Testes da rela¸˜o de dualidade de distˆncia com
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Simony Santos
Universidade Federal de Campina Grande

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Dedu¸˜o da express˜o para a fgas
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Testes da relação de dualidade de distância cósmica (RDDC)

  1. 1. Testes da rela¸˜o de dualidade de distˆncia com ca a fgas Simony Santos Universidade Federal de Campina Grande 07 de Janeiro de 2014 1 / 30
  2. 2. 1 Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias ca a a 2 Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a 3 An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises a Resultados 4 An´lises utilizando fx vs. fSZ a Resultados 2 / 30
  3. 3. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias ca a a Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de ca a Gal´xias a Pressupostos para utilizar as medidas de fgas como testes cosmol´gicos: o 3 / 30
  4. 4. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias ca a a Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de ca a Gal´xias a Pressupostos para utilizar as medidas de fgas como testes cosmol´gicos: o Um aglomerado de gal´xias ´ uma amostra representativa a e do conte´do material do Universo; u 3 / 30
  5. 5. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias ca a a Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de ca a Gal´xias a Pressupostos para utilizar as medidas de fgas como testes cosmol´gicos: o Um aglomerado de gal´xias ´ uma amostra representativa a e do conte´do material do Universo; u A raz˜o entre mat´ria em forma de g´s e a mat´ria total se a e a e mant´m constante ao longo de toda evolu¸˜o do Universo; e ca 3 / 30
  6. 6. Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de Gal´xias ca a a Fra¸˜o de Massa de G´s em Aglomerados de ca a Gal´xias a Pressupostos para utilizar as medidas de fgas como testes cosmol´gicos: o Um aglomerado de gal´xias ´ uma amostra representativa a e do conte´do material do Universo; u A raz˜o entre mat´ria em forma de g´s e a mat´ria total se a e a e mant´m constante ao longo de toda evolu¸˜o do Universo; e ca A maior parte da mat´ria bariˆnica do aglomerado est´ sob e o a a forma do g´s do meio intra-aglomerado. a 3 / 30
  7. 7. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Tomando a raz˜o entre a medida de fgas para dois moa delos cosmol´gicos diferentes, temos: o 1 fgas = 2 fgas η1 η2 ς 1 dA 2 dA ς/2+1 (1) 4 / 30
  8. 8. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Tomando a raz˜o entre a medida de fgas para dois moa delos cosmol´gicos diferentes, temos: o 1 fgas = 2 fgas η1 η2 ς 1 dA 2 dA ς/2+1 (1) Quando ς = 0 recuperamos as medidas via ESZ, e quando ς = 1 recuperamos as medidas em raios-X. 4 / 30
  9. 9. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Portanto, dado um modelo cosmol´gico, a express˜o o a para a medida de fra¸˜o de g´s pode ser escrita como: ca a fgas = N η∗ η mod ς ∗ dA mod dA ς/2+1 (2) onde (mod) se refere ao modelo a ser testado e (∗) ao modelo fiducial a ser adotado nas observa¸oes. c˜ 5 / 30
  10. 10. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Portanto, dado um modelo cosmol´gico, a express˜o o a para a medida de fra¸˜o de g´s pode ser escrita como: ca a fgas = N η∗ η mod ς ∗ dA mod dA ς/2+1 (2) onde (mod) se refere ao modelo a ser testado e (∗) ao modelo fiducial a ser adotado nas observa¸oes. c˜ Al´m disso, N ´ um parˆmetro com dependˆncia m´ e e a e ınima com a raz˜o entre a massa em forma de g´s e a massa total do a a aglomerado a ser medido, de modo que, se tomarmos medidas pr´ximas, z << 1, fgas = N. o 5 / 30
  11. 11. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Por outro lado, podemos escrever a equa¸˜o para meca dida da fgas de acordo com os parˆmetros cosmol´gicos e asa o trof´ ısicos como, N = fgas = Mgas Mb Ωb = G [b, mest , ...] = G [b, mest , ...] (3) Mtot Mtot Ωtot 6 / 30
  12. 12. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Por outro lado, podemos escrever a equa¸˜o para meca dida da fgas de acordo com os parˆmetros cosmol´gicos e asa o trof´ ısicos como, N = fgas = Mgas Mb Ωb = G [b, mest , ...] = G [b, mest , ...] (3) Mtot Mtot Ωtot Com isto, a express˜o para a fra¸˜o de massa de g´s a ca a como teste cosmol´gico pode ser escrita como, o fgas = G [b, mest , ...] Ωb Ωtot η∗ η mod ς ∗ dA mod dA ς/2+1 (4) 6 / 30
  13. 13. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Assim, ´ poss´ submeter ` an´lise observacional um moe ıvel a a delo cosmol´gico que possua em sua composi¸˜o, al´m das como ca e ponentes de radia¸˜o, mat´ria bariˆnica e escura, uma compoca e o nente respons´vel pela presente fase de acelera¸˜o do Universo, a ca que possua uma equa¸˜o de estado do tipo px = ωρx . ca 7 / 30
  14. 14. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Assim, ´ poss´ submeter ` an´lise observacional um moe ıvel a a delo cosmol´gico que possua em sua composi¸˜o, al´m das como ca e ponentes de radia¸˜o, mat´ria bariˆnica e escura, uma compoca e o nente respons´vel pela presente fase de acelera¸˜o do Universo, a ca que possua uma equa¸˜o de estado do tipo px = ωρx . ca Ent˜o, comparando os dados observacionais com sua modea lagem te´rica ´ poss´ inferir quais valores para seus parˆmetros o e ıvel a melhor se ajustam as observa¸˜es. co 7 / 30
  15. 15. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Assim, ´ poss´ submeter ` an´lise observacional um moe ıvel a a delo cosmol´gico que possua em sua composi¸˜o, al´m das como ca e ponentes de radia¸˜o, mat´ria bariˆnica e escura, uma compoca e o nente respons´vel pela presente fase de acelera¸˜o do Universo, a ca que possua uma equa¸˜o de estado do tipo px = ωρx . ca Ent˜o, comparando os dados observacionais com sua modea lagem te´rica ´ poss´ inferir quais valores para seus parˆmetros o e ıvel a melhor se ajustam as observa¸˜es. co Os autores utilizaram o modelo fiducial ΛCDM, com ΩΛ = 0, 7, ΩM = 0, 3, bem como, h = 0, 7. 7 / 30
  16. 16. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a A express˜o te´rica para a fra¸˜o de massa de g´s em agloa o ca a merados ´ a seguinte: e fgas = fracKAγb(z)1 + S(z) Ωb ΩM ΛCDM dA mod dA 3/2 (5) onde K ´ uma constante de calibra¸˜o, A reflete a diferen¸a entre e ca c os diˆmetros angulares, o parˆmetro γ d´ conta da press˜o n˜ a a a a o t´rmica do g´s, b(z) ´ o fator de deprecia¸˜o e S(z) representa a e a e ca fra¸˜o de massa bariˆnica nas estrelas. ca o 8 / 30
  17. 17. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a A express˜o te´rica para a fra¸˜o de massa de g´s em agloa o ca a merados ´ a seguinte: e fgas = fracKAγb(z)1 + S(z) Ωb ΩM ΛCDM dA mod dA 3/2 (5) onde K ´ uma constante de calibra¸˜o, A reflete a diferen¸a entre e ca c os diˆmetros angulares, o parˆmetro γ d´ conta da press˜o n˜ a a a a o t´rmica do g´s, b(z) ´ o fator de deprecia¸˜o e S(z) representa a e a e ca fra¸˜o de massa bariˆnica nas estrelas. ca o Al´m disso, a rela¸˜o de dualidade de distˆncia foi assumida e ca a como v´lida para ambos os modelos. a 8 / 30
  18. 18. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Utilizando o fato de que: dA = c (1 + z) z 0 dz H0 E (z) (6) temos, 9 / 30
  19. 19. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Utilizando o fato de que: dA = c (1 + z) z 0 dz H0 E (z) (6) temos, ΛCDM dA mod dA = = 1 (1 + z) 1 (1 + z) z 0 z 0 dz 70 0, 3a−3 + 0, 7 dz H0 ΩM a−3 + Ωx a−3(ω+1) (7) (8) 9 / 30
  20. 20. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Para tal an´lise, os autores encontraram como melhor ajuste a entre os parˆmetros te´ricos e os dados observacionais os seguintes a o valores: ΩM = 0, 28 ± 0, 06 ω = −1, 14+0,27 −0,35 ambos para o n´ de confian¸a de 1σ. ıvel c 10 / 30
  21. 21. Dedu¸˜o da express˜o para a fgas ca a Para tal an´lise, os autores encontraram como melhor ajuste a entre os parˆmetros te´ricos e os dados observacionais os seguintes a o valores: ΩM = 0, 28 ± 0, 06 ω = −1, 14+0,27 −0,35 ambos para o n´ de confian¸a de 1σ. ıvel c Para a an´lise conjunta, temos: a ΩM = 0, 253 ± 0, 021 ω = −0, 98 ± 0, 07 tamb´m na regi˜o de 1σ. e a 10 / 30
  22. 22. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises utilizando SNIa vs. fgas a Com o objetivo de testar a viabilidade observacional da rela¸˜o de dualidade de distˆncia c´smica ajustando os parˆmetros ca a o a te´ricos atrav´s de medidas para η obs , o autor recorreu a express˜o o e a original da RDDC utilizando duas fontes distintas de dados para inferir um valor de η obs . 11 / 30
  23. 23. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises utilizando SNIa vs. fgas a Com o objetivo de testar a viabilidade observacional da rela¸˜o de dualidade de distˆncia c´smica ajustando os parˆmetros ca a o a te´ricos atrav´s de medidas para η obs , o autor recorreu a express˜o o e a original da RDDC utilizando duas fontes distintas de dados para inferir um valor de η obs . Para as medidas de distˆncia de luminosidade dL , foram utia lizadas medidas do m´dulo de distˆncia de SNIa e para as medidas o a de distˆncia de diˆmetro angular dA , foram utilizadas medidas da a a fra¸˜o da massa do g´s em aglomerados de gal´xias. ca a a 11 / 30
  24. 24. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a A possibilidade de utilizar SNIa adv´m da t´cnica de trat´-las e e a como velas padroniz´veis. Como se busca restringir os parˆmetros relaa a tivos ` Cosmologia, utiliza-se a grandeza f´ a ısica denominada m´dulo de o distˆncia, que ´ definida da seguinte forma: a e µ(z) dL = m − M = 5 log10 (dL /Mpc) + 25 ⇒ = 10(µ−25)/5 Mpc (9) 12 / 30
  25. 25. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a A possibilidade de utilizar SNIa adv´m da t´cnica de trat´-las e e a como velas padroniz´veis. Como se busca restringir os parˆmetros relaa a tivos ` Cosmologia, utiliza-se a grandeza f´ a ısica denominada m´dulo de o distˆncia, que ´ definida da seguinte forma: a e µ(z) dL = m − M = 5 log10 (dL /Mpc) + 25 ⇒ = 10(µ−25)/5 Mpc (9) Com rela¸˜o as medidas de dA , no caso de fgas medidas em raiosca X, temos: dA = N 2/3 ΛCDM dA 2/3 η 2/3 fx (10) onde N ´ um fator de normaliza¸˜o. e ca 12 / 30
  26. 26. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a Utilizando as equa¸oes (9) e (10), podemos reescrever c˜ a RDDC, como: η(z) = dL 10(µ−25)/5 ⇒ = ΛCDM dA dA (1 + z)2 N 2/3 2/3 2/3 (1 + z)2 η obs = fx2 103(µ−25)/5 ∗3 N 2 dA (1 + z)6 η fx (11) onde todos os parˆmetros s˜o grandezas observ´veis. a a a 13 / 30
  27. 27. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a η obs Apresentadas as fontes de medidas observacionais para , ´ necess´rio agora definir a parte te´rica para an´lise. e a o a 14 / 30
  28. 28. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a η obs Apresentadas as fontes de medidas observacionais para , ´ necess´rio agora definir a parte te´rica para an´lise. e a o a Com este intuito, foram adotadas duas parametriza¸˜es, co η(z) = 1 + η0 z (12) z η(z) = 1 + η0 1+z (13) 14 / 30
  29. 29. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a η obs Apresentadas as fontes de medidas observacionais para , ´ necess´rio agora definir a parte te´rica para an´lise. e a o a Com este intuito, foram adotadas duas parametriza¸˜es, co η(z) = 1 + η0 z (12) z η(z) = 1 + η0 1+z (13) De posse das medidas de η obs , bem como das parametriza¸oes te´ricas, pode-se fazer a an´lise fenomenol´gica. c˜ o a o 14 / 30
  30. 30. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a Para a an´lise estat´ a ıstica foi utilizado o teste do χ2 , onde o melhor ajuste entre observa¸˜o e teoria ´ obtido atrav´s da minica e e miza¸˜o do valor, ca χ2 = i [η obs (zi ; p) − η teo (η0 )]2 2 σηobs (14) 15 / 30
  31. 31. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a Para a an´lise estat´ a ıstica foi utilizado o teste do χ2 , onde o melhor ajuste entre observa¸˜o e teoria ´ obtido atrav´s da minica e e miza¸˜o do valor, ca χ2 = i [η obs (zi ; p) − η teo (η0 )]2 2 σηobs (14) Como N n˜o representa uma vari´vel vital para a an´lise, foi a a a utilizado o m´todo de marginaliza¸˜o em an´lises de estat´ e ca a ısticas 2 ´ integrada sobre Bayesiana. De modo que, a express˜o para o χ e a todos os valores poss´ ıveis de N: +∞ χ2 = −2 ln e −χ 2 (N,f x ,µ)/2 dN (15) −∞ 15 / 30
  32. 32. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises a An´lises a A an´lise propriamente dita foi dividida em dois momentos. a Primeiro par de combina¸˜o: comparar os valores de µ ca provenientes do levantamento de SNIa denominado Union 2 e os valores de fx fornecidos por LaRoque et al.. 16 / 30
  33. 33. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises a An´lises a A an´lise propriamente dita foi dividida em dois momentos. a Primeiro par de combina¸˜o: comparar os valores de µ ca provenientes do levantamento de SNIa denominado Union 2 e os valores de fx fornecidos por LaRoque et al.. Segundo par de combina¸˜o: comparar os mesmos valores ca de µ mas agora com os dados de fx fornecidos por Ettori et al.. 16 / 30
  34. 34. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises a An´lises a A an´lise propriamente dita foi dividida em dois momentos. a Primeiro par de combina¸˜o: comparar os valores de µ ca provenientes do levantamento de SNIa denominado Union 2 e os valores de fx fornecidos por LaRoque et al.. Segundo par de combina¸˜o: comparar os mesmos valores ca de µ mas agora com os dados de fx fornecidos por Ettori et al.. OBS.: A compila¸˜o Union 2 conta com 557 pontos estendidos ca por um intervalo de redshift entre 0, 015 < z < 1, 400. 16 / 30
  35. 35. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises a Para o primeiro par de combina¸˜o foram tomados 38 ponca tos relativos as medidas de fx fornecidas por LaRoque et al. num intervalo de redshift de 0, 14 < z < 0, 89. 17 / 30
  36. 36. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises a Para o primeiro par de combina¸˜o foram tomados 38 ponca tos relativos as medidas de fx fornecidas por LaRoque et al. num intervalo de redshift de 0, 14 < z < 0, 89. E para o segundo par de combina¸˜o, os dados fornecidos ca por Ettori et al. foram 57 aglomerados de gal´xias, distribu´ a ıdos em um intervalo de redshift de 0, 063 < z < 1, 063. 17 / 30
  37. 37. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises a Para o primeiro par de combina¸˜o foram tomados 38 ponca tos relativos as medidas de fx fornecidas por LaRoque et al. num intervalo de redshift de 0, 14 < z < 0, 89. E para o segundo par de combina¸˜o, os dados fornecidos ca por Ettori et al. foram 57 aglomerados de gal´xias, distribu´ a ıdos em um intervalo de redshift de 0, 063 < z < 1, 063. No entanto, apenas 38 dos 57 aglomerados de gal´xias foa ram utilizados, com o objetivo de comparar diretamente com os resultados do primeira combina¸˜o. ca 17 / 30
  38. 38. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises a Para o primeiro par de combina¸˜o foram tomados 38 ponca tos relativos as medidas de fx fornecidas por LaRoque et al. num intervalo de redshift de 0, 14 < z < 0, 89. E para o segundo par de combina¸˜o, os dados fornecidos ca por Ettori et al. foram 57 aglomerados de gal´xias, distribu´ a ıdos em um intervalo de redshift de 0, 063 < z < 1, 063. No entanto, apenas 38 dos 57 aglomerados de gal´xias foa ram utilizados, com o objetivo de comparar diretamente com os resultados do primeira combina¸˜o. ca Al´m disso, o crit´rio de escolha dos 38 pontos foi o de se e e obter pontos com menor discrepˆncia de redshift entre as SNIa e a os aglomerados. 17 / 30
  39. 39. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a An´lises a 18 / 30
  40. 40. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a Resultados Resultados Parametriza¸˜o 1: ca 19 / 30
  41. 41. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a Resultados Resultados Parametriza¸˜o 1: ca 20 / 30
  42. 42. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a Resultados Resultados Parametriza¸˜o 2: ca 21 / 30
  43. 43. An´lises utilizando SNIa vs. fgas a Resultados Resultados Parametriza¸˜o 2: ca 22 / 30
  44. 44. An´lises utilizando fx vs. fSZ a An´lises utilizando fx vs. fSZ a Agora vamos nos deter a um valor observacional de η obtido atrav´s da observa¸˜o de fgas em um mesmo aglomee ca rado, proveninentes de medidas tanto via raios-X quanto via efeito Sunyaev-Zel’dovich. 23 / 30
  45. 45. An´lises utilizando fx vs. fSZ a An´lises utilizando fx vs. fSZ a Agora vamos nos deter a um valor observacional de η obtido atrav´s da observa¸˜o de fgas em um mesmo aglomee ca rado, proveninentes de medidas tanto via raios-X quanto via efeito Sunyaev-Zel’dovich. A motiva¸˜o para utilizar medidas de um mesmo obca serv´vel ´ que as estimativas de η na an´lise anterior podea e a riam estar contaminadas com erros sistem´ticos al´m de serem a e amostras com redshifts diferentes. 23 / 30
  46. 46. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Sabemos que, 3/2 fx = AηdA fSZ = BdA 24 / 30
  47. 47. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Sabemos que, 3/2 fx = AηdA fSZ = BdA Se assumirmos a RDDC como v´lida, ao tomarmos uma medida a de fgas em um aglomerado, seu valor deve ser o mesmo tanto para as medidas em raios-X quanto via ESZ, de modo que, fSZ =1 fx 24 / 30
  48. 48. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Sabemos que, 3/2 fx = AηdA fSZ = BdA Se assumirmos a RDDC como v´lida, ao tomarmos uma medida a de fgas em um aglomerado, seu valor deve ser o mesmo tanto para as medidas em raios-X quanto via ESZ, de modo que, fSZ =1 fx Aliviando a premissa de validade da RDDC, devemos ter: fSZ =η fx (16) 24 / 30
  49. 49. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Novamente ser´ utilizado o teste do χ2 para a an´lise a a fenomenol´gica, sendo assim, precisamos definir as express˜es o o te´ricas e determinar as fontes observacionais. o 25 / 30
  50. 50. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Novamente ser´ utilizado o teste do χ2 para a an´lise a a fenomenol´gica, sendo assim, precisamos definir as express˜es o o te´ricas e determinar as fontes observacionais. o Do ponto de vista te´rico, o valor para o parˆmetro da o a RDDC (η teo ) est´ associada a uma certa parametriza¸˜o. a ca 25 / 30
  51. 51. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Novamente ser´ utilizado o teste do χ2 para a an´lise a a fenomenol´gica, sendo assim, precisamos definir as express˜es o o te´ricas e determinar as fontes observacionais. o Do ponto de vista te´rico, o valor para o parˆmetro da o a RDDC (η teo ) est´ associada a uma certa parametriza¸˜o. a ca E do ponto de vista observacional, o valor associado a η obs ir´ provir de medidas da fra¸˜o de g´s em aglomerados a ca a tanto em raios-X quanto via ESZ. 25 / 30
  52. 52. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Novamente ser´ utilizado o teste do χ2 para a an´lise a a fenomenol´gica, sendo assim, precisamos definir as express˜es o o te´ricas e determinar as fontes observacionais. o Do ponto de vista te´rico, o valor para o parˆmetro da o a RDDC (η teo ) est´ associada a uma certa parametriza¸˜o. a ca E do ponto de vista observacional, o valor associado a η obs ir´ provir de medidas da fra¸˜o de g´s em aglomerados a ca a tanto em raios-X quanto via ESZ. Os dados utilizados nesse caso foram fornecidos por LaRoque et al.. 25 / 30
  53. 53. An´lises utilizando fx vs. fSZ a De maneira an´loga, foi realizado o teste estat´ a ıstico do teo χ para obter quais valores de η melhor se ajustam `s mea didas de η obs , 2 χ2 = i [η teo (zi ; η0 ) − η obs (zi ; fx , fSZ )]2 2 σηobs (17) 2 onde σηobs ´ o desvio obtido atrav´s da propaga¸˜o dos erros e e ca de medidas indiretas, definido como: 2 σηobs = fSZ fx σfSZ fSZ 2 + σfx fx 2 (18) 26 / 30
  54. 54. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Resultados Resultados Conjunto original de 38 pontos: 27 / 30
  55. 55. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Resultados Resultados Conjunto original de 38 pontos: 28 / 30
  56. 56. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Resultados Resultados Conjunto de 29 pontos: 29 / 30
  57. 57. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Resultados Resultados Conjunto de 29 pontos: O χ2 reduzido obtido para a compara¸˜o entre a modeloaca gem te´rica da distribui¸˜o do g´s no aglomerado e a observa¸˜o, o ca a ca para os pontos exclu´ ıdos, varia entre 2, 43 < χ2 < 41, 62. 30 / 30
  58. 58. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Resultados Resultados Conjunto de 29 pontos: O χ2 reduzido obtido para a compara¸˜o entre a modeloaca gem te´rica da distribui¸˜o do g´s no aglomerado e a observa¸˜o, o ca a ca para os pontos exclu´ ıdos, varia entre 2, 43 < χ2 < 41, 62. O que implica em valores maios compat´ ıveis com a RDDC, 30 / 30
  59. 59. An´lises utilizando fx vs. fSZ a Resultados Resultados Conjunto de 29 pontos: O χ2 reduzido obtido para a compara¸˜o entre a modeloaca gem te´rica da distribui¸˜o do g´s no aglomerado e a observa¸˜o, o ca a ca para os pontos exclu´ ıdos, varia entre 2, 43 < χ2 < 41, 62. O que implica em valores maios compat´ ıveis com a RDDC, 30 / 30

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