Úkol do předmětu "Kurz práce s informacemi".

1. Argumentace
Rozhodl jsem se vytvo°it text na téma Základy diferenciálního po£tu. Toto téma jsem si
vybral kv·li tomu, ºe je sou£ástí mé bakalá°ské práce na téma Geometrické úlohy vedoucí
na diferenciální rovnice (jedná se o mírn¥ dopln¥nou první kapitolu). Dal²ím d·vodem
tohoto výb¥ru je fakt, ºe jde o základní téma, se kterým se setká prakticky kaºdý student
matematiky a tudíº je mi velmi blízké.
Anotace
Tato práce pojednává o základech diferenciálního po£tu. V úvodu je uvedena denice deri-
vace a její geometrický význam (v£etn¥ p°íslu²ného hodnocení). Text pokra£uje výpo£tem
délky úsek· vy´atých te£nou a normálou k°ivky na sou°adných osách a vztahem pro výpo-
£et derivaci funkce zadané parametricky. Záv¥re£ná pasẠtextu se týka derivace implicitn¥
zadané funkce a p°íkladu.
Klí£ová slova
diferenciální po£et, derivace, te£na, normála, implicitn¥ zadaná funkce
1

2. Základy diferenciálního po£tu
Derivace a její geometrický význam
Denice: Bu¤ f funkce a bod x0 ∈ D(f ). Existuje-li
f (x) − f (x0 )
lim , (1)
x→x0 x − x0
nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bod¥ x0 a zna£íme f ′ (x0 ).
_
Uvaºujme nyní sm¥rnici k obecné p°ímky y = kx + q , procházející body [x0 , y0 ] a [x1 , y1 ],
x0 ̸= x1 . Platí
y1 − y0
k= = tg φ,
x1 − x0
kde φ je úhel, který svírá p°ímka s kladným sm¥rem osy x. Rovnice této p°imky je
y − y0 = k(x − x0 ).
P°edpokládejme nyní, ºe tato p°ímka je se£nou grafu známé funkce f a je ur£ena bodem
[x0 , f (x0 )] této funkce a dal²ím libovolným bodem grafu [x, f (x)]. Sm¥rnice této p°ímky
je
f (x) − f (x0 )
k= = tg φ.
x − x0
Rozumíme-li te£nou s bodem dotyku T [x0 , f (x0 )] limitní polohu uvaºované se£ny, kdy se
bod x blíºí bodu x0 , bude její sm¥rnice
f (x) − f (x0 )
lim = tg φ,
x→x0 x − x0
coº se shoduje s denicí (1.1) derivace funkce f v jejím bod¥ x = x0 . Je vid¥t, ºe geometrický
význam derivace funkce f v bod¥ [x0 , f (x0 )] je sm¥rnice te£ny ke grafu funkce f vedené
tímto bodem.
2

3. Te£na a normála ke grafu funkce
Uvaºujme funkci f = f (x). Vyuºijeme-li faktu, ºe geometrický význam derivace f ′ (x0 )
v bod¥ [x0 , f (x0 )] funkce f je sm¥rnice k te£ny y = kx + q vedené bodem x0 (p°esn¥ji
bodem [x0 , f (x0 )], pokud v²ak v dal²ím textu práce bude z°ejmé o jakou funkci f se jedná,
budeme se odvolávat pouze na x-ovou sou°adnici bodu), získáme rovnici te£ny ke grafu
funkce f v jejím bod¥ x0 :
y − y0 = y ′ (x0 )(x − x0 ). (2)
Uvaºujme dále normálu ke grafu funkce f vedenou bodem x0 . Jelikoº dv¥ p°ímky jsou kolmé
práv¥ tehdy, kdyº sou£in jejich sm¥rnic je roven −1, musí totéº platit pro te£nu a normálu
vedené spole£ným bodem x0 . Vyuºijeme-li tento fakt a nahradíme v rovnici (1.2) výraz
y ′ výrazem − y′ , získáme rovnici normály ke grafu funkce f vedené jejím bodem [x0 , y0 ]:
1
1
y − y0 = − (x − x0 ). (3)
y ′ (x0 )
Ur£eme dále úseky, které vytíná te£na resp. normála na sou°adných osách. Nejprve uva-
ºujme pr·se£íky te£ny (vedené bodem [x0 , y0 ] k°ivky y = f (x)) se sou°adnými osami.
Dosadíme-li body [¯, 0]
x a [0, y ]
¯ do rovnice (1.2) a vyjád°íme z t¥chto dosazení postupn¥
x
¯ a y,
¯ dostaneme:
y0
x = x0 −
¯ , (4)
y ′ (x0 )
y = y0 − x0 · y ′ (x0 ).
¯ (5)
V takto získaných vyjád°eních je x (resp. y ) x-ová (resp. y -ová) sou°adnice pr·se£íku te£ny
¯ ¯
a osy x (resp. osy y ). Dále |¯| (resp. |¯|) udává délku úseku vy´atého te£nou k°ivky na ose
x y
x (resp. ose y ). Podobn¥ pro normálu lze uvaºovat její pr·se£íky s osami, které ozna£íme
[x, 0] a [0, y]. Dosazením t¥chto sou°adnic do rovnice (1.3) a vyjád°ením x a y dostaneme:
x = x0 + y0 · y ′ (x0 ), (6)
x0
y = y0 + ′ (x )
. (7)
y 0
_
V t¥chto vyjád°eních je x (resp. y ) x-ová (resp. y -ová) sou°adnice pr·se£íku normály k°ivky
a osy x (resp. osy y ). Dále |x| (resp. |y|) udává délku úseku vy´atého touto normálou na
ose x (resp. ose y ).
_
Pro úplnost uvaºujme je²t¥ sm¥rnici te£ny k°ivky zadané parametricky. Je-li graf funkce
f k°ivka zadaná parametricky rovnicemi x = φ(t), y = ψ(t), pak za p°edpokladu φ′ (t) ̸= 0
−1
je tato funkce v okolí bodu t = t0 prostá. Tedy v bod¥ t0 existuje inverzní funkce φ .
−1 −1
V okolí bodu t0 dále platí t = φ (x), odkud y = ψ(t) = ψ (φ (x)). Derivováním
a vyuºitím v¥ty o derivaci inverzní funkce získáme:
( ) ( )′ ( ) 1 ψ ′ (t)
y ′ = ψ ′ φ−1 (x) · φ−1 (x) = ψ ′ φ−1 (x) · = .
φ′ (φ−1 (x)) φ′ (t)
3

4. Dosazením t = t0 pak získáme následující vztah pro derivaci k°ivky x = φ(t), y = ψ(t)
v jejím bod¥ [φ(t0 ), ψ(t0 )]:
′ ψ ′ (t0 )
y (t0 ) = ′ . (8)
φ (t0 )
_
Derivace implicitn¥ zadané funkce dvou prom¥nných
Uvaºujme rovinnou k°ivku, jejíº rovnici nelze upravit na tvar y = f (x). Pro výpo£et
′
derivace y pak pouºijeme následující v¥tu:
_
V¥ta: Nech´ je dána funkce dvou prom¥nných F (x, y) = 0 a nech´ F má v n¥jakém okolí
′ ′ ′
bodu [x0 , y0 ] spojité parciální derivace Fx a Fy a dále nech´ Fy (x0 , y0 ) ̸= 0. Pak existuje
okolí Oδ (x0 ) ⊂ R a existuje práv¥ jedna funkce f denovaná na tomto okolí taková, ºe
f (x0 ) = y0 , F (x, f (x)) = 0 pro v²echna x ∈ Oδ (x0 ) a na Oδ (x0 ) má f spojitou derivaci,
pro kterou platí
′
Fx (x, y)
f ′ (x) = − ′
, (9)
Fy (x, y)
kde y = f (x). O funkci f stru£n¥ hovo°íme jako o implicitn¥ zadané funkci.
_
_
Funkci dvou prom¥nných lze derivovat také tak, ºe derivujeme rovnost bez vyjád°ení
y a na y
se díváme jako na sloºenou funkci, která je implicitním zadáním x. Z takto
′
vzniklé rovnice pak vyjád°íme y .
_
_
P°íklad: Ur£ete derivaci y′ implicitn¥ zadané funkce x2 + xy − 2y3 = y2 .
_
e²ení. Rovnici zderivujeme a na y se díváme jako na implicitní funkci x:
2x + y + xy ′ − 6y 2 y ′ = 2yy ′ .
xy jsme derivovali podle vzorce pro derivaci sou£inu.
Za zvlá²tní zmínku stojí fakt, ºe výraz
Derivování je v ur£itém ohledu formáln¥ podobné derivaci sloºené funkce prom¥nné x. Ze
′
vzniklé rovnice nakonec vyjád°íme y :
2x + y
y′ = .
6y 2+ 2y − x
Obdrºený výsledek odpovídá derivování podle vzorce (9).
4

5. Literatura
[1] DO’LÁ, Zuzana. Diferenciální po£et jedné prom¥nné. 1. vyd. Brno: Masary-
kova univerzita, 2003, 209 s. ISBN 80-210-3121-2.
[2] M5858 Diferenciální rovnice a jejich uºití I: Zápisky z p°edná²ek. In: POSPÍ-
’IL, Zden¥k. IS MUNI: Informa£ní systém [online]. 2009 [cit. 2012-12-24]. Do-
stupné z: https://is.muni.cz/el/1431/podzim2007/M5858/um/DifRovUzI.pdf
[3] Petr Zemánek Homepage [online]. 2008, 2.12.2012 [cit. 2012-12-24]. Dostupné
z: https://www.math.muni.cz/~zemanekp/
5

6. Hodnocení literatury
[1] DO’LÁ, Zuzana. Diferenciální po£et jedné prom¥nné. 1. vyd. Brno: Masarykova uni-
verzita, 2003, 209 s. ISBN 80-210-3121-2.
_
Pro£ povaºuji zdroj za kvalitní a relevantní:
• Autorka má vysoké odborné vzd¥lání v dané oblasti.
• Publikace je za²tít¥na uznávanou v¥deckou organizací - Masarykovou univerzitou.
• Publikace je s ohledem na uzav°ení vývoje daného tématu p°im¥°en¥ aktuální.
• Publikace je psaná velmi p°ehledným a názorným zp·sobem. Je vhodn¥ strukturo-
vaná pomocí nadpis· a odstavc·.
• Text obsahuje odborné termíny. Téma je zde zpracováno dostate£n¥ podrobn¥.
[2] M5858 Diferenciální rovnice a jejich uºití I: Zápisky z p°edná²ek. In: POSPÍ’IL, Zden¥k.
IS MUNI: Informa£ní systém [online]. 2009 [cit. 2012-12-24].
Dostupné z: https://is.muni.cz/el/1431/podzim2007/M5858/um/DifRovUzI.pdf
Pro£ povaºuji zdroj za kvalitní a relevantní:
• Autor má vysoké odborné vzd¥lání v dané oblasti.
• Autor p·sobí na akademicky uznávané instituci (Masarykov¥ univerzit¥).
• Text je s ohledem na uzav°ení vývoje daného tématu p°im¥°en¥ aktuální.
• Text je psán velmi p°ehledným a názorným zp·sobem. Je pouºíván jako pomocný
studijní text p°i výuce.
• Text obsahuje odborné termíny. Téma je zde zpracováno dostate£n¥ podrobn¥.
[3] Petr Zemánek Homepage [online]. 2008, 2.12.2012 [cit. 2012-12-24].
Dostupné z: https://www.math.muni.cz/~zemanekp/
Pro£ povaºuji zdroj za kvalitní a relevantní:
• Autor má vysoké odborné vzd¥lání v dané oblasti.
• Autor p·sobí na akademicky uznávané instituci (Masarykov¥ univerzit¥).
• Poslední aktualizace stránky je velmi nedávná a tudíº je stránka aktuální.
• Stránky obsahují velké mnoºství odkaz· vedoucích na matematicky relevantní stránky.
• Odkazované materiály jsou dostate£n¥ podrobné.
6

7. My²lenková mapa
_
_
_
7