Álvaro Fernandes 49
  50. 50. Derivada de uma função na forma paramétrica Função na forma paramétrica Sejam  x =  x ( t ) y = y ( t  ) funções de uma mesma variável t, t∈[a,b]. A cada valor de t no intervalo [a,b] corresponde um único par P(x(t), y(t)) no plano cartesiano. Se as funções x = x(t) e y = y(t) forem contínuas, quando t variar de a até b, o ponto P descreverá uma curva no plano. As equações  x =  x ( t ) y = y ( t  ) são chamadas de equações paramétricas da curva e t é chamado de parâmetro. Se a função x = x(t) admite uma inversa t = t(x), podemos escrever y = y(t(x)), eliminando o parâmetro t. Neste caso, temos y como uma função de x, isto é, y = y(x). Mesmo quando a função x = x(t) não admite inversa, em alguns casos, podemos obter uma forma implícita da curva, eliminando o parâmetro t de forma conveniente. Dizemos que as equações  x =  x ( t ) y = y ( t  ) definem a forma paramétrica de uma curva plana. Exemplo 36.    x = t + 1 , t a) As equações ∈ℜ y = 2t , definem a reta de equação y = 2x − 2 . Para verificar isto basta isolar o parâmetro t na equação x = t + 1 e substituir em y = 2t .    x = 1 − t , t , definem a parábola de equação y = x2 − 2x . Para verificar 2 b) As equações ∈ℜ y = t − 1 isto basta isolar o parâmetro t na equação x = 1 − t e substituir em y = t 2 − 1 . c) As equações ( ) ( ) ∈[ π]    x = 2 cos t y = 2 sen t , t 0,2 , definem a circunferência de equação x2 + y 2 = 4 . Pois as equações x = 2 cos(t) e y = 2 sen(t) satisfazem x2 + y 2 = 4 , para todo t ∈ℜ. Álvaro Fernandes 50
  51. 51. x2 + y 2 = [2 cos(t)]2 + [2 sen(t)]2 = 4 cos 2 (t) + 4 sen2 (t) = 4(cos 2 (t) + sen2 (t))= 4 . Observe neste caso que a função x = 2 cos(t) não admite inversa no intervalo t∈[0, 2π] e a forma encontrada para a curva foi implícita. Caso geral: ( ) ( ) ∈[ π]    x = x + a cos t o , a > 0 , definem a circunferência de equação y = y + a sen t , t 0,2 o ( ) ( )2 2 x − x + y − y = a . o o 2 Prove! d) Forma paramétrica da Elipse: ( ) ( ) ∈[ π]    x = x + a cos t o , a ≠ b e ambos positivos, definem a elipse de equação y = y + b sen t , t 0,2 o ( ) ( ) 1 y − y o = b x − x a 2 2 o 2 2 + . Pois ( ) ( ) x x ( ) ( ) = , cos t o − a y y sen t o − = e cos 2 (t) + sen2 (t) = 1. b Vamos ver agora como obter a derivada de uma função na forma paramétrica. Seja  x =  x ( t ) y = y ( t  ) a forma paramétrica que define y como uma função de x. Suponha que as funções y = y(t), x = x(t) e a sua inversa t = t(x) sejam deriváveis. Podemos então obter a composta y = y(t(x)) e aplicar a regra da cadeia para calcular y´(x): y´(x) = y´(t)⋅ t´(x). t´ x = 1 . Daí, temos que Vimos no estudo da derivada da função inversa que ( ) ( ) x´ t y´ x = y´ t ⋅ 1 = . ( ) ( ) ( ) y´ ( t ) x´(t) x´ t ( ) ( ) y´ x = y´ t é a derivada de uma função na forma paramétrica. x´(t) Álvaro Fernandes 51
  52. 52. Exemplo 36. a) Calcule a derivada y´(x) da função y = y(x) definida na forma paramétrica por , ∈ℜ .    x = 3t − 5 y = 1 − 6t t ( ) ( ) y´ x y´ t − 6 = − ( ) 2 = = . 3 x´ t Poderíamos obter este resultado eliminado o parâmetro t, obtendo a função y = y(x) e calculando diretamente y´(x): x 3t 5 t x 5 = − −  = − ⇒ = 2x 9 . Daí, y´(x) = −2 . y 1 6  x + 5 3 + 3   ∴ = − b) Calcule a derivada y´(x) da função y = y(x) definida na forma paramétrica por , ∈ℜ . 2    x = 1 − t y = t + t t ( ) ( ) + y´ x y´ t 2t 1 = − − ( ) 2t 1 = = . 1 x´ t − Para obter a derivada em função de x, basta substituir t por 1 − x : y´(x) = −2t −1 ⇒ y´(x) = −2(1− x)−1 = 2x − 3 ∴ y´(x) = 2x − 3. Observe que novamente poderíamos obter este resultado eliminado o parâmetro t, obtendo a função y = (1 − x)2 + (1 − x) e calculando y´(x) = 2(1 − x)(− 1) + −1 = 2x − 3 . c) Determine a equação da reta tangente a elipse ( ) ( ) ∈[ π]    x = 1 + 2 cos t y = 2 + 4 sen t , t 0,2 no ponto π = . 4 t A equação da reta tangente é ( ) o o y − y = y´ x − x . 1 2 2   π Cálculo de o x : 1 2 x 1 2 cos o + = + =  = + . 2 4  Cálculo de y :  2 4 2 2 2 2 2(1 2 ) o  π y 2 4 sen o + = + = + =  = + . 2 4 Cálculo de y´ no ponto π = : 4 t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2(1) 2  π y´ y´ t  = − = − = = . 4 2 cot g t . y´ 2 cot g 4 cos t 2 sen t x´ t   = − ∴ = − − Logo, a reta tangente é igual a y − 2(1 + 2 )= −2(x − 1 − 2) ou y = −2x + 4(1 + 2). Álvaro Fernandes 52
  53. 53. Gráfico: Atividades (grupo 28). 1. Calcule a derivada y´(x) das funções definidas parametricamente nos pontos indicados. a) x sen2t π 3 , t = y cos 3t =    = . b) 3 π 6 , t x cos t 3 = y sen t =    = . 2. Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.   π π ∈ −    x = sen t , 2 ,t a)   y = sen 2t 2 , no ponto π = . 6 t b) ( ) ( ) ,0 t 1 x 6t 1 t 2 1 = + − 2 2 1 y 6t 1 t ≤ ≤    = + − , no ponto de abscissa 12 . 5 3. Determine o valor da área sombreada na figura abaixo. Sabe-se que r é a reta tangente a elipse ( ) ( ) ∈[ π]    x = 2cos t C : , no ponto y = sen t , t 0, 2 t π = . 3 Obs.: A área da elipse é dada pela fórmula A = πab , onde a e b são os comprimentos dos semi-eixos. Resp.: (8 3 − 3π) 6 Álvaro Fernandes 53
  54. 54. Diferencial Até agora dy tem sido visto apenas como uma simples notação para a derivada de uma função dx dy = = . O que faremos agora é interpretar y = f (x) em relação a variável x, isto é, y´(x) f´(x) dx dy dx como um quociente entre dois acréscimos (diferenciais). Acréscimos e decréscimos Se a partir de um determinado valor x somarmos ou subtrairmos um determinado valor Δx∈ℜ* , estaremos fazendo um acréscimo ou decréscimo na variável x. Nesta figura temos que Δx > 0. Sem perda de generalidade, podemos supor Δx > 0 para a nossa análise. Seja y = f (x) uma função derivável e Δx um acréscimo na variável x. Definição: O diferencial de x, denotado por dx, é o valor do acréscimo Δx , isto é, dx = Δx . Considere t a reta tangente ao gráfico de y = f (x) no ponto x. Seja α o ângulo de inclinação de t. Definição: O diferencial de y, denotado por dy, é o acréscimo na ordenada da reta tangente t, correspondente ao acréscimo dx em x. Δy = f (x + dx) − f (x) dy . Mas tg(α) = f´(x), pois De acordo com a figura podemos observar que o quociente = tg(α) dx esta é a interpretação geométrica da derivada. Logo dy dy = f´(x)⋅ dx = f´(x) ⇒ dx O acréscimo dy pode ser visto como uma aproximação para Δy . Esta aproximação é tanto melhor quanto menor for o valor de dx. Isto é, se dx→0 , então Δy − dy→0 . Daí podemos dizer que Δy ≈ dy se dx for bem pequeno. Álvaro Fernandes 54
  55. 55. Como Δy = f (x + dx) − f (x) e dy = f´(x)⋅ dx , obtemos que f (x + dx) − f (x) ≈ f´(x)⋅ dx , ou seja, f (x + dx) ≈ f´(x)⋅ dx + f (x) . Exemplo 37. 1. Calcule o diferencial dy das funções abaixo: a) y = x3 + 2x . b) y = sen(x2 ). c) y = ln(sec(x)). Soluções: a) dy = (3x2 + 2)dx . b) dy = 2x cos(x2 )dx . c) dy = tg(x)dx . 2. Calcule um valor aproximado para (19,9)2 usando diferenciais. Solução: Podemos pensar na função f (x) = x2 onde queremos calcular um valor aproximado para f (19,9). Para isto vamos utilizar f (x + dx) ≈ f´(x)⋅ dx + f (x), onde podemos fazer x = 20 e dx = −0,1. f´(x) = 2x . Daí, f (x + dx) ≈ f´(x)⋅ dx + f (x) f (20 + (− 0,1)) ≈ f´(20)⋅ (− 0,1)+ f (20) f (19,9) ≈ 2(20)⋅ (− 0,1)+ 202 = 40 ⋅ (− 0,1)+ 400 = −4 + 400 = 396 . Logo f (19,9) ≈ 396 . O valor exato é 396,01. Lembre-se: quanto menor o valor de dx, melhor é a aproximação. Atividades (grupo 29). 1. Encontre Δy e dy para os valores dados nas funções abaixo e compare os resultados (Δy ≅ dy): + y 2x 1 Δ = = − a) y = 5x2 − 6 x; Δx = 0,02; x = 0. b) ; x 0,1; x 1. x − 1 = 2. Usando diferencial, calcule um valor aproximado para: a) 12,52 . b) 4,13 . c) 13 . Álvaro Fernandes 55
  56. 56. Aplicações da derivada A regra de L’Hospital Esta regra permite calcular certos tipos de limites (cujas indeterminações são do tipo 0 ∞ ) ∞ ou 0 aplicando as regras de derivação. Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente, num ponto a∈ I . Suponha que g´(x) ≠ 0, ∀x∈ I e x ≠ a . a) Se ( ) ( ) ( ) lim f x lim g x 0 lim f´ x x a x a x a ( ) L g´ x e , então = = = → → → ( ) ( ) ( ) ( ) L g´ x lim f x x a x a lim f´ x g x = = → → ; b) Se ( ) ( ) ( ) lim f x lim g x lim f´ x x a x a x a ( ) L g´ x e , então = = ±∞ = → → → ( ) ( ) ( ) ( ) L g´ x lim f x x a x a lim f´ x g x = = → → . Exemplo 38. Calcule os limites abaixo usando a regra de L’hospital. a) x lim e -1 x x → 0 . b) 4 lim x + x − 2 2 x 1 x → 1 − . c) ( ) lim sen x − x x → 0 x + − x − e e 2 x lim e →+∞ . d) 2 x x . e) ( )x 2 lim x + 2x → + x 0 Soluções: a) x lim e -1 x x → 0 . (verifique a indeterminação do tipo 0 ) 0 1 lim e x = = 1 x lim e -1 x x 0 x 0 → → . Álvaro Fernandes 56
  57. 57. b) 4 lim x + x − 2 2 x 1 x → 1 − . (verifique a indeterminação do tipo 0 ) 0 5 2 3 lim 4x + 1 2x 4 lim x x 2 = + − 2 x 1 x 1 x 1 = − → → . c) ( ) lim sen x − x x → 0 x + − x − e e 2 . (verifique a indeterminação do tipo 0 ) 0 ( ) ( ) lim cos x 1 lim sen x x → − → − − − = − x 0 x x x 0 ex e x e + e − 2 Observe que ainda há uma indeterminação do tipo 0 . 0 Neste caso podemos continuar aplicando a regra... ( ) ( ) = − 0 = 0 2 cos x 1 − lim lim sen x x → 0 x − x x → 0 x − x e e − e e + = − . Logo, ( ) 0 lim sen x − x x → 0 x − x e e 2 = + − . x lim e →+∞ d) 2 x x . (verifique a indeterminação do tipo ∞ ) ∞ lim e x = Observe que ainda há uma indeterminação do tipo 2x lim e x x 2 x x →+∞ →+∞ ∞ . ∞ Neste caso podemos continuar aplicando a regra... lim e x = = +∞ lim e x →+∞ 2x x → 0 2 x x lim e . . Logo, = +∞ →+∞ 2 x x e) ( 2 )x lim x + 2x → + x 0 . Verifique que a indeterminação agora é do tipo 00 . Neste caso, precisamos transformá-la em 0 0 ou ∞ ∞ para poder aplicar a regra de L´Hospital. Vamos usar duas propriedades dos logarítimos. São elas: ln(ax )= x ln(a) e eln(x) = x . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 x + 2 x − 2 x 2 2 2 x 2 x lim x 2x lim e 2 x lim e 2 lim e lim e − lim e + + ln x + 2 x x ln x + 2 x ln x + 2 x 1 x 1 x 2 x 2 2 + = = = = = + = → + → + + + + + x → 0 x → 0 x → 0 x → 0 x 2 x x 0 x 0 0 0 2 2 x 2 x − + − lim e lim e lim e lim 1 1 = + = = = = + + → + → + x 0 x 0 2 x 0 x 2 x 0 → → . Podemos aplicar esta mesma técnica para resolvermos indeterminações do tipo ∞0 . Atividades (grupo 30). Calcule os seguintes limites usando a regra de L’hospital: a) x x − − − lim e e 2x x sen x x → 0 − . b) ( ) lim sen π x x 2 − 2 x → . c) lim sec(x) tg(x) x 2 − →π . d) [ ( )]2 x lim 1+ sen x → + x 0 . Álvaro Fernandes 57
  58. 58. Interpretação cinemática da derivada Vamos agora interpretar a derivada do ponto de vista da cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Veremos que a velocidade e a aceleração de um corpo podem ser determinadas através das derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, quando conhecemos a função horária do movimento do corpo. Velocidade. Considere um corpo que se move em linha reta e seja s = s(t) a sua função horária, isto é, o espaço percorrido em função do tempo. O deslocamento do corpo no intervalo de tempo t e t + Δt é definido por Δs = s(t + Δt)− s(t). A velocidade média do corpo neste intervalo de tempo é definida por ( ) ( ) v s m Δ s t t s t Δ + Δ − = . t t = Δ A velocidade média do corpo não dá uma informação precisa sobre a velocidade em cada instante do movimento no intervalo de tempo t e t + Δt . Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t, precisamos calcular a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores, isto é, fazendo Δt →0 . A velocidade instantânea do corpo no instante t é definida por ( ) lim s ( t + Δ t ) − s ( t ) s´(t) t v t lim v lim s = Δ = = t 0 m t 0 t 0 t = Δ Δ Δ → Δ → Δ → . Assim, v(t) = s´(t) . A velocidade instantânea v(t) é a primeira derivada da função horária s(t). Aceleração. De forma análoga ao conceito de velocidade vem o de aceleração: A aceleração média do corpo no intervalo de tempo t e t + Δt é definida por ( ) ( ) a v m Δ v t t v t Δ + Δ − = . t t = Δ A aceleração instantânea do corpo no instante t é definida por ( ) v ( t + Δ t ) − lim v ( t ) v´(t) t a t lim a lim v = Δ = = t 0 m t 0 t 0 t = Δ Δ Δ → Δ → Δ → . Assim, a(t) = v´(t). Como v(t) = s´(t) podemos escrever a aceleração instantânea como a segunda derivada dos espaço em relação ao tempo. Assim a(t) = s´´(t). s t s v t at Obs.: No M.R.U.V. a função horária é do segundo grau ( ) ( ) 2 o 0 = + + , sendo constantes 2 o s o espaço inicial, o v a velocidade inicial e a a aceleração do movimento. Neste caso, a velocidade instantânea é dada por v(t) s (t) v at o = ′ = + e a aceleração instantânea é dada por a(t) = v′(t) = a . Álvaro Fernandes 58
  59. 59. Exemplo 39. a) Suponha que um corpo em movimento retilíneo tenha função horária definida por s(t) = 12t − 2t 2 e no instante t = 0 ele inicia o movimento. Considere o espaço medido em metros e o tempo em segundos. Determine: i) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo[1,3]; ii) a velocidade do corpo no instante t = 1; iii) a aceleração média do corpo no intervalo de tempo[1,3]; iv) a aceleração do corpo no instante t = 1. Solução: i) ( ) ( ) ( ) ( ) 4m / s v s = 8 = m Δ = . 2 18 − 10 2 s 3 − s 1 3 1 s t + Δ t − s t t t = − = Δ = Δ ii) v(t) = s´(t) = 12 − 4t ∴ v(1) = 12 − 4 = 8m / s . ( ) ( ) ( ) ( ) − iii) a v v t t v t v 3 v 1 0 8 = − 2 Δ + Δ − − = . m 4m / s 2 3 1 t t = − = Δ = Δ iv) a(t) = s´´(t) = −4 ∴ a(3) = −4m / s2 . b) Uma partícula em movimento retilíneo tem a função horária dada por s(t) = 2t 3 − 21t 2 + 60t + 3 . Considere o espaço medido em metros e o tempo em segundos. Determine: i) Em que instante a partícula pára, isto é, tem velocidade nula? ii) Determine a aceleração da partícula no instante t = 4,5s . Solução: i) v(t) = s´(t) = 6t 2 − 42t + 60 ⇒ v(t) = 6(t 2 −7 + 10)= 6(t − 2)(t − 5). v(t) = 0 ⇔ 6(t − 2)(t − 5) = 0 ⇔ t = 2s ou t = 5s . Assim a partícula tem velocidade nula nos instantes t = 2s e t = 5s . ii) a(t) = s´´(t) = 12t − 42 ∴ a(4,5) = 12(4,5)− 42 = 12m / s2 . Álvaro Fernandes 59
  60. 60. Atividades (grupo 31). 1. Do solo um projétil é disparado verticalmente para cima. Sua altura (em metros) é dada em função do tempo (em segundos) por h(t) = 160t − 10t 2 . Determine: i) As funções velocidade e aceleração do projétil; ii) Em que instante t > 0 o projétil pára? iii) Quantos segundos dura todo o trajeto do projétil? iv) Com que velocidade e aceleração o projétil atingirá o solo? 2. A equação do movimento de uma partícula é s(t) = 3 t + 2 , s em metros e t em segundos. Determine: i) o instante em que a velocidade é de 1 12 m/s ; ii) a distância percorrida até este instante; iii) a aceleração da partícula quando t = 2s. 3 s t = 4 t + 4 − t + . 3. A equação horária do movimento retilíneo de uma partícula é ( ) ( ) 5 t 2 6 15 Considere s em metros e t em segundos. Determine em que instante t > 0 a aceleração da partícula é nula. Álvaro Fernandes 60
  61. 61. Taxa de variação Vimos na seção anterior que se s = s(t) é a função horária do movimento retilíneo de um corpo, a velocidade média é dada por v s m Δ Δ = e a velocidade instantânea é a dada pela derivada t ( ) ( ) ( ) ( ) lim s t + Δ t − s t t v t s´ t lim s t = Δ t 0 t 0 Δ Δ = = Δ → Δ → . Da mesma forma, a aceleração média é a v m Δ Δ = e a t aceleração instantânea é dada pela derivada ( ) ( ) ( ) ( ) + Δ − lim v t t v t t a t v´ t lim v t = Δ t 0 Δ t 0 Δ = = Δ → Δ → . As razões m m v e a são exemplos de taxas médias de variação num intervalo e as razões ( ) ( ) v t s´ t lim s t Δ t 0 Δ = = Δ → a t v´ t lim v e ( ) ( ) t Δ t 0 Δ = = Δ → são exemplos de taxas instantâneas de variação num ponto, ou simplesmente taxas de variação num ponto. Definição: De uma forma geral, se y = f (x) é uma função, a razão y Δ x Δ é chamada de taxa média de variação da função f no intervalo [x, x + Δx] e a derivada ( ) ( ) ( ) + Δ − lim f x x f x x f´ x lim y x = Δ x 0 Δ x 0 Δ = Δ → Δ → é chamada de taxa de variação da função f no ponto x. “Toda taxa de variação pode ser interpretada como uma derivada”. Interpretando a derivada desta forma, podemos resolver diversos problemas das ciências que envolvem razões instantâneas de variação. Exemplo 40. Suponha que um óleo derramado através da ruptura do tanque de um navio se espalhe em forma circular cujo raio cresce a uma taxa de 2m/h. Com que velocidade a área do derramamento está crescendo no instante em que o raio atingir 60m? Solução: A taxa com que o raio cresce é de 2m/h. Podemos interpretar e denotar esta taxa de variação como dr = 2m / h . dt Queremos calcular a taxa com que a área cresce em relação ao tempo. Podemos denotar esta taxa de variação como dA . A área do derramamento é circular, logo A = πr 2 . dt Queremos calcular dA e temos dt dr . A regra da cadeia relaciona estas razões através de dt dA = ⋅ dr . Assim, 2 r 2 4 r dt dA dr dt dA = π ⋅ = π . Quando o raio atingir 60m a área do derramamento dt estará crescendo a uma taxa de 4π(60)m2 / h = 240πm2 / h . Álvaro Fernandes 61
  62. 62. Diretrizes para resolver problemas de taxa de variação 1. Desenhe uma figura para auxiliar a interpretação do problema; 2. Identifique e denote as taxas que são conhecidas e a que será calculada; 3. Ache uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa será encontrada, com as quantidades cujas taxas são conhecidas; 4. Derive esta equação em relação ao tempo, ou use a regra da cadeia, ou a derivação implícita para determinar a taxa desconhecida; 5. Após determinada a taxa desconhecida, calcule-a em um ponto apropriado. Exemplo 41. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura igual a 4m. Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min, encontre a taxa na qual o nível da água está elevando quando a água está a 3m de profundidade. dV = 3 , devemos encontrar quando h = 3m. As grandezas V e h estão relacionadas pela equação V = 1 π r 2 h , que é o volume do cone. Para obter o volume V como função da altura h, podemos eliminar a variável r usando semelhança de triângulos: 2 h Dado 2m min V 1 dt 3 r = ⇒ r = h . Assim, 3 2 2 4 h π =  = π . h 12 h 2 3  Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos dV dh dt = ⋅ ⇔ = . dt 4 2 ⋅ h dh ⋅ ⇔ = dt 3h dh dt dV π dt 12 dh dt dV dh dV dt 2 π dV = 3 e h = 3m, temos Substituindo 2m min dt 0,28m min 2 8 = . 2 ≈ 9 4 3 dh dt π ⋅ = π Álvaro Fernandes 62

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