1. CEA, LETI, MINATEC, F38054 Grenoble, France
DiplĂ´me de Recherche Technologique
par
Ćylvâin âŹierre
SUJET X
AmĂŠlioration et implĂŠmentation d'algorithmes de
reconstruction en nanotomographie ĂŠlectronique
Ćoutenue le PP oâ˘toËre PHIH devânt lâ â˘ommission d9exâmen X
teânEâ°ves fu0ère rapporteur
prânçoise âŹeyrin rapporteur
teânEâŹierre fruândet examinateur
âŹierre fleuet encadrant professionel
vâurent hesËât encadrant universitaire
2.
3. Remerciements
gette ĂŠtudeD dâns le â˘âdre d9un diplĂ´me de reâ˘herâ˘he teâ˘hnologiqueD â ĂŠtĂŠ
rĂŠâlisĂŠe dâns le vâËorâtoire de gârââ˘tĂŠrisâtion âŹhysique y'Eline du gieE
vĂŠtiF @gommissâriât Ă l9inergie etomique G vâËorâtoire d9Ăleâ˘tronique et
des âeâ˘hnologies de l9snformâtion G hĂŠpârtement âŹlâteforme âeâ˘hnologie ĆiE
liâ˘ium G Ćerviâ˘e gârâtĂŠrisâtion âŹhysique snEline et y'Eline G vâËorâtoire de
gârââ˘tĂŠrisâtion âŹhysique y'ElineA
te tiens tout d9âËord Ă remerâ˘ier teânEglâude âoyer @â˘hef de serviâ˘eA
et prĂŠdĂŠri⢠vâugier @â˘hef de lâËorâtoireA qui m9ont permis d9intĂŠgrer leur
lâËorâtoire pour â˘ette ânnĂŠe d9ĂŠtude prenânte et pâssionnânteF
wes remerâ˘iements se tournent ensuite tout nâturellement vers âŹierre
fleuetD mon tuteur industrielD qui â su superviser â˘es trâvâux âve⢠Ëeâuâ˘oup
d9optimisme et de rigueur mâis ĂŠgâlement pour ses â˘ritiques â˘onstruâ˘tives
quânt Ă lâ rĂŠdââ˘tion de â˘e râpportF
te tiens pârtiâ˘ulièrementD Ă remerâ˘ierD vâurent hesËâtD mon enâ˘âdrânt
universitâireD pour son âide prĂŠâ˘ieuse en reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphiqueF
t9âdresse mes remerâ˘iements Ă edeline qrenier et âŹeter ghernsD pour
leurs expliâ˘âtions â˘onâ˘ernânt lâ tomogrâphie ĂŠleâ˘tronique et le pârtâge de
leurs donnĂŠesF
te tiens ĂŠgâlement Ă remerâ˘ier pâr âvânâ˘e les râpporteurs prânçoise âŹeyE
rin et teânEâ°ves fu0èreD âinsi que teânEâŹierre fruândetD pour âvoir ââ˘â˘eptĂŠ
de â˘onsââ˘rer quelques heures Ă lâ â˘ritique de â˘e mĂŠmoireF
te voudrâis remerâ˘ier xĂŠvine âoâ˘hâsD ghristophe viâ˘itrâ et ylivier hesE
plât âve⢠qui j9âi pârtâgĂŠ mon Ëureâu pendânt IV moisF wâis âussi pour âvoir
supporter toutes mes questions â˘onâ˘ernânt lâ physique en gĂŠnĂŠrâlF
in(n un qâexh merâ˘i Ă mes 4â˘ollègues de â˘ouloir4 pour leurs âides
ponâ˘tuelles sur â˘es trâvâux mâis surtout pour lâ Ëonne humeur et les Ëons
moments pâssĂŠs iâ˘i ou dâns les ËârsF te pense notâmment Ă wâylisD qeorgD
wâthieuD glâireD gyrilD wiâ˘kâĂŤlD eudeD uhâledD âŹâulineD wârie et tous â˘eux
que j9âurâis pu ouËlierF
i
4. Table des matières
1 Introduction 3
IFI gontexte F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q
IFP yËjeâ˘tif et woyen F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S
IFQ Ćtruâ˘ture du doâ˘ument F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F T
2 Tomographie 7
PFI âomogrâphie Ă râyons Ë F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U
PFP âomogrâphie ĂŠleâ˘tronique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W
PFQ Ćonde âtomique tomogrâphique F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ
3 OpĂŠrateurs mathĂŠmatiques en tomographie ĂŠlectronique 15
QFI gonventions F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IS
QFIFI pântĂ´me de ĆheppEvogân F F F F F F F F F F F F F F F F F IS
QFIFP ves âxes et les notâtions F F F F F F F F F F F F F F F F F IT
QFP ârânsformĂŠe de pourier F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IU
QFPFI âŹroduit de â˘onvolution F F F F F F F F F F F F F F F F F F IU
QFPFP ârânsformĂŠe de pourier inverse F F F F F F F F F F F F F F IV
QFPFQ ârânsformĂŠe de pourier Ph F F F F F F F F F F F F F F F F IV
QFQ ârânsformĂŠe de ââdon F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IW
QFR âhĂŠorème de lâ â˘oupe â˘entrâle @â˘oupe E projeâ˘tionA F F F F F F PI
QFS ypĂŠrâteur de rĂŠtroprojeâ˘tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ
QFT ârânsformĂŠe de ââdon inverse F F F F F F F F F F F F F F F F F F PR
QFU ĆpĂŠâ˘i(â˘itĂŠ en tomogrâphique ĂŠleâ˘tronique F F F F F F F F F F F F PT
QFUFI sntĂŠrĂŞt de lâ tomogrâphie ĂŠlĂŠâ˘tronique F F F F F F F F F PT
QFUFP v9ângle limitĂŠ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PU
4 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ 29
RFI âŹroËlĂŠmâtique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW
RFP wĂŠthodes ânâlytiques F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ
RFPFI âĂŠtroprojeâ˘tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ
RFPFP âĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠe F F F F F F F F F F F F F F F F F F QR
I
5. 2 TABLE DES MATIĂRES
RFPFQ gonâ˘lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU
RFQ wĂŠthode âlgĂŠËrique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV
RFQFI âŹrinâ˘ipe mâthĂŠmâtique F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV
RFQFP âŹrinâ˘ipe âlgorithmique F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV
RFQFQ wĂŠthode eââ @elgeËrâi⢠âeâ˘onstruâ˘tion âeâ˘hniqueA F QW
RFQFR wĂŠthode Ćsââ @Ćimultâneous sterâtive âeâ˘onstruâ˘tion
âeâ˘hniqueA F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RQ
RFQFS gonâ˘lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RS
RFR âomogrâphie en douËleEâxe F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT
RFRFI âŹrinâ˘ipe F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT
RFRFP elgorithme F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RV
RFRFQ âeâ˘onstruâ˘tion en douËleEâxe Qh F F F F F F F F F F F F SH
RFRFR gonâ˘lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST
RFS âomogrâphie voâ˘âle F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST
RFSFI sntroduâ˘tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST
RFSFP smplĂŠmentâtion d9une formule d9inversion en tomogrâE
phie loâ˘âle F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SW
RFSFQ âomogrâphie multiErĂŠsolution F F F F F F F F F F F F F F TQ
RFSFR gonâ˘lusion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS
5 Application pratique 67
SFI elignement des donnĂŠes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TU
SFIFI i'et du dĂŠsâlignement F F F F F F F F F F F F F F F F F F TW
SFIFP elignement en trânslâtion pâr â˘orrĂŠlâtion â˘roisĂŠe F F F UP
SFP âomogrâphie sur les qee F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UR
SFPFI sntroduâ˘tion sur les qee F F F F F F F F F F F F F F F F UR
SFPFP wise en â˘orrespondânâ˘e âve⢠les donnĂŠes ĂŠquipementier UU
SFPFQ wise en âppliâ˘âtion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UV
6 Conclusion et perspectives 83
Bibliographie 85
6. Chapitre 1
Introduction
1.1 Contexte
ges trâvâux â˘onâ˘ernent lâ reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphique et plus pârtiâ˘uE
lièrement les âlgorithmes liĂŠs Ă â˘e domâineF
vâ tomogrâphie est une teâ˘hnique d9imâgerieF eu sens littĂŠrâl du termeD
lâ tomogrâphie est un moyen de reprĂŠsenter en â˘oupe un oËjet tridimenE
sionnelF gette proËlĂŠmâtique â ĂŠtĂŠ ĂŠnormĂŠment ĂŠtudiĂŠe depuis le dĂŠËut des
ânnĂŠes IWUH et â eu de nomËreuses âppliâ˘âtions â˘omme le sâ˘ânner en imâgerie
mĂŠdiâ˘âle oĂš elle est très lârgement utilisĂŠe pour le diâgnostiqueF
gette teâ˘hnique â˘onsiste Ă reâ˘onstruire un oËjet @le â˘orps humâin dâns le
â˘âs de l9imâgerie mĂŠdiâ˘âleD des nâno â˘omposânts en miâ˘ro et nâno ĂŠleâ˘troE
niqueD un mâtĂŠriâu en â˘ontrĂ´le non destruâ˘tifA Ă pârtir d9une sĂŠrie de mesures
dĂŠportĂŠes Ă l9extĂŠrieur de l9oËjetF in sonde âtomique tomogrâphiqueD l9oËjet
est dĂŠâ˘oupĂŠ et imâgĂŠ âu fur et Ă mesureD â˘e qui rend lâ teâ˘hnique entièE
rement destruâ˘tiveF in tomogrâphie pâr râyons ËD l9oËjet est soumis Ă un
râyonnement ionisânt et lâ teâ˘hnique est nonEdestruâ˘tiveF
Q
7. 4 Introduction
Figure IFI ! âŹrinâ˘ipe de reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphiqueF
v9ââ˘quisition des donnĂŠes est lâ première ĂŠtâpe en tomogrâphieF in toE
mogrâphie ĂŠleâ˘troniqueD pâr exempleD â˘elâ â˘onsiste Ă oËtenir des projeâ˘tions
en P dimensions Ă di'ĂŠrents ângles de vuesF
vâ seâ˘onde ĂŠtâpe est lâ reâ˘onstruâ˘tion Ă proprement pârlerF ve proâ˘essus
de reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphiqueD Ă pârtir des donnĂŠes expĂŠrimentâles perE
met de dĂŠterminer lâ distriËution tridimensionnelle d9une â˘ertâine quântitĂŠ
physique selon le type d9informâtion fournie pâr le â˘âpteur @â˘âpture d9une
pârtiâ˘uleD pression ââ˘oustiqueD âttĂŠnuâtion d9un fâisâ˘eâu lumineuxD ĂŠmission
de râyonnementD di'rââ˘tionDFFFAF hâns le â˘âs prĂŠâ˘ĂŠdent de lâ tomogrâphie
ĂŠleâ˘troniqueD les projeâ˘tions ââ˘quises Ă di'ĂŠrents ângles de vuesD permettent
de reâ˘onstruire des plâns âxiâuxD sâgittâux et frontâux de lâ densitĂŠ physiqueF
ârâvâiller Ă l9âmĂŠliorâtion des mĂŠthodes de reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphiqueD
â pour Ëut de mieux exploiter les signâux dĂŠlivrĂŠs pâr les tomogrâphes pour
fournir une â˘ârtogrâphie de lâ distriËution de l9oËjet qui soit Ă lâ fois de
Ëonne quâlitĂŠ @en termes de rĂŠsolution spâtiâle et râpport signâlEsurEËruitA
et qui se prĂŞte Ă une interprĂŠtâtion quântitâtive X mesure de distânâ˘eD de
volumesD de porositĂŠsD ânâlyse de (ssuresF F F
eu gieEviâsD notre domâine d9âppliâ˘âtion â˘onâ˘erne les nânoteâ˘hnoloE
giesF yn visuâliserâ pâr exemple des nânoE(ls ou enâ˘ore des nânoEsphèresF vâ
â˘ârââ˘tĂŠrisâtion de â˘es oËjets est don⢠primordiâle et pâr â˘onsĂŠquent l9ĂŠtude
des proâ˘ĂŠdĂŠs de reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphique prend tout son sensF
8. 1.2 Objectif et Moyen 5
1.2 Objectif et Moyen
v9oËjeâ˘tif mâjeur de â˘e hââ est d9exploiter âu mieux les donnĂŠes en
tomogrâphie ĂŠleâ˘tronique et de limiter âu mâximum les ârtefââ˘ts liĂŠs Ă l9ââ˘E
quisition sur un domâine ângulâire limitĂŠF
âŹour â˘e fâireD il fâudrâ â˘ommenâ˘er pâr ââ˘quĂŠrir un sâvoirEfâire en tomoE
grâphie ĂŠleâ˘tronique et plus prĂŠâ˘isĂŠment en reâ˘onstruâ˘tionD â˘e qui implique
lâ mâĂŽtrise d9un â˘ertâin nomËre de â˘onâ˘epts mâthĂŠmâtiques âvânâ˘ĂŠsF
insuiteD il fâudrâ rĂŠâliser un ĂŠtât de l9ârt des di'ĂŠrents âlgorithmes et mĂŠE
thodes utilisĂŠsF e pârtir de lĂ D il serâ nĂŠâ˘essâire d9âmĂŠliorer â˘es âlgorithmes
â(n de rĂŠduire les ârtĂŠfââ˘ts dus âux donnĂŠes ângulâires mânquântes et ĂŠgâleE
ment âu Ëruit importânt que l9on peut âvoir âve⢠des donnĂŠes expĂŠrimentâlesF
ges âmĂŠliorâtions pâsseront notâmment pâr l9optimisâtion de lâ gĂŠomĂŠtrie
d9ââ˘quisitionD en fâisânt pâr exemple intervenir plusieurs jeux de donnĂŠes
â˘roisĂŠsF âŹâr âilleursD on â˘herâ˘he ĂŠgâlement Ă mieux â˘ontrĂ´ler les pârâmètres
ou l9âlignement systĂŠmâtique des donnĂŠesF v9âjout d9informâtion â priori sur
l9oËjet dâns le proâ˘essus de reâ˘onstruâ˘tion est ĂŠgâlement envisâgĂŠF
âŹour lâ simulâtion des donnĂŠes et l9implĂŠmentâtion des âlgorithmes de reE
â˘onstruâ˘tionD le logiâ˘iel wâtlâË serâ utilisĂŠF ge dernier o're une plus grânde
)exiËilitĂŠF eâ˘tuellementD pour rĂŠâliser lâ reâ˘onstruâ˘tion de l9oËjet visuâlisĂŠ
âve⢠le âiwD l9ĂŠquipementier fournit un logiâ˘iel performânt permettânt âu
â˘lient d9âligner et de reâ˘onstruire de mânière â˘onviviâle les donnĂŠesF xĂŠânE
moinsD â˘e logiâ˘iel o're des fonâ˘tionnâlitĂŠs et une )exiËilitĂŠ nĂŠâ˘essâirement
limitĂŠesD ne permet pâs de modi(er ou prendre en â˘ompte tous les pârâmètres
de lâ reâ˘onstruâ˘tionD ni de gĂŠrer les â˘âs pârtiâ˘uliersF
9. 6 Introduction
1.3 Structure du document
ge mânusâ˘rit â˘omporte quâtre pârtiesF hâns lâ première pârtieD nous prĂŠE
senterons de mânière gĂŠnĂŠrâle lâ tomogrâphieF âŹour â˘elâ on ĂŠtudierâ les trois
prinâ˘ipâles teâ˘hnique de tomogrâphie X lâ tomogrâphie Ă râyons ËD lâ tomoE
grâphie ĂŠleâ˘tronique et (nâlement lâ sonde âtomique tomogrâphiqueF âŹour
â˘hââ˘une de â˘es mĂŠthodes seront Ërièvement dĂŠâ˘rits le prinâ˘ipeD les donnĂŠes
que l9on peut en extrâire et ĂŠgâlement les â˘ontrâintes liĂŠesF ge â˘hâpitre â pour
Ëut de nous ĂŠâ˘lâirer sur les âvântâges et inâ˘onvĂŠnients de â˘hâque teâ˘hnique
et de dĂŠ(nir quelle est lâ meilleure teâ˘hnique pour un â˘âs sâ˘ienti(que donnĂŠF
vâ seâ˘onde pârtie du mânusâ˘rit introduit les opĂŠrâteurs mâthĂŠmâtiques
utilisĂŠs en tomogrâphieF ille met notâmment en âvânt les prinâ˘ipes fondâE
mentâux de lâ reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphique et plus prĂŠâ˘isĂŠment en tomogrâE
phie ĂŠleâ˘troniqueF ge â˘hâpitre est primordiâl pour â˘omprendre le proâ˘essus
de reâ˘onstruâ˘tion ânâlytiqueF
ve troisième â˘hâpitre est un ĂŠtât de l9ârt des teâ˘hniques de reâ˘onstruâ˘tion
tomogrâphique Ă ângle limitĂŠF yn expose tout d9âËord pourquoi le dĂŠËâtteE
ment ângulâire est limitĂŠ et quels sont les proËlèmes qui en dĂŠâ˘oulentF âŹâr lâ
suite les di'ĂŠrentes teâ˘hniques rĂŠâ˘entes de reâ˘onstruâ˘tion sont exposĂŠesF gelâ
inâ˘lut les teâ˘hniques ânâlytiquesD âu sens très mâthĂŠmâtique du terme mâis
ĂŠgâlement pâr des teâ˘hniques dites âlgĂŠËriquesD itĂŠrâtivesF yn (nit pâr deux
âpproâ˘hes plus âvânâ˘ĂŠes X lâ reâ˘onstruâ˘tion 4douËleEâxe4 oĂš plusieurs jeux
de donnĂŠes interviennent et lâ tomogrâphie loâ˘âle oĂš il est question de reE
â˘onstruire un oËjet Ă pârtir de donnĂŠes tronquĂŠesF ge â˘hâpitre nous âpporte
une â˘onnâissânâ˘e thĂŠorique solide â(n de pouvoir trâiter des donnĂŠes rĂŠellesF
vâ quâtrième pârtie est don⢠une âppliâ˘âtion prâtique de tout â˘e que l9on
â vu prĂŠâ˘ĂŠdemmentD âve⢠en plus une seâ˘tion â˘onsââ˘rĂŠe Ă l9âlignement des
donnĂŠesD proËlème qui ne se posâit pâs âve⢠des donnĂŠes simulĂŠesF yn trâite
ensuite une reâ˘onstruâ˘tionD âve⢠tous les proËlèmes qu9il peut y âvoirD d9oËjet
expĂŠrimentâl de type trânsistor qee @en ânglâis 4qâteEellEeround deviâ˘e4AF
10. Chapitre 2
Tomographie
2.1 Tomographie Ă rayons X
ve râyonnement Ë est un râyonnement ĂŠleâ˘tromâgnĂŠtique â˘omme les
ondes râdioD lâ lumière visiËleD ou les infrârougesF vâ tomogrâphie pâr âËE
sorption de râyons Ë est une teâ˘hnique non destruâ˘tive qui permet lâ reâ˘onsE
truâ˘tion d9imâges 4en â˘oupe4 d9un oËjet tridimensionnel âIâF
xĂŠe dâns les ânnĂŠes IWUH pour le domâine mĂŠdiâ˘âlD â˘ette teâ˘hnique proE
metteuse s9est âdâptĂŠe âu domâine industriel dont tous les seâ˘teurs peuvent
ËĂŠnĂŠ(â˘ier des possiËilitĂŠsD que â˘e soit en âĂŠronâutiqueD dâns le seâ˘teur âutoE
moËileD en fonderieD dâns l9industrie minière ou pĂŠtrolière ou enâ˘ore le seâ˘teur
âgroEâlimentâireF
Ćon prinâ˘ipe repose sur l9ânâlyse multidireâ˘tionnelle de l9interââ˘tion d9un
fâisâ˘eâu de râyons Ë âve⢠lâ mâtièreF ve râyonnement trânsmis est enregistrĂŠ
pâr des dĂŠteâ˘teurs âprès que les râyons Ë âient trâversĂŠ un oËjetF
ves donnĂŠes ââ˘quises lors de lâ prise de mesure @dont lâ durĂŠe vârie d9une
frââ˘tion de seâ˘onde Ă quelques heures selon l9instâllâtionAD sont â˘olleâ˘tĂŠes suiE
vânt des orientâtions multiples dont le nomËre et le pâs sont fonâ˘tion du type
d9âppâreil et de lâ (nesse de rĂŠsolution souhâitĂŠeF
ves râyons Ë sont produits pâr ââ˘â˘ĂŠlĂŠrâtion d9ĂŠleâ˘trons mâis peuvent l9ĂŞtre
fâit de deux mânières di'ĂŠrentesF
vâ première mĂŠthode est lâ tomogrâphie Ë ËâsĂŠ sur un tuËe Ă râyon ËF
âŚne hâute tension ĂŠleâ˘trique @de l9ordre de PH Ă RHH kâ A est ĂŠtâËlie entre
deux ĂŠleâ˘trodesF sl se produit âlors un â˘ourânt d9ĂŠleâ˘trons de lâ â˘âthode vers
l9ânodeF ves ĂŠleâ˘trons sont freinĂŠs pâr les âtomes de lâ â˘iËle @l9ânodeAD â˘e qui
provoque un râyonnement â˘ontinu de freinâgeD dont une pârtie du speâ˘tre
U
11. 8 Tomographie
est dâns le domâine des râyons ËF âŹâr âilleursD les âtomes de lâ â˘iËle sont
exâ˘itĂŠs et ĂŠmettent Ă leur tour un râyonnement Ë Ă â˘ertâines ĂŠnergies â˘ârââ˘E
tĂŠristiques du mâtĂŠriâu de l9ânode Y on pârle âlors de )uoresâ˘enâ˘e ËF
vâ seâ˘onde mĂŠthode est lâ tomogrâphie dite 4synâ˘hrotron4F
ve râyonnement synâ˘hrotron est un râyonnement ĂŠleâ˘tromâgnĂŠtique ĂŠmis pâr
des ĂŠleâ˘trons relâtivistes qui suivent une trâjeâ˘toire â˘irâ˘ulâire dâns un ânE
neâu de stoâ˘kâgeF âŹuisque â˘es ĂŠleâ˘trons modi(ent rĂŠgulièrement leur â˘ourseD
leur ââ˘â˘ĂŠlĂŠrâtion â˘hânge rĂŠgulièrementF vorsque â˘e â˘hângement survientD ils
ĂŠmettent de l9ĂŠnergie sous forme de photonsF hâns un tel ââ˘â˘ĂŠlĂŠrâteur un
â˘hâmp mâgnĂŠtique intense permet d9ââ˘â˘ĂŠlĂŠrer un fâisâ˘eâu de pârtiâ˘ulesF hu
fâit que les pârtiâ˘ules â˘hârgĂŠes se dĂŠplââ˘ent de fâçon nonEuniforme @pâr
exemple sur une trâjeâ˘toire â˘irâ˘ulâireAD elles ĂŠmettent un râyonnement ĂŠleâ˘E
tromâgnĂŠtiqueF ge râyonnement dĂŠpend de lâ vitesse des ĂŠleâ˘trons mâis
â˘ouvre une très lârge pârtie du speâ˘tre ĂŠleâ˘tromâgnĂŠtique X de l9infrârouge
âux râyons Ë dursF gette teâ˘hnique est notâmment mise en plââ˘e Ă l9iĆâp
@iuropeân Ćynâ˘hrotron ââdiâtion pââ˘ilityA de qrenoËle âPâ âQâF
âŚne fois lâ sourâ˘e de râyon Ë mise en plââ˘eD l9ĂŠâ˘hântillon Ă oËserver est
plââ˘ĂŠ sur un porte ĂŠâ˘hântillon qui âssure lâ rotâtionF ve fâisâ˘eâu trâverse
l9ĂŠâ˘hântillon et le fâisâ˘eâu trânsmis est reâ˘ueilli pâr une â˘âmĂŠrâ ghh @en
ânglâis 4ghârgeEgoupled heviâ˘e4AF âŚne imâge râdiogrâphique est âinsi forE
mĂŠeF ves deux teâ˘hniques fournissent un rĂŠsultât ânâlogueF illes di'ĂŠrent pâr
lâ tâille de l9ĂŠquipement X un tuËe Ă râyons Ë mesure quelques dizâines de
â˘entimètresD un synâ˘hrotron quelques â˘entâines de mètresF hâns lâ première
l9ĂŠâ˘hântillon est plââ˘ĂŠ Ă quelques â˘entimètres de lâ sourâ˘e âlors que dâns lâ
seâ˘ondeD il peut ĂŞtre est situĂŠ Ă plus de â˘ent mètresF ves âvântâges du râyonE
nement synâ˘hrotron sont notâmment lâ Ërillânâ˘e du fâisâ˘eâuD qui permet de
fâire des ânâlyses monoâ˘hromâtiques et d9ĂŠviter âinsi des ârtefââ˘ts durâ˘isseE
ment de speâ˘tre propres âux fâisâ˘eâux polyâ˘hromâtiques des tuËes Ă râyons
ËF gelâ permet pâr âilleurs de fâire des ânâlyses râpides et des expĂŠrienâ˘es
inEsitu tout en exploitânt lâ â˘ohĂŠrenâ˘e du fâisâ˘eâuD qui permet d9imâger des
oËjets peu âËsorËântsF
v9ââ˘quisition des râdiogrâphies Ă di'ĂŠrents ângles de vue permet pâr lâ
suiteD pâr reâ˘onstruâ˘tion mâthĂŠmâtiqueD d9âËoutir Ă une distriËution Qh du
â˘oe0â˘ient d9âttĂŠnuâtion loâ˘âl de l9ĂŠâ˘hântillonF in â˘lâir on ââ˘â˘Ă¨de Ă lâ forme
de l9oËjet en QhF
12. 2.2 Tomographie ĂŠlectronique 9
Figure PFI ! âŹhotogrâphie du synâ˘hrotron de l9iĆâpF
2.2 Tomographie ĂŠlectronique
vâ miâ˘rosâ˘opie ĂŠleâ˘tronique en trânsmission @wiâ ou âiw en ânglâis
pour 4ârânsmission ileâ˘tron wiâ˘rosâ˘opy4A est â˘onnue pour ĂŞtre un importânt
outil de reâ˘herâ˘heF vâ rĂŠsolutionD Ëien meilleure qu9en miâ˘rosâ˘opie optiqueD
lui â âssurĂŠ une utilisâtion â˘ourânte dâns les sâ˘ienâ˘es physiques et ËiologiquesF
ve prinâ˘ipe du miâ˘rosâ˘ope ĂŠleâ˘tronique en trânsmission â ĂŠtĂŠ mis âu point
en IWQI pâr wâx unoll et irnst âuskâD â˘e dernier â d9âilleurs reçu le prix
xoËel de physique en IWVT pour â˘ette inventionF hepuis lâ rĂŠsolution n9â
pâs â˘essĂŠ d9âugmenter en pâssânt de I nm Ă HFInm âve⢠plusieurs teâ˘hniques
ânâlytiques permettânt de dĂŠterminer Ă l9ĂŠâ˘helle âtomiqueD lâ struâ˘tureD les
propriĂŠtĂŠs mâgnĂŠtiques ou ĂŠleâ˘troniques de l9ĂŠâ˘hântillonF
v9instrument est prinâ˘ipâlement â˘omposĂŠ d9une sourâ˘e d9ĂŠleâ˘tronD d9un
ensemËle de lentilles mâgnĂŠtiques et d9un dĂŠteâ˘teurF ve fâisâ˘eâu d9ĂŠleâ˘trons
est trânsmis Ă trâvers un ĂŠâ˘hântillon très minâ˘e pour ĂŞtre ensuite enregistrĂŠ
pâr un â˘âpteur dĂŠdiĂŠ qui donne nâissânâ˘e Ă une imâgeF
Ćelon lâ thĂŠorie d9eËËeD lâ rĂŠsolution mâximâle qu9il est possiËle d9oËtenir
âve⢠un miâ˘rosâ˘ope ĂŠleâ˘tronique dĂŠpend de lâ longueur d9onde des ĂŠleâ˘tronsF
vâ limite de rĂŠsolution R d9un miâ˘rosâ˘opeD â˘9estEĂ Edire lâ plus petite distânâ˘e
en dessous de lâquelle deux points voisins ne seront plus distinguĂŠsD peut ĂŞtre
exprimĂŠe Ă l9âide de lâ longueur d9onde d9illuminâtion ÎťD de l9indiâ˘e de rĂŠE
13. 10 Tomographie
frââ˘tion n en sortie d9oËjeâ˘tifD et de l9ângle d9ouverture du fâisâ˘eâu d9ĂŠleâ˘tron
ÎąF
R =
Îť
2n sin Îą
@PFIA
vâ longueur d9onde ĂŠquivâlente d9un ĂŠleâ˘tron est donnĂŠe pâr l9ĂŠquâtion
de he froglie X
Îť =
h
p
@PFPA
hâns â˘ette ĂŠquâtionD Îť est lâ longueur d9ondeD h est lâ â˘onstânte de âŹlânâ˘k
et p lâ quântitĂŠ de mouvement de l9ĂŠleâ˘tron @ââËle IAF yn â˘omprend don⢠que
plus lâ quântitĂŠ de mouvement de l9ĂŠleâ˘tron est ĂŠlevĂŠe plus lâ longueur serâ
petite et pâr â˘onsĂŠquent lâ rĂŠsolution ĂŠlevĂŠeF e titre de â˘ompârâisonD dâns un
âiwD oĂš le potentiel d9ââ˘â˘ĂŠlĂŠrâtion est hâËituellement de plusieurs dizâines
de milliers de â oltsD lâ longueur d9onde peut ĂŞtre de l9ordre de quelques piE
â˘omètres @10â12
mAD âlors qu9en tomogrâphie ËD lâ longueur d9onde est de
l9ordre de un engstrĂśmF vâ di'ĂŠrenâ˘e de longueur d9onde entre les Ë et les
ĂŠleâ˘trons explique en pârtie lâ di'ĂŠrenâ˘e de rĂŠsolution entre miâ˘rosâ˘opie Ë
et miâ˘rosâ˘opie ĂŠleâ˘troniqueF
hâns un miâ˘rosâ˘ope ĂŠleâ˘troniqueD les ĂŠleâ˘trons sont gĂŠnĂŠrĂŠs pâr un â˘ânon
Ă ĂŠleâ˘trons et ââ˘â˘ĂŠlĂŠrĂŠs pâr un â˘hâmp ĂŠleâ˘trique produit pâr une di'ĂŠrenâ˘e
de potentiel entre lâ sourâ˘e et une ânodeD puis foâ˘âlisĂŠs sur l9ĂŠâ˘hântillon pâr
des lentilles mâgnĂŠtiquesF ve fâisâ˘eâu d9ĂŠleâ˘trons interâgit âve⢠l9ĂŠâ˘hântillon
âve⢠un â˘ontrâste spâtiâl rĂŠsultânt de di'ĂŠrenâ˘es de densitĂŠD et mesurĂŠ pâr
un dĂŠteâ˘teur permettânt âinsi de former une imâge de lâ projeâ˘tion d9un
ĂŠâ˘hântillonF
U(kv) Îť(pm)
IHH QDSU
QHH IDWU
IHHH HDVU
ââËle I E vongueur d9onde en fonâ˘tion de lâ quântitĂŠ de mouvementF
14. 2.2 Tomographie ĂŠlectronique 11
ge fâisâ˘eâu d9ĂŠleâ˘trons est utilisĂŠ de mânière similâire âu fâisâ˘eâu Ë pour
gĂŠnĂŠrer des projeâ˘tions Ph d9un oËjet QhF vâ gĂŠomĂŠtrie d9ââ˘quisition en toE
mogrâphie Ë peut âinsi ĂŞtre trânsposĂŠe âu â˘âs des ĂŠleâ˘trons âRâ âSâ âTâF
ves donnĂŠes ââ˘quises sont des projeâ˘tions de l9oËjet oËtenues Ă di'ĂŠrent
ângles de vuesF heux pârâmètres â˘ârââ˘tĂŠrisent â˘es donnĂŠesD tout d9âËord le
dĂŠËâttement ângulâire puis l9ĂŠâ˘hântillonnâge ângulâireF
âŚn dĂŠËâttement ângulâire idĂŠâlD pour ĂŠviter lâ perte de donnĂŠesD est de
IVH degrĂŠs en gĂŠomĂŠtrie pârâllèleF yrD en miâ˘rosâ˘opie ĂŠleâ˘tronique il est resE
treint pour plusieurs râisonsF vâ première est teâ˘hniqueD le miâ˘rosâ˘ope ne
peut pâs exâ˘ĂŠder un dĂŠËâttement ângulâire de ISH degrĂŠs Ă â˘âuse du porte
ĂŠâ˘hântillonF vâ seâ˘onde vient de l9ĂŠâ˘hântillon luiEmĂŞmeF vorsque qu9un oËE
jet est ĂŠpâisD le pârâ˘ours des ĂŠleâ˘trons Ă trâvers l9oËjet est âugmentĂŠ et pâr
â˘onsĂŠquent on oËtient une perte d9informâtion due Ă l9âËsorption des ĂŠleâ˘E
trons dâns lâ mâtièreF â oilĂ D lâ râison pour lâquelleD en miâ˘rosâ˘opie ĂŠleâ˘E
troniqueD on pârle souvent de reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphique Ă ângle limitĂŠF
v9ĂŠâ˘hântillonnâge ângulâire dĂŠtermine le nomËre de projeâ˘tionsF vâ formule
suivânte nous donne l9ĂŠâ˘hântillonnâge thĂŠoriqueD N le nomËre de projeâ˘tionD
et Nbâ˘pix le nomËre de pixel sur le â˘âpteur ghh âIâ X
N = Nbâ˘pix
PI
2
@PFQA
hâns notre â˘âsD il fâudrâit don⢠environ ISHH projeâ˘tions pour âvoir peu
de perte de donnĂŠesF in tomogrâphie ĂŠleâ˘troniqueD l est â˘ourânt de n9utiliser
que ISH projeâ˘tions pour limiter le temps d9ânâlyse et diminuer lâ dose dĂŠliE
vrĂŠeF
vâ longueur d9âttĂŠnuâtion est un Ëon moyen de â˘ompârâison âve⢠les
râyons ËF vâ longueur d9âttĂŠnuâtion est lâ distânâ˘e Ă pârtir de lâquelle l9inE
tensitĂŠ du fâisâ˘eâu â diminuĂŠ d9un fââ˘teur 1/eD soit environ QU7 de sâ vâleur
initiâleF âŹour les râyons ËD âve⢠une intensitĂŠ de Pkeâ et dâns du siliâ˘iumD
on â longueur d9âttĂŠnuâtion du miâ˘romètreF
in miâ˘rosâ˘opie ĂŠleâ˘tronique Ă trânsmissionD on pârle plus de 4âliËre pârE
â˘ours moyen49 @en ânglâis 4weân pree âŹâth4AD âve⢠les mĂŞmes donnĂŠesD on
oËtient une vâleur de quelques nânomètres âUâF
he plusD âve⢠â˘ette â˘ontrâinteD pour que les ĂŠâ˘hântillons ne soient pâs
dĂŠgrâdĂŠs durânt l9oËservâtion et puissent ĂŞtre oËservĂŠs pâr trânsmissionD les
15. 12 Tomographie
ĂŠâ˘hântillons doivent ĂŞtre dâns lâ plupârt des â˘âs prĂŠpârĂŠs minutieusementF
gette phâse est très importânteD â˘âr â˘9est elle qui dĂŠtermine en pârtie lâ quâE
litĂŠ des rĂŠsultâts oËtenusF vâ prĂŠpârâtions â˘onsiste Ă 4usiner4 l9ĂŠâ˘hântillon
pour qu9il âtteigne des dimensions â˘ompâtiËle âve⢠l9instrument @â˘fF pârtie
RFSAF
Figure PFP ! ve âitân de lâ soâ˘iĂŠtĂŠ pisF
16. 2.3 Sonde atomique tomographique 13
2.3 Sonde atomique tomographique
vâ tomogrâphie pâr râyons Ë permet d9âtteindre des rĂŠsolutions de l9ordre
de SHnmD âve⢠des profondeurs de pĂŠnĂŠtrâtions â˘entimĂŠtriquesF vâ tomogrâE
phie ĂŠleâ˘tronique permet d9âtteindre des rĂŠsolutions de l9ordre de PnmD âveâ˘
des profondeurs de pĂŠnĂŠtrâtion de quelques â˘entâines de nânomètresF âĂŠâ˘emE
ment est âppâru un nouveâu type de sonde permettânt de fâire de l9imâgerie
Qh ultimeD âve⢠des rĂŠsolutions âtomiques X â˘9est lâ sonde âtomique tomogrâE
phique @etom âŹroËe âomogrâphyD eâŹâAF wĂŞme si â˘e râpport ne trâite pâs
de l9eâŹâ direâ˘tementD nous dĂŠtâillons Ërièvement dâns â˘e pârâgrâphe son
fonâ˘tionnementF
âŚne sonde âtomique tomogrâphique est un miâ˘rosâ˘ope ânâlytique fourE
nissânt des imâges tridimensionnelles d9un volume Ă l9ĂŠâ˘helle âtomique âVâF
vâ sonde âtomique âWâ peut ĂŞtre âssimilĂŠe Ă un miâ˘rosâ˘ope Ă projeâ˘tion dont
le prinâ˘ipe est ËâsĂŠ sur lâ physique de l9e'et de â˘hâmp et lâ speâ˘tromĂŠtrie
de mâsse Ă temps de volF vâ sonde âtomique tomogrâphique est une sonde
âtomique â˘lâssique dotĂŠe d9un dĂŠteâ˘teur spâtiâl Ph âIHâF
ve sâ˘hĂŠmâ de prinâ˘ipe est prĂŠsentĂŠ sur lâ (gure PFQF v9ĂŠâ˘hântillon est
prĂŠpârĂŠ sous forme d9une pointe dont le râyon de â˘ourËure Ă son extrĂŠmitĂŠ
est infĂŠrieur Ă SH nmF ves âtomes en surfââ˘e de lâ pointe sont 4ĂŠvâporĂŠs4 sous
lâ forme d9ions positifs n fois â˘hârgĂŠs grââ˘e Ă lâ superposition d9impulsions
ĂŠleâ˘triques ou lâserD Ă un potentiel ĂŠleâ˘trique positif â˘ontinu de plusieurs kâ F
vâ nâture â˘himique des ions est identi(ĂŠe pâr un speâ˘tromètre de mâsse Ă
temps de vol @mesure du temps de vol de l9ion entre l9âpex de lâ pointe
et le dĂŠteâ˘teurAF vâ position lâtĂŠrâle de l9ion est dĂŠterminĂŠe Ă pârtir des
â˘oordonnĂŠes de son impââ˘t sur le multi dĂŠteâ˘teur spâtiâlF v9ĂŠâ˘hântillon ĂŠtânt
ĂŠvâporĂŠ â˘ouâ˘he âtomique pâr â˘ouâ˘he âtomiqueD l9ĂŠtude en profondeur permet
une reâ˘onstruâ˘tion tridimensionnelle du volume de mâtière ĂŠvâporĂŠeF
âoute lâ di0â˘ultĂŠ de â˘ette teâ˘hnique rĂŠside dâns lâ prĂŠpârâtion d9ĂŠâ˘hânE
tillons sous forme de pointes â(n d9oËtenir un â˘hâmp ĂŠleâ˘trique intense Ă son
âpexF in miâ˘roĂŠleâ˘troniqueD les pointes sont lârgement prĂŠpârĂŠes pâr fâisâ˘eâu
d9ions qâ foâ˘âlisĂŠs et sont oËtenues en deux ĂŠtâpesF hâns un premier tempsD
l9ĂŠâ˘hântillon Ă ânâlyser est prĂŠlevĂŠ du wâfer d9origine et ensuite â˘ollĂŠ sur 4un
support4 de sonde âtomiqueF hâns un seâ˘ond tempsD on impose âu psf de
Ëâlâyer le fâisâ˘eâu d9ions qâ Ă l9intĂŠrieur d9un mâsque ânnulâire âve⢠un diâE
mètre interne qui rĂŠduit progressivement â(n d9oËtenir une pointe dont le
râyon de â˘ourËure Ă l9âpex est infĂŠrieur Ă SH nmF
e titre d9exempleD lâ (gure PFR prĂŠsente une ânâlyse en sonde âtomique
17. 14 Tomographie
tomogrâphique oËtenue sur une multiâ˘ouâ˘he mâgnĂŠtostriâ˘tive â˘omposĂŠe d9un
empilement d9une â˘ouâ˘he mâgnĂŠtostriâ˘tive âËpeP @SnmA et d9une â˘ouâ˘he mâE
gnĂŠtique douâ˘e go @Q nmAF
Figure PFQ ! Ćâ˘hĂŠmâ de prinâ˘ipe de lâ sonde âtomique tomogrâphiqueF
Figure PFR ! Ćâ˘hèmâ â˘ompârânt les di'ĂŠrentes teâ˘hniques de tomogrâhpie
âve⢠le volume de l9oËjet en fonâ˘tion de lâ rĂŠsolutionF
18. Chapitre 3
OpĂŠrateurs mathĂŠmatiques en
tomographie ĂŠlectronique
3.1 Conventions
3.1.1 FantĂ´me de Shepp-Logan
ve fântĂ´me de ĆheppEvogân en deux dimensions â ĂŠtĂŠ dĂŠveloppĂŠ en IWUR
pâr vFeF Ćhepp et fFpF vogânF sl simule une tĂŞte et un â˘erveâu en Ph dâns
le Ëut de devenir un outil de test en tomodensitomĂŠtrie et en reâ˘onstruâ˘tion
Ă pârtir de projeâ˘tion âIIâF ve modèle utilise dix ellipses de tâilleD d9intensitĂŠ
et de densitĂŠ des mâtĂŠriâux vâriâËlesD â(n de â˘orrespondre âu mieux âux
propriĂŠtĂŠs d9âttĂŠnuâtion des râyons ËF
eve⢠l9âvènement de lâ QhD un nouveâu fântĂ´me Qh â ĂŠtĂŠ dĂŠveloppĂŠ en
IWVH pâr vFeF Ćhepp en utilisânt IU ellipsoĂŻdes âve⢠T nouvelles â˘ârââ˘tĂŠrisE
tiques ânâtomiques @oreillesD nez et Ëouâ˘heF F F AF âIPâ
eu â˘ours des ânnĂŠes VH et WHD le fântĂ´me â plusieurs fois ĂŠvoluĂŠ âu grès
des puËliâ˘âtionsF ve dernier fântĂ´me QhD fâisânt o0â˘e de rĂŠfĂŠrenâ˘eD et â˘elui
prĂŠsentĂŠ dâns le pâpier de uFwueller âIQâF
IS
19. 16 OpĂŠrateurs mathĂŠmatiques en tomographie ĂŠlectronique
Figure QFI ! pântĂ´me de ĆheppEvogân en deux dimensions
3.1.2 Les axes et les notations
hurânt tout le râpport les mĂŞmes âxes seront utilisĂŠsF âŹour les imâges et
les reâ˘onstruâ˘tionsD l9ângle de projeâ˘tion Ď est dâns le plân (x, y)D les imâges
seront don⢠reâ˘onstruites dâns â˘e plânF v9âxe de tilt est suivânt l9âxe zD lors
d9une reâ˘onstruâ˘tion QhD l9empilement d9imâges est don⢠suivânt â˘ette âxeF
âŹour un sinogrâmmeD l9âxe des Ď est toujours reprĂŠsentĂŠ horizontâlementF
gonâ˘ernânt les notâtions les plus utilisĂŠes X
F est l9opĂŠrâteur de lâ trânsformĂŠe de pourier
R est l9opĂŠrâteur de lâ trânsformĂŠe de ââdon
p est l9opĂŠrâteur de projeâ˘tion
R# est l9opĂŠrâteur de rĂŠtroprojeâ˘tion
20. 3.2 TransformĂŠe de Fourier 17
3.2 TransformĂŠe de Fourier
vâ trânsformĂŠe de pourier F est une opĂŠrâtion qui trânsforme une fonâ˘E
tion intĂŠgrâËle sur â en une âutre fonâ˘tionD dĂŠâ˘rivânt le speâ˘tre frĂŠquentiel
de â˘ette dernièreF Ći f est une fonâ˘tion intĂŠgrâËle sur RD sâ trânsformĂŠe de
pourier est lâ fonâ˘tion F(f) = Ëf donnĂŠe pâr lâ formule X
F(f) : Ξ â Ëf(Ξ) =
+â
ââ
f(x)e-iΞxdx @QFIA
in trâitement d9imâgeD lâ trânsformĂŠe de pourier est un outil mâthĂŠE
mâtique qui permet pâr exemple de pâsser d9une reprĂŠsentâtion spâtiâle Ă
une reprĂŠsentâtion frĂŠquentielle des donnĂŠesF ve â˘ouplâge de moyens inforE
mâtiques modernes et d9un âlgorithme e0â˘ââ˘e permettânt de minimiser le
nomËre d9opĂŠrâtions ârithmĂŠtiques @pâst pourier ârânsformA permet d9utiliE
ser lâ trânsformĂŠe de pourier de mânière intensiveD notâmment pour lâ reE
â˘onstruâ˘tion tomogrâphiqueF
3.2.1 Produit de convolution
âŚne propriĂŠtĂŠ intĂŠressânte de lâ trânsformĂŠe de pourier est que lâ trânsE
formĂŠe de pourier du produit de â˘onvolution de deux fonâ˘tions â˘orrespond Ă
lâ multipliâ˘âtion des trânsformĂŠes de pourier de â˘hââ˘une des fonâ˘tionsF
f g = F-1(F(f) ¡ F(g)) @QFPA
gette propriĂŠtĂŠ permet de fââ˘ilement mânipuler l9âppliâ˘âtion suâ˘â˘essive
de deux (ltres @h1 et h2A Ă une fonâ˘tion fF @h2 (h1 f)A
ĆoitD on peut â˘âlâ˘uler direâ˘tement @h1 h2AF âŹour ensuite tronquer ou
âjouter des 0 âu produit pour que lâ tâille de lâ â˘onvolution â˘orreponde Ă lâ
tâille de l9imâge initiâleF ĆoitD on peut direâ˘tement se servir de lâ trânsformĂŠe
de pourier X
F(h2 (h1 f)) = F(h2) ¡ F(h1 f) = F(h2) ¡ F(h1) ¡ F(f) @QFQA
21. 18 OpĂŠrateurs mathĂŠmatiques en tomographie ĂŠlectronique
3.2.2 TransformĂŠe de Fourier inverse
Ći lâ trânsformĂŠe de pourier de f est elleEmĂŞme une fonâ˘tion intĂŠgrâËleD
lâ formule dite de trânsformâtion de pourier inverseD opĂŠrâtion notĂŠe Fâ1
D
est â˘elle qui permet de retrouver f Ă pârtir des donnĂŠes frĂŠquentielles X
f(x) =
1
2Ď
+â
ââ
Ëf(Ξ)e+iΞx
dΞ @QFRA
âve⢠X
Ëf(Ξ) =
+â
ââ
f(x)eâiΞx
dx @QFSA
3.2.3 TransformĂŠe de Fourier 2D
vâ reprĂŠsentâtion frĂŠquentielle des signâux Ph est l9extension direâ˘te de
â˘elle des signâux monodimensionnelsF vâ trânsformĂŠe de pourier F(u, v) d9un
signâl f(x, y) est X
F(u, v) =
+â
ââ
+â
ââ
f(x, y)eâj(ux+vy)dxdy@QFTA
gette formule permet de â˘âlâ˘uler l9âmplitude de lâ â˘omposânte du signâl
f(x, y) Ă lâ frĂŠquenâ˘e spâtiâle (u, v)F
22. 3.3 TransformĂŠe de Radon 19
3.3 TransformĂŠe de Radon
in IWIUD tFââdon introduit pour lâ première fois lâ trânsformĂŠe de ââdon
âIRâF in PhD lâ trânsformĂŠ de ââdon d9une fonâ˘tion de deux vâriâËles est
donnĂŠe pâr l9ensemËle des intĂŠgrâles sur les droites du plâinF ille â˘orrespond
Ă lâ formulâtion mâthĂŠmâtique d9une projeâ˘tion X
Figure QFP ! â isuâlisâtion gĂŠomĂŠtrique de lâ trânsformĂŠe de ââdon
vâ trânsformĂŠe de ââdon s9ĂŠâ˘rit don⢠sous â˘ette forme X
Rf(Ď, l) =
D(Ď,l)
f(x, y)ds = pĎ(l) @QFUA
âve⢠X
D(Ď, l) = {(x, y) â R2
tq x cos Ď + y sin Ď = l} @QFVA
= {l
cos Ď
sin Ď
+ s
â sin Ď
cos Ď
, âs â R2
} @QFWA
âŚne âutre formulâtion â˘ourânte de lâ trânsformĂŠe de ââdon utilise lâ
fonâ˘tion hirâ⢠X
23. 20 OpĂŠrateurs mathĂŠmatiques en tomographie ĂŠlectronique
Rf(l, Ď) =
+â
ââ
+â
ââ
f(x, y)δ(x cos Ď + y sin Ď â l)dxdy @QFIHA
Ći l9on reprĂŠsente les vâleurs des projeâ˘tions pĎ(l) dâns un plân (Ď, l)
pour tous les Ď et tous les lD on oËtient â˘e qu9on âppelle un sinogrâmmeF
âŚn sinogrâmme est en fâit une imâge dont les lignes suâ˘â˘essives sont les
projeâ˘tions Ih suâ˘â˘essives
Figure QFQ ! @âA smâge du fântĂ´me de ĆheppEvogân @imâge test â˘onnue en
tomogrâphieAD @ËA Ćinogrâmme â˘omplet pour Ď â˘ompris entre â90ÂŚet +90ÂŚF
24. 3.4 ThÊorème de la coupe centrale (coupe - projection) 21
3.4 ThÊorème de la coupe centrale (coupe -
projection)
ge thĂŠorème nous montre qu9il existe un lien direâ˘t entre l9espââ˘e de
ââdon et l9espââ˘e de pourier X vâ trânsformĂŠe de pourier Ih de lâ projeâ˘tion
Ă l9ângle Ď est ĂŠgâle Ă lâ â˘oupe de lâ trânsformĂŠe de pourier Ph âu mĂŞme
ângle âISâ âITâF
wâthĂŠmâtiquement et grâphiquement â˘eâ˘i se trâduit de lâ mânière suiE
vânte X
F1D(RĎf)(Îť) = F2Df(Îť cos Ď, Îť sin Ď) @QFIIA
Figure QFR ! âeprĂŠsentâtion du thĂŠorème de lâ â˘oupe â˘entrâleF
25. 22 OpĂŠrateurs mathĂŠmatiques en tomographie ĂŠlectronique
ge thĂŠorème nous âpporte plusieurs ĂŠlĂŠments fondâmentâux en reâ˘onsE
truâ˘tion tomogrâphiqueF
âŚn premier pointD que nous verrons dâns â˘ette pârtieD â˘onâ˘erne le nomËre
de projeâ˘tionsF yn remârque queD quelque soit le nomËre de projeâ˘tions uniE
formĂŠment repârtis de H Ă IVH degrĂŠsD l9ĂŠâ˘hântillonnâge dâns l9espââ˘e de pouE
rier est Ëeâuâ˘oup (n plus âux Ëâsses frĂŠquenâ˘es @(gF QFSAF gette â˘ârââ˘tĂŠrisE
tique âurâ un impââ˘t direâ˘t sur lâ reâ˘onstruâ˘tionF v9imâge reâ˘onstruite âurâ
un e'et de )ou et â˘eâ˘i mĂŞme si l9espââ˘e de fourier est entièrement ĂŠâ˘hânE
tillonnĂŠ @(gF QFTAF
Figure QFS ! iâ˘hântillonnâge ângulâire et râdiâl dâns le domâine de pourier
dâns le â˘âs de donnĂŠes â˘omplètesF
26. 3.5 OpĂŠrateur de rĂŠtroprojection 23
Figure QFT ! âĂŠtroprojeâ˘tion du fântĂ´me de ĆheppEvogân @SIPxSIP pixelsA
Ă pârtir de IVI projeâ˘tions oËtenues entre â90ÂŚet +90ÂŚF
3.5 OpĂŠrateur de rĂŠtroprojection
vâ rĂŠtroprojeâ˘tion est un opĂŠrâteur permettântD Ă pârtir de projeâ˘tionsD
de reâ˘onstruire une estimâtion de l9imâge initiâleF hâns son modèle le plus
simpleD il â˘onsiste Ă ââ˘â˘umuler dâns â˘hâque pixel de l9imâge Ă reâ˘onstruire les
vâleurs des projeâ˘tions qui le â˘onâ˘ernent normâlisĂŠ pâr le nomËre de pixels
âyânt â˘ontriËuĂŠs Ă â˘hâque projeâ˘tion âISâ âITâF
eu niveâu mâthĂŠmâtiqueD â˘et opĂŠrâteur s9exprime de lâ mânière suivânte X
lâ rĂŠtroprojeâ˘tion en (x, y) d9une projeâ˘tion est lâ vâleur de lâ projeâ˘tion
d9ângle (Ď, l) @iFe pĎ(l)A âu point sur lequel se projette (x, y)D et vâut X
hĎ(x, y) = pĎ(x cos Ď + y sin Ď) @QFIPA
âŹâr â˘onsĂŠquent lâ rĂŠtroprojeâ˘tion de toutes les projeâ˘tions dĂŠ(nit l9opĂŠrâE
teur de rĂŠtroprojeâ˘tionF yn l9oËtient en sommânt sur tous les ângles l9ĂŠquâE
tion prĂŠâ˘ĂŠdenteF
27. 24 OpĂŠrateurs mathĂŠmatiques en tomographie ĂŠlectronique
Figure QFU ! ixemple de projeâ˘tion et rĂŠtroprojeâ˘tionF
R#[p](x, y) =
Ď
pĎ(x cos Ď + y sin Ď)dĎ @QFIQA
in fâitD on â˘onstâte que â˘ette rĂŠtroprojeâ˘tion est une estimâtion impârE
fâite de l9imâge initiâleF sl s9âvèreD qu9en e'etD une simple rĂŠtroprojeâ˘tion
ne su0t pâs Ă reâ˘onstruire â˘orreâ˘tement une imâgeF v9imâge oËtenue n9est
qu9une version )oue de l9imâge initiâleF
v9opĂŠrâteur de rĂŠtroprojeâ˘tion n9est mâthĂŠmâtiquement pâs l9inverse de
lâ trânsformĂŠe de ââdonF yn verrâ plus târd qu9il â˘onvient de fâire prĂŠâ˘ĂŠder
l9opĂŠrâtion de rĂŠtroprojeâ˘tion pâr une opĂŠrâtion de (ltrâgeF
3.6 TransformĂŠe de Radon inverse
gomme on vient de le voirD lâ rĂŠtroprojeâ˘tion n9est pâs l9inverse de lâ
trânsformĂŠe de ââdonF sl est nĂŠâ˘essâire d9âppliquer un (ltre âu prĂŠâlâËleF
gette mĂŠthode est lâ rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠeF Ćâ formule mâthĂŠmâtique est
donnĂŠe pâr âISâ âITâ X
f = R#( ËpĎ) @QFIRA
28. 3.6 TransformĂŠe de Radon inverse 25
âve⢠X
ËpĎ = F-1(F(pĎ) ¡ |W|)) @QFISA
gette formulâtion exprime f â˘omme lâ rĂŠtroprojeâ˘tion des projeâ˘tions
(ltrĂŠes pâr le (ltre ââmpe |W|F ge rĂŠsultât s9oËtient en ĂŠâ˘rivânt que f est lâ
trânsformĂŠe de pourier inverse de sâ trânsformĂŠe de pourier et en utilisânt le
thĂŠorème de lâ â˘oupe â˘entrâle dĂŠâ˘rit dâns le pârâgrâphe QFRF
yn â˘ommenâ˘e pâr â˘âlâ˘uler lâ trânsformĂŠe de pourrier des projeâ˘tionsF
insuite on multiplie pâr un (ltre D en gĂŠnĂŠrâl âppelĂŠ (ltre ââmpeF
yn prend lâ trânsformĂŠe de pourrier inverse de â˘e rĂŠsultâtF
pinâlement on âpplique notre opĂŠrâteur de rĂŠtroprojeâ˘tion sur â˘es projeâ˘tions
(ltrĂŠesF
29. 26 OpĂŠrateurs mathĂŠmatiques en tomographie ĂŠlectronique
3.7 SpĂŠcicitĂŠ en tomographique ĂŠlectronique
3.7.1 IntĂŠrĂŞt de la tomographie ĂŠlĂŠctronique
vâ â˘omprĂŠhension du proâ˘essus de reâ˘onstruâ˘tion Qh est ËâsĂŠe sur un
â˘ertâin nomËre d9hypothèsesD lâ plus intuitive est l9hypothèse que â˘e qui est
dĂŠteâ˘tĂŠ est une projeâ˘tion de l9oËjetF in prâtiqueD lâ notion de 4projeâ˘tion4
est très lârgement âdoptĂŠeD et â˘9est dâns â˘ette optique que tFââdon â proposĂŠ
une première formulâtion mâthĂŠmâtique du â˘onâ˘ept de projeâ˘tion âIRâF
âŚne question lĂŠgitime est de se demânder si lâ notion de projeâ˘tion est
vâlide en miâ˘rosâ˘opie ĂŠleâ˘troniqueD oĂš l9intuition pourrâit Ëien nous âmener Ă
penser le â˘ontrâireF vâ plupârt des prinâ˘ipesD vus prĂŠâ˘ĂŠdemmentD ont d9âËord
ĂŠtĂŠ ĂŠlâËorĂŠs pour lâ tomogrâphie Ă râyon ËF in e'etD les interââ˘tions ĂŠleâ˘tronE
ĂŠâ˘hântillon sont très di'ĂŠrentes de â˘elles renâ˘ontrĂŠes dâns lâ tomogrâphie pâr
râyons ËD les ĂŠâ˘hântillons euxEmĂŞmes sont de nâture très di'ĂŠrentesF
sl â ĂŠtĂŠ montrĂŠ âIUâ âIVâD qu9un pârâllèle peut ĂŞtre fâit entre lâ projeâ˘tion
d9un oËjet en miâ˘rosâ˘opie en râyon Ë et lâ projeâ˘tion d9un oËjet en miâ˘rosâ˘oE
pie ĂŠleâ˘troniqueF in tomogrâphie Ă ââyon ËD lâ loi de feerEvâmËert permet
d9exprimer un )ux trânsmis I0 en fonâ˘tion du )ux inâ˘ident I X
I(E) = I0(E)e-Âľ(E, z)e @QFITA
Âľ est le â˘oe0â˘ient d9âttĂŠnuâtionF sl dĂŠpend de l9ĂŠnergie et du mâtĂŠriâu
@numĂŠros âtomique ÂAF e est l9ĂŠpâisseur trâversĂŠeF
âŚne formulâtion similâire peut ĂŞtre ĂŠtâËlie âve⢠des )ux d9ĂŠleâ˘trons X
I = I0(E)e-n Ď(Îą)Ďe @QFIUA
xous âvons iâ˘i N qui est le nomËre d9evogâdroD Ď est lâ seâ˘tion e0â˘ââ˘e de
di'usion qui dĂŠpend de l9ângle limite de di'usionF Ď et e ĂŠtânt respeâ˘tivement
lâ densitĂŠ et l9ĂŠpâisseur de l9oËjet trâversĂŠF
v9inversion de lâ trânsformĂŠe de ââdon et lâ notion d9intĂŠgrâle linĂŠâire
sont don⢠âppliâ˘âËle Ă lâ tomogrâphie ĂŠleâ˘troniqueF
30. 3.7 SpĂŠcicitĂŠ en tomographique ĂŠlectronique 27
3.7.2 L'angle limitĂŠ
hâns les pârties prĂŠâ˘ĂŠdentesD nous âvons vu que le thĂŠorème de lâ â˘oupe
â˘entrâleD nous âpportâit des ĂŠlĂŠments fondâmentâux en reâ˘onstruâ˘tion tomoE
grâphique âŚn des points â˘onâ˘erne le dĂŠËâttement ângulâire de l9ââ˘quisitionF
gomme nous l9âvons vu dâns le â˘hâpitre prĂŠâ˘ĂŠdentD en tomogrâphie ĂŠleâ˘troE
nique nous âvons un proËlème d9ângle limitĂŠF in e'etD les projeâ˘tions RfĎD
ne sont â˘onnues que pour les ângles Ď âppârtenânt Ă un sous ensemËle de
lâ demiEsphèreF in règle gĂŠnĂŠrâleD â˘e sous ensemËle est de l9ordre de â75ÂŚĂ
+75ÂŚF geâ˘i entrâĂŽne direâ˘tement une perte de donnĂŠe dâns l9espââ˘e de pourier
@pigF QFVA et pâr â˘onsĂŠquent une perte de donnĂŠe dâns l9espââ˘e rĂŠelF â isuelleE
ment â˘elâ se trâduit pâr une grosse perte de rĂŠsolution dâns le sens vertiâ˘âlF
âŹâr exempleD lâ reâ˘onstruâ˘tion d9un â˘erâ˘le âurâ tendânâ˘e Ă ressemËler plutĂ´t
Ă une ellipse @pigF QFWAF yn ne sâit pâs reâ˘onstruire les vâriâtions dâns â˘erE
tâines direâ˘tionsF
Figure QFV ! iâ˘hântillonnâge ângulâire et râdiâl dâns le domâine de pourier
dâns le â˘âs de donnĂŠes ângulâires mânquântes typiques de lâ tomogrâphie
ĂŠleâ˘troniqueF
31. 28 OpĂŠrateurs mathĂŠmatiques en tomographie ĂŠlectronique
Figure QFW ! âĂŠtroprojeâ˘tion du fântĂ´me de ĆheppEvogân @SIPxSIP pixelsA
Ă pârtir de IPI projeâ˘tions oËtenues entre â60ÂŚet +60ÂŚF
32. Chapitre 4
Reconstruction en tomographie Ă
angle limitĂŠ
4.1 ProblĂŠmatique
gomme il â ĂŠtĂŠ prĂŠsentĂŠ plus hâut lâ reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphique â˘onsiste
Ă reâ˘onstruire un oËjet Ă pârtir des ses projeâ˘tionsF hâns le â˘âs pârtiâ˘ulier de
lâ tomogrâphie ĂŠleâ˘troniqueD il n9est pâs possiËle d9ââ˘â˘ĂŠder Ă un dĂŠËâttement
ângulâire su0sânt pour reâ˘onstruire de mânière optimâleF h9un point de vue
mâthĂŠmâtique âppliquĂŠeD â˘eâ˘i en fâit un proËlème inverse mâl posĂŠ âu sens
oĂš X
! sl n9existe pâs une solution uniqueD en e'et il existerâ toujours plusieurs
oËjets â˘ompâtiËles âve⢠un ensemËle (ni de projeâ˘tionsF
! ve Ëruit des donnĂŠes fâusse ĂŠnormĂŠment lâ reâ˘onstruâ˘tionF âŚne di'ĂŠE
renâ˘e minime dâns les projeâ˘tions engendre un ĂŠâ˘ârt importânt dâns lâ
reâ˘onstruâ˘tionF vâ solution risque don⢠de ne pâs ĂŞtre stâËleF
PW
33. 30 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
Figure RFI ! ixemple de deux imâges di'ĂŠrentes donnânt des projeâ˘tions
de forme identique mâis dont les intensitĂŠs sont di'ĂŠrentesF
eve⢠â˘ette (gureD on s9âperçoitD qu9âu delĂ de lâ formeD les intensitĂŠs sont
très importântes en reâ˘onstruâ˘tionF
in prâtique on n9oËtiendrâ don⢠pâs de solution mâis plutĂ´t une âpproxiE
mâtionF h9un point de vue mâthĂŠmâtiqueD lâ reâ˘onstruâ˘tion â˘orrespond Ă lâ
minimisâtion d9une fonâ˘tionnelle et dâns notre â˘âs prĂŠâ˘isD il serâ di0â˘ile de
â˘onverger vers le minimum gloËâl de lâ fonâ˘tionnelleF
e â˘elâ on âjoute un âutre proËlème de tâilleD qui est l9ângle limitĂŠF gomme
nous âvons pu le voir dâns le â˘hâpitre prĂŠâ˘ĂŠdentD il dĂŠnâture grândement
l9imâgeF vâ (gure PD qui montre trois reâ˘onstruâ˘tions d9un mĂŞme oËjetD nous
fâit Ëien â˘omprendre le proËlèmeF
34. 4.1 ProblĂŠmatique 31
Figure RFP ! @âA smâge originâleD @ËA hĂŠËâttement ângulâire des Q reâ˘onsE
truâ˘tionsD @â˘A âeâ˘onstruâ˘tion âve⢠un dĂŠËâttement ângulâire de â65ÂŚĂ +65ÂŚD
@dA âeâ˘onstruâ˘tion âve⢠un dĂŠËâttement ângulâire de +25ÂŚĂ +155ÂŚD @eA âeE
â˘onstruâ˘tion âve⢠un dĂŠËâttement ângulâire de â20ÂŚĂ +110ÂŚF
e(n de Ëien â˘omprendre le proËlème de l9ângle limitĂŠD nous âvons simulĂŠ
un oËjet Ph dont nous âvons gĂŠnĂŠrĂŠ numĂŠriquement les projeâ˘tions sur des
domâines ângulâires di'ĂŠrents et illustrĂŠs sur lâ (gure RFPF
hâns le premier â˘âs @(gF RFPâ˘AD le dĂŠËâttement ângulâire permet de mesuE
rer des projeâ˘tions et don⢠des intĂŠgrâles linĂŠâires perpendiâ˘ulâirement âux
frĂŠquenâ˘es horizontâles sur les imâgesD â˘e qui permet de reâ˘onstruire â˘orE
reâ˘tement les disâ˘ontinuitĂŠs horizontâles mâis ne permet pâs d9ââ˘â˘ĂŠder âux
frĂŠquenâ˘es vertiâ˘âlesF
hâns le â˘âs de lâ (gure RFPdD lâ situâtion est inversĂŠeF
vâ (gure RFPe montre l9intĂŠrĂŞt d9âdâpter l9orientâtion initiâle de l9oËjet
pâr râpport âu fâisâ˘eâu pour un dĂŠËâttement ângulâire restreint donnĂŠF âŹour
un oËjet â˘ontenânt essentiellement des frĂŠquenâ˘es vertiâ˘âles et horizontâles
et pour un mĂŞme dĂŠËâttement ângulâire restreint donnĂŠD iâ˘i 130ÂŚD il est plus
intĂŠressânt de mesurer sur un dĂŠËâttement [+20ÂŚ; +110ÂŚ] que sur [â65ÂŚ; +65ÂŚ]
â˘âr on reâ˘onstruit âlors relâtivement Ëien les disâ˘ontinuitĂŠs vertiâ˘âles et horiE
zontâles âu dĂŠpend des disâ˘ontinuitĂŠs 4diâgonâles4D peu prĂŠsentes sur l9oËjetF
35. 32 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
gomme il â ĂŠtĂŠ ĂŠnonâ˘ĂŠ dâns les oËjeâ˘tifsD â(n de Ëien â˘omprendre tous
les mĂŠâ˘ânismes de lâ reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphiqueD nous âllons â˘ommenâ˘er
pâr trâvâiller en Ph âve⢠le fântĂ´me de ĆheppEvogân âve⢠un dĂŠËâttement
ângulâire de 150ÂŚF
ves deux â˘hâpitres qui suiventD â˘onâ˘erneront deux types de reâ˘onstruâ˘E
tions di'ĂŠrentesF vâ reâ˘onstruâ˘tion ânâlytique âve⢠lâ rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠe
@âĄeight fââ˘kEâŹrojeâ˘tion âĄfâŹAF g9est une rĂŠsolution du proËlème exprimĂŠ
sous forme â˘ontinueD viâ le thĂŠorème de lâ â˘oupe â˘entrâleF ve proËlème inE
verse est exprimĂŠ mâthĂŠmâtiquement sous lâ forme d9une ĂŠquâtion intĂŠgrâleD
et lâ disâ˘rĂŠtisâtion se fâit Ă l9implĂŠmentâtionF
vâ seâ˘onde mĂŠthode â˘onâ˘erne les âlgorithmes itĂŠrâtifs tels que le Ćsââ @ĆiE
multâneous sterâtive âeâ˘onstruâ˘tion âeâ˘hniâ˘A ou enâ˘ore le eââ @elgeËrâiâ˘
âeâ˘onstruâ˘tion âeâ˘hniâ˘AF gette fois â˘iD â˘9est une rĂŠsolution du proËlème sous
forme disâ˘rèteD viâ lâ rĂŠsolution d9un système mâtriâ˘ielF ve proËlème direâ˘t
est disâ˘rĂŠtisĂŠ d9emËlĂŠe et est ensuite inversĂŠF
itânt donnĂŠ que l9on â les imâges initiâlesD on pourrâ voir Ă quel point
les âlgorithmes â˘onvergentF
hâns les pârties qui suivent nous âllons ĂŠgâlement prĂŠsenter les âlgoE
rithmes de reâ˘onstruâ˘tion en wâtlâËD il est don⢠nĂŠâ˘essâire de se mettre
d9ââ˘â˘ord sur les notâtions utilisĂŠes X
âhetâ viste des ângles d9ââ˘quisitions
âŹr ââËleâu â˘ontenânt toutes les projeâ˘tions
âes smâge rĂŠsultât
36. 4.2 MĂŠthodes analytiques 33
4.2 MĂŠthodes analytiques
ges mĂŠthodes sont très Ëien dĂŠtâillĂŠes dâns les rĂŠfĂŠrenâ˘es âIâ@thĂŠorie et
implĂŠmentâtionAD âITâ@thĂŠorieA et âIWâF
4.2.1 RĂŠtroprojection
gette teâ˘hnique de reâ˘onstruâ˘tion est lâ plus simpleD elle â˘orrespond Ă lâ
mĂŠthode dĂŠâ˘rite prĂŠâ˘ĂŠdemment dâns lâ pârtie QFSF ve dĂŠËâttement ângulâire
Ď vâ de â75ÂŚĂ +75ÂŚF
R#[p](x, y) =
Ď
pĎ(x cos Ď + y sin Ď)dĎ @RFIA
Figure RFQ ! ixemple de âĂŠtroprojeâ˘tion âve⢠son histogrâmme des intenE
sitĂŠsF
yn remârque Ëien l9e'et de )ou qui rĂŠsulte de â˘ette reâ˘onstruâ˘tionF get
e'et est âussi perâ˘eptiËle sur l9histogrâmme des intensitĂŠsD le rĂŠsultât est un
lissâge de l9originâlF
37. 34 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
eu niveâu de l9âlgorithmeD il est ĂŠgâlement très simple en wâtlâË X
Figure RFR ! elgorithme de âĂŠtroprojeâ˘tionF
4.2.2 RĂŠtroprojection ltrĂŠe
gette mĂŠthode de reâ˘onstruâ˘tion est un peu plus ĂŠlâËorĂŠe que lâ prĂŠâ˘ĂŠE
dente et permet de reâ˘onstruire de mânière exââ˘te un oËjet dâns le â˘âs de
donnĂŠes â˘omplètesF ille â˘orrespond vrâiment Ă lâ trânsformĂŠe de ââdon inE
verseD â˘omme elle â ĂŠtĂŠ dĂŠâ˘rite dâns lâ pârtie QFTF ve dĂŠËâttement ângulâire
Ď vâ de â75ÂŚĂ +75ÂŚF
f(x, y) = R#(F-1(F(pĎ) ¡ |W|)))(x, y) @RFPA
gette mĂŠthode â˘onsiste Ă dĂŠâ˘omposer l9imâge rĂŠtroprojetĂŠe grââ˘e Ă lâ
trânsformĂŠe de pourier puis Ă lâ reâ˘omposer en â˘hângeânt prĂŠâlâËlement le
poids des â˘omposântes de frĂŠquenâ˘es di'ĂŠrentesF einsiD on peut diminuer lâ
â˘omposânte de Ëâsse frĂŠquenâ˘e de l9imâge que l9on sâit ĂŞtre lâ sourâ˘e du )ou
oËservĂŠF
38. 4.2 MĂŠthodes analytiques 35
Figure RFS ! ixemple de âĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠe âve⢠son histogrâmme des
intensitĂŠsF
eve⢠â˘ette mĂŠthodeD on oËtient un meilleur rĂŠsultâtF in oËservânt l9hisE
togrâmmeD on remârque que lâ distriËution des niveâux de gris est plus (neD
on â Ëeâuâ˘oup moins l9e'et de )ouF ves ârtefââ˘ts rĂŠsiduels en hâut et en Ëâs
du fântĂ´me sont dus âux donnĂŠes ângulâires mânquântesF
yn note âussi lâ prĂŠsenâ˘e d9ârtĂŠfââ˘ts de râies dâns l9imâgeD â˘es stries
ĂŠtâient âussi prĂŠsentes dâns lâ rĂŠtroprojeâ˘tion simple mâis âttĂŠnuĂŠes Ă â˘âuse
du )ouF illes sont dues Ă l9ĂŠâ˘hântillonnâge ângulâire qui est trop fâiËleF in
e'etD nous âvonsD iâ˘iD que ISI projeâ˘tionsF vâ règle dĂŠâ˘rite dâns le â˘hâpitre
PFP n9est pâs respeâ˘tĂŠe â˘âr d9une pârtD on souhâite rĂŠduire le temps d9ânâlyse
âinsi que lâ dose dĂŠlivrĂŠeD et d9âutre pârt on â˘herâ˘he Ă limiter le temps de
â˘âlâ˘ulF
gonâ˘ernânt les (ltresD il existe plusieurs types vâriântes d9un mĂŞme (ltreF
ve (ltre 4ââmp4 est le plus utilisĂŠF wâtlâË propose des vâriântes â˘omme
les (ltres 4rânning4 ou 4râmming4F wâis le (ltre 4ââmp4 serâ â˘elui qu9on
utiliserâ dâns nos reâ˘onstruâ˘tionsF
39. 36 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
Figure RFT ! ixemple de (ltre dâns l9espââ˘e de pourierD @âxe grâduĂŠ en
frĂŠquenâ˘eAF
ve (ltre thĂŠorique est le (ltre 4râmpe4 @(gF RFTâAF sl possède deux â˘ârââ˘E
tĂŠristiques prinâ˘ipâles X il âmpli(e les â˘omposântes de hâutes frĂŠquenâ˘es et il
ânnule lâ â˘omposânte â˘ontinue du signâl â˘e qui â pour e'et d9introduire des
vâleurs nĂŠgâtives â˘âr lâ â˘omposânte â˘ontinue reprĂŠsente lâ moyenne du signâlF
ve (ltrâge introduit loâ˘âlement des vâleurs nĂŠgâtives sur â˘hââ˘une des projeâ˘E
tions (ltrĂŠes qui ne sont pâs â˘ompensĂŠes pâr les âutres projeâ˘tions (ltrĂŠesD
puisque â˘ertâines projeâ˘tions sont mânquântesF Ći l9on dispose de toutes les
projeâ˘tionsD âlors il n9y â plus de vâleurs nĂŠgâtivesF
ve (ltre râmpe seul est un (ltre pâsseEhâut qui âmpli(e fortement les
hâutes frĂŠquenâ˘es et don⢠le ËruitF âŹour â˘orriger â˘et e'etD il est nĂŠâ˘essâire de
fâire un fenĂŞtrâge de â˘e (ltre â(n de râmener les extrĂŠmitĂŠs Ă HF vâ mĂŠthode lâ
plus â˘lâssique â˘onsiste Ă multiplier le (ltre ââmp pâr une fenĂŞtre de rânning
@(ltre pâsseEËâsA pour oËtenir le (ltre de rânning de lâ (gure RFTËF sl existe
ĂŠgâlement d9âutre (ltre â˘onnu tel que râmming ou futterworthF
v9âlgorithme â˘onâ˘ernânt â˘ette teâ˘hnique est ĂŠgâlement très simple X
Figure RFU ! elgorithme de rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠeF
40. 4.2 MĂŠthodes analytiques 37
4.2.3 Conclusion
âŹour â˘onâ˘lure sur â˘es deux teâ˘hniques de reâ˘onstruâ˘tionD on dirâ juste
qu9elles ne sont pâs âdâptĂŠes Ă notre proËlèmeF fien qu9elles nous âient perE
mis de â˘omprendre les prinâ˘ipes de Ëâses de lâ reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphiqueD
elles ne se prĂŞtent pâs Ă une â˘ârââ˘tĂŠrisâtion dĂŠtâillĂŠeF in e'etD â˘omme on â
pu le voir dâns lâ pârtie RFPFID lâ reâ˘onstruâ˘tion qui rĂŠsulte de lâ rĂŠtroproE
jeâ˘tion simple est Ëeâuâ˘oup trop )oue pour espĂŠrer trâvâiller dessusF hâns
lâ pârtie RFPFP nous âvons vu que mĂŞme si le proËlème de )ou est rĂŠglĂŠD il
rĂŠside enâ˘ore plusieurs proËlèmes tel queD les ârtĂŠfââ˘ts de râies ou enâ˘ore
les vâleurs nĂŠgâtives dâns les imâgesF ges proËlèmesD dus respeâ˘tivement Ă
l9ĂŠâ˘hântillonnâge et âu (ltreD ne nous permettent toujours pâs d9âvoir une
â˘ârââ˘tĂŠrisâtion dĂŠtâillĂŠe de l9oËjetF he plus les ârtĂŠfââ˘tsD engendrĂŠs pâr les
donnĂŠes ângulâires mânquântesD prĂŠsent en hâut et en Ëâs de l9imâgeD dĂŠnâE
turent fortement â˘ette dernièreF hâns lâ pârtie suivânteD nous verrons donâ˘
d9âutres âlgorithmes dits 4itĂŠrâtifs4 qui tendent Ă rĂŠduire â˘es ârtĂŠfââ˘tsF
Figure RFV ! @âA smâge originâleD @ËA âĂŠtroprojeâ˘tionD @â˘A âĂŠtroprojeâ˘tion
(ltrĂŠeF
41. 38 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
4.3 MĂŠthode algĂŠbrique
ges mĂŠthodes sont très Ëien dĂŠtâillĂŠes dâns les rĂŠfĂŠrenâ˘es âPHâ âPIâ âPPâF
4.3.1 Principe mathĂŠmatique
ves âlgorithmes de reâ˘onstruâ˘tion itĂŠrâtive reposent sur lâ rĂŠsolution d9un
système mâtriâ˘iel qui s9exprime de lâ mânière suivânte X
P = R ¡ f @RFQA
P est le veâ˘teur de mesuresD â˘hâque â˘omposânte ĂŠtânt une vâleur de proE
jeâ˘tionF Ćâ tâille 4m4 est ĂŠgâl âu produit du nomËre de projeâ˘tions pâr le
nomËre de points pâr projeâ˘tionF
f est le veâ˘teur des vâleurs reâ˘herâ˘hĂŠes en â˘hâque pixelD â˘hâque â˘omposânte
ĂŠtânt lâ vâleur d9âttĂŠnuâtion en un pixel de l9imâge Y elle est de tâille 4n4
ĂŠgâle âu nomËre totâl de pixelsF
R est lâ mâtriâ˘e de projeâ˘tionD de tâille m â nF gette mâtriâ˘e ne dĂŠpend que
de l9ââ˘quisition et pâs des donnĂŠesF
âŹour âvoir un ordre d9idĂŠe si on â 150 projeâ˘tions d9une imâge de tâille
300 â 300 pixelsD âlors on oËtiendrâ IQ SHH HHH ĂŠquâtions âve⢠âutânt d9inE
â˘onnuesF
hâns le â˘âdre de l9ĂŠvâluâtion relâtive des di'ĂŠrentes âlgorithmes en tomoE
grâphie ĂŠleâ˘troniqueD nous âvons implĂŠmentĂŠ â˘hâque âlgorithme en utilisânt
le logiâ˘iel wâtlâË et notâmment les fonâ˘tions 4râdon4 et 4irâdon4F gette imE
plĂŠmentâtion s9est fâit sous âĄindowsF ve âŹg possède un gâŹâŚ gore P huo
PDQ qrz et Pqo âewF
4.3.2 Principe algorithmique
âŹour expliquer plus â˘lâirement les âlgorithmes itĂŠrâtifsD âdmettons que
l9on â˘ompâre les projeâ˘tions de dĂŠpârt @les donnĂŠes initiâlesA âve⢠les projeâ˘E
tions oËtenues âprès âvoir reprojetĂŠ une reâ˘onstruâ˘tion simple des donnĂŠes
initiâlesF gette reprojeâ˘tion ne serâ pâs identique Ă l9originâlD et lâ di'ĂŠrenâ˘e
entre elles est â˘ârââ˘tĂŠristique de l9erreur de lâ reâ˘onstruâ˘tion Ă pârtir de donE
nĂŠes inâ˘omplètesF
42. 4.3 MĂŠthode algĂŠbrique 39
sl existe plusieurs fâçons pour mesurer â˘ette di'ĂŠrenâ˘e et l9utiliser â(n
d9âmĂŠliorer lâ première reâ˘onstruâ˘tionF xous verrons deux teâ˘hniquesF vâ
première est lâ mĂŠthode eââ @elgeËrâi⢠âeâ˘onstruâ˘tion âeâ˘hniqueA et lâ seE
â˘onde lâ mĂŠthode Ćsââ @Ćimultâneous sterâtive âeâ˘onstruâ˘tion âeâ˘hniqueAF
v9eââ â lâ pârtiâ˘ulâritĂŠ de trâiter les projeâ˘tions une pâr une âu â˘ours de
l9âlgorithme â˘ontrâirement âu Ćsââ qui les trâite toutes en mĂŞme tempsF ĆiE
non le prinâ˘ipe gloËâl est le mĂŞmeF
vâ di'ĂŠrenâ˘e que l9on â ĂŠnonâ˘ĂŠe prĂŠâ˘ĂŠdemment peut ĂŞtre vue â˘omme
une 4di'ĂŠrenâ˘e de sinogrâmme4F g9est le point de dĂŠpârt des âlgorithmesF
gette di'ĂŠrenâ˘e â ĂŠtĂŠ â˘âlâ˘ulĂŠe en â˘ompârânt les projeâ˘tions initiâles âve⢠les
projeâ˘tions d9une imâge prĂŠâlâËlement initiâlisĂŠe @(gF RFWAF
insuite â˘ette di'ĂŠrenâ˘e est rĂŠtroprojetĂŠeD on oËtient âlors une 4di'ĂŠrenâ˘e
de reâ˘onstruâ˘tion4F qrââ˘e Ă â˘ette dernière on met Ă jour notre imâge qui
âvâit ĂŠtĂŠ prĂŠâlâËlement initiâlisĂŠeF
yn oËtient âlors une première âpproximâtion de reâ˘onstruâ˘tionF sl est nĂŠE
â˘essâire de rĂŠpĂŠter â˘ette proâ˘ĂŠdure plusieurs foisD âve⢠l9imâge mise Ă jour Ă
lâ plââ˘e de l9imâge initiâlisĂŠeD pour oËtenir un rĂŠsultât â˘orreâ˘tF
ve â˘âlâ˘ul des di'ĂŠrenâ˘es et lâ mise Ă jour peuvent se fâire de fâçon âdditive
ou multipliâ˘âtiveF in e'etD soit on â˘âlâ˘ule les di'ĂŠrenâ˘es âve⢠une soustrââ˘E
tion et dâns â˘e â˘âs lâ mise Ă jour serâ une simple âddition soit en fâisânt un
râtio et dâns â˘e â˘âs lâ mise Ă jour serâ une multipliâ˘âtionF v9initiâlisâtion se
ferâ di'ĂŠremment selon le â˘hoix de lâ mise Ă jour X si on â˘hoisit une version
âdditive âlors il fâut initiâliser l9imâge âve⢠à zĂŠro et Ă un si on â˘hoisit lâ
version multipliâ˘âtiveF
ve nomËre d9itĂŠrâtions est â˘hoisi de mânière empirique et vient 4rĂŠgulâriE
ser4 lâ reâ˘onstruâ˘tionF âŹour le ĆsââD il fâut â˘ompter environs une vingtâine
d9itĂŠrâtions pâr â˘ontre pour le eââ il en fâut Ëeâuâ˘oup moinsD environ R
ou SF in e'etD dâns le eââ Ă â˘hâque itĂŠrâtionD on â˘ompâre â˘hâque projeâ˘E
tion indĂŠpendâmment et on rĂŠtroprojette ĂŠgâlement â˘hâque 4di'ĂŠrenâ˘e de
projeâ˘tions4 indĂŠpendâmmentF
4.3.3 MĂŠthode ART (Algebraic Reconstruction Tech-
nique)
vâ mĂŠthode eââ @elgeËrâi⢠âeâ˘onstruâ˘tion âeâ˘hniqueA â˘onsiste Ă â˘orE
riger les â˘oe0â˘ients fi de f en utilisânt une projeâ˘tion Ă â˘hâque foisF v9exE
43. 40 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
Figure RFW ! Ćâ˘hĂŠmâ dĂŠâ˘rivânt le proâ˘essus d9une reâ˘onstruâ˘tion itĂŠrâtiveD
âve⢠N â˘omme nomËre d9itĂŠrâtion âPQâ âPRâF
44. 4.3 MĂŠthode algĂŠbrique 41
Figure RFIH ! @âA eââ âdditif Ă plusieurs itĂŠrâtionsD @ËA ristogrâmme des
intensitĂŠsF
pression mâthĂŠmâtique de lâ â˘orreâ˘tion selon lâ mĂŠthode eââ s9ĂŠâ˘rit de lâ
mânière suivânte X
f
(k)
i = f
(kâ1)
i + Ν ¡ Rij ¡
(pj â Rj ¡ f(kâ1)
)
||Rj||2
@RFRA
gette ĂŠquâtion s9interprète de lâ mânière suivânte X
ghâque â˘omposânte i du veâ˘teur f(k)
Ă l9itĂŠrâtion k est â˘orrigĂŠe en âjouE
tânt Ă lâ vâleur f
(kâ1)
i oËtenue Ă l9itĂŠrâtion prĂŠâ˘ĂŠdente un â˘oe0â˘ient proporE
tionnel Ă lâ di'ĂŠrenâ˘e entre lâ donnĂŠe pj et lâ projeâ˘tion reâ˘âlâ˘ulĂŠe Ă pârtir de
f(kâ1)
D ĂŠgâle Ă Rj ¡f(kâ1)
F Îť estD dâns â˘ette ĂŠquâtionD un fââ˘teur de relâxâtion
qui permet de mâitriser lâ â˘onvergenâ˘e de l9âlgorithmeF
45. 42 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
ves imâges oËtenues pâr reâ˘onstruâ˘tion eââ prĂŠsentent moins d9ârtefââ˘ts
que â˘elles oËtenues pâr rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠeF fien qu9âu niveâu des intensiE
tĂŠs â˘elâ semËle â˘orreâ˘tD on â un petit e'et de )ou mâis surtout des râies très
importântesF get ârtefââ˘t est dĂť âu fâit qu9on trâite les projeâ˘tions les unes
âprès les âutres et don⢠que lâ dernière â plus de poids dâns lâ reâ˘onstruâ˘tionF
âŹour minimiser â˘et e'etD les projeâ˘tions peuvent ĂŞtre trâitĂŠes âlĂŠâtoirementF
yn pârle en ânglâis d9 yrdered ĆuËsetF
gomme on peut le voirD â˘et âlgorithme â˘onverge âprès très peu d9itĂŠrâE
tionF gependântD âu niveâu du temps d9exĂŠâ˘utionD il est tout de mĂŞme moins
râpide que l9âlgorithme ĆsââF e â˘hâque itĂŠrâtionD on rĂŠtroprojette âutânt
de fois qu9il y â de projeâ˘tionsF ves rĂŠtroprojeâ˘tions ne sont fâites que sur
une seule projeâ˘tion â˘ontrâirement âu ĆsââD don⢠Ëeâuâ˘oup moins â˘oĂťteuses
mâis il y â en â Ëeâuâ˘oup plusF
46. 4.3 MĂŠthode algĂŠbrique 43
Figure RFII ! elgorithme eââ âdditifF
get âlgorithme 4eââ 4 est très proâ˘he de l9âlgorithme dĂŠâ˘rite sur lâ (gure
RFWD il possède juste une Ëouâ˘le supplĂŠmentâire sur les projeâ˘tionsD qui permet
de les trâiter â˘hââ˘une Ă leur tourF
4.3.4 MĂŠthode SIRT (Simultaneous Iterative Recons-
truction Technique)
vâ mĂŠthode Ćsââ @Ćimultâneous sterâtive âeâ˘onstruâ˘tion âeâ˘hniqueA
â˘onsiste Ă e'eâ˘tuer lâ â˘orreâ˘tion de â˘hâque ( en utilisânt tous les projeâ˘E
tions Ă lâ foisF
v9ĂŠquâtion permettânt d9ĂŠvâluer f(k)
pâr â˘orreâ˘tion de f(kâ1)
est lâ suiE
vânte X
47. 44 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
f
(k)
i = f
(kâ1)
i + Ν ¡ (
j pj
ij Rij
â
j Rj ¡ f(fâ1)
j ||Rj||2
) @RFSA
vâ sommâtion portânt sur l9ensemËle des indiâ˘es j tels que le râyon j
trâverse le voxel Ă reâ˘onstruireF gette mĂŠthode est plus lente que l9eââ et
nĂŠâ˘essite plus de mĂŠmoireF
Figure RFIP ! @âA Ćsââ multipliâ˘âtif Ă plusieurs itĂŠrâtionsD @ËA ristogrâmme
des intensitĂŠsF
gontrâirement Ă lâ rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠe on â plus â˘et e'et indĂŠsirâËle
de )ouF ve â˘ontrâste est Ëeâuâ˘oup plus fortD â˘e qui se â˘on(rme âve⢠l9histoE
grâmme des intensitĂŠsF ves ârtĂŠfââ˘ts des râies ont ĂŠgâlement dispârusF wâis
le plus sâtisfâisânt â˘9est le fâit que le proËlème des donnĂŠes ângulâires mânE
quântes est moins )âgrântF gertes il est toujours prĂŠsent mâis le Ëut n9est pâs
de le supprimerD â˘e qui est impossiËleD mâis d9exploiter âu mieux les donnĂŠes
disponiËles pour le rĂŠduire âu mâximumF
48. 4.3 MĂŠthode algĂŠbrique 45
Figure RFIQ ! elgorithme Ćsââ multipliâ˘âtifF
get âlgorithmeD un peu plus â˘omplexe qu9une rĂŠtroprojeâ˘tionD et ËeâuE
â˘oup plus e0â˘ââ˘e en terme de rendu pâr â˘ontre âu niveâu du temps d9exĂŠâ˘uE
tion il est Ëeâuâ˘oup plus longF yn peut fââ˘ilement â˘âlâ˘uler â˘e temps d9exĂŠE
â˘ution âve⢠â˘et âlgorithme X
Ćoit ND le nomËre d9itĂŠrâtion et sââ˘hânt qu9une rĂŠtroprojeâ˘tion est environ
deux fois plus longue qu9une projeâ˘tionD on peut dire que â˘et âlgorithme est
entre 1.5 et 2N fois plus lent qui rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠeF
4.3.5 Conclusion
yn vient de prĂŠsenter les Ëâses des prinâ˘ipâux âlgorithmes itĂŠrâtifs que
l9on peut utiliser en reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphique Ă ângle limitĂŠF gette liste
est non exhâustive et n9inâ˘lut pâsD pâr exempleD les âpproâ˘hes ânâlytiques
âve⢠des (ltres âdâptĂŠsD les âpproâ˘hes inâ˘luânt une rĂŠgulârisâtion ou un moE
dèle d9oËjetD ou enâ˘ore les âpproâ˘hes ËâsĂŠes sur les ondelettesF
49. 46 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
gomme on vient de le voirD â˘es âpproâ˘hes semËlent stâËles mâis il ne
fâut pâs ouËlier qu9iâ˘i on ne trâvâillâit qu9âve⢠un fântĂ´me numĂŠriqueD des
projeâ˘tions ââ˘quises suivânt une gĂŠomĂŠtrie pârfâite et des projeâ˘tions non
ËruitĂŠesF ge serâ tout âutre âve⢠de vrâies donnĂŠes expĂŠrimentâlesF
4.4 Tomographie en double-axe
4.4.1 Principe
hâns le â˘hâpitre prĂŠâ˘ĂŠdentD nous venons de voir quelques âlgorithmes de
reâ˘onstruâ˘tion qui ont fâit ressortir lâ dĂŠgrâdâtion des imâges Ă â˘âuse des
donnĂŠes ângulâires mânquântesF
Figure RFIR ! âeprĂŠsentâtion des donnĂŠes en Qh dâns l9espââ˘e de pourierD
en rouge l9âxe de tiltF
50. 4.4 Tomographie en double-axe 47
hâns â˘ette pârtieD nous âllons ĂŠtudier lâ mĂŠthode dite 4douËleEâxes4
@4duâlEâxis4 en ânglâisA qui permet de rĂŠduire les ârtĂŠfââ˘ts dus âux donE
nĂŠes ângulâires mânquântesF gette teâ˘hnique utilise plusieurs jeux de donE
nĂŠes â˘roisĂŠs â(n de â˘omplĂŠter plus en dĂŠtâil l9espââ˘e de pourier âPSâ âPTâF
v9ââ˘quisition des donnĂŠes â un rĂ´le prĂŠpondĂŠrânt dâns â˘ette teâ˘hniqueF
in e'etD lâ gĂŠomĂŠtrie d9ââ˘quisition se doit d9ĂŞtre ĂŠtudiĂŠe pour âvoir le moins
de vide possiËle dâns l9espââ˘e de pourierF vorsque l9on possède deux jeux de
donnĂŠesD dâns l9idĂŠâlD ils doivent âvoir leurs âxes de tilt perpendiâ˘ulâiresF
Figure RFIS ! âeprĂŠsentâtion de deux jeux de donnĂŠes en Qh dâns l9espââ˘e
de pourierD en rouge les âxes de tilt perpendiâ˘ulâiresF
51. 48 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
ges jeux de donnĂŠes peuvent ensuite ĂŞtre âssoâ˘iĂŠsD pour venir â˘omplĂŠter
le domâine de pourier @(gF RFITAF
Figure RFIT ! âeprĂŠsentâtion de l9espââ˘e de pourier en duâlEâxis Qh âPUâF
4.4.2 Algorithme
vâ teâ˘hnique de reâ˘onstruâ˘tion en douËleEâxe repose sur les mĂŞmes teâ˘hE
niques de reâ˘onstruâ˘tion vues prĂŠâ˘ĂŠdemmentF
vâ première mĂŠthode de reâ˘onstruâ˘tion en douËleEâxeD lâ plus intuitiveD
â˘onsiste Ă sommer dâns l9espââ˘e de pourier le rĂŠsultât des reâ˘onstruâ˘tions
oËtenues âve⢠les deux jeux de donnĂŠesF gette mĂŠthode est indĂŠpendânte
de lâ teâ˘hnique de reâ˘onstruâ˘tion que l9on utiliseF âŹour une rĂŠtroprojeâ˘tion
simpleD on oËtient lâ formulâtion mâthĂŠmâtique suivânte X
f(x, y) = Fâ1
(F(R#
(pĎ)(x, y)) + F(R#
(pĎ)(x, y))) @RFTA
Ď et Ď reprĂŠsente deux dĂŠËâttements ângulâires @(gF RFITAF
52. 4.4 Tomographie en double-axe 49
sl existe une seâ˘onde mĂŠthodeD liĂŠe âux âlgorithmes itĂŠrâtifsD qui vâ utiliE
ser un jeu de donnĂŠes di'ĂŠrents Ă â˘hâque itĂŠrâtionF ge proâ˘ĂŠdĂŠ est très Ëien
dĂŠâ˘rit dâns â˘e sâ˘hĂŠmâ X
Figure RFIU ! Ćâ˘hĂŠmâ dĂŠâ˘rivânt l9âlgorithme Ćsââ en douËleEâxeF
gette teâ˘hnique est très proâ˘he de l9âlgorithme Ćsââ du â˘hâpitre prĂŠâ˘ĂŠE
dentF gependânt l9initiâlisâtion di'ère lĂŠgèrementF gontrâirement âux âlgoE
rithmes itĂŠrâtifs vus prĂŠâ˘ĂŠdemmentD oĂš l9initiâlisâtion ĂŠtâit fâite âve⢠une
rĂŠtroprojeâ˘tionD l9initiâlisâtion pour l9âlgorithme douËleEâxe â˘orrespond Ă
lâ formulâtion mâthĂŠmâtique â˘iEdessusF âŚne rĂŠtroprojeâ˘tion est fâite pour
â˘hâque jeu de donnĂŠes puis les rĂŠsultâts sont sommĂŠs dâns l9espââ˘e de pouE
rierF
vâ Ëouâ˘le itĂŠrâtive di'ère ĂŠgâlementD selon que l9itĂŠrâtion soit pâire ou
impâireF Ćelon les â˘âsD pâire ou impâireD lâ mise Ă jour du volume reâ˘onstruit
se ferâ âve⢠un jeu de donnĂŠe ou un âutreF e l9itĂŠrâtion suivânte le seâ˘ond
jeu de donnĂŠe serâ utilisĂŠF
53. 50 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
4.4.3 Reconstruction en double-axe 3D
e(n de tester l9âlgorithme douËleEâxe on utilise le fântĂ´me de ĆheppE
vogân QhF ve volume fâit 256â256â256 pixelsF xotre â˘on(gurâtion de wâtlâË
ne permettânt pâs de trâiter des donnĂŠes plus volumineusesD il serâ nĂŠâ˘esE
sâire de sâuvegârder les donnĂŠes intermĂŠdiâire en Ëinâire dâns des (â˘hiers
temporâiresF
v9ââ˘quisition des donnĂŠes s9est fâite selon les âxes de tilt X et ZF e â˘hâque
fois nous âvons utilisĂŠ un dĂŠËâttement ângulâire de 120ÂŚF e(n de â˘ompârer
les âlgorithmes et les imâges oËtenuesD on ĂŠtudierâ les â˘oupes pour Z = 128
et Z = 75 sur un totâl de 256 â˘oupesF
gette imâge nous donne dĂŠjĂ un âperçu du fântĂ´me originâl X
Figure RFIV ! smâge originâle du fântĂ´me vu @en hâutA dâns le plân @Ëâ°A
et @in ËâsA dâns le plân @â°ÂAF
54. 4.4 Tomographie en double-axe 51
âŹour Ëien â˘omprendre l9impââ˘t des donnĂŠes ângulâires mânquântes en
fonâ˘tion de l9âxe de tiltD nous âllons â˘ompârer les mĂŞmes â˘oupes que dâns lâ
(gure RFIV mâis âve⢠deux reâ˘onstruâ˘tions di'ĂŠrentesF illes sont toutes les
deux reâ˘onstruites âve⢠l9âlgorithme Ćsââ âve⢠PH itĂŠrâtions mâis âve⢠des
âxes de tilt di'ĂŠrentsF vâ première est selon l9âxe Z et lâ seâ˘onde selon l9âxe
XF
Figure RFIW ! âeâ˘onstruâ˘tionD d9un jeu de donnĂŠe âyânt l9âxe Z â˘omme âxe
de tiltD âve⢠l9âlgorithme Ćsââ @PH itĂŠrâtionsAF @in hâutA dâns le plân (XY )
et @in ËâsA dâns le plân (Y Z)F
55. 52 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
Figure RFPH ! âeâ˘onstruâ˘tionD d9un jeu de donnĂŠe âyânt l9âxe X â˘omme âxe
de tiltD âve⢠l9âlgorithme Ćsââ @PH itĂŠrâtionsAF @in hâutA dâns le plân (XY )
et @in ËâsA dâns le plân (Y Z)F
gomme on peut le voir â˘es (gure RFIW et RFPHD l9informâtion prĂŠsente dâns
â˘es deux reâ˘onstruâ˘tions est très di'ĂŠrenteF illes sontD en fâitD â˘omplĂŠmenE
tâiresF
Ći l9on somme â˘es deux reâ˘onstruâ˘tions dâns l9espââ˘e de pourier on oËE
tient une meilleure reâ˘onstruâ˘tion X
56. 4.4 Tomographie en double-axe 53
Figure RFPI ! Ćomme selon l9ĂŠquâtion @IA de deux reâ˘onstruâ˘tions âve⢠des
âxe de tilt selon X et ZF @in hâutA dâns le plân (XY ) et @in ËâsA dâns le
plân (Y Z)F
gomme on peut le voir sur lâ (gure RFPID le fâit de sommer nos deux
reâ˘onstruâ˘tions dâns l9espââ˘e de pourierD â˘orrige en pârtie les ârtĂŠfââ˘ts dus
âux donnĂŠes ângulâires mânquântesF gependântD â˘ette teâ˘hnique ne les â˘orE
rige pâs entièrementD il suËsiste un e'et de )ou importânt selon les âxes de
tilt @respeâ˘tivement horizontâle et vertiâ˘âleAF g9est pourquoi il est nĂŠâ˘essâire
d9utiliser l9âlgorithme itĂŠrâtif dĂŠâ˘rit dâns lâ (gure RFIUF yn oËtient âlors lâ
reâ˘onstruâ˘tion suivânte X
57. 54 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
Figure RFPP ! âeâ˘onstruâ˘tion de deux jeux de donnĂŠes âve⢠l9âlgorithme en
douËleEâxe deâ˘rit dâns lâ (gure RFIUF @in hâutA dâns le plân (XY ) et @in
ËâsA dâns le plân (Y Z)F
gette (gure nous montre que l9âlgorithme en douËleEâxe âpporte plus de
dĂŠtâil Ă lâ reâ˘onstruâ˘tion que l9âlgorithme illustrĂŠ âve⢠lâ (gure RFPIF in e'etD
on ne voit plus les zones de )ou que l9on âvâit suivânt les âxes vertiâ˘âux et
horizontâuxF
58. 4.4 Tomographie en double-axe 55
Figure RFPQ ! vâ ligne du hâut â˘orrespond âu â˘oupe â˘entrâle selon l9âxe
Z = 128F vâ ligne du Ëâs â˘orrespond âux â˘oupes Z = 75F e droiteD le fântĂ´me
originâlF eu milieu gâuâ˘heD une reâ˘onstruâ˘tion Ćsââ â˘lâssique @PH itĂŠrâtionsAF
eu milieu droitD une reâ˘onstruâ˘tion douËleEâxe â˘lâssique selon l9ĂŠquâtion @IAF
e gâuâ˘heD une reâ˘onstruâ˘tion douËleEâxe itĂŠrâtive @PH itĂŠrâtionsAF
vâ (gure RFPQ illustre pârfâitement les âvântâges et inâ˘onvĂŠnients de lâ
reâ˘onstruâ˘tion en douËleEâxeF ves ârtĂŠfââ˘ts de reâ˘onstruâ˘tion sur lâ â˘oupe
â˘entrâle selon l9âxe ZD ne sont pâs du tout â˘orrigĂŠsD â˘ontrâirement Ă â˘eux
des â˘oupes extĂŠrieuresF in e'etD dâns le â˘âs d9une reâ˘onstruâ˘tion en Qh en
duâlEâxisD les â˘oupes â˘entrâles ne possèdent pâs plus d9informâtion que dâns
une reâ˘onstruâ˘tion Qh â˘lâssique @(gF RFITAF
59. 56 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
4.4.4 Conclusion
ve pârâgrâphe prĂŠâ˘ĂŠdent nous montre â˘lâirement l9intĂŠrĂŞt de l9âlgorithme
en duâlEâxisF ve prinâ˘ipâl âvântâge de â˘et âlgorithme est de grândement
rĂŠduire les ârtĂŠfââ˘ts en âpportânt plus d9informâtion lors de lâ reâ˘onstruâ˘tionF
gependântD â˘ette informâtion n9est pâs grâtuiteD surtout si l9on ne trâvâille
pâs âve⢠des donnĂŠes simulĂŠesF eve⢠des donnĂŠes rĂŠellesD il serâ nĂŠâ˘essâire
de rĂŠ)ĂŠâ˘hir Ă une struâ˘ture d9ââ˘quisition et Ă lâ mise en â˘orrespondânâ˘e des
di'ĂŠrents jeux de donnĂŠesF he plus â˘ette idĂŠe est renforâ˘ĂŠe pâr le fâit qu9âveâ˘
des donnĂŠes rĂŠelles en Qh â˘e seront souvent les â˘oupes â˘entrâles qui nous
intĂŠresserons le plusF yr on vient de voir que â˘e sont â˘es dernières qui ont
leur gĂŠomĂŠtrie lâ moins âmĂŠliorĂŠeF
ve seâ˘ond point fort de â˘et âlgorithme â˘onâ˘erne le temps d9exĂŠâ˘utionF
Ći on le â˘ompâre âu temps d9exĂŠâ˘ution d9un âlgorithme Ćsââ â˘lâssiqueD on
s9âperçoit qu9ils sont ĂŠgâuxF in e'etD il dĂŠpend du nomËre d9itĂŠrâtion et non
de lâ quântitĂŠ d9informâtionF in sommeD on trâite deux fois plus d9informâE
tion en âutânt de tempsF
4.5 Tomographie Locale
4.5.1 Introduction
hâns les â˘hâpitres prĂŠâ˘ĂŠdentsD nous âvons trâitĂŠ le â˘âs de reâ˘onstruâ˘tion
tomogrâphique Ă ângle limitĂŠF yn â vu que â˘et ângle limitĂŠ se trâduisâitD sur
un sinogrâmmeD pâr un mânque d9informâtion selon l9âxe des ĎF
hâns â˘ette pârtie nous âllons ĂŠtudier lâ tomogrâphie loâ˘âle âPVâ âPWâ âQHâD
qui â˘orrespond Ă un âutre type de donnĂŠes mânquântesF gette fois â˘iD â˘e serâ
selon l9âxe des projeâ˘tions F gomme on peut le voir sur lâ (gure RFPRD le siE
nogrâmme de droite â˘orrespond Ă de lâ tomogrâphie loâ˘âleF ves projeâ˘tions
sont dites 4tronquĂŠes4F
60. 4.5 Tomographie Locale 57
Figure RFPR ! @e gâuâ˘heA Ćinogrâmme â˘ompletD @eu milieuA Ćinogrâmme Ă
ângle limitĂŠD @e droiteAD Ćinogrâmme Ă projeâ˘tion tronquĂŠeF
xous âllons don⢠Êtudier lâ tomogrâphie loâ˘âleD tout en gârdânt l9ângle
limitĂŠF xous âurons don⢠des sinogrâmmes Ă ângle limitĂŠ et Ă projeâ˘tions
tronquĂŠesD â˘e qui â˘orrespond Ă un proËlème inverse d9une extrĂŞme â˘omplexitĂŠ
mâis pourtânt ËâsĂŠ sur un Ëesoin prâtique rĂŠelF ge sinogrâmme permettrâ de
reâ˘onstruire uniquement une pârtie de l9imâgeF gette zone que l9on reâ˘onsE
truit est âppelĂŠ 4rĂŠgion d9intĂŠrĂŞt4F yn se retrouve dâns â˘e â˘âsD lorsque notre
dĂŠteâ˘teur est plus petit que l9oËjet Ă reâ˘onstruireF g9est très souvent le â˘âs
en imâgerie mĂŠdiâ˘âle et tomogrâphie ĂŠleâ˘troniqueF
61. 58 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
Figure RFPS ! âeâ˘onstruâ˘tion d9un sinogrâmme Ă ângle limitĂŠ et Ă projeâ˘tion
tronquĂŠe âve⢠l9âlgorithme ĆsââF
vâ (gure RFPS illustre un â˘âs sĂŠvère de tomogrâphie loâ˘âleD âve⢠à gâuâ˘he
deux sinogrâmmesD l9un â˘omplet et l9âutre tronquĂŠ Ă hâuteur de SH7F vâ
reâ˘onstruâ˘tion âve⢠les donnĂŠes tronquĂŠes montre que le â˘erâ˘le de reâ˘onsE
truâ˘tion @dont le diâmètre â˘orrespond Ă lâ tronâ˘âture du sinogrâmmeA est
quâlitâtivement â˘orreâ˘tement reâ˘onstruitF âŹâr â˘ontreD de fortes vâleurs de
niveâux de gris viennent dĂŠlimiter â˘e â˘erâ˘le Y â˘e genre d9ârtefââ˘t est â˘ourâmE
ment oËservĂŠ en tomogrâphie ĂŠleâ˘troniqueF eu delĂ de â˘e â˘erâ˘leD lâ quâlitĂŠ de
l9imâge est très mâuvâiseD â˘e qui est logique puisque les donnĂŠes â˘orresponE
dântes n9existent pâs @ou peuAF yn oËserve nĂŠânmoins â˘ertâines struâ˘tures
du fântĂ´me initiâlF hes stries importântes âppârâissentD qui viennent du â˘ouE
plâge ângle limitĂŠ et tomogrâphie loâ˘âleF gette imâge nous permet de nous
rendre â˘ompte de lâ di0â˘ultĂŠ Ă reâ˘onstruire dâns de telles â˘onditionsF sl est
Ă noter que des ârtefââ˘ts supplĂŠmentâires peuvent âppârâĂŽtre et venir â˘orE
rompre le â˘erâ˘le de reâ˘onstruâ˘tion X si une struâ˘ture dense se situe loin de l9âxe
de rotâtionD elle vâ introduire des stries importântes Ă l9intĂŠrieur du â˘erâ˘leF
Ći pâr â˘ontre lâ pârtie de l9oËjet non inâ˘luse dâns le sinogrâmme est de fâiËle
intensitĂŠD et plutĂ´t Ëâsse frĂŠquenâ˘eD âlors seule une â˘omposânte â˘ontinue vâ
venir s9âjouter dâns le â˘erâ˘le de reâ˘onstruâ˘tion et âurâ un e'et limitĂŠD â˘e qui
est le â˘âs de lâ (gure RFPSF
62. 4.5 Tomographie Locale 59
vâ tomogrâphie loâ˘âle â trouvĂŠ des âppliâ˘âtions dâns les domâines de
l9imâgerie mĂŠdiâ˘âle pour son â˘otĂŠ non invâsif puisqu9on irrâdie qu9un orgâne
et pâs le â˘orps entier Y lâ dose de râyonnement est grândement rĂŠduiteF in
tomogrâphie ĂŠleâ˘troniqueD lâ rĂŠsolution est telle qu9il n9est souvent possiËle
d9illuminer qu9une pârtie de l9oËjet Ă ânâlyserD â˘e dernier ĂŠtânt souvent plus
gros que le â˘hâmp de vue du miâ˘rosâ˘ope âQIâ âQPâF
4.5.2 ImplĂŠmentation d'une formule d'inversion en to-
mographie locale
xous nous Ëâsons sur les reâ˘herâ˘hes d9edel pâridâni dâns âQQâ âQRâ âQSâ
pour implĂŠmenter un âlgorithme de tomogrâphie loâ˘âleF
in tomogrâphie â˘lâssiqueD lâ reâ˘onstruâ˘tion en un point x requiert les
mesures d9âttĂŠnuâtion sur toutes les droites du plân â˘ontenânt xF in tomoE
grâphie loâ˘âleD l9idĂŠe est de reâ˘onstruire une fonâ˘tion âve⢠uniquement des
donnĂŠes loâ˘âlesF
âŹour â˘e fâireD on ne reâ˘onstruit pâs lâ fonâ˘tion f elleEmĂŞme mâis Lf =
Îą(f + ÂľÎâ1
f)F gette mĂŠthode â ĂŠtĂŠ introduite en premier dâns les trâvâux
d9eFpâridâniF
sâ˘iD l9opĂŠrâteur Î2
= ââ F get opĂŠrâteur est lâ rââ˘ine â˘ârrĂŠ du lâplââ˘ien
positifF
in trâitement d9imâgeD le lâplââ˘ien est un opĂŠrâteur de dĂŠteâ˘tion de
â˘ontourF ge trâitement âurâ don⢠tendânâ˘e Ă supprimer les Ëâsses frĂŠquenâ˘es
et mettre en ĂŠvidenâ˘e les hâutes frĂŠquenâ˘es pour une dĂŠteâ˘tion des disâ˘ontiE
nuitĂŠs de lâ fonâ˘tionF
Îf est un opĂŠrâteur loâ˘âlD â˘ontrâirement Ă fD il peut ĂŞtre identi(ĂŠ dâns
une rĂŠgion d9intĂŠrĂŞt Ă pârtir des seules mesures de lâ trânsformĂŠe de ââdon
Ă trâvers â˘ette rĂŠgionF he plus il possède les mĂŞmes singulâritĂŠs que fF
yn peut donâ˘D en reâ˘onstruisânt Îf Ă pârtir des donnĂŠes loâ˘âlesD âvoir
toutes les informâtions de f dâns â˘ette rĂŠgion d9intĂŠrĂŞtF
Îâ1
f â quânt Ă luiD un rĂ´le seâ˘ondâireD il ne possède pâs un intĂŠrĂŞt mâE
thĂŠmâtique direâ˘tF ve fâit de reâ˘onstruite lâ â˘omËinâison linĂŠâire LfD nous
permet juste d9oËtenir une imâge qui ressemËlânt plus Ă fF ve â˘hoix des
â˘oe0â˘ients est fâit de mânière empiriqueF
gette opĂŠrâteur nous est donnĂŠ pâs lâ formulâtion suivânte âve⢠m = Âą1 X
63. 60 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
Îm
f(x) =
1
4Ď2
Ď
Îm+1
RĎf(x)dĎ @RFUA
=
1
4Ď2
R#
Îm+1
Rf(x) @RFVA
hâns le â˘âs oĂš m a I X
Îf(x) =
1
4Ď2
R#
(Î2
Rf)(x) @RFWA
=
1
4Ď2
Ď
â2
âS2
RĎf(x)dĎ @RFIHA
hâns le â˘âs oĂš m a EI X
Îâ1
f(x) =
1
4Ď2
R#
(Rf)(x) @RFIIA
hâns lâ prâtiqueD pour oËtenir ÎfD on (ltre les donnĂŠes âve⢠un (ltre 4vâE
plââ˘ien gâussien4 puis on e'eâ˘tue une rĂŠtroprojeâ˘tionF yn oËtient un tout
âutre sinogrâmme @(gF RFPTAF Âuânt Ă Îâ1
fD â˘9est tout simplement une rĂŠE
troprojeâ˘tionF
64. 4.5 Tomographie Locale 61
Figure RFPT ! sllustrâtion sur des donnĂŠes â˘omplètes de l9âlgorithme de pâE
ridâniF@in hâut Ă gâuâ˘heA Ćinogrâmme originâl et Ćinogrâmme (ltrĂŠD Î2
RfF
@in hâut Ă droiteA âeâ˘onstruâ˘tion du sinogrâmme (ltrĂŠD ÎfF @in Ëâs Ă
gâuâ˘heA âĂŠtroprojeâ˘tion du sinogrâmme originâlD Îâ1
fF @in Ëâs Ă droiteA
âeâ˘onstruâ˘tion de LfF
hâns le â˘âs d9un sinogrâmme tronquĂŠD â˘omme on peut le voir sur lâ (gure
RFPSD on reâ˘onstruit une rĂŠgion d9intĂŠrĂŞt Ëien spĂŠâ˘i(queF hâns les (gures suiE
vântesD on âpplique notre âlgorithme de tomogrâphie loâ˘âle sur le sinogrâmme
tronquĂŠF illes nous âpportent Ëien lâ preuve que l9opĂŠrâteur Îf est un opĂŠE
râteur loâ˘âl qui â˘onserve exââ˘tement les mĂŞmes singulâritĂŠs que lâ fonâ˘tion
fF in e'etD si l9on â˘ompâre âve⢠lâ (gure RFPSD du fâit de lâ loâ˘âlitĂŠ de notre
opĂŠrâteurD nous n9âvons plus de proËlèmes dus Ă de fortes intensitĂŠs situĂŠes
loin de l9âxe de rotâtionF
66. 4.5 Tomographie Locale 63
Figure RFPV ! @in hâut Ă gâuâ˘heA Îâ1
fF @in hâut Ă droiteA ÎfF @in Ëâs Ă
gâuâ˘heA âĂŠgion d9intĂŠrĂŞt originâleF @in Ëâs Ă droiteA LfF
4.5.3 Tomographie multi-rĂŠsolution
ves âpproâ˘hes multiErĂŠsolutionD en tomogrâphieD â˘onsistent Ă â˘omËiner
des informâtions de rĂŠsolutions di'ĂŠrentes pour âmĂŠliorer le rĂŠsultât (nâl
âQTâ âQUâF
gette â˘on(gurâtion peut ĂŞtre â˘ourânte dâns le milieu mĂŠdiâ˘âl ou dâns
l9industrie quând on est âmenĂŠ Ă utiliser plusieurs proâ˘ĂŠdĂŠs d9ââ˘quisitionF
hâns notre â˘âsD on peut pâr exemple oËtenir nos jeux de donnĂŠes en tomoE
grâphie Ë et ĂŠleâ˘troniqueF in tomogrâphie ËD il serâ plus simple d9oËtenir
l9informâtion gloËâle d9un oËjetF
in e'et dâns â˘e â˘âsD on possède deux jeux de donnĂŠesF gomme en tomoE
67. 64 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
grâphie loâ˘âle on possède un jeu de donnĂŠe loâ˘âl de lâ rĂŠgion d9intĂŠrĂŞt en
hâute rĂŠsolutionF âŹâr â˘ontre l9âutre serâ un seâ˘ond jeu de donnĂŠe mâis â˘ette
fois de l9ĂŠâ˘hântillon dâns sâ gloËâlitĂŠ mâis en plus fâiËle rĂŠsolutionF @(gF RFPWA
Figure RFPW ! @in hâutA teu de donnĂŠe hâute rĂŠsolution âve⢠des projeâ˘E
tions tronquĂŠesD @in ËâsA teu de donnĂŠe Ëâsse rĂŠsolution âve⢠des projeâ˘tions
entièresF
68. 4.5 Tomographie Locale 65
hâns â˘et exempleD les deux jeux de donnĂŠes sont mis en â˘orrespondânâ˘eF
yn reâ˘onstruit le sinogrâmme Ëâsse rĂŠsolution dâns sâ totâlitĂŠD mâis pour les
pixels de lâ rĂŠgion d9intĂŠrĂŞt on utilise le jeu de donnĂŠe hâute rĂŠsolutionF
Figure RFQH ! fântĂ´me reâ˘onstruit âve⢠une retroprojeâ˘tion (ltrĂŠe Ă pârtir
des deux jeux de donnĂŠes de lâ (gure RFPW
4.5.4 Conclusion
hâns â˘e â˘hâpitreD nous âvons pârâ˘ourus les prinâ˘ipâles mĂŠthodes de reE
â˘onstruâ˘tion tomogrâphique Ă ângles limitĂŠsF ves mĂŠthodes itĂŠrâtives de type
eââ ou ĆsââD Ă pârtir de donnĂŠes gloËâlesD semËlent donner de Ëons rĂŠsulE
tâtsF it puisD le fâit que l9on puisse â˘oupler â˘es âlgorithmes âve⢠des âlgoE
rithmes en douËleEâxe permet d9âmĂŠliorer en plus lâ quâlitĂŠ de lâ reâ˘onstruâ˘E
tionF gependânt â˘es âlgorithmes sont gourmânds en temps de â˘âlâ˘ul et lâ
gestion des donnĂŠes en termes de mĂŠmoire est â˘ontrâignânteF
xous âvons ĂŠgâlement ĂŠtudiĂŠ les âlgorithmes de tomogrâphie loâ˘âleD qui
opère Ă pârtir de donnĂŠes loâ˘âlesF fien que les reâ˘onstruâ˘tions semËlent de
69. 66 Reconstruction en tomographie Ă angle limitĂŠ
moins Ëonnes quâlitĂŠs que â˘elles oËtenues âve⢠les âlgorithmes itĂŠrâtifsD elles
restent tout de mĂŞme très enâ˘ourâgeântesF in e'etD lâ tomogrâphie loâ˘âle
est très âdâptĂŠe Ă lâ tomogrâphie ĂŠleâ˘tronique Ă â˘âuse de lâ petite tâille des
â˘âpteurs en â˘ompârâison des oËjetsF
hâns le â˘hâpitre suivântD nous ĂŠtudierons plus les donnĂŠes rĂŠelles oËtenues
Ă pârtir du miâ˘rosâ˘ope ĂŠleâ˘troniqueF xous verrons tout d9âËord une ĂŠtâpe
prĂŠliminâire Ă lâ reâ˘onstruâ˘tionD qui est l9âlignement des donnĂŠesF insuite
nous ĂŠtudierons des trânsistors de type qee @en ânglâis 4qâteEellEeround
deviâ˘e4AF gelâ pâsserâ premièrement pâr l9ĂŠtude des donnĂŠes ĂŠquipementier
et de leurs (â˘hiers de sortiesD puis pâr lâ â˘ompârâison de nos rĂŠsultât âveâ˘
les leursF
70. Chapitre 5
Application pratique
5.1 Alignement des donnĂŠes
hâns le â˘hâpitre prĂŠâ˘ĂŠdent nous âvons fâit plusieurs types de reâ˘onstruâ˘E
tionF âoutes â˘es reâ˘onstruâ˘tions ont ĂŠtĂŠ fâites Ă pârtir de sinogrâmme oËtenus
âve⢠des donnĂŠes simulĂŠesF he â˘e fâit nous n9âvions âuâ˘un proËlème de donE
nĂŠes erronĂŠesF
vâ rĂŠâlitĂŠ est tout âutreD il est très â˘ourânt que lorsque l9on oËserve les
sâ˘âns oËtenus âve⢠le miâ˘rosâ˘ope ĂŠleâ˘troniqueD on âperçoive des disâ˘ontinuitĂŠs
entre les di'ĂŠrentes imâgesF geâ˘i est dĂť Ă des rotâtions de l9ĂŠâ˘hântillon Ă â˘âuse
d9une mâuvâise stâËilitĂŠ du porteEĂŠâ˘hântillon ou du goniomètreF yn pârle de
mâuvâis âlignement des donnĂŠesF ge dĂŠsâlignement entrâĂŽnerâ pâr lâ suite
une reâ˘onstruâ˘tion )oue âve⢠Ëeâuâ˘oup de striesF
sl est don⢠nĂŠâ˘essâire d9âligner les donnĂŠes de mânière prĂŠâ˘ise âvânt l9ĂŠtâpe
de reâ˘onstruâ˘tionF ge proâ˘essus est primordiâl pour oËtenir une reâ˘onstruâ˘E
tion tomogrâphie de quâlitĂŠF sdĂŠâlementD toutes les imâges doivent ĂŞtre âliE
gnĂŠes de mânière Ă â˘e que â˘hââ˘une reprĂŠsente une projeâ˘tion du mĂŞme oËjet
Ă un ângle d9ââ˘quisition â˘onnuF ve proËlème est d9âutânt plus di0â˘ile â˘âr
l9exposition âu fâisâ˘eâu d9ĂŠleâ˘trons peut induire des dĂŠgâts d9irrâdiâtion qui
modi(e lâ gĂŠomĂŠtrie de l9oËjetF
TU
71. 68 Application pratique
sl existe deux prinâ˘ipâles mĂŠthodes pour fâire â˘et âlignementF
vâ première â˘onsiste Ă utiliser des mârqueurs (duâ˘iâux âQVâF yn pârle
d9âlignement semiEâutomâtique en utilisânt des mârqueurs externesF ges mârE
queurs sont gĂŠnĂŠrâlement des pârtiâ˘ules Ă fort â˘ontrâste du type Ëille d9orF
gette mĂŠthode est â˘onsidĂŠrĂŠ â˘omme ĂŠtânt lâ plus (âËle est lâ plus prĂŠâ˘ise
pour âligner les donnĂŠesF gependântD elle est relâtivement lente est nĂŠâ˘essite
d9âvoirD âu prĂŠâlâËleD des mârqueurs en quântitĂŠ su0sânte et uniformĂŠment
repârtis sur l9oËjetF ves ĂŠâ˘hântillons ĂŠtudiĂŠs âu lâËorâtoire ne se prĂŞtent pâs
â˘e genre de trâitement prĂŠliminâireF xous n9utiliserons don⢠pâs â˘ette mĂŠE
thodeF
vâ seâ˘onde mĂŠthode est ËâsĂŠe sur lâ â˘orrĂŠlâtion â˘roisĂŠe des imâges âQWâ
âRHâF yn pârle d9âlignement en trânslâtion pâr â˘orrĂŠlâtion â˘roisĂŠeF in e'etD
â˘hââ˘un des projeâ˘tions est â˘ompârĂŠe âve⢠lâ projeâ˘tions voisine dâns un proE
â˘essus âppelĂŠ â˘orrĂŠlâtion â˘roisĂŠeF sl â pour e'et d9âligner de proâ˘he en proâ˘he
les piâ˘s d9hyper rĂŠ)eâ˘tivitĂŠs pour reâ˘onstituer une ligne horizontâleF sl peut
don⢠4gommer4 â˘ertâines irrĂŠgulâritĂŠs rĂŠellement prĂŠsentesF gette mĂŠthode
est râpide et peut ĂŞtre mise en plââ˘e de mânière âutomâtiqueF yn peut ĂŠgâE
lement utiliser des (ltres @(ltre de pourierD (ltre de ĆoËelD F F F A pour âmĂŠlioE
rer l9âlignementF gependântD elle n9est pâs toujours performânte Ă â˘âuse des
â˘hângements d9ângle que l9on peut âvoir lors de l9ââ˘quisitionF gette mĂŠthode
est â˘elle mise en áuvre dâns le logiâ˘iel ĂŠquipementierD snspeâ˘tQh de lâ soâ˘iĂŠtĂŠ
pisF
72. 5.1 Alignement des donnĂŠes 69
5.1.1 Eet du dĂŠsalignement
vâ position de l9âxe de rotâtion est fondâmentâle pour pouvoir reâ˘onsE
truireF in prâtiqueD nous n9âvons pâs une â˘onnâissânâ˘e prĂŠâ˘ise de â˘et âxe et
il nĂŠâ˘essite d9ĂŞtre â˘âlâ˘ulĂŠ â posterioriF xous âvons simulĂŠ l9e'et d9une inâ˘erE
titude de lâ position de l9âxe de rotâtionF gelâ revient Ă dĂŠâ˘âler en Ëlo⢠le
sinogrâmme pâr râpport Ă son â˘entreF
hâns â˘ette pârtie nous âllons ĂŠtudier les e'ets que peuvent âvoir un mâuE
vâis âlignement des donnĂŠesF xous âllons visuâliser plusieurs sortes de dĂŠsâliE
gnement âve⢠des donnĂŠes simulĂŠesF ge seront don⢠les sinogrâmmes oËtenus
Ă pârtir du fântĂ´me de ĆheppEvogân qui seront dĂŠsâlignĂŠsF v9imâge originâle
â une tâille de SIPxSIP pixelsF
ve premier dĂŠsâlignement que nous âllons voir est le plus â˘lâssiqueF sl
est extrĂŞmement proËâËle que l9on oËserve â˘et e'et âve⢠des donnĂŠes expĂŠriE
mentâlesF in e'etD â˘hâque sinogrâmmeD de â˘hâque â˘oupe d9un oËjet QhD est
dĂŠâ˘âlĂŠ pâr râpport Ă son voisinD suivânt l9âxe des projeâ˘tions Ď @(gF SFIAF
Figure SFI ! @e gâuâ˘heA smâge originâleD @eu milieuA Ćinogrâmme originâl
pour Ď âllânt de â75ÂŚ Ă +75ÂŚD @e droiteA Ćinogrâmme dĂŠâ˘âlĂŠ de PH pixels
suivânt l9âxe F
vâ (gure SFP nous montre les e'ets dĂŠvâstâteurs que peut âvoir â˘e dĂŠsâliE
gnement sur une reâ˘onstruâ˘tion âve⢠l9âlgorithme de rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠeF
73. 70 Application pratique
Figure SFP ! i'et du dĂŠsâlignement d sur lâ rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠeF @d est
en pixelsAF
ve seâ˘ond dĂŠsâlignement â˘orrespondrâit plus Ă des viËrâtions perçues pâr
l9oËjet ou lâ sourâ˘e d9ĂŠleâ˘tronF gependânt il est dĂŠjĂ plus râreF in e'etD
les sâlles oĂš sont les miâ˘rosâ˘opes sont très Ëien isolĂŠes âve⢠des supports
ântiviËrâtoiresF sâ˘iD â˘hâque projeâ˘tion du sinogrâmmeD serâ don⢠dĂŠâ˘âlĂŠe pâr
râpport Ă lâ normâle de mânière âlĂŠâtoire @(gF SFQAF
74. 5.1 Alignement des donnĂŠes 71
Figure SFQ ! @e gâuâ˘heA smâge originâleD @eu milieuA Ćinogrâmme originâl
pour Ď âllânt de â75ÂŚĂ +75ÂŚD @e droiteA Ćinogrâmme dont â˘hâque projeâ˘tion
est dĂŠâ˘âlĂŠe indĂŠpendâmmentF
vâ (gure SFR nous montre l9e'et du dĂŠsâlignement dĂŠâ˘rit prĂŠâ˘ĂŠdemment
sur lâ rĂŠgion d9intĂŠrĂŞt que l9on peut voir sur lâ (gure SFQF âŹour â˘et exempleD
lâ rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠe â ĂŠtĂŠ utilisĂŠeF ves histogrâmmes du Ëâs nous dĂŠE
â˘rivent l9intensitĂŠ suivânt lâ ligne rouge de l9imâge originâle de lâ (gure SFRF
yn s9âperçoit très vite qu9Ă pârtir de Âą2 pixels de dĂŠâ˘âlâge @sur une imâge
SIPxSIP pixelsAD lâ reâ˘onstruâ˘tion serâ très âpproximâtiveF
get exemple et le prĂŠâ˘ĂŠdent nous â˘on(rment Ëien que l9âlignement des
donnĂŠes en reâ˘onstruâ˘tion tomogrâphique est une ĂŠtâpe primordiâleF
75. 72 Application pratique
Figure SFR ! @in hâutA âeâ˘onstruâ˘tion âve⢠une rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠe
@zoomĂŠ sur lâ rĂŠgion d9intĂŠrĂŞt de lâ (gure SFQAD ristogrâmme d9intensitĂŠ suiE
vânt lâ ligne rouge de l9imâge originâleF
5.1.2 Alignement en translation par corrĂŠlation croisĂŠe
v9âlignement des donnĂŠes pâr â˘orrĂŠlâtion â˘roisĂŠe est ËâsĂŠ sur lâ fonâ˘tion
de â˘orrĂŠlâtion â˘roisĂŠe Ph disâ˘rète X
h(m, n) =
1
MN
Mâ1
j=0
Nâ1
k=0
f(j, k)g(j + m, k + n) @SFIA
f et g sont les mesures de lâ densitĂŠ optique des deux imâges et M et N
sont respeâ˘tivement lâ lârgeur et lâ hâuteurF Ći les imâges f et g possèdent
un mĂŞme motif suivânt lâ mĂŞme orientâtion mâis Ă des positions di'ĂŠrentes
r1 et r2D âlors le veâ˘teur de â˘orrĂŠlâtion â˘roisĂŠe h âurâ un piâ˘F ge pi⢠serâ situĂŠ
Ă une distânâ˘e âr = (r1 â r2) = (m0, n0) du â˘entre du veâ˘teurF
e pârtir de â˘ette formulâtionD il â ĂŠtĂŠ dĂŠâ˘rit tout un â˘heminement pour
âligner deux projeâ˘tions issues d9une sĂŠrie d9ââ˘quisition @(gF SFSA X
Ćoient deux imâges Im1 et Im2 que nous souhâitons âligner prĂŠâ˘isĂŠment
suivânt le mĂŞme âxeF vâ première ĂŠtâpe â˘onsiste Ă â˘âlâ˘uler les trânsformĂŠe
de pourier des deux imâges im1 et im2F insuiteD il est nĂŠâ˘essâire de (ltrer
les rĂŠsultâts pâr des (ltre pâsse hâut et pâsse Ëâs pour notâmment ĂŠviter
le proËlème du ËruitF ges (ltres sont utilisĂŠs pour oËtenir un rĂŠsultât (nâl
76. 5.1 Alignement des donnĂŠes 73
(âËleD â˘9est Ă dire un pi⢠intense et ĂŠtroitF xous âppliquons ensuite lâ â˘orrĂŠE
lâtion â˘roisĂŠe qui serâ une multipliâ˘âtion de im1 pâr le â˘onjuguĂŠ de im2F sl
fâut ensuite â˘âlâ˘uler lâ trânsformĂŠe de pourier inverse de â˘ette imâge ImF Ćur
â˘ette imâge ImD il su0t de dĂŠteâ˘ter lâ position du pi⢠d9intensitĂŠ mâximum X
â˘ette position pâr râpport âu â˘entre de l9imâge nous donnerâ le veâ˘teur dĂŠE
plââ˘ement de Im2 pâr râpport Ă Im1F
Figure SFS ! gheminement pour l9âlignement de deux imâgesF
âŹour rĂŠâliser â˘e trâitement sur une sĂŠrie de projeâ˘tions ordonnĂŠes suivânt
l9inâ˘linâison ângulâireD il fâut rendre â˘e trâitement pĂŠriodique suivânt un toreF
77. 74 Application pratique
5.2 Tomographie sur les GAA
5.2.1 Introduction sur les GAA
eu gieEviâsD et plus prĂŠâ˘isĂŠment dâns notre lâËorâtoireD nous dĂŠveE
loppons lâ tomogrâphie ĂŠleâ˘tronique sur des trânsistors qee @en ânglâis
4qâteEellEeround4AF
âŹour informâtionD les trânsistors qee sont des trânsistors de type wyĆE
piâ @en ânglâis 4wetâl yxide Ćemiâ˘onduâ˘tor pield i'eâ˘t ârânsistor4AF in
frânçâisD on pârle de trânsistor Ă e'et de â˘hâmp Ă grille isolĂŠF g9est un type
de trânsistor Ă e'et de â˘hâmpD â˘omme tous les trânsistors le wyĆpiâ moE
dule le â˘ourânt qui le trâverse Ă l9âide d9un signâl âppliquĂŠ sur son ĂŠleâ˘trode
â˘entrâle nommĂŠe 4grille4F sl trouve ses âppliâ˘âtions dâns les â˘irâ˘uits intĂŠgrĂŠs
numĂŠriquesD en pârtiâ˘ulier âve⢠lâ teâ˘hnologie gwyĆD âinsi que dâns l9ĂŠleâ˘E
tronique de puissânâ˘eF ve terme gwyĆ @en ânglâis 4gomplementâry wetâl
yxide Ćemiâ˘onduâ˘tor4A dĂŠsigne une teâ˘hnologie de fâËriâ˘âtion de â˘ompoE
sânts ĂŠleâ˘troniquesF hâns â˘es â˘irâ˘uitsD un ĂŠtâge de sortie est â˘omposĂŠ d9un
ensemËle de trânsistors Ă e'et de â˘hâmp plââ˘ĂŠs de mânière symĂŠtrique et
rĂŠâlisânt â˘hââ˘un lâ mĂŞme fonâ˘tionF
Figure SFT ! ârânsistor qee vu pâr wif @miâ˘rosâ˘ope ĂŠleâ˘tronique Ă ËâE
lâyâgeAF
78. 5.2 Tomographie sur les GAA 75
Figure SFU ! Ćâ˘hĂŠmâ d9un trânsistor qee vu en â˘oupeF vâ seâ˘tion â˘ârrĂŠe
est un nâno(lF
vâ struâ˘ture en nâno(ls des trânsistors qee ne peut pâs ĂŞtre ĂŠtudiĂŠe diE
reâ˘tement en tomogrâphie ĂŠleâ˘troniqueF vâ prĂŠpârâtion d9ĂŠâ˘hântillons â ĂŠtĂŠ
optimisĂŠeD en isolânt quelques nâno(ls dâns une pointeD grââ˘e Ă une sonde
ionique foâ˘âlisĂŠ @en ânglâis psf 4poâ˘used son feâm4AF qrââ˘e Ă â˘ette teâ˘hE
niqueD les projeâ˘tions ont pu ĂŞtre ââ˘quises en tomogrâphie ĂŠleâ˘tronique sur
une plâge d9inâ˘linâison âllânt jusqu9Ă Âą80ÂŚF
79. 76 Application pratique
Figure SFV ! âŹointe vu âve⢠un âiw @ârânsmission ileâ˘tron wiâ˘rosâ˘opeAF
Figure SFW ! Ćâ˘hĂŠmâ de pointe prĂŠpârĂŠe âu psf suivânt deux gĂŠomĂŠtries
di'ĂŠrentesF
80. 5.2 Tomographie sur les GAA 77
Ătânt donnĂŠ que nous trâvâillons toujours âve⢠des donnĂŠes ângulâires
mânquântesD nous verronsD dâns les proâ˘hâines pârtiesD que lâ di'ĂŠrenâ˘e de
gĂŠomĂŠtrie lors de lâ prĂŠpârâtion de l9ĂŠâ˘hântillonD nous permet de visuâliser
des â˘ârââ˘tĂŠristiques di'ĂŠrentes de l9oËjetF ge trâvâil de prĂŠpârâtion â ĂŠtĂŠ fâit
pâs edeline qrenierD qui est en postEdo⢠en miâ˘rosâ˘opie âu lâËorâtoireF
5.2.2 Mise en correspondance avec les donnĂŠes ĂŠquipe-
mentier
gomme nous âvons pu le voir dâns â˘e râpportF vorsqu9une sĂŠrie de proE
jeâ˘tions est ââ˘quise sur le miâ˘rosâ˘ope @(gF SFIHAD il fâut les trâiterF yr â˘es
donnĂŠes sont enâ˘ore ËrutesD il est don⢠nĂŠâ˘essâire d9utiliser le logiâ˘iel fourni
pâr l9ĂŠquipementier pisD Ă sâvoir snspeâ˘t QhF ge logiâ˘iel nous permet ensuite
d9oËtenir nos donnĂŠes âu formât 4Fmrâ˘4F
Figure SFIH ! Q projeâ˘tions d9un trânsistor qee oËtenues âve⢠le âitânF
ge formât est un formât liËre qui est devenu un stândârd en miâ˘rosâ˘opie
ĂŠleâ˘troniqueF sl â˘ontient une grille tridimensionnelle de voxels âyânt â˘hââ˘un
une vâleur â˘orrespondânt Ă lâ densitĂŠ d9ĂŠleâ˘tronF get âgenâ˘ement de donE
nĂŠe Ă l9âvântâge d9ĂŞtre supportĂŠ pâr tous les logiâ˘iels qui gèrent les donnĂŠes
volumĂŠtriquesF
gependânt â˘hâque logiâ˘iel qui serâ âmenĂŠ Ă â˘rĂŠer des (â˘hiers âu formât
4Fmrâ˘4D le ferâ âve⢠un 4enEtĂŞte4 di'ĂŠrentF hâns un (â˘hierD l9enEtĂŞte sert noE
tâmment Ă donner des informâtions sur les donnĂŠes prĂŠsentes dâns le (â˘hierF
âŹour exploiter les donnĂŠes expĂŠrimentâles et pâr lâ mĂŞme oâ˘â˘âsion tester
nos âlgorithmes de reâ˘onstruâ˘tionD il â ĂŠtĂŠ nĂŠâ˘essâire d9exporter â˘es donnĂŠes
sous wâtlâËF yr wâtlâËD ne permet pâs d9exporter â˘e type de (â˘hierF sl â donâ˘
fâllu implĂŠmenter des routines de leâ˘ture et d9ĂŠâ˘ritureF âŹour â˘e fâireD nous
81. 78 Application pratique
devons â˘ommenâ˘er pâr dĂŠâ˘hi'rer l9enEtĂŞte du (â˘hier et en extrâire toutes les
informâtions nĂŠâ˘essâires Ă lâ leâ˘ture des donnĂŠesF xous devons don⢠â˘onnâĂŽtre
lâ tâille prĂŠâ˘ise de â˘et enEtĂŞte pour sâvoir oĂš â˘ommenâ˘e les donnĂŠesF
insuiteD nous devons â˘onnâitre prinâ˘ipâlement lâ tâille de lâ grille triE
dimensionnelle et lâ dimension des vâleurs @dâns lâ plupârt des â˘âs nous
âvons du ITEËit signĂŠAF âŚne fois que â˘es informâtions sont ââ˘quises et que lâ
gĂŠomĂŠtrie d9âgenâ˘ement des donnĂŠes est â˘ompriseD nous pouvons extrâire les
donnĂŠes ou ĂŠâ˘rire âu formât 4Fmrâ˘4F
gependântD il y â un âutre proËlème de tâilleD wâtlâË est un outil très
puissântD mâis mâlheureusementD il ne permet pâs de trâiter de gros volume de
donnĂŠeD surtout âve⢠une ârâ˘hiteâ˘ture âĄindows QPËitsD dont un proâ˘essus ne
peut exâ˘ĂŠder PqoF geâ˘i et le fâit que wâtlâË ne gère les tâËleâux uniquement
de mânière â˘ontigĂźeD ne nous permet pâs de trâiter un volume de donnĂŠes de
plus de VHH wo dâns l9environnement wâtlâËF
e titre de â˘ompârâisonD les (â˘hiers de donnĂŠes issue du âitân font une
tâille de l9ordre de QHHwo et une reâ˘onstruâ˘tion une tâille de l9ordre de IDSqoF
âŹour pouvoir exploiter â˘es donnĂŠes et rĂŠussir nos reâ˘onstruâ˘tionsD il â fâllu
sâuvegârderD en temps rĂŠelD les informâtions dâns des (â˘hiers temporâires
durânt le trâitementF
âŚne fois que lâ reâ˘onstruâ˘tion est fâite et que le (â˘hier 4Fmrâ˘4 est â˘rĂŠeD
nous pouvons visuâliser notre volume dâns des logiâ˘iel grâtuit tel que smâget
ou ghimerâF
5.2.3 Mise en application
wâintenânt que nous âvons vuD quels ĂŠtâient les ĂŠâ˘hântillons et â˘omment
ils ĂŠtâient fâËriquĂŠsD âinsi queD tous les proËlèmes logiâ˘iels et leurs solutions
nous pouvons proâ˘ĂŠder Ă lâ reâ˘onstruâ˘tionF
ges deux premières imâges sont issues de lâ mĂŞme reâ˘onstruâ˘tion d9un
trânsistor de type qeeF ille â ĂŠtĂŠ oËtenue Ă pârtir d9une reâ˘onstruâ˘tion âveâ˘
l9âlgorithme eââ @S itĂŠrâtionsAF ge sont don⢠deux â˘oupes du mĂŞme oËjet
mâis oËservĂŠs dâns des plâns di'ĂŠrentsF
vâ première est dâns le plân @ZXAF yn y voit très â˘lâirement âppârâitre
le nâno(lF yn y distingue ĂŠgâlement les ĂŠlĂŠments â˘himiques qui le â˘omposent
@(gF SFIIAF
82. 5.2 Tomographie sur les GAA 79
Figure SFII ! goupeD reâ˘onstruite âve⢠l9âlgorithme eââD vue dâns le plân
@ZXA
Âuânt Ă lâ seâ˘onde â˘oupe @(gF SFIPAD elle est oËservĂŠe dâns le plân @XY AF
xous somme â˘ensĂŠs y oËserver lâ seâ˘tion â˘ârrĂŠ dâns nâno(lsF yr lâ quâlitĂŠ
de lâ reâ˘onstruâ˘tion selon â˘et âxe est très peu sâtisfâisânteF geâ˘i est dĂť en
grânde pârtie âux donnĂŠes ângulâires mânquântesF in e'etD l9âxe de tilt est
dâns â˘et exemple selon l9âxe ZD les â˘oupes ont don⢠ÊtĂŠ reâ˘onstruites selon
â˘et âxeF sl est don⢠logique que lorsque l9on oËserve une â˘oupe selon â˘et âxeD
on voit âppârâitre les ârtĂŠfââ˘ts dus âux donnĂŠes ângulâires mânquântesF
83. 80 Application pratique
Figure SFIP ! goupeD reâ˘onstruite âve⢠l9âlgorithme eââD vue dâns le plân
@XY A
gette reâ˘onstruâ˘tion â ĂŠtĂŠ fâite Ă pârtir d9un ĂŠâ˘hântillon prĂŠpârĂŠ selon
lâ gĂŠomĂŠtrie dĂŠâ˘rite dâns lâ (gure SFWâF e(n d9oËserver lâ seâ˘tion â˘ârrĂŠ des
nâno(lD il fâut que l9ĂŠâ˘hântillon soit prĂŠpârĂŠ selon une âutre gĂŠomĂŠtrieF âŹour
pouvoir fâire une reâ˘onstruâ˘tion des â˘oupes selon l9âxe Y F hâns lâ (gure
SFIQD l9ĂŠâ˘hântillon â ĂŠtĂŠ prĂŠpârĂŠ selon lâ mĂŠthode de lâ (gure SFWËD et nous
oËservonsD â˘ette foisD très Ëien lâ seâ˘tion â˘ârrĂŠe du nâno(lF
84. 5.2 Tomographie sur les GAA 81
Figure SFIQ ! goupeD reâ˘onstruite âve⢠une rĂŠtroprojeâ˘tion (ltrĂŠeD vue dâns
le plân @XY A
ges exemples de reâ˘onstruâ˘tion nous râppellent Ëien ĂŠvidement les reâ˘onsE
truâ˘tions oËtenues sur les donnĂŠes simulĂŠes dâns le â˘hâpitre RFRFQ trâitânt de
l9âlgorithme douËleEâxeF ves jeux de donnĂŠes oËtenues âve⢠les di'ĂŠrentes
gĂŠomĂŠtries de prĂŠpârâtion d9ĂŠâ˘hântillon sont â˘omplĂŠmentâiresF sl serâit donâ˘
très intĂŠressânt d9utiliser les âlgorithmes douËleEâxe â(n de Ëien pour pouvoir
â˘ârââ˘tĂŠriser le nâno(l et ĂŠgâlement visuâliser â˘orreâ˘tement sâ gĂŠomĂŠtrieF
he plusD â˘omme nous pouvons le voir sur les reâ˘onstruâ˘tionsD nos donnĂŠes
sont tronquĂŠesF he â˘e fâitD il serâit âvântâgeux de pouvoir utiliserD pâr lâ
suiteD lâ tomogrâphie loâ˘âle sur â˘es donnĂŠesF