Gráfico da velocidade escalar
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Gráfico da velocidade escalar Document Transcript

  • 1. GRÁFICO DA VELOCIDADE ESCALAR<br />Como vimos no capítulo anterior, a equação horária da velocidade escalar de um MUV é do tipo:<br />v = v0 + a t<br />isto é, é uma equação do primeiro grau e, como aprendemos nas aulas de matemática, o gráfico de v em função do tempo t deve ser retilíneo, como nas figuras a seguir. Na Fig 4a temos o caso em que aceleração escalar é positiva (a > 0 ) e na Fig 4b temos o caso em que a aceleração escalar é negativa (a < 0 ).<br />A partir do gráfico podemos obter a aceleração (fig. 5) lembrando que<br />No caso da fig. 5b devemos nos lembrar que a aceleração escalar é negativa e, assim, também é negativa Portanto, nesse caso, o cateto vertical do triângulo sombreado nos dá o módulo de .<br />EXEMPLO<br />Na figura abaixo temos o gráfico da velocidade escalar em função do tempo para uma partícula. Determine a equação horária da velocidade escalar.<br />RESOLUÇÃO<br />Observando o gráfico vemos que no instante t = 0, a velocidade escalar é v0 = 8 m/s.<br />Para obtermos a aceleração escalar, considerando um triângulo retângulo qualquer cuja hipotenusa está sobre o gráfico e com um cateto horizontal e outro cateto vertical como, por exemplo, o triângulo sombreado na figura a seguir.<br />Nesse triângulo, a medida do cateto vertical é a variação da velocidade e a medida do cateto horizontal é a variação de tempo .<br />A aceleração escalar a é dada por:<br />A equação horária da velocidade escalar é:<br />SIGNIFICADO DA ÁREA<br />Na fig. 6 temos o gráfico da velocidade escalar em função do tempo para um movimento uniforme. Nesse caso temos<br />ou: <br />isto é, a área da região sombreada é ( numericamente ) igual à variação de espaço no intervalo de tempo .<br />É possível demonstrar que a mesma propriedade vale para o movimento uniformemente variado ( fig. 7 ). A área da região situada entre o gráfico e o eixo dos tempos é ( numericamente ) igual à variação de espaço ocorrida no intervalo de tempo .<br />Devemos observar que, quando a velocidade escalar é negativa ( fig. 8 ) também será negativo e, assim, teremos:<br />EXEMPLO<br />Uma partícula em movimento uniformemente variado tem espaço inicial s0 = 5m e sua velocidade escalar varia de acordo com o gráfico abaixo. Qual o espaço da partícula no instante t = 10 s ?<br />RESOLUÇÃO<br />Observando o gráfico percebemos que, entre os instantes t = 0 e t = 6 s, o módulo da velocidade diminuiu ( movimento retardado ), mas a velocidade é positiva ( movimento progressivo ). Nesse intervalo de tempo a variação de espaço da partícula é dada pela área do triângulo sombreado na fig. 9.<br />Portanto, entre os instantes t = 0 e t = 6 s a partícula deslocou-se 45 metros em movimento progressivo. Como no instante t = 0 seu espaço era s0 = 5 m, no instante t = 6 s seu espaço será s = 50 m ( fig. 10 ).<br />No instante t = 6 s a velocidade da partícula é nula. A partir desse instante o gráfico nos diz que a velocidade fica negativa (movimento retrógrado) e de módulo crescente (movimento acelerado). Entre os instantes t = 6 s e t = 10 s obtemos a variação de espaço por meio da área da região sombreada na fig. 11.<br />Portanto, entre os instantes t = 6 s e t = 10 s a partícula deslocou-se 20 metros em movimento retrógrado. Como no instante t = 6 s seu espaço era s = 50 m, no instante t = 10 s seu espaço será s = 30 m fig. 12<br />Em resumo , entre os instantes t = 0 e t = 6 s, a variação de espaço foi<br />e, entre os instantes t = 6 s e t = 10 s, a variação de espaço foi:<br />Portanto, no total, a variação de espaço foi:<br />Sendo s0 = 5 m, o espaço final s será dado por:<br />= s - s0<br />25 = s - 5<br />s = 30 <br />Na figura a seguir representamos todo o percurso.<br />VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA<br />Consideremos um objeto em movimento uniformemente variado, de modo que no instante t1 sua velocidade é v1 e no instante t2 sua velocidade é v2 ( fig. 13 ). Suponhamos que o gráfico da velocidade em função do tempo seja o da fig. 14.<br />A variação de espaço entre os instantes t1 e t2 é numericamente igual à área da região sombreada na fig. 14.<br />A velocidade escalar média entre os instantes t1 e t2 é, por definição: <br />Portanto:<br />Portanto a velocidade escalar média entre os instantes t1 e t2 é a média aritmética de v1 e v2. O valor vm está no meio do intervalo [ v1 , v2 ] e corresponde ao instante t' que está no meio do intervalo [ t1 , t2 ] <br />DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO HORÁRIA DO ESPAÇO<br />Na aula 17, apresentamos a equação horária do espaço de um MUV, sem demonstração. Vamos agora deduzir aquela equação.<br />Na fig. 16 a área da região sombreada nos dá a variação de espaço entre o instante t = 0 e um instante t qualquer:<br />Mas: v = v0 + a . t <br />Substituindo na equação I:<br />Mas:<br />= s - s0<br />Substituindo em (II):<br />ou:<br />